UNIVERSIDAD NACIONAL FEDERICO VILLARREALFACULTAD DE INGENIERIA INDUSTRIAL Y DE SISTEMASESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA DE SISTEMAS

ECUACIONES DIFERENCIALESEJERCICIOS PROPUESTOSASIGNATURA: ECUACIONES DIFERENCIALESPROFESOR DE LA ASIGNATURA: ING. CANO ESPADAVerifique si la funcin dada es solucin de la ecuacin diferencial planteada:1) ( 1 x ) y 2 = x 3; 2 x 3 y = y ( y 2 + 3 x 2 )2) y = C 1 x + C 2 e x; ( x 1 ) y x y + y = 03) y = e arc sen c x; x y = y tg ln y4) ; X = y + arc sen y x = t + arc sen t

y = 5) y = ; y - 2 x y = 16) y = ; x y = y + x sen xHallar el valor de r, para que las funciones dadas sean soluciones de las ecuaciones diferenciales.7) y = x r;x y + y = 18) y = e r x; 2 y + y - 5 y + 2 y = 09) Z = e r x + y ;Z x x = 4 Z y y10) Z = x e r y ;X Z y x Z y + Z x = 1Hallar las ecuaciones diferenciales11) x 2 + y 2 = C 2 12) x 3 = C ( x 2 y 2 )13) y 2 + 14) Ln (a es un parmetro)15) y = a x 3 + b x 2 + c x16) y = C 1 e 2 x + C 2 e x + C 3Determinar la ecuacin diferencial con las condiciones dadas:17) De todas las tangentes a la parbola:x 2 = 2 y + 118) De todas las circunferencias del plano x o y19) De todas las circunferencias de centro en la parbola y 2 = 4 x y tangente al eje x.20) Una partcula de masa m se mueve a lo largo de una lnea recta (el eje x) estando sujeta a una fuerza resistente proporcional a su velocidad.21) La poblacin P de una ciudad aumenta a una velocidad proporcional a la poblacin y a la diferencia entre 2000000 y la poblacin.22) Para cierta sustancia la velocidad de cambio de presin de vapor (p) respecto a la temperatura (T) es proporcional a la presin de vapor e inversamente proporcional al cuadrado de la temperatura.23) La diferencia de potencial E a travs de un elemento de inductancia L es igual al producto de L por la velocidad de cambio de la corriente i en la inductancia.RESOLVER:24) Sea y = r y , en - , r constante.

Demostrar que si es una solucin cualquiera, y entonces

25) Si y + 5 y = 2

a) Demostrar que la funcin es una solucin de la ecuacin.

b)Si es la solucin de la ecuacin diferencial, hallar la solucin particular s .

c)Hallar , tal que

Para que valores de r tienen soluciones de la forma cada una de las ecuaciones diferenciales.26)y + 2 y = 0 27)y + y + y = 028)y - 3 y + 2 y = 0 29)t 2 y + 4 t y + 2 y = 0

30) Mostrar que es solucin de la ecuacin y - 2 y =0.

31) Mostrar que es solucin de y + y 2=0 para t > 0 , pero no es solucin de la ecuacin diferencial para cualquier valor de c.

32) Si es solucin de la ecuacin y si es una solucin de . Mostrar que es tambin solucin de esta ultima ecuacin para cualquier valor de c.

33) Considrese la ecuacin

Donde y son constantes positivas y b es cualquier nmero real. Determine el comportamiento de y cuando

34) Se tiene el problema con valor inicial , , donde:

; 0 t 110

; t > 1

(Sugerencia: Resolver la ecuacin diferencial para 0 < t < 1 y para t > 1.

Entonces igualar las soluciones a fin de que sea continua en x = 1. Ntese que es imposible hacer ambas: y continuas en x = 1).35) Hallar la curva de la familia

, Si , Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:

36)

37)

38)

39)

40)

41)

42)

43)

44)

45)

46)

47)

48)

49)

50)

51)

52)

53)

54)arctg

55)

56)

57)

58)

59)Si ; hallar la condicin que deben satisfacer b y c para que la ecuacin sea exacta.

60)

61)

62)

63)

64)

65)

66)

67)

68)

69)

70)

71)

72)

Resolver cada una de las ecuaciones diferenciales haciendo el cambio de variable indicado.

73)Hacer u = x + y

74)

Hacer

75)

76)

Hacer 77)Determine la ecuacin de una curva que pasa por el punto (1,1) con la propiedad de que el intercepto en el eje x de su recta tangente es igual al intercepto en el eje y de su recta normal.78)Un punto se mueve en el primer cuadrante del plano x y de modo que la recta tangente a su trayectoria forma con los ejes coordenados un tringulo cuya rea es igual a la constante a2. Hallar la ecuacin de la trayectoria.79)Hallar la ecuacin de la curva de manera que la longitud de la curva desde el origen al punto variable P (x , y) es igual al doble de la raz cuadrada de la abscisa del punto.

80)En cada punto P (x , y) de una curva la subtangente es proporcional al cuadrado de la abscisa. Hallar la curva si pasa tambin por el punto (1 , e ).81)Hallar la familia de curvas para que la longitud de la parte de la tangente entre el punto de contacto P(x , y) y el eje y es igual al segmento interceptado en y por la tangente.

82)Hallar una curva para la cual el rea Q, limitada por la curva, el eje 0x y las dos ordenadas x = 0 , x = x sea una funcin dada de .

83)Halar la ecuacin de la curva que pasa por el punto (2,0), sabiendo que el segmento de la tangente a dicha curva comprendido entre el punto de contacto, el eje 0y tiene longitud constante e igual a 84)La normal en un punto P(x , y) de una curva corta al eje de las X en M y en N al eje de las y. Hallar la ecuacin de la curva, sabiendo que N es punto medio de PM.85)Se da un punto Q(0 , b) sobre el eje y.

Calcular la ecuacin de una curva, sabiendo que por un punto P (x , y) cualquiera de la curva, se traza una tangente a la curva, esta corta al eje 0 x en el punto R (a , 0), que equidista de Q y P. Adems la curva pasa por el punto .86)Hallar la ecuacin de la curva, sabiendo que la longitud de la tangente es igual a la distancia desde el punto de interseccin de esta tangente con el eje 0 x hasta el punto M (0 , a) sobre el eje 0 y .87)Un torpedo se desplaza a una velocidad de 60 millas por hora y en el momento en que se agota el combustible, si el agua se opone a su movimiento con una fuerza proporcional a la velocidad y si en una milla de recorrido reduce su velocidad a 30 millas por hora. A qu distancia se detendr?Rpta.: 2 millas88)Un barco que pesa 48000 toneladas parte del reposo bajo el impulso de una fuerza propulsora constante de 200000 libras.

a) Hallar su velocidad como funcin del tiempo, sabiendo que la resistencia en libras es 10000 v, estando la velocidad medida en pies por segundo. b) Hallar la velocidad terminal (esto es, V cuando en millas por hora; g = 32 pies/ seg2).

Rpta.: a) b) V = 20

89)Se dispara verticalmente un proyectil desde la superficie de la tierra con una velocidad inicial de 1000 pies por segundo. Prescindiendo del efecto de la atmosfera y suponiendo la fuerza de la gravedad constante, estmese la mxima altura alcanzada por el proyectil .90)Una masa de 4 unidades tcnicas de masa se desliza sobre una superficie. El rozamiento es igual a cuatro veces la velocidad, y la masa est sometida a una fuerza de 12 sen2t libras. Hallar la velocidad en funcin de t si v = 0 cuando t = 0.

Rpta.: 91)Un hombre y su embarcacin pasan 320 lb, si la fuerza ejercida remando en la direccin del movimiento es 16 lb., y si la resistencia (en lb) al movimiento es igual al doble de la velocidad (pies / seg); hallar la velocidad 15 segundos despus de que la embarcacin haya empezado a moverse.

Rpta.: 92)Una de las ecuaciones fundamentales en circuito elctrico es:

Donde L (henrios) se denomina inductancia. R (ohmios) la resistencia, i (amperios) la corriente y E(voltios) la fuerza electromotriz o f.e.m (consideremos R y L constantes).a) Resolver cuando E ( t ) = E0 y la corriente inicial es iob) Resolver cuando L = 3 henrios, R = 15 ohmios, E ( t ) es la onda sinusoidal de amplitud 110 voltios, ciclo 60, e i = 0 para t = 0

Rpta: a)

b) 93)Si en un circuito contiene una resistencia R, un condensador de capacidad C en serie y un f.e.m, E, la carga del condensador q est dado por:

Si R = 10 ohmios, C = 10-3 faradios y E ( t ) = 100 son 120 t voltios. Hallar:a) q , suponiendo que q = 0 para t = 0.b) Emplear para hallar iSuponiendo que i = 5 amperios cuando t=0Rpta:

a)

b)

94)Supongamos quela oferta y la demanda estn dadas en trminos de precios p por S = 60 + 2 p , D = 120 - 3p, respectivamente, la constante de proporcionalidad es = 4.

Determine el precio en cualquier tiempo t > 0 asumiendo que p = 8 en t = 0 .95)La oferta y la demanda de un cierto bien est dado por miles de unidades, respectivamente, por D = 120 + p ( t ) 5 p ( t ) S = 60 2 p ( t ) 3 p ( t ) . En t = 0 el precio del bien es 5 unidades.a) Encontrar el precio en cualquier tiempo posterior y obtener su grafica.b) Determine si hay estabilidad de precio y el precio de equilibrio si existe.

96)Una empresa determina que la razn de cambio de la utilidad neta mensual P en funcin del gasto publicitario mensual X , es proporcional a la diferencia entre una cantidad fija S/. 11000 y P ; esto es es proporcional a 11000 P. Adems, si no se gasta en publicidad mensual, la utilidad neta mensual es de S/1000, si se gastaron S/.100 en publicidad mensual, la utilidad neta mensual es S/.6000. Cul ser la utilidad neta mensual si se gastaron S/.200 en publicidad cada mes?

Resolver:

97)

98)

99)

100)

101)

102)

103) + ey

104)

105)

106) Demostrar que las siguientes funciones es solucin de las ecuaciones diferenciales indicadas.

107)

108)

109) ( X > 0 )

110)

Integrar las ecuaciones

111) y = x ex, y (0) = y (0) = y (0) = 0112) yIV = x113) y = x lnx , y (1) = y (1) = y (1) = 0114) y = x + cos x

115)

116)

117)

118)

119)

120)

121)

122)

123)

124) 125) Hallar una curva que pase por el origen de coordenadas, de modo que el rea del triangulo formado por la tangente a la curva en uno de sus puntos, la ordenada del mismo punto y el eje 0x sea proporcional del rea del trapecio mixtilneo formado por la curva, el eje 0x y la ordenada de este punto.

Rpta: C X = y 2k-1

126) Un cuerpo de masa m cae desde una altura con la velocidad V. Durante la cada, el cuerpo experimenta una resistencia que es proporcional al cuadrado de la velocidad. Hallar la ley del movimiento del cuerpo.

Rpta:

Averiguar si las funciones dadas son linealmente independiente en su campo de definicin:127) 2 , x128) 1 , 2 , x , x2129) ex , x ex , x2 ex130) 1 , sen x , cos 2x131) 4 , sen2 x , cos2 x132) 1, sen2x,(senx cosx)2133) loga x , loga x2 ,loga x3 (x > 0)134) 1 , arc sen x , arc cos x

135) Hallar el Wronskiano de los sistemas de funciones indicadas

136) 137)

138) 2 , senx , sen2x139) 140) x sen x , x cos x141) 1 , sen2 x, cos2 x142) , arc sen x , arc cos x

Demostrar que los sistemas son linealmente independientes143) Lnx , x Lnx , x2 Lnx

144)

145) Formar la ecuacin diferencial, dada la solucin:

146)

147)

148)

149)

Averiguar si la funcin dada es solucin de la ecuacin diferencial.

150)

151)

152)

Resolver:

153)

154)

155)

156)

Determinar la ecuacin diferencial homognea, la forma de solucin particular de la ecuacin diferencial lineal no homognea si se conocen las races de su ecuacin caracterstica y al segundo miembro f(x):157) r 1 = 0 , r 2 = 1 , f(x) = a x2 + b x + c158) r 1 = 1 , r 2 = 2, f(x) = e-x (ax + b)159) r 1 = r 2 = - 1, f(x) = e-x (ax + b)160) r 1 = - i , r 2 = i, f(x) = sen x + cos x161) r 1 = - 1 - i , r 2 = - 1 + i, f(x) = e-x (a senx + b cosx)162) r 1 = 0 , r 2 = 2 , r 3 = 3, f(x) = a e-x + b ex163) r 1 = i , r 2 = - i , r 3 = 1, f(x) = sen x + cos x

164) r 1 = r 2 = , f(x) = (a x2 + b x + c) e x , 165) r 1 = 3 2 i , r 2 = 3 + 2 i , r 3 = r 4 = 0 , f(x) = (sen2x + cos2x) e3x

Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:

166)

167)

168)

169)

170)

171)

172)

173)

174)

175)

176)

177)

178)

179)

180)

181)

182)

183)

184)

185)

186)

187)

188)

189)

190) 191) Una partcula se mueve sobre una recta de modo que el producto de su velocidad y aceleracin es constante, digamos 2m2/seg3. En el instante t = 0, su desplazamiento desde el origen es 5m y su velocidad es cero. Hallar su posicin y velocidad cuando t = 9 seg.192) Hallar la curva en el plano XY que pasa por el punto (1 , 1), se interseca con la recta y = x a ngulo recto y satisface y x + 2 y = 0.Rpta: XY = 1

193) Hallar la curva que pasa por el punto ( 0,0 ) para la que y la tangente en ( 0,0 ) es el eje x.Rpta.: y = x4.194) Hallar una curva que pasa por el origen de coordenadas de tal manera que el rea del tringulo formado por la tangente a la curva en uno de sus puntos, la ordenada del mismo punto y el eje x , sea proporcional al rea bajo dicha curva , acotada por el eje x y la ordenada de este punto. (Sugerencia: el punto

De interseccin de la tangente con el eje x es : )

Rpta.:

195) Hallar el rea bajo la curva y sobre el eje x , sabiendo que esta curva es tangente a la recta y = 4 en x = 0 y satisface la siguiente ecuacin diferencial: Rpta.: y = 4 x2 y el rea es 32/3 u2

196) Hallar la longitud de la curva y = f(x) desde x = 0 hasta x = 1, sabiendo que pasa por el punto ( 0,1 ) y que .Rpta.: 11752197) Una partcula se mueve a lo largo del eje x segn la ecuacin:

A partir de un punto a 2m. a la derecha del origen, la partcula en el tiempo t = 0 seg. se dispara hacia la izquierda con una velocidad de V = 12m / seg.Hallar:a) El tiempo en que la partcula pasa por el origenb) El desplazamiento mximo negativoc) La velocidad mxima (positiva)Rpta.: a) t = Ln2 = 0,6931 seg. b) cuando v = 0, x = -0,01024 m.

c) Si V = 0,01677 m/seg.

198) Una partcula se mueve a lo largo del eje X de acuerdo con la ley: Si esta partcula empieza su movimiento en x = 0, con una velocidad inicial de 6 m/seg. hacia la izquierda . Hallar:a) X en funcin de t.b) Los tiempos en que se producen las paradas.Rpta.: a) X = - 2 e-2t sen 3t

b)

199) Una cadena de 6 m. de longitud se desliza desde una mesa sin razonamiento. Si el movimiento comienza desde el momento en que se cuelga 1m. de la cadena Cunto tiempo tardar en deslizarse toda la cadena?

.

Rpta.: 200) Un cuerpo de masa m se desliza sobre un plano horizontal a causa de la accin de un golpe que ha originado una velocidad V0. sobre el cuerpo acta la fuerza del rozamiento igual a -Km. Hallar la distancia que es capaz de recorrer el cuerpo.

.Rpta.: 201) Un condensador de 10-3 faradios est en serie con una f.e.m de 20 voltios y un inductor de 0,4 henrios.En t = 0 , Q = 0 e I = 0. a) Encuentre la frecuencia natural y el periodo de las oscilaciones elctricas.b) Encuentre la carga y corriente mxima.

Rpta.: a) Perodo ciclo por seg. b) 0,04 culombios, 1 amperio.

202) Una resistencia de 50 ohmios, un condensador de 0,005 faradios, un inductor de 2 henrios estn en serie con una f.e.m de 40 voltios y el interruptor abierto. Encuentre la carga instantnea y la corriente despus de que el interruptor se cierre en t = 0 , asumiendo que a ese tiempo la carga en el condensador es 4 culombios.Rpta.:Q = 5,07 e-5t 1,27 e-20t + 0,20I = 25,4 ( e-20t - e-5t ) aproximadamente.

203) Un circuito consta de una inductancia de L = 0,5 henrios, una resistencia R = 20 ohmios, un condensador cuya capacidad es C = 0,0025 faradios y una f.e.m. E = 100 voltios. Hallar la carga y la corriente, sabiendo que en t = 0 Q = 0 e I = 0

Rpta.: I = 10 e-20t sen20t.204) Un circuito tiene L = 10 henrios, R = 90 ohmios, C = 0,005 faradios y un voltaje de E = 500 sen t. En t = 0 no hay carga en el circuito, pero si hay una corriente inicial de 0,5 amperios; hallar la carga del condensador.

Rpta.:

Resolver las siguientes ecuaciones de euler:

205)

206)

207)

208)

209)

Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones diferenciales:

210)

, X (0) = Y (0) = 1 211)

212) , ,

213)

, 214)

, 215)

, 216)

217)

218) Hallar la transformada de Laplace219) 3 t + 4 220) cos2 t221) sen ( t + )222) e-2t sen n tDemostrar que:

223)

224)

Hallar f (t) si L { f (t) } es igual a:

225) 226)

227) 228)

229) 230)

Usar el teorema de la derivada de la transformada para encontrar F(s):

231) L { t sen h3 t }Rpta.:

232) L { t5 e- t }Rpta.:

233) L { t 3cos 2 t }Rpta.:

234) L { t e- t cos h t }Rpta.: Usar el teorema de la integral de la transformada, para hallar F(s):

235) L Rpta.:

236) L Rpta.:

237) L Rpta.:

238) L Rpta.:

Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales usando transformada de Laplace

239)

240)

241)

242)

243)

244)

245)

246)

247)

248)

249)

250)