ecuaciones diferenciales con maple

8/18/2019 Ecuaciones Diferenciales Con Maple

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Ecuaciones Diferenciales

CON MAPLE Dr: Hernán Burgos V

Solución de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Sí tenemos entonces derivando se tiene lo siguiente:2

xe y =

2

2 x xedx

dy= lo que

se puede también escribir xydx

dy2=

Resolver una ecuación diferencial ),( y x f y =′ , significa encontrar una función)( x y ϕ = , contínua y derivable, que satisfaga la ecuación diferencial planteada

))(,()( x x f x ϕ ϕ =′

Las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias, son aquellas que contienen sólo

derivadas ordinarias respecto a una sola variable.

Una Ecuación Diferencial, se solucionan en Maple en la forma que sigue:

Sintáxis ......: dsolve(ODE)

dsolve(ODE, y(x), extra_args)

dsolve({ODE, ICs}, y(x), extra_args)

dsolve({sysODE, ICs}, {funcs}, extra_args)

Propósito

...: Encuntra la solución para de ecuacion ordinaria ODE del argumento.

y ( x ) Función en una variable

ICs bajo las condiciones iniciales

sysODE para un sistema de ecuaciones

La solución presentada por Maple es una igualdad, no una asignación ni una

función. Además las constantes estarán representadas por C1, C2...Cn.

> restart:

ed1:=diff(y(x),x)=2*x*exp(x^2);

dsolve(ed1,y(x));


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Lo que satisface la ecuación. También podemos escribir con la siguiente notación:

> ed2:=D(y)(x)=a;

dsolve(ed2);

dsolve({ed2,y(0)=v},y(x));

>restart:

ecua:=D(y)(x)+y(x)=sin(x);

dsolve(ecua);

> restart:

ecua:=x*D(y)(x)-2*y(x)=0;

dsolve(ecua);

> restart:

ecua:=D(y)(x)-x*((y(x))^(.5))=0;

sol:=dsolve(ecua);

convert(sol,rational);

>


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> restart:

ecua:=diff(y(x),x$2)-2*diff(y(x),x)+y(x)=0;

sol:=dsolve(ecua);

convert(sol,rational);

Veamos una solución e interpretémosla gráficamente.

> restart:

ecua:=x*D(y)(x)+y(x)=1;

sol:=dsolve(ecua);

> with(plots):

colores:=[red,blue,magenta,black,cyan]:

curvas:=seq(plot(1+i/x,x=-8..8,y=-8..8,color=colores[i]),i=1..5):

display(curvas);

> restart:

ecua:=x*D(y)(x)-4*y(x)=0;

dsolve(ecua);


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> with(plots):

colores:=[red,blue,magenta,black,cyan]:

curvas:=seq(plot(i*x^4,x=-2..2,y=-4..4,color=colores[abs(i)+1]),i=-4..4):

display(curvas);

Recordemos que la aceleración es la derivada de la velocidad y esta a su vez es

la derivada del espacio respecto del tiempo, esto escrito en términos de una

ecuación diferencial es:

> restart:

ecua:=diff(s(t),t$2)=-g;

cond:=s(0)=0,D(s)(0)=10;

sol:=dsolve({ecua,cond},s(t));

>

> sol1:=subs(g=-9.8,v=10,sol);


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> plot(4.9*x^2+10*x,x=-6..4);

Ecuaciones de Variables Separables

Sean )( x f y funciones continuas en)( yh [ ]ba, y [ ]d c, , respectivamente,

entonces la siguiente ecuación diferencial:

Se resuelve:

Lo que significa que hemosseparado

las variables e integrado para encontrar el

valor de las funciones, veamos un ejemplo: x

edx

dy 21 += es equivalente con

donde hemos separado las variables, ahora se integra cada

miembro por separado y se tiene

dxedy x )1( 2+=

∫∫ += dxedy x )1(2

C xe x y x ++= 22

1)(

Veamos ahora el Maple en acción.

> restart:

ecua:=D(y)(x)=1+exp(2*x);

sol:=op(2,dsolve(ecua));

Lo que podemos verificar, derivando e integrando.


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> F:=Int(diff(sol,x),x);

> value(F);

> restart:

ecua:=D(y)(x)=cos(2*x);

dsolve(ecua);

> restart:

ecua:=diff(f(x),x)=1/(x+f(x)+1);

sol:=dsolve(ecua);

> solve(sol);

Ecuaciones Homogeneas

Una Ecuación diferencial homogénea es de la forma: 0),(),( =+ dy y x N dx y x M

Donde: ; y además ( M y N

funciones homogéneas del mismo orden.

),(),( y x M t tytx M k = ),(),( y x N t tytx N k =

> restart:

ecua:=x*diff(f(x),x)=f(x)+x*exp(f(x)/x);

sol:=dsolve({ecua,f(1)=1},f(x));


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Ecuaciones diferenciales

Orden de una ecuacióndiferencial

Orden de la derivada máxima que aparece

La solución general de una ecuación diferencial de ordenn posee n constantes arbitrarias

Grado de una ecuacióndiferencial

Exponente al que está elevado la derivada de orden máximo

La solución general de una ecuación diferencial de orden n contiene n constantes arbitrarias (y sedeberán aplicar n condiciones para obtener una solución particular)

Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden (y grado 1):y´ = f (x, y) siendo y´= dy / dx

Variables separadas )()( yg x f y =′ equivalentemente dx x f yg

dy)(

)(=

Lo que depende de x se lleva a un miembro y lo que depende de y al otro

Homogéneas )( x

y f y =′

El cambio u = y / x la lleva a una ecuación en variables separadas

Reducibles ahomogéneas

y´ = f ( (a x + b y + c) / (d x + e y + f) )

Se calcula el punto de intersección entre las rectas:a x + b y + c = 0d x + e y + f = 0

Si se cortan en el puntoP (xo, yo)

Cambio:x = xo + uy = yo + vSe llega a una ecuación homogénea

Si resultan paralelas: Cambio: z = ax + by (ó z = d x + ey)

Lineales y´ + p (x) y = q (x)

Se multiplica por el factor integrante r (x) tal que


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D´Alembert

Se deriva la ecuación respecto de x. Resulta una ecuación linealdonde la variable dependiente es la p y x la independiente.

Ecuaciones de Clairaut y = x p + g (p)

Solución general: y = x C + g (C), donde C es una constante.Solución singular: x = - g´(p)

Ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de segundo orden:a (x) y´´ + b (x) y´ + c (x) y = r (x)

La solución general de la ecuación completa es la suma de la solución general de la ecuaciónhomogénea [ a (x) y´´ + b (x) y´ + c (x) y = 0 ] más una solución particular de la ecuación completa [ a(x) y´´ + b (x) y´ + c (x) y = r (x) ]

y = yh + yp La solución general de la homogénea es la que contiene las constantes arbitrarias.

yh Es una combinación lineal de soluciones linealmente independientes(y1 e y2) de la ecuación homogénea

Dependencia e independencialineal: el wronsquiano

El wronsquiano es un determinante donde en la primera filacolocamos las funciones y1 e y2 y en la segunda filas sus derivadasy1' e y2'.W (y1, y2) = det [ [y1, y2], [y1', y2'] ] = y1. y2' - y1'. y2 Si las soluciones son linealmente independiente deberá ser distintode cero.

Solución de la parte homogénea

Ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de segundo orden de coeficientes constantes:

a y´´ + b y´ + c y = 0 Suponemos la solución de la

forma:y = emx

Llegamos a: a m2 + b m + c = 0

b2 + 4 a c > 0

Dos soluciones reales distintas (m1 y m2)Solución: y = C1 exp (m1x) + C2 exp (m2x)

b2 + 4 a c = 0Solución real doble (m)Solución: y = C1 e

mx + C2 x e

mx

b2 + 4 a c < 0Soluciones complejas conjugadas: m = α ± β iSolución: y = eα

x [ C

1 cos (β x) + C

2 sen (β x) ]

Ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de segundo orden de coeficientes variables.Ecuaciones de Euler:

a x2 y´´ + b x y´ + c y = 0

Suponemos la solución de laforma:

y = xm

Soluciones reales: m ≠ m´ y = C1 xm + C2 x

m´


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Solución doble: m y = C1 xm

+ C2 (ln x) xm

Raíces complejas conjugadas: m

= α ± β i y = xα [ C1 cos (β ln x) + C2 sen (β ln x) ]

Solución de la parte no homogénea

A ojo Podemos obtener una solución particular de la parte no homogéneasin más que probar a "ojo" soluciones y comprobar si verifican o nola ecuación diferencial.

Método de los coeficientesindeterminados

Depende de la forma que tenga r (x)

Polinomio de grado n: r (x) = Pn (x)

y p (x) = ao + a1 x + a2 x2 + ... + an x

n

r (x) = eαxPn (x)

y p (x) = xs eα x [ ao + a1 x + a2 x

2 + ... + an xn]

donde s es el mínimo entero (desde s = 0) que debe tomar para queno coincida con las soluciones de la homogénea.

r (x) = eα x Pn (x) cos (β x)y p (x) = xs eα x [ (ao + a1 x + a2 x2 + ... + an xn) sen (β x) + (bo + b1 x+ b2 x

2 + ... + bn xn) cos (β x) ]

r (x) = eαxPn (x) sen (β x)

y p (x) = xseα

x[ (ao + a1 x + a2 x

2 + ... + an x

n) sen (β x) + (bo + b1 x

+ b2 x2 + ... + bn x

n) cos (β x) ]

Método de variación de losparámetros

y p = y1 u + y2 v

donde y1 e y2 son dos soluciones de la homogénea linealmenteindependientes

u = ∫ [ - r (x) y2 / W (y1, y2) ] dx

v = ∫ [ r (x) y1 / W (y1, y2) ] dx Reducción de orden de una ecuación diferencial de segundo orden homogénea

y'' + p (x) y' + q (x) y = 0 Reducimos el orden de la ecuación anterior mediante el cambio y =y1 u (x) donde y1 es una solución particular que verifica la ecuación.

Hernán Burgos V

Departamento de Matemática y Estadística

Universidad de La Frontera

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