ALEXANDRE ROSALES FLORES

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DOCUMENTO EN WORD, 3 ECUACIONES SIGUIENTES

ME Ing. CÉSAR OCTAVIO MARTINEZ PADILLA

ECUACIONES DIFERENCIALES

B:212

Ecuaciones diferenciales exactas

Si la ecuación diferencial M dx + N dy = 0 es exacta, entonces por definición hay una función U(x, y) tal que:

(1)

Pero, del cálculo elemental (2)

y así, al comparar (1) y (2), vemos que

(3)

Diferenciando la primera de las ecuaciones (3) con respecto a y y la segunda con respecto a x, encontramos*

(4)

Bajo condiciones apropiadas, el orden de la diferenciación es indiferente, así que la ecuación (4) lleva a la condición

(5)

Esto es una condicion necesaria para la exactitud; esto es, si la ecuación diferencial es exacta. El teorema recíproco establece que si (5) se cumple, entonces M dx + Ndy es una diferencial exacta.

Para ilustrar el teorema, considere la ecuación, esto es:

(2xy + 3X2)dX + x2 dy = 0

Así, por la parte de suficiencia del teorema, se nos garantiza una función U tal que:

(2xy + 3x2)dx + x2 dy = dU (6)

EJEMPLO ILUSTRATIVO ECUACIONES EXACTAS

Resuelva:2xy dx + (x2 + cos y)dy = 0.

Solución :

Aqui :

Y la ecuación es exacta. Así U existe tal que:

Integrando la primera ecuación con respecto a x da U=.x” y + f(v).

Sustituyendo en la segunda ecuación de, encontramos:

x2 + y(y) = x2 + cos y, f’(Y) = cos Y, -OY) = sen y

De donde, U= x2 y + sen y y la solución general requerida es:

x2 y + sen y = c

Ecuaciones diferenciales exactas por factor integrante

Si la ecuación M dx + N dy = 0 es exacta, esto es, si:

Entonces la ecuación se puede resolver por los métodos de la sección anterior.En caso de que la ecuación no sea exacta, es posible que la ecuación la podamos hacer exacta al multiplicarla por un factor integrante apropiado u, de modo que la ecuación resultante:

será exacta, esto es:

EJEMPLO ILUSTRATIVO FACTOR INTEGRANTE

Resuelva: 3x´2ydx + ydy=0

Solución:

M(3x´2)= 3x´2

N(y)=0

Tenemos:

M distinto de N

P(y)=0-3x´2/3x´2y =-1/y

El factor integrante es:

1/y

Entonces:

(1/y)(3x´2ydx + ydy=0)

3x´2dx + dy=0

Al resolver tenemos que M=N

Por tanto:

F(x,y)= I3x´2dx +I(1-derivada parcial de: I(3x´2dx))dy

=x´3 + I(1-derivada parcial de: (x3))dy

=x´3 + Idy= x´3 + y + c

Ecuaciones diferenciales lineales

Forma ordinaria:

Cuando Q(x) es 0 la ecuación es homogénea y se resuelve por variables separables.

Cuando Q(x) es distinto de 0, la ecuación no es homogénea y se puede resolver por factor integrante o por variación de parámetros

Para obtener el factor integrante:

Con lo cual se procederá a realizar la solución general:

.

Ejemplo ilustrativo lineales

Resuelva: x y´ + (3x+1) y = ´-3x

p(x)= 3+ (1/x)

Q(x)=x´-1 ´-3x

´(3+1/x)dx = ´3x + ln x = ´3x * ´ln x = ´3x *x

Aplicando la forma de la solución general, tenemos:

y= 1/(x ´3x) x ´3x (x´-1 ´-3x) dx

y= 1/(x ´3x) dx

y= 1/(x ´3x)(x + c)

Ecuaciones diferenciales de Bernoulli

Son ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, que se caracterizan por tener la forma:

donde P y Q son funciones de x y la potencia es una constante.

CASO GENERAL:

Si se descuentan los casos particulares en que α=0 y α=1 y se divide la ecuación por yα se obtiene:

Definiendo:

lleva inmediatamente a las relaciones:

Gracias a esta última relación se puede reescribir (1) como:

ecuación a la cual se puede aplicar el método de resolución de una ecuación diferencial lineal obteniendo como resultado:

Donde es una constante arbitraria. Pero como Z = y1-α se tiene que:

Finalmente, las funciones que satisfacen la ecuación diferencial pueden calcularse utilizando la expresión:

CASO PARTICULAR: α = 0

En este caso la ecuación se reduce a una ecuación diferencial lineal cuya solución viene dada por:

CASO PARTICULAR: α = 1

En este caso la solución viene dada por:

Ejemplo ilustrativo Bernoulli

Resuelva la ecuación:

Solución: 

Ésta es una ecuación de Bernoulli con , y

Para resolverla primero dividamos por

Ahora efectuemos la transformación . Puesto que , la ecuación se transforma en:

Simplificando obtenemos la ecuación lineal:

Cuya solución es:

y al sustituir se obtiene la solución de la ecuación original

Observación: en esta solución no está incluida la solución , que se

perdió durante el proceso de dividir por . Es decir, se trata de una solución singular.