ecuaciones diferenciales
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algunos ejercicios resueltos de ecuaciones diferenciales de matematicas 4TRANSCRIPT
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ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
ECUACIONES DIFERENCIALES DE VARIABLES SEPARABLES
Ejemplo1:
Hallar la solución general de la ecuación diferencial: x dx + y dy =0
Se trata de una ecuación diferencial con variables separables, pues puede escribirse en la forma: y dy = - x dx.
Su solución general, en forma implícita, será: x2 + y2 = C donde habrá de ser C > 0 para que se trate de solución real, no simplemente de solución formal.
Ejemplo 2:
Hallar la solución general de la ecuación diferencial:
También se trata de una ecuación diferencial con variables separables, pues puede escribirse en la forma: 3 y2 dy = (2 x –1) dx.Integrando ambos miembros, su solución general será: y3 = x2 – x + c.
Ejemplo 3:
Solución general de (1- y) dx + (x+3) dy = 0. En particular hallar la solución tal que y(-1) =0
Separando variables: . E integrando ambos miembros:
Por tanto : . Luego : y-1 = C1 (x+3)
Podemos por tanto escribir: y = 1 +k (x + 3) k 0
En el proceso de separar variables, se han perdido las soluciones x = -3 e y = 1.
Luego la solución general esta formada por :
y = 1 +k (x + 3), k y la recta: x = -3.
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La solución particular buscada es:
Ejemplo 4:
Se sabe que la velocidad de desintegración radiactiva es proporcional a la cantidad x de la sustancia que queda aún sin desintegrar. Hallar x en función del tiempo t desde que comienza el proceso, suponiendo que para t = 0 es x(0) = xo .
La ecuación diferencial del proceso es : la constante de
proporcionalidad, no aportada en el enunciado y que se supone conocida. El signo negativo indica que x decrece al aumentar la t.
Separando variables :
Como para t = 0 es x = xo, resulta : x = x0 e- k t.
Ejemplo 5.
La razón de enfriamiento de un cuerpo, es proporcional a la diferencia entre su temperatura y la del medio ambiente. Si una cierta barra de acero tiene una temperatura de 1230 o y se enfría a 1030 o en 10 minutos, cuando la temperatura del ambiente es de 30 o ¿ cual es la expresión de la temperatura de la barra en función del tiempo?.
Sea T(t) la temperatura en grados centígrados en un instante t (medida desde el momento en que la barra a 1230º es colocada en un ambiente a 30º). Se supondrá en lo sucesivo que el tiempo t se mide en minutos.
La ecuación diferencial a la que satisface T(t) será: ,
k>0donde k es la constante de proporcionalidad, no aportada en el enunciado, que a cambio proporciona el resultado de una medida experimental (a los 10 minutos la barra está a 1030 º ). El signo negativo indica que la temperatura decrece al aumentar t.
Separando las variables en la ecuación:
E integrando, teniendo en cuenta lo visto en el Ejemplo 4-b : , es decir: .
Aplicando ahora la condición inicial, se obtiene la constante de integración:T(0) = 1230º 1230 = 30 + C C = 1200 .
Luego: .
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El resultado de la medida experimental permitirá hallar el valor de la constante k de
proporcionalidad: T(10) = 1030º 1030 = 30 + 1200 e-10 k
Por tanto, la función buscada es: donde t está en minutos.
Ejemplo 6..- Determine la solución general de la ecuación
dividiendo entre se obtiene
integrando término a término
se tiene
después de simplificar se tiene la solución en forma implícita
Ejemplo 7. Determine la solución general y la curva particular que pasa por el punto de la ecuación diferencial
dividir por para obtener
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integrando se llega a
sustituyendo el punto en esta solución obtenemos
La solución particular que pasa por el punto es por tanto
Ejemplo 8. Hallar la solución particular de la ecuación que satisface la condición inicial .
después de separar las variables la ecuación se escribe
integrando se obtiene la solución general
haciendo se tiene
la solución particular resulta
y en forma explícita se escribe
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Ejemplo 9. Hallar la solución particular de la ecuación que satisface
las condiciones iniciales .
Haciendo se obtiene
La solución requerida es
Problema.- Hallar una curva que pase por el punto de modo que la pendiente de la tangente en cualquiera de sus puntos sea igual a la ordenada del punto, aumentada en 3 unidades.
la curva debe pasar por el punto entonces
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que en forma explícita se escribe
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS REDUCIBLES A VARIABLE SEPARABLE
12. Ejemplo d: Resolver la ecuación diferencial :
Sea u = x +y. Entonces
Luego:
Tras deshacer el cambio: y = tg (x + C) – x
Ejemplos
1.- Resolver la ecuación diferencial
Haciendo la sustitución se obtiene y de ahí . Sustituyendo en la ecuación inicial
de donde
separando las variables e integrando
Para integrar el primer miembro se hace la sustitución
transformándose en
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es decir,
Haciendo se obtiene la solución en forma implícita
2.- Resolver la ecuación diferencial
Se escribe en la forma normal
haciendo
sustituyendo, y en la ecuación en la forma normal, se tiene
separando las variables
e integrando
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se tiene la solución
volviendo a las variables originales
ECUACIONES HOMOGÉNEASEjemplo 2:
Solución general de la ecuación diferencial: (x2 – y2) dx +2 x y dy = 0
Es evidentemente una ecuación homogénea. Tomamos como nueva
función . Entonces:
Luego
Por tanto:
Deshaciendo el cambio : x2 + y2 = C x.
Se trata de un haz de circunferencias pasando por el origen y con centro en el eje OX.
Ejemplos.-
1.- Resuelva la ecuación diferencial
Se escribe en la forma
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y se comprueba que es homogénea, haciendo se tiene
la ecuación se transforma en
separando las variables
la solución general se escribe
Eliminando logaritmos
Sustituyendo y simplificando
la solución se puede escribir en forma explícita como
2.- Resolver la ecuación diferencial
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Se escribe en la forma normal para comprobar que es homogénea
Haciendo , y la ecuación se convierte en
separando las variables se tiene,
e integrando
se tiene la solución
eliminando los logaritmos
sustituyendo , obtenemos
y de ahí se tiene la solución
que se puede escribir en forma explícita como
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3.- Resuelva la ecuación diferencial
Se escribe en la forma
que se transforma en
separando las variables
e integrando
volviendo a las variables originales, se obtiene
que también puede escribirse en la forma
4.- Resolver la ecuación diferencial
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Separando las variables e integrando se obtiene
haciendo se llega a
de donde se puede resolver para la variable dependiente
ECUACIONES DIFERENCIALES REDUCIBLES A HOMOGENEAS
15. Ejemplo 1.
Solución general de la ecuación diferencial: ( x- 4y - 9) dx + (4x + y - 2) dy = 0
La ecuación es: reducible a homogénea.
Solución del sistema
Transformación: Nueva ecuación:
En esta ecuación homogénea, se hace v = u z.
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Entonces : . Luego:
Es decir: .
Por tanto :
Deshaciendo el cambio z= v/u tenemos
, aplicando propiedad de la suma de logaritmos
Deshaciendo el cambio v=y+2 y u=x-1 tenemos
Que también se puede escribir como:
Y la solución de la ecuación dada será:
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Ejemplo 1.- Resolver la ecuación diferencial
En este ejemplo se tiene , por lo tanto se sugiere la transformación , donde h y k satisfacen el sistema
que tiene la solución entonces
sustituyendo en la ecuación original tenemos
haciendo , y la ecuación se transforma en
separando las variables e integrando
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sustituyendo
haciendo y
se tiene finalmente
Ejemplo 2.- Resolver la ecuación
Se verifica que , entonces se resuelve el sistema
que tiene solución ; se hace , , , en la ecuación original para obtener
haciendo , y la ecuación se transforma en
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ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS
Ejemplo.- Demuestre que la ecuación diferencial
es exacta y determine la solución general.
Se comprueba que es exacta, entonces
Como se tiene
de donde se obtiene
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e integrando
No añadimos constante de integración dado que es cualquier función tal que
la función está totalmente determinada y la solución general se
escribe
Ejemplo.- Resolver la ecuación diferencial
Se cumple que entonces
Ejemplo.- Resolver la ecuación diferencial
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La integral general tiene la forma
FACTOR INTEGRANTE (I)
19. Ejercicio c.- Resolver la ecuación diferencial
Entonces
Multiplicando la ecuación por el factor integrante y reacomodando la expresión se tiene
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Resolviendo la ecuación
19. Ejercicio a.- Resolver la ecuación diferencial
,
al aplicar el factor se obtiene la ecuación
la cual se puede verificar que es una ecuación diferencial exacta y puede escribirse como
FACTOR INTEGRANTE (II)
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20. Ejercicio a.- Resolver la ecuación diferencial
Entonces ; aplicando el factor a la ecuación inicial, se obtiene la ecuación diferencial exacta
Veamos:
Resolviendo la ecuación
ECUACIONES LINEALES
Ejercicio h.- Resuelva la ecuación diferencial lineal
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Determinamos el factor integrante
Aplicamos la fórmula, para determinar la solución
De donde la solución viene dada por
Ejercicio e.- Resuelva la ecuación diferencial lineal
Dividimos todos los términos por Cosx: (1)
Integramos la ecuación homogénea correspondiente
Haciendo variar el parámetro C respecto a x, tenemos:
De donde
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Reemplazando en (1) tenemos:
de donde o
Luego C(x) = Tanx +C. Por lo tanto la solución es
ECUACIÓN DE BERNOULLI
Ejercicio d.- Resolver la ecuación diferencial de Bernoulli
Primeramente la escribimos como
Dividiendo todos los términos por y4:
Haciendo se tiene
al sustituir en la ecuación de Bernoulli, la ecuación se transforma en la ecuación lineal
(1)
Resolviendo la ecuación homogénea: ;
Variando el parámetro C, respecto a x:
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Reemplazando en la ecuación (1), tenemos:
Luego , de donde
Integrando
De donde
Recuperando la variable y:
La solución de la ecuación de Bernoulli se escribe
Aplicando la condición inicial , tenemos: C=49/5
Luego la solución es