ecuaciones diferenciales

ANALISIS MATEMATICO IV

M.Sc.Ing.David INDIGOYEN RAMÍREZ

APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES EN EL

CAMPO DE LA INGENIERIA1. Se desea preparar 1000kg de solución de hidróxido de calcio en el agua

al 5% en peso, diluyendo una solución al 20%en peso .Calcule las cantidades requeridas de hidróxido de calcio y agua.

Datos:V1= 1000 LC1=5%V2 =?C2= 20% Solución:

1000×5%=V 2×20% Hallando las cantidades de cada uno:

Al 5% Al 20% 5= g .CaOH

1000×103×10020= g .CaOH

250×103×100

2. El ácido clorhídrico grado técnico tiene una concentración de 28%en peso, expréselo como fracción mol.

DATOS:

Concentración HCl =28% f(m)=?

SOLUCIÓN:

V 1×C1=V 2×C2

V 2=250 L o Kg

PP

= g . solutog . solucion

×100

CaOH=50Kg

H 2O=950Kg

CaOH=50Kg

H 2O=200Kg

f (m)%=nHCl

nT×100



f (m)%=

28%36.5

28%36.5

+ 72%18

×100

3. Discutir en términos de ecuaciones diferenciales las consecuencias de la primera ley de la termodinámica, referente a:

a) Variables termodinámicas T y V independientesb) Variables termodinámicas T y P independientesc) Variables termodinámicas P y V independientes

Nos basamos en la siguiente formula:

Hallando las ecuaciones diferenciales cuando el volumen y la temperatura son variables independientes y por lo tanto la presión vendrá hacer la variable dependiente dentro de nuestro sistema.

P=nRTV

PV y T

dP=∂P∂T

dT+ ∂P∂V

dV

dP=nRV

dT−nRTV 2 dV

Hallando las ecuaciones diferenciales cuando la temperatura y la presión son variables independientes y por lo tanto el volumen vendrá hacer la variable dependiente dentro de nuestro sistema.

V=nRTP

V P y T

dV=∂V∂T

dT+ ∂V∂P

dP

dV=nrP

dT−nRTP2

dP

f (m)%=16.09%

PV=NRT



Hallando las ecuaciones diferenciales cuando el volumen la temperatura y la presión son variables independientes y por lo tanto la temperatura vendrá hacer la variable dependiente dentro de nuestro.

T=PVnR

T P yV

dT= ∂T∂V

dV + ∂T∂ P

dP

dT= PnR

dV + VnR

dP

4. Discutir las ecuaciones diferenciales de primer orden referido a :

a) Operación unitaria de filtración(SEGÚN INDIGOYEN – QUINTANA, 2013) La filtración es la operación mediante la cual las partículas sólidas de una mezcla liquido-solido se separan forzando a la mezcla pasar a través de un medio filtrante , la operación de filtración depende de las propiedades del sólido y del fluido .Los factores más importantes de que depende la velocidad de filtración serán :

La caída de presión desde la alimentación hasta el lado más lejano del medio filtrante.

El área de la superficie filtrante La viscosidad del filtrado La resistencia de la torta filtrante La resistencia del medio filtrante y de

las capas iniciales de torta

Si la presión se mantiene constante la velocidad del flujo disminuirá progresivamente, mientras se debe mantenerse constante la velocidad del flujo entonces habrá que aumentar gradualmente la presión.

V= 1AdVdt

= e3

5(1−e)2 s2 (−∆Pμl )

V volumen filtrado que ha pasado en un tiempo t , A es el área de toda la sección transversal de la torta filtrante ,μ es la velocidad superficial del filtrado ,l es el espesor de la torta , S es la superficie especifica de las partículas , e es la porosidad , μ es la viscosidad del filtrado y ∆ P es la diferencia de presión es aplicada.



Tortas filtrantes comprensibles e incomprensibles:

Torta comprensible: Un aumento de la diferencia de presión o velocidad de flujo provoca la formación de una torta más densa con una resistencia más elevada.

Torta incomprensible: e3

5(1−e)2 s2 es una propiedad de las partículas que

forman la torta, debe ser constante para un determinado material.

Por tanto:

Donde

r= e35(1−e)2 s2

e3

Resistencia especifica r, depende de e y de s.

FILTRO LECHO: Cuando el filtro se encuentra en pocas muy pequeñas cantidades de sólidos.

−∂Cdl

=λC

C-concentración del volumen de sólidos en suspensión en el filtro ;l-la profundidad en el filtro, y λ es el coeficiente en del filtro.

Por variables separables

CC0

=e− λl

C0 es el valor de C en la superficie del filtro.Si u es la velocidad de flujo superficialde la suspensión, la velocidad de flujo de los sólidos a través del filtro a una profundidad l uC por unidad de área .Velocidad de acumulación (∂σ∂ t

¿dl :

−∂Cdl

=u ∂σ∂ t

b) Operación unitaria de destilación (SEGÚN INDIGOYEN – QUINTANA, 2013) La destilación es una operación

1A

dvdt

=−ΔPrμl

ECUACIÓN MÁS IMPORTANTE DE LA

FILTRACIÓN



de separación de los componentes de una mezcla de líquidos miscibles y volátiles mediante vaporización parcial de la mezcla.

La cantidad del calor que aporta al caldero es constante, la temperatura de ebullición de la carga ira aumentando a medida que se vaya empobreciendo la componente A más volátil. Sean x e y las fracciones molares del líquido y el vapor generado en un momento dado, L y V la cantidad (en moles) del líquido y vapor.

El balance global se escribirá: Acumulación =entrada – salida+ generacióndLd t

=0−V+0

El balance del componente volátil se plantea del modo siguiente:

d (Lx )dt

=−Vy

De la primera de estas ecuaciones despejamos V y la reemplazamos en la segunda obteniéndose:

d (Lx )dt

=( dLdt

) y

Al derivar el producto del primer miembro y simplificar se obtiene:

Si separamos variables e integramos con las condiciones de frontera L (x0 )=L0; L ( x)=l; se obtiene.

c) Deshidratación de alimentos(SEGÚN INDIGOYEN – QUINTANA , 2013) Es una operación unitaria mediante el cual se retira o elimina agua de un producto alimenticio solido o liquido por vaporización ebullición o sublimación .Como resultado se obtiene un producto solido . Objetivos:

Conservar el alimento . Almacenar el alimento por largos periodos .

Fundamento matemático para el análisis de la destilación simple discontinua (destilación diferencial o por lotes).

L dxdt

=( y−x ) dLdt

ln LL0

=∫x0

x 1y−x

dx

ECUACIÓN DE RAYLEIGH (Permite calcular la cantidad de líquido a destilar para obtener un líquido de concentración determinada



Reducir la masa y el volumen de alimentos. Proporcionar mayor variedad y conveniencia para el consumidor en el

modo de empleo de algunos alimentos.

R=−SA

∂ x∂ t

Estimación del tiempo de deshidratación de un producto:

En el periodo de velocidad constante la transferencia de masa viene dada por :

dwdt

=−km A (H s−H a)

dwdt es la velocidad de deshidratación ;km es el coeficiente de transferencia de masa, A es el área de deshidratación ;H s es la humeda de la superficie del producto(equivale a la humedad de saturación del aire a la temperatura de la superficie del producto);H a humedad del aire de secado .

El tiempo de secado:

t psvc=(W 0−W c) λxδ s

hc (T a−T s)

En el periodo de velocidad decreciente si la eliminación de agua es por el fenomeno de capilaridad predominante, se tiene la siguiente ecuacion:

( dwdt )d=−k (W−W c )

El tiempo de secado es:

t psvd=λδ s x (wc−we)hc(T a−T s)

ln (w c−we

w−we)

E.D. que permite calcular la velocidad de secado

Unidades:(

kgH2Om2 . h

; lbH 2Opie2 . h

)

k es una variable que esta en función de la etapa de velocidad constante.

k=( dwdt

)c

wc−we

w c es la humedad crítica y w e es la humedad del material que se esta secando


Unidades:(

kgH2Om2 . h

; lbH 2Opie2 . h

)


Unidades:(

kgH2Om2 . h

; lbH 2Opie2 . h

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; lbH 2Opie2 . h

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; lbH 2Opie2 . h

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; lbH 2Opie2 . h

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; lbH 2Opie2 . h

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Unidades:(

kgH2Om2 . h

; lbH 2Opie2 . h

)


Unidades:(

kgH2Om2 . h

; lbH 2Opie2 . h

)



Pendiente=-k

d) Cinética química y enzimática

CINETICA QUIMICA: (SEGÚN INDIGOYEN – QUINTANA, 2013)En una reacción de primer orden del tipo:

A→producto

Se escribe:

Al resolver la E.D. se llega a la expresión:

ln [ A][ A¿¿0]=−kt ……… ..(1)¿

[A ] es la concentración del reactivo A en un instante t cualquiera y [A ¿¿0]¿ es la concentración al inicio (t=0).

CINETICA ENZIMATICA:(SEGÚN INDIGOYEN – QUINTANA , 2013) .Para describir correctamente la actividad enzimática , los enzimologos aplican herramientas matemáticas a fin de cuantificar el poder catalítico de una enzima asi como su respuesta a los inhibidores.Durante el transcurso de la reacción , la concentración del sustrato disminuye y la concentración del producto aumenta .El avance de esta rreacion o cualquier otra puede expresarse como una velocidad , ya sea la velocidad de desaparición del (S) o de la velocidad de aparición del producto (P):

E.D. de primer orden y de grado de variables separables

V=−d [A ]

dt=k [A ]

Formas alternas de la ecuación (1):

[A ]=[ A0 ]e−kt

ln [ A ]=ln [A0 ]−kt



V=−d [S ]dt

=d [P ]dt

ECUACION DE MICHAELIS-MENTEN:E+S←

→ ES+PLa ecuación diferencial para la formación del producto es:

5. Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden a los circuitos eléctricos.

Según cesar saal menciona para resolver un problema de circuitos. Inductancia (L), resistencia (R), capacitancia (C) tendremos cuenta las siguientes leyes experimentales.

a) Para un resistor .- La caída de voltaje ER a través de un resistor es proporcional a la corriente instantánea “I”, o sea: ER=RI donde R es la constante de proporcionalidad (resistencia), además I se mide en amperes, R en ohmios y el voltaje ERen voltios.

b) Para un inductor .- La caída de voltaje EL a través de un inductor es proporcional a la rapidez de cambio instantáneo de la corriente “I” con respecto al tiempo, o sea: EL=L dI

dt donde L es la inductancia de la bobina y se mide en henrios, el tiempo t en segundos.

c) Para un capacitor .- La caída de voltaje EC a través de un capacitor es proporcional a la carga eléctrica instantánea “q” en el capacitor, o sea: EC=

qC donde C es la capacitancia y se mide en faradios, q se mide en

coulombios.d) Relación I y q .-I=dq

dte) Segunda ley de Kirchhoff .- La suma algebraica de todas las caídas

instantáneas de voltaje alrededor de cualquier circuito cerrado es cero o el voltaje aplicado en un circuito cerrado es igual a la suma de las caídas de voltaje en el resto del circuito. ER+EL−E=0, reemplazando las demás ecuaciones se tiene: L dIdt +RI=E

Ejemplo 1. Una inductancia de 2 henrios y una resistencia de 10 ohmios se conecta en serie con una f.e.m. de 100 voltios, si la corriente es cero cuando t=0. ¿Cuál es la corriente después de 0.1 s?Solución: como L=2, R=10 y E=100 entonces la ecuación que gobierna es:

L dIdt

+RI=E ,reemplazando

V=d [P]dt

=k 2[ES ]



2 dIdt

+10 I=100→ dIdt

+5 I=50

Como se parece a una ecuación lineal de primer orden lo desarrollamos así:

I=e−∫5dt [∫ 50e∫ 5dt dt+C ]

I=e−5 t [∫ 505 e5 t dt+C ]→I=10+Ce−5 t

para t=0 lacorriente es igual acero

Tenemos: 0=10+C=¿C=−10

∴ I=10 (1−e−5 t )

Para t=0.1

I (0.1 )=10 (1−e−0.5 )→I=3.935amp.

Ejemplo 2. Se introduce una f.e.m. en un circuito que contiene en serie una resistencia de 10 ohm, y un condensador no cargado cuya capacidad es de 5×10−4faradios. Encontrarla corriente y la carga en el condensador cuando t=0.01 s yV=100voltios .

Solución:La ecuación para el circuito se obtiene de la segunda ley de Kirchhoff.

RI+ qc=V→ dq

dt+ 1RC

q=VR (seusa I=dq

dt )Y la solución de esta ecuación diferencial de 1er orden es:

q=e−∫ 1

RCdt [∫ V

Re∫ 1

RCdtdt+C0]

q=e−tRC [∫ V

Re

tRC dt+C ]→q=VC+C0 e

−tRC

Usando la condición inicial para t=0 , q=0, se halla C0

0=VC+C0e0→C0=−VC

Reemplazando los valores tenemos:

q=100 x5×10−4[1−e−0.01

10 x 5×10−4 ]→q≅ 0.043 couloms .

Y la corriente I está dado por:



I=dqdt

=VRe

−tRC

Reemplazando los valores numéricos para t=0.01s tenemos:

I= 10010

e−0.01

10 x 5× 10−4 →I ≅ 1.35amp.

6. Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales en problemas de crecimiento y decaimiento (evaporación, interés compuesto, crecimiento de poblaciones, desintegración radioactiva, entre otros).EVAPORACIÓN. Ejemplo Nº1. Supongamos que se ha observado que una bola de naftalina para combatir la polilla de radio de 1cm se evapora en tal forma, que después de 6 meses de uso su radio ya no es más que de 0.5cm. Exprese el radio de la bola en función del tiempo.Solución:Como la evaporación tiene lugar en la superficie de la bola, es lógico suponer que la variación del volumen (V) respecto al tiempo disminuye y esta variación es proporcional al área S de la superficie descubierta al cabo del tiempo (t), esto es:

dVdt

=−kS…… .. ( k ,constante positiva )

Si ® el radio de la bola, en el tiempo (t), luego su volumen (V) y el área (s) estará dado por:

V= 43π r3 y S=4 π r2

luego ddt ( 43 π r3)=−k (4 π r2 )→4π r2 dr

dt=−k (4 πr 2)

drdt

=−k……… (i)→r=C−kt

Dónde:r (0 )=1=¿c=1=¿ r=1−kt

r (6 )=0.5=¿ 0.5=1−6k=¿ k= 112

∴r=1− 112

t

como r (t )>0=¿r (t )=1− 112

t>0=¿t<12=¿t ∈<0.12>¿

Ejemplo Nº2. Supongamos que la evaporación hace que una gota esférica de agua disminuya su volumen a una tasa proporcional al área de la superficie. Hallar el tiempo que tardaría una gota de radio r0 en evaporarse por completo.



Solución:

Este problema es idéntico al anterior, entonces podemos establecer, según la expresión (i) que:

drdt

=−k→r=C−kt

sit=0=¿r=r0

r0=c−k (0 )=¿c=c0=¿ r ( t )=r0−kt

r=0→r 0−kt=0→t=r 0k

INTERES COMPUESTO

SEGÚN PALMAR (1968) menciona, Si una cantidad A de pesos produce intereses a una tasa o tipo k (pudiendo esta ser, por ejemplo , 0,04 por uno , o sea 4%) por año , compuesto anualmente , entonces la cantidad total del principal más los intereses será A(1+A) al Anual del primer año , y A(1+k)2 al terminar el segundo año , y en general A(1+k)n al final de n años. Si el dinero se presta al tipo k (por uno) anula de interés compuesto mensualmente entonces la cantidad total será de A(1+k/12) al final de l primer mes , A(1+k/12)2 al finalizar el segundo mes, A(1+k/12)r al fianl de r meses y A(1+k/12)12n al final de n años .En general , si el tipo es k por año compuesto m veces por año, entonces la cantidad al terminar n años será:

A(1+ km )

mn

=A [(1+ km )

m]n

Sean k y n fijos y estudiemos cómo se comporta esta cantidad cuando m se hace infinito y por consiguiente la longitud 1/m de un intervalo de conversión se aproxima a 0 .La respuesta a esta pregunta se proporciona por el hecho de que:

limm→∞ (1+ k

m )m

=ek

Se aprecia, pues, que cuando el intervalo de conversión se aproxima a cero la cantidad al final de n años tiende a y (n )=A ekn.Este analisi da lugar a la siguiente definición: Se dice que el dinero aumenta a un tipo anual k compuesto continuamente si una cantidad A en un tiempo establecido aumenta hasta la cantidad

y (n )=A ekt



Durante los primeros t años después del tiempo establecido .El numero t no esta restringido a valores enteros, y cuando A y k son positivos , la cantidad y(t)aumenta continuamente a mediad que t también lo hace.

y (n )=A ekt Es valida si y solo si:dydt

=ky

Por lo tanto , la condición de que y aumente según su tipo k por año continuamente compuesto , implica y es implicado por :dydt =ky

EJEMPLO 1: Un banco ofrece 10% de interés compuesto continuamente en una cuenta de ahorros .Determinar el interés ganado en 1 año con un deposito de un millón de pesos.

Sea y la suma del dinero al cabo de un tiempo t , entonces:

dydt

=0,1 y es la ecuación que satisface el problema , cuya solución es:

Y para las condiciones iniciales :t=0 ,A=1000000 tiene la forma:

y=1000000 e0,1 t

Para t=1 ,y=?

y=1000000e0,1 (1 )

y=1105170,9

EJEMPLO 2: Hallar el tiempo necesario para que una cantidad de dinero aumente al doble al 15% por año con un interés compuesto continuo.

condiciones iniciales :t=0 , A=x tiene la forma:

y=x e0,15(0)

y=x

Entonces para que y=2x , t=?

2 x=xe0,15 (t )

y (n )=A e0,1 t

y (n )=A e0,1 t

Entonces 1105170,9−1000000=105170,9 es lo que ganó en un año.



ln 2=0,15t

t=4,62

EJEMPLO 3:Encontrar el tiempo requerido para que una suma de dinero se doble impuesta al 5% de interés continuo.

Solución:Sea: C= cantidad después de t años.

dCdt

=0.05C

Luego: ∫c

2c dCc

=0.05∫0

t

dt

ln 2=0.05t →t=13.9añosCRECIMIENTO DE POBLACIONES

(SEGÚN ARIAS, RUA -2009) El modelo matemático más fácil para gobernar la dinámica de la población de cierta especie es el modelo exponencial , es decir, el índice del cambio de la población es proporcional a la población existente , o en otras palabras si P(t)mide la población tenemos que

Donde k es constante , es una ecuación lineal , la cual tiene como solución:

Donde P0 e sla población inicial , es decir , P (0 ) ¿P0.De esta ecuación soncluimos que si k>0, la población crece y continua ampliándose al infinito , es decir

limt→∞

P ( t )=+∞

Si k<0 , la población decrece y tiende a o .En otras palabras tiende a la extinción.

EJEMPLO1:En un cultivo de bacterias se estimo que inicialmente había 150 bacterias y 200 después de una hora (h) .Suponiendo una rapidez de crecimiento proporcional a la cantidad de bacterias presente , determinar :

La cantidad de bacterias después de t horas.

t=4,62 años

dPdt

=kP

P=P0ekt

P=P0ekt



P0=150

P=150ekt

t=1h−p=200200150

=ek

k=0,2877

P=150e0,2877 t

EJEMPLO2: Ciertas población de bacterias tiene una rapidez de cambio proporcional a si misma .Si en una hora tuvo un crecimiento del 50%

a) ¿Cuál es la población después de t horas?dPdt

=kP

∫ dPP

=∫ kdt

lnP=kt+cP=cekt

n−poblacion inicial

t=1h−P=3n2

3n2

=nek ×1

ln (32 )=k

k=0,405

b) ¿E n cuanto tiempo se duplicara la población?2n=ne0,405 t

ln|2|=0,405 tt=1,71147452

c) ¿Cuánto habrá aumentado la población en 10h?P=ne0,405×10

P=ne4,05

P=ne0,405 t

t=1 ° 42'41,13 ' '



P=n57,34

Desintegración radiactivaSegún Espinoza R. (2008): La rapidez de descomposición de una sustancia radiactiva en un tiempo particular t es proporcional a la cantidad presente en ese tiempo.

Entonces la Ley de descomposición esta expresado por dxdt =−kX , en donde k es un factor de proporcionalidad, las variables x y t son separables.

Ejemplo 1. Una cierta sustancia radiactiva tiene una vida media de 38 años. Encontrar que tanto tiempo toma el 90% de la radiactividad para disiparse.

Datos:

X X0 0.5 X0 0.9 X0

t(años)

0 38 ?

t= tiempo genérico (horas)x= masa en el tiempoK= factor de proporcional

Solución:

MODELO MATEMATICO

Utilizamos los datos para hallar k:

∫X=X 0

X=0.5X 0 dxX

=−k ∫t=0

t=38

dt

ln (0.5 x0x0 )=−k ×38

k=−ln (0.5)38

Hallando el tiempo en cuando la masa radiactiva se disipa hasta90%:

∫X=X0

X=0.1X 0 dxX

=−k∫t=0

t=t

dt

dxdt

=−kX

P=57,34 nbacterias



ln (0.1 x0x0 )=− ln(0.5)38

×t

Ejemplo 2. 25% de una sustancia radiactiva se desintegra en 100 años. Que tiempo debe transcurrir para que una masa de sustancia pase a la mitad.

t= tiempo genérico (horas)x= masa en el tiempoK= factor de proporcionalSOLUCIÓN:MODELO MATEMATICO

Utilizamos los datos para hallar k:

∫X=X 0

X=0.75X 0 dxX

=−k ∫t=0

t=100

dt

ln (0.75 x0x0 )=−k ×100

k=−ln(3 /4)100

Hallando el tiempo en cuando la masa radiactiva se disipa hasta τ 12:

∫X=X 0

X=0.5X 0 dxX =−k ∫

t=0

t=τ12

dt

ln (0.15x0 )=−ln(3/4)100 ×t

Problemas de mezclasEjemplo 1. En un depósito, que contiene 150 litros de salmuera, está entrando agua a razón de 2 litros por minuto y la mezcla sale en la misma proporción, manteniéndose uniforme la concentración por agitación. Hállese la cantidad de sal que hay en el depósito al cabo de media hora, sabiendo que el depósito tiene constantemente 150 L de la mezcla y al comienzo tenía 6 kg de sal.Solución:Sea x la cantidad que hay en el tanque al cabo de t minutos. La concentración es pues:

t=126.2añoS

dxdt

=−kX

τ 12

=240.94añoS



c= x150

En un tiempo dt salen: x150

(2 )dt kilos de sal.Según la ecuación de continuidad: aumento= entrada - salidaComo entran cero kilos de sal, se tiene:

dx=−2 x150

dt

Separando variables e integrando:

∫6

x dxx

=−175 ∫0

30

dt→ ln x6=−3075

x=6e−0.4→x=4.02 kg

Ejemplo 2. En un tanque hay 757 litros de solución saturada de sal (300g/L) y hay que diluirla añadiéndola salmuera que contiene 120 gramos de dxsal por litro, si esta solución entra en el tanque a razón de 15.14 litro por minuto y la mezcla sale en igual cantidad, ¿ al cabo de cuanto tiempo la concentración en el tanque será de 211 gramos de sal por litro?Solución:Sean x gramos de sal por/ litro al cabo de t minutos En ese instante se tendrá que :Entran al tanque: (15.14 L/min x 120g/L X dt) gramos de salSalen del tanque: (15.14 L/min x Xg/L X dt) gramos de salSegún la ecuación de continuidad:

dx= (15.14 x 120−15.14 X )dtLa concentración en ese instante es:

dx=15.14757

(120−x ) dt

Separando variables:

∫300

211 dx(120−x )

= 150∫0

t

dt→ ln( 91240 )=−t50

t=50ln( 24091 )→t=50x 0.97=48min58 s .

7. Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales en el estudio de:

a) HidráulicaSegún (Cesar SAAL), nos menciona que de acuerdo a la ley de Torricelli que el volumen de agua por unidad de tiempo que se escapa por un orificio de área (A) que se encuentra a h metros por debajo de la superficie libre de agua es: A√2gh(donde h es la carga de agua). Sin embargo, el rozamiento y la



contracción de la vena de agua cerca del orificio reduce el gasto a:c A √2 gh donde 0<c<1 (c es el coeficiente de gasto). C=0.6 para pequeños orificio de salida.Si V(t) es el volumen en el recipiente en el instante t, entonces la ecuación de Torricelli queda así:

dVdt

=−c A √2 gh (si esque noentra aguaal recipiente y hayunorificiode salida )

Ejemplo 1. un tanque cilíndrico de 1.22m de altura descansa sobre una base circular de 0.915m de radio. Al medio dia cuando el tanque esta llena, se destapa un orificio de radio 1.27cm en el fondo y se vacia el tanque. Halle el tiempo en que el agua se encontraba a la mitad del tanque.Solución:

dVdt

=−c A √2 gho' B dhdt

=−c A √2 gh…….(1)

Donde B= área de la superficie liquida, A= área de la superficie de salida, c= constante de desague, su valor aproximado es 0.6Integrando la ecuación (1) para las condiciones:

h 1.22 0.61

t 0 t

∫1.22

0.61 dh√h

=−0.6 AB √2g∫

0

t

dt

Resolviendo para cuando: B=π r2=π (0.915 )2=2.63m2

A=π r2=π (0.0127 )2=0.0005m2

Obtenemos t=21min

Ejemplo 2. En un tanque cisterna de forma cónica fluye H2O a razón de 8 pies2xmin. Si la altura del tanque es de 12pies y el radio de su base superior es 6 pies, conque rapidez sube el nivel de agua cuando esta tiene 4 pies de altura.

Solución: Sea: h=altura del agua en pies en cualquier instantet=tiempo en minr=radio en pies



dvdt

=8 pie3

min

dhdt

=?

Solución:

V=13π r2h ………….(1)

DEL GRAFICO:12h

=6r ..................(2)

De (2)

r=6h12

=h2 …………..(3)

3 en 1

V=13π h4

2

h

V=13π h4

3

……………(4)

V h tdvdt

=dvdh

× dhdt

8=π4h2× dh

dt

dhdt

= 32π h2

Cuando la h=4 piesdhdt

= 32π 42

= 2π

b) Transferencia de calorEjemplo 1.encontrar la perdida de calorías por día de 20 metros de tubo de 30cm de diámetro, que contiene vapor a 100ºC, si el tubo está cubierto de una capa de concreto con espesor de 10cm y la superficie externa del concreto se mantiene a 35ºC. (Supóngase k=225x10-5 Cal/cm. ºC.s)



Solución:Sabemos que las calorías gastadas se expresan por:

Q=−kA dTdx

…… .. ( ley deℱ )

El areadel corte transversal normal al flujode calor es :

A=2πx…….donde xes elradio


−Q dxx

=2kπdt

Integrando entre los límites:T 1=100℃ ; x1=15 cm y T2=35℃ ; x2=25cm

−Q∫15

25 dxx

=2 πk∫100

35

dT

Qln( 2515 )=2πk (65 )→Q=130 πk

ln ( 53)cal /s

El calor perdido por día a través de 20m de longitud del tanque es:

QP=20 (100 ) x24 (60 )2Q

QP=20 (100 ) x 24 (60 )2130 πx225 x 10−5

0.51→QP=3.11 x10

8 cal /dia .

Ejemplo 2. Una esfera hueca de 1m de diámetro contiene vapor a 100ºC. se encuentra aislada con una capa de magnesia de 3cm de espesor y conductividad térmica k=175x10-6 cal/cm.ºC.s, si la superficie exterior del aislamiento se mantiene a 40ºC, encontrar el ritmo de perdida de una esfera hueca de 1m de diámetro. El espesor de la esfera se toma en cuenta; es decir, se supone que la superficie interna del aislamiento se encuentra a 100ºC.Solución:

Tenemos para este caso: El areadel corte transversal normal al flujode calor es :

A=4 π x2…….donde x esel radio

Entonces la ley de Fourier queda así:

Q=−4 πk x2 dTdx




Q∫53

50 dxx2

=−4 πk∫40

100

dT →−Q( 350 x53 )=−240πk

Q=2650 x2403

xπx175 x10−6→Q=117 cal /s .

Si se quisiera encontrar la temperatura a la mitad del aislamiento, se tomara el valor de Q=117 cal / s .

117=¿−4 πk x2 dTdx

Q∫51.5

50 dxx2

=−4 πk∫T

100

dT →T=69.1℃

c) Transferencia de masa

d) Mecánica de fluidos Según Munson Y. (1999) Bernoulli: la conservación de la energía

Se le acredita el haber escrito el primer manual de mecánica de fluidos (Hydrodynamica) pero sobre todo el haber enunciado (si bien su forma moderna sería posterior) la Ecuación de Bernoulli, que liga la energía cinética, potencial y la presión de un fluido de forma aproximada y permite facilitar mucho los cálculos.

Se trata de un salto conceptual desde la fluidostática: ya no se estudia como se comporta un fluido en reposo (qué alturas alcanza en un depósito, cómo se distribuye a la presión, qué fuerzas ejerce sobre las paredes...) sino su movimiento. La presión dimensionalmente se puede ver como energía por unidad de volumen y la diferencia entre dos puntos de esta es causa de movimiento. Mediante la ecuación de Bernoulli, siempre que podamos despreciar la energía disipada en forma decalor y generación de irreversibilidades termodinámicas, se puede calcular la velocidad del flujo fluido resultante.

La mecánica de fluidos suele reconocerle como el primer verdadero fluidodinamicista, dando lugar a las ecuaciones de Euler, que posteriormente serían la base de las de Navier-Stokes. A continuación se muestra el sistema total, donde se liga la velocidad u, la energía interna E, la presión p y la densidad . La resolución matemática del sistema para un problema concreto da la velocidad del fluido en cada punto. Este sistema es válido siempre que se puede despreciar el efecto de la viscosidad.



Reynolds fue un pionero del estudio de la turbulencia, estudiando sus causas, dando lugar a los conceptos de flujo turbulento y laminar. Reynolds acuñó la idea de la turbulencia como una oscilación de alta frecuencia sobre un valor medio y lo aplicó al conjunto de ecuaciones de Navier-Stokes, logrando definir la turbulencia al introducir los esfuerzos de Reynolds. Sin embargo, la solubilidad de las ecuaciones con este añadido es aún un problema abierto (problema del cierre de la turbulencia). Con la simplificación de flujo incompresible, la dinámica queda reducida bajo el desarrollo de Reynolds.

Ejemplo 1. Las componentes de la velocidad para cierto campo de flujo estable e incomprensible son:

u=x2× y2×z2………….. (1)v=xy+ yz+z……………. (2)w=?

Determinar la forma de la componente z, w, requerida para satisfacer la ecuación de continuidad.

SOLUCIÓN:

Cualquier de velocidad físicamente posible para un fluido incomprensible debe satisfacer la conservación de la masa según se expresa por la ecuación de continuidad.

Para la distribución de la velocidad dada

Derivando en la ecuación (1):∂u∂x

=2 x

Derivando en la ecuación (2):∂v∂ y

=x+z

∂u∂x

+ ∂ v∂ y

+ ∂w∂z

=0



de modo que la expresión buscada para ∂w∂z es:

∂w∂z

=−∂u∂ x

− ∂v∂ y

∂w∂z

=−2 x−( x+z )=−3 x−z

Integrar con respecto a z:∫ dw=∫ (3 x−z )dz

w=3 xz− z2

2+ f ( x , y )

La tercera componente de la velocidad no se puede determinar de manera explícita, ya que la función f ( x , y ) puede asumir cualquier forma y la conservación de la masa aun es válida. La forma específica de esta regida por el campo de flujo descrito por estas componentes de la velocidad; es decir, para determinar a w se requiere más información.BIBLIOGRAFIAMunson Young Okiishi-1999 “Fundamentos de mecánica de fluidos”- Editorial Limusa S.A –MEXICO pag.318

Ejemplo 2. Un embalse abierto a la atmosfera contiene una altura de agua H. con objeto de evacuar agua cuando sea necesario, el embalse tiene una compuerta de longitud Lc que forma un ángulo ᾳ con la horizontal. Calcular la fuerza que el fluido ejerce sobre la compuerta F, y el momento resultante sobre la rótula de la misma M, justo antes de que se abra.

Solución

Para calcular la distribución de presiones ha de emplearse la ecuación de la fluido estática que se escribe como

p ( z )+ ρU (Z )=C

Donde C es una constante que, a lo sumo, depende del tiempo.



En este caso, el potencial de fuerzas másicas viene dado por

U (Z )=−g . x=gz

Donde X=xex +zez es el vector de posición. El valor de la constante C se determina evaluando la expresión, en un punto de la superficie libre del líquido, con lo que la distribución de presiones resulta.

p (Z )=pa+ ρg [ H−(LC−s ) senα ]=p(s)

La fuerza por unidad de longitud transversal que el fluido ejerce sobre la compuerta viene dado por

Siendo n=cosα ez+senα ex la normal exterior al fluido.

El momento resultante por unidad de longitud transversal sobre la rótula de la compuerta se obtiene mediante

e) TermodinámicaSegún (Carlos ARÁMBULO), menciona: A). ley de Boyle-Mariotte (para gases ideales): expansión isotérmica de un gas perfecto. La razón de cambio del volumen a temperatura constante es:

dVdP

=−VP

, integrando tenemos PV=C

El trabajo y seria: dW=pdVPara un proceso isotérmico se cumple:

W=Cxln( P1P2 )B). Ecuación de las curvas adiabáticas de los gases perfectos.

Verifica la ley de Escriba aquí laecuación .

M=∫0

LC

[P(s)−p0 ] sdse y=ρg(H LC2

2−LC

3

6 )e y

F=∫0

LC

[P(s)−p0 ] nds=ρg(H LC−LC

2

2senα )n



Ejemplo 1. Un recipiente tiene una capacidad de 0.2m3 y contiene aire a una presión de 107 pascales. Dicho aire se expansiona a temperatura constante, hasta una presión de 105 pascales, en una maquina sin rozamiento. Calcular el trabajo suministrado por esta expansión y la duración de la misma sabiendo que sirve para alimentar un motor que consume 1500 vatios.Solución: por dato, tenemos que: P1=107 pas. Y P2=105 pas.Además: V1=0.2m3, entonces se cumple:

P1V 1=C→C=107X 0.2→C=2 X 106

El trabajo suministrado será:

W=2 X106 ln(107105 )→W=9,2x 106 J

Si el motor consume 1500 vatios (J/s), entonces la expansión precedente podrá alimentarlo durante:

t=WEc

=9,2x106

1500=6,130 s→t=1h. 42min .

f) EconomíaSEGÚN (ESPINOZA R.-2008) Para el estudio de las ecuaciones diferenciales aplicados a la economía, es necesario dar algunos conceptos de los términos económicos.COSTO: Sea “y” el costo total de producir y comercializar “x” unidades de una mercancilla, está dado por la función y=F(x), Entonces:

El costo de promedio por unidad es: yx=F ( x )x

Si la producción total se incrementa en una cantidad ∆ x a partir de un cierton nivel “x” y si el correspondiente incremento en costo ∆ y, entonces el incremento promedio del costo por unidad de incremento en la producción es∆ y∆x .Luego el costo marginal definiremos por:

lim∆ x→ 0

∆ y∆ x

=dydx

=F ' (x), es decir que el costo marginal es la derivada del costo total y=F(x).INGRESO: Sea y=f(x) cualquier función demandada donde “y” representa el precio unitario y “x” el número de unidades.El ingreso total R es el producto de “x” por “y” es decir:



R=xy=xf ( x )

El ingreso marginal con respecto a la demanda es la derivada del ingreso total con respecto a x.

dRdx

=R' ( x )

ELASTICIDAD: La elasticidad de punto de la función y=f(x) en el punto x esta dado como la razón del cambio proporcional y con respecto al cambio unitario x.

EyEx

=

dyydxx

= xdyydx

RENTA NACINAL, CONSUMO Y AHORRO: Se llama función de consumo a la relación entre la recta nacional (total) disponible y el consumo nacional (total).Luego la función consumo expresaremos mediante la ecuación:

c=f ( x )

Donde c representa el consumo nacional total y “x” la renta nacional (total), entonces la propensión marginal al consumo es:dcdx=f ' ( x)

Mediante el análisis teórico se tiene, la renta nacional es igual al consumo más el ahorro la cual se expresa:

x=c+s

La propensión marginal al consumo es:dcdx=f ' ( x)

La propensión marginal del ahorro es: dsdx=1−dcdx

Ejemplo 1: Supóngase que una suma de dinero está colocado a interés que se acumula continuamente .Si la cantidad es s0.. ¿Cuánto el capital alcanzará la suma s=2 s0si el grado de interés anual es 3% ,5% .?Llamemos: S= inversión en cualquier momento; K=interés

dSdt

=KS→∫ dsS

=k∫dt→lnS=kt

Determinamos para: S= S0 hasta S= 2S0

∫S0

2S0

lnS=∫t=0

t=t

kt→ ln2S0S0

=kt → ln2=kt



Para k=0.03

t= ln20.03

→t=23.105años

Para k=0.05

t= ln20.05

→t=13.863años

Ejemplo 2: Una industria hiso un análisis, de sus instalaciones de producción y su personal con el equipo de número de trabajadores actuales la fábrica puede producir 3000 unidades de producción, se estimó que sin cambiar la inversión la razón de cambio del número de unidades producidas por dia, con respecto a un cambio en el número de empleados adicionales es: 80−6 X

12

donde X es el número de empleados adicionales, encontrar la producción diaria si se aumentan 25 empleados a la fuerza laboral.Solución:Y= número de unidades producidas por día:

dydx

=80−6 x12

∫ dy=∫ (80−6 x12 )dx→ y=80x−4 x

32+c

Para x=0 e y=3000; c=3000

y=80x−4 x32+3000

Para x=25, y=?

y=80 (25 )−4 (25 )32+3000→ y=4500

8. Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales en problemas geométricos Según Espinoza Ramos, nos menciona las siguientes formulas:

La ecuación de la recta normal es: LN : y− y0=−1y '0

(x−x0 )

Longitud de la tangente: LT=yy ' √1+ y '2

Longitud de la sub tangente: LST=yy '



Longitud de la normal: Ln= y √1+ y ' 2

Longitud de la sub normal: LSN= yy '

Ejemplo 1. En cada punto (x, y) de una curva de la intercepción de la tangente con el eje y es igual a 2xy2. Encontrar la curva.Solución:Aplicando la ecuación de la recta tangente:

Y−Y 0=Y ' ( X−X0 )

Y−2X Y 2=dYdX

X ,dedonde

Tiene la forma de E.D. de BernoullidYdX

− 1XY=−2Y 2→Y−2 dY

dX− 1XY−1=−2…… (1 )

tomamos μ=Y−1→dμdx

=−Y−2 dYdX

, reemplazamosen (1 )

(−dμdx

− 1Xμ=−2)∗¿

μ=e∫ 1x dx→μ=x multiplicamosa EDL

∫ d (μx )=∫2 xdx→μx=x2+c

Reemplazando μ tenemos: Y= X−X2YC

Ejemplo 2. Encontrar la familia de curvas en la que la porción de la tangente a un punto P(x, y), comprendida ente P y el eje “y” se divide en dos partes iguales por el eje “x”.

Solución:

Dado que la tangente se biseca en el eje “x”; se presentan 2 triángulos congruentes.

Entonces:

dYdX

=2YX

→ dYY

=2dXX



∫ dYY

=2∫ dXX

→lnY=2 lnx+k

∴ elnY=e(ln x2+ k)→Y=CX 2

Ejemplo 3. Hallar la ecuación de la familia de curvas que tienen la propiedad de que la longitud de la normal sea igual ala de la intersección de este con el eje X.

Solución:

Y √1+(dydx )2

=X+Y dydx

y2+ y2( dydx )2

=x2+ y2( dydx )2

+2 xy dydx

y2−x2=2 xy dydx

Tiene la forma de E.D. de Bernoullidydx

− 12 x

y=−x2

y−1→y dydx

− 12 x

y2=−x2

…………. (1 )

tomamos μ=Y 2→ 12dμdx

= y dYdX

, reemplazamos en (1 )

( 12 dμdx− 12 X

μ=−x2 )∗(2 )→ dμ

dx− 1

Xμ=−x……EDL

μ=e∫−1

x dx→μ=1

xmultiplicamosa EDL

∫ d( μx )=∫−dx→ μx=−x+c

Reemplazando μ tenemos: x2+ y2=cx

9. Estudio de la solución de una ecuación diferencial con Transformada de Laplace.

Es un operador que transforma ecuaciones diferenciales en una ecuación algebraica mediante una integral impropia.DEFINICIÓN:Sea:

y=f ( t )∀ f ≥0

La transformada de Laplace se denota por:



L {f ( t ) }=F (s )=∫0

+∞

e−st f ( t )df

La integral impropia se calcula mediante un límite:

∫0

+∞

e−st f ( t )df= limb→∞

∫0

b

e−st f (t )df

S es la nueva variable e−stes el nucleo de la transformación f (t )es la función objeto

Para resolver ecuaciones diferenciales mediante la transformada de laplace se hace uso de la transformada inversa de Laplace:L−1

Si:L {f ( t ) }=F (s )

→L−1 {F (s ) }=f ( t )

Uso de tablas de L Usando fracciones parciales Uso de teoremas de L−1

Métodos combinados EJERCICIOS:

1. L {e3t }= 1s−3 →L−1{ 1

s−3 }=e3 t

L {f n }= n!sn+1

→L−1{ n !sn+1 }=f n

n=1,2,3 ,…. .

L {sen t3 }=

13

s2+ 19

= 39 s2+1

L−1 { 39 s2+1 }=sen t

3

2. L−1 {2 s+5s2+4 }PROPIEDAD DE LINEALIDAD DE L−1 :

L−1 {aF ( s )±bG (s ) }=aL−1 {F ( s ) }±b L−1 {G ( s ) }¿af (t )±b ( t )



L−1 { 2 ss2+4 }+L−1 { 5s2+4 }

2 L−1{ ss2+4 }+52 L−1{ 2

s2+4 }2cos2 t+ 5

2sen2t

10. Principales aplicaciones a la Ingeniería Ambiental

La mayoría de los modelos de procesos ambientales se formulan partiendo del establecimiento de los balances de materia y energía. Como resultado de todo ello se obtienen ecuaciones algebraicas, ecuaciones diferenciales, ecuaciones integrales o una combinación de ellas. Las soluciones para estas ecuaciones requieren de la aplicación de métodos analíticos y métodos numéricos. El análisis numérico o cálculo numérico es la rama de las matemáticas que se encarga de diseñar algoritmos para, a través de números y reglas matemáticas simples, simular procesos matemáticos más complejos aplicados a procesos del mundo real.

(FUENTE: http://riunet.upv.es, ADculoDocente_4.pdf?sequence=1)



Eduardo ESPINOZA RAMOS (2008) “ANALISIS MATERMATICO IV”.5ta Edición .Perú-Lima(pg-232)

L.ARIAS LONDOÑO,J.RUA VASQUEZ(2009) “TOPICOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES”(pg-71)

L.A.NUNEZ (setiembre 2003) “METODOS MATEMATICOS 2”Apliacciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer orden-Universidad de los Andes, Merida 5101, Venezuela.

Eduardo ESPINOZA RAMOS (2008) “ANALISIS MATERMATICO IV”.5ta Edición .Perú-Lima (pg-232).

CHUMPITAZ RUIZ Victor, “ECUACIONES DIFERENCIALES”

Cesar SAAL R. , “ECUACIONES DIFERENCIALES” teoría y problemas resueltos para estudiantes de la UNI.

Munson Young Okiishi-1999 “Fundamentos de mecánica de fluidos”- Editorial Limusa S.A –MEXICO pag.318

Ralhp PALMAR AGNOW (1968) “ECUACIONES DIFERENCIALES” .2da edicion .Union Grafica S.A. (pg .97)

R.QUINTANA DIAZ ,D.INDIGOYEN RAMIREZ (2013) “APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES A LA INGENIERIA DE ALIMENTOS” .primera edicion. Huancayo –Peru (pg.79 - 112)

http://riunet.upv.es/bitstream/handle/10251/29926/Art%C3%ADculoDocente_4.pdf?sequence=1

BIBLIOGRAFÍA

ecuaciones diferenciales

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