ECUACIONES DIFERENCIALES

Una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen derivadas y/o diferenciales de una o más funciones.

Las ecuaciones diferenciales se dividen en: Ecuaciones diferenciales ordinarias: aquellas

que contienen derivadas respecto a una sola variable independiente.

Ecuaciones en derivadas parciales: aquellas que contienen derivadas respecto a dos o más variables.

¿Qué son las ecuaciones diferenciales?

Orden:Orden de una ecuación diferencial es el de la

derivada mas alta contenida en ella.

Grado:Grado de una ecuación diferencial es la

potencia a la que está elevada la derivada mas alta, siempre y cuando la ecuación diferencial esté dada en notación polinomial.

¿A qué se le llama orden y grado?

La ecuacion diferencial contiene derivadas de

ordinarias una o mas variables dependientes con

respecto a una sola variable independiente.

TIPO

La ecuacion diferencial contiene derivadas

parciales parciales de una o mas variables depenientes

con respecto a dos o mas variables

independientes.

Clasificación de grado y tipos de grado y de orden

primer orden F(x, y, y’=0)

segundo orden F(x, y, y’, y’’=0) Orden tercer orden F(x, y, y’’, y’’’=0) … … orden n F(x, y, y’…yn=0)

Orden

a) La variable dependiente y y todas sus derivadas son de 1° grado Lineales b) Cada coeficiente de y sus derivadas depende solamente de la variable Grado independiente x (puede ser constante).

No lineales Las que no cumplen las condiciones anteriores.

Grado

Solución de una ecuación diferencial es una función que no contiene derivadas y que satisface a dicha ecuación; es decir, al sustituir la función y sus derivadas en la ec’n diferencial resulta una identidad.

Solución general de una ecuación diferencial es la función que contiene una o mas constantes arbitrarias (obtenidas de las sucesivas integraciones).

Solución particular de una ec’n diferencial es la función cuyas constantes arbitrarias toman un valor específico.

Solución

Geometricamente la solución general representa una familia de curvas.

Una Interpretación Geométrica Constructiva Para las ecuaciones diferenciales de primer orden que involucran

una expresión algebraica tal que pueda eventualmente permitir el despeje de la primera derivada de la variable dependiente, contamos con una interpretación geométrica muy útil: la pendiente de la recta tangente a la curva solución. Una vez hechas las manipulaciones que sean necesarias para el despeje descrito, la expresión de las pendientes en todos los puntos donde tenga sentido la solución se ajustarán a una función de las coordenadas del punto en estudio.

Una buena aproximación al valor del incremento de la variable dependiente (usada ya por Euler) consiste en calcular el producto de la función en el punto particular por el incremento de la variable independiente. Esta idea se rescata en la construcción con Cabri- Géomètre de un tramo de la recta tangente cuya pendiente está dada por la función f(x, y).

Interpretación Geométrica

Dos familias uniparamétricas de curvasG1(x, y, c1) = 0, G2 (x, y, c2) = 0, se dicen que son trayectorias

ortogonales, si todas las curvas de una familia cortan perpendicularmente a todas las curvas de la otra familia.

El método para calcular la familia de trayectorias ortogonales a la familia uniparamétrica G (x, y, c) = 0 consiste en encontrar, en primer lugar, la ecuación diferencial asociada a la familia y' = f (x, y) y, a continuación, plantear y resolver la ecuación asociada a la familia ortogonal que vendrá dada por y' = -1 / f (x, y)

Nota: Es normal, en este tipo de ejercicios, el que una o ambas familias de curvas vengan dadas en su forma implícita. Para la representación gráfica de una curva dada en su forma implícita necesitamos cargar, previamente, la librería

Trayectorias ortogonales

Isoclinas y campos de direcciones La ecuación y=c representa una familia a un parámetro de líneas horizontales. En general, cualquier miembro de la familia f(x, y)=c se llama isoclina, que literalmente significa curva a lo largo de la cual la inclinación de las tangentes es igual. Cuando se hace variar el parámetro c, obtenemos un conjunto de isoclinas en que los elementos lineales se construyen adecuadamente. La totalidad de esos elementos lineales se llama de diversos modos: campo de direcciones, campo direccional, campo de pendientes o campo de elementos lineales de la ecuación diferencial dyldx=f(x, y)..

Campos Direccionales

http://books.google.com.mx/books?id=fKAZmeIP0bAC&printsec=frontcover&dq=ecuaciones+diferenciales&source=bl&ots=IHEId4a584&sig=ztqNEu5qGivFh20FLXoJesizic0&hl=es&ei=ZJp1S9GNM4iusgOJg53LCA&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=4&ved=0CBgQ6AEwAw#v=onepage&q=&f=false

http://yaqui.mxl.uabc.mx/~larredondo/Documentacion/SandovalCaceres.pdf

http://www.fisica.ru/dfmg/teacher/archivos/P04EDO.pdf

http://mazinger.sisib.uchile.cl/repositorio/ap/ciencias_quimicas_y_farmaceuticas/apmat4d/09a.html

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