ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

ECUACIONES DIFERENCIALES DE VARIABLES SEPARABLES

Ejemplo1:

Hallar la solución general de la ecuación diferencial: x dx + y dy =0

Se trata de una ecuación diferencial con variables separables, pues puede escribirse en la forma: y dy = - x dx.

Su solución general, en forma implícita, será: x2 + y2 = C donde habrá de ser C > 0 para que se trate de solución real, no simplemente de solución formal.

Ejemplo 2:

Hallar la solución general de la ecuación diferencial:

También se trata de una ecuación diferencial con variables separables, pues puede escribirse en la forma: 3 y2 dy = (2 x –1) dx.Integrando ambos miembros, su solución general será: y3 = x2 – x + c.

Ejemplo 3:

Solución general de (1- y) dx + (x+3) dy = 0. En particular hallar la solución tal que y(-1) =0

Separando variables: . E integrando ambos miembros:

Por tanto : . Luego : y-1 = C1 (x+3)

Podemos por tanto escribir: y = 1 +k (x + 3) k 0

En el proceso de separar variables, se han perdido las soluciones x = -3 e y = 1.

Luego la solución general esta formada por :

y = 1 +k (x + 3), k y la recta: x = -3.

La solución particular buscada es:

Ejemplo 4:

Se sabe que la velocidad de desintegración radiactiva es proporcional a la cantidad x de la sustancia que queda aún sin desintegrar. Hallar x en función del tiempo t desde que comienza el proceso, suponiendo que para t = 0 es x(0) = xo .

La ecuación diferencial del proceso es : la constante de

proporcionalidad, no aportada en el enunciado y que se supone conocida. El signo negativo indica que x decrece al aumentar la t.

Separando variables :

Como para t = 0 es x = xo, resulta : x = x0 e- k t.

Ejemplo 5.

La razón de enfriamiento de un cuerpo, es proporcional a la diferencia entre su temperatura y la del medio ambiente. Si una cierta barra de acero tiene una temperatura de 1230 o y se enfría a 1030 o en 10 minutos, cuando la temperatura del ambiente es de 30 o ¿ cual es la expresión de la temperatura de la barra en función del tiempo?.

Sea T(t) la temperatura en grados centígrados en un instante t (medida desde el momento en que la barra a 1230º es colocada en un ambiente a 30º). Se supondrá en lo sucesivo que el tiempo t se mide en minutos.

La ecuación diferencial a la que satisface T(t) será: ,

k>0donde k es la constante de proporcionalidad, no aportada en el enunciado, que a cambio proporciona el resultado de una medida experimental (a los 10 minutos la barra está a 1030 º ). El signo negativo indica que la temperatura decrece al aumentar t.

Separando las variables en la ecuación:

E integrando, teniendo en cuenta lo visto en el Ejemplo 4-b : , es decir: .

Aplicando ahora la condición inicial, se obtiene la constante de integración:T(0) = 1230º 1230 = 30 + C C = 1200 .

Luego: .

El resultado de la medida experimental permitirá hallar el valor de la constante k de

proporcionalidad: T(10) = 1030º 1030 = 30 + 1200 e-10 k

Por tanto, la función buscada es: donde t está en minutos.

Ejemplo 6..- Determine la solución general de la ecuación

dividiendo entre se obtiene

integrando término a término

se tiene

después de simplificar se tiene la solución en forma implícita

Ejemplo 7. Determine la solución general y la curva particular que pasa por el punto de la ecuación diferencial

dividir por para obtener

integrando se llega a

sustituyendo el punto en esta solución obtenemos

La solución particular que pasa por el punto es por tanto

Ejemplo 8. Hallar la solución particular de la ecuación que satisface la condición inicial .

después de separar las variables la ecuación se escribe

integrando se obtiene la solución general

haciendo se tiene

la solución particular resulta

y en forma explícita se escribe

Ejemplo 9. Hallar la solución particular de la ecuación que satisface

las condiciones iniciales .

Haciendo se obtiene

La solución requerida es

Problema.- Hallar una curva que pase por el punto de modo que la pendiente de la tangente en cualquiera de sus puntos sea igual a la ordenada del punto, aumentada en 3 unidades.

la curva debe pasar por el punto entonces

que en forma explícita se escribe

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS REDUCIBLES A VARIABLE SEPARABLE

12. Ejemplo d: Resolver la ecuación diferencial :

Sea u = x +y. Entonces

Luego:

Tras deshacer el cambio: y = tg (x + C) – x

Ejemplos

1.- Resolver la ecuación diferencial

Haciendo la sustitución se obtiene y de ahí . Sustituyendo en la ecuación inicial

de donde

separando las variables e integrando

Para integrar el primer miembro se hace la sustitución

transformándose en

es decir,

Haciendo se obtiene la solución en forma implícita

2.- Resolver la ecuación diferencial

Se escribe en la forma normal

haciendo

sustituyendo, y en la ecuación en la forma normal, se tiene

separando las variables

e integrando

se tiene la solución

volviendo a las variables originales

ECUACIONES HOMOGÉNEASEjemplo 2:

Solución general de la ecuación diferencial: (x2 – y2) dx +2 x y dy = 0

Es evidentemente una ecuación homogénea. Tomamos como nueva

función . Entonces:

Luego

Por tanto:

Deshaciendo el cambio : x2 + y2 = C x.

Se trata de un haz de circunferencias pasando por el origen y con centro en el eje OX.

Ejemplos.-

1.- Resuelva la ecuación diferencial

Se escribe en la forma

y se comprueba que es homogénea, haciendo se tiene

la ecuación se transforma en

separando las variables

la solución general se escribe

Eliminando logaritmos

Sustituyendo y simplificando

la solución se puede escribir en forma explícita como

2.- Resolver la ecuación diferencial

Se escribe en la forma normal para comprobar que es homogénea

Haciendo , y la ecuación se convierte en

separando las variables se tiene,

e integrando

se tiene la solución

eliminando los logaritmos

sustituyendo , obtenemos

y de ahí se tiene la solución

que se puede escribir en forma explícita como

3.- Resuelva la ecuación diferencial

Se escribe en la forma

que se transforma en

separando las variables

e integrando

volviendo a las variables originales, se obtiene

que también puede escribirse en la forma

4.- Resolver la ecuación diferencial

Separando las variables e integrando se obtiene

haciendo se llega a

de donde se puede resolver para la variable dependiente

ECUACIONES DIFERENCIALES REDUCIBLES A HOMOGENEAS

15. Ejemplo 1.

Solución general de la ecuación diferencial: ( x- 4y - 9) dx + (4x + y - 2) dy = 0

La ecuación es: reducible a homogénea.

Solución del sistema

Transformación: Nueva ecuación:

En esta ecuación homogénea, se hace v = u z.

Entonces : . Luego:

Es decir: .

Por tanto :

Deshaciendo el cambio z= v/u tenemos

, aplicando propiedad de la suma de logaritmos

Deshaciendo el cambio v=y+2 y u=x-1 tenemos

Que también se puede escribir como:

Y la solución de la ecuación dada será:

Ejemplo 1.- Resolver la ecuación diferencial

En este ejemplo se tiene , por lo tanto se sugiere la transformación , donde h y k satisfacen el sistema

que tiene la solución entonces

sustituyendo en la ecuación original tenemos

haciendo , y la ecuación se transforma en

separando las variables e integrando

sustituyendo

haciendo y

se tiene finalmente

Ejemplo 2.- Resolver la ecuación

Se verifica que , entonces se resuelve el sistema

que tiene solución ; se hace , , , en la ecuación original para obtener

haciendo , y la ecuación se transforma en

ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS

Ejemplo.- Demuestre que la ecuación diferencial

es exacta y determine la solución general.

Se comprueba que es exacta, entonces

Como se tiene

de donde se obtiene

e integrando

No añadimos constante de integración dado que es cualquier función tal que

la función está totalmente determinada y la solución general se

escribe

Ejemplo.- Resolver la ecuación diferencial

Se cumple que entonces

Ejemplo.- Resolver la ecuación diferencial

La integral general tiene la forma

FACTOR INTEGRANTE (I)

19. Ejercicio c.- Resolver la ecuación diferencial

Entonces

Multiplicando la ecuación por el factor integrante y reacomodando la expresión se tiene

Resolviendo la ecuación

19. Ejercicio a.- Resolver la ecuación diferencial

,

al aplicar el factor se obtiene la ecuación

la cual se puede verificar que es una ecuación diferencial exacta y puede escribirse como

FACTOR INTEGRANTE (II)

20. Ejercicio a.- Resolver la ecuación diferencial

Entonces ; aplicando el factor a la ecuación inicial, se obtiene la ecuación diferencial exacta

Veamos:

Resolviendo la ecuación

ECUACIONES LINEALES

Ejercicio h.- Resuelva la ecuación diferencial lineal

Determinamos el factor integrante

Aplicamos la fórmula, para determinar la solución

De donde la solución viene dada por

Ejercicio e.- Resuelva la ecuación diferencial lineal

Dividimos todos los términos por Cosx: (1)

Integramos la ecuación homogénea correspondiente

Haciendo variar el parámetro C respecto a x, tenemos:

De donde

Reemplazando en (1) tenemos:

de donde o

Luego C(x) = Tanx +C. Por lo tanto la solución es

ECUACIÓN DE BERNOULLI

Ejercicio d.- Resolver la ecuación diferencial de Bernoulli

Primeramente la escribimos como

Dividiendo todos los términos por y4:

Haciendo se tiene

al sustituir en la ecuación de Bernoulli, la ecuación se transforma en la ecuación lineal

(1)

Resolviendo la ecuación homogénea: ;

Variando el parámetro C, respecto a x:

Reemplazando en la ecuación (1), tenemos:

Luego , de donde

Integrando

De donde

Recuperando la variable y:

La solución de la ecuación de Bernoulli se escribe

Aplicando la condición inicial , tenemos: C=49/5

Luego la solución es