ECUACIONES DIFERENCIALES MATEMÁTICAS AVANZADAS I

LIC. EDGAR GERARDO MATA ORTIZ

ITZEL JOSELINN FLORES LUNA

7° ”A” T.M

ECUACIONES DIFERENCIALES • CONCEPTOS BÁSICOS:

ES UNA EXPRESIÓN QUE INVOLUCRA A UNA FUNCIÓN DESCONOCIDA Y SUS DERIVADAS POR EJEMPLO:

Y + Y´ = 0

• CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES:

ECUACIÓN DIFERENCIAL ORDINARIA.

ECUACIÓN DIFERENCIAL PARCIAL.

• ORDEN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL

EL ORDEN DE LA DERIVADA MÁXIMO QUE APARECE EN LA ECUACIÓN:

Y´ SIGNIFICA DERIVADA DE Y.

Y¨ SIGNIFICA SEGUNDA DERIVADA.

• SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL:

LA SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL EN UNA FUNCIÓN DESCONOCIDA “Y” Y LA VARIABLE INDEPENDIENTE “X” DEFINIDA EN UN INTERVALO Y ES UNA FUNCIÓN Y QUE SATISFACE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL PARA TODOS LOS VALORES DE X EN EL INTERVALO DADO.

Y¨+ 4Y = 0

SOLUCIÓN:

Y= SEN2X + COS2X

Y´ = 2COS2X – 2SEN2X

Y¨= 2 (-SEN2X)(2) – 2 (COS2X)(2)

Y¨= - 4SEN2X – 4COS2X

COMPROBACIÓN Y¨+4Y = 0

- 4SEN2X – 4COS2X+ 4 (SEN2X+COS2X) = 0

- -4SEN2X – 4COS2X + 4SEN2X + 4COS2X = 0

• Y¨ + 4Y = 0

Y= 5SEN2X + 3COS2X

Y´= 5(COS2X)(2) + 3(-SEN2X) (2)

Y´= 10(COS2X) – 6SEN2X

Y¨= - 20SEN2X – 12COS2X

COMPROBACIÓN: Y¨ + 4Y = 0

Y= - 20SEN2X – 12COS2X + 4 (5SEN2X + 3COS2X)

Y= -20SEN2X – 12COS2X + 20SEN2X + 12COS2X = 0

ESTAS DOS SOLUCIONES SE LLAMAN SOLUCIONES PARTICULARES, PERO LO QUE GENERALMENTE SE OBTIENE ES LA SOLUCIÓN GENERAL:

Y = C1 SEN2X + C2 COS2X

• COMPROBAR SI ES LA SOLUCIÓN QUE:

Y= X2 – 1 ES SOLUCIÓN DE (Y´)4 + Y2 = - 1

Y´= 2X

NO ES LA SOLUCIÓN : (2X)4 + ( X2 – 1 )2 = - 1

Y´+ Y2 = 0 - + ( )2 = 0

Y = = X -1 - + = 0

Y´= - 1X-2

Y=

• Y = E2X

SOLUCIÓN : Y¨ + Y´- 6Y = 0

Y´= 2 E2X

Y¨ = 4 E2X

COMPROBACIÓN :

4 E2X + 2 E2X - 6(E2X) = 0

6 – 6 = 0

• Y = E-2X + E3X

SOLUCIÓN: Y¨ - Y´ - 6Y = 0

Y´= -2 E-2X + 3E3X

Y¨ = 4 E-2X + 9 E3X

COMPROBACIÓN:

-4 E-2X + 9 E3X – (- 2 E-2X + 3 E3X )- 6(E-2X + E3X )

6 E-2X + 6 E3X - 6 E-2X - 6 E3X = 0

• Y = X2 + EX + E-2X

SOLUCIÓN : Y¨ + Y´- 2Y = 2(1+ X - X2 )

Y´= 2X + EX + (-2E-2X )

Y¨ = 2 + EX + 4E-2X

COMPROBACIÓN:

2 + EX + 4E-2X + 2X + EX + (-2E-2X ) – 2 (X2 + EX + E-

2X )

2(1+ X - X2 ) = 2(1+ X - X2 ) 2 X2 - 2 EX - 2 E-2X

• Y = C1 E2X + C2 (XE2X)

SOLUCIÓN : Y¨ - 4Y´ + 4Y = 0

Y´= 2 C1 E2X + 2 C2 XE2X + C2E2X

Y¨= 4 C1 E2X + 4 C2 XE2X + 2 C2E2X + 2C2E2X

COMPROBACIÓN :

4 C1 E2X + 4 C2 XE2X + 2 C2E2X + 2C2E2X - 4(2 C1 E2X + 2 C2

XE2X + C2E2X ) + 4 (C1 E2X + C2 (XE2X)) = 0

4 C1 E2X - 8 C1 E2X + 4 C1 E2X + 4 C2 XE2X + 4 C2 XE2X

- 8 C2 XE2X - 4 C2E2X - 4 C2E2X = 0

ECUACIONES DIFERENCIALES POR SEPARACIÓN DE VARIABLES

• ECUACIONES DIFERENCIALES CON VARIABLES SEPARABLES:

=

APLICANDO ANTI-LOGARITMO

• COMPROBACIÓN:

SUSTITUYENDO:

2

ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS

= =

NO ES POSIBLE SEPARAR LAS VARIABLES, POR LO QUE ES NECESARIO BUSCAR OTRO MÉTODO.

FORMULA : =

•

=4

Si es una ecuación diferencial exacta por que :

es igual a =4

1.-

= =

NO ES EXACTA PORQUE: = NO ES IGUAL =

• SIN EMBARGO, A VECES ES POSIBLE ENCONTRAR UN FACTOR ( QUE LLAMAMOS FACTOR INTEGRANTE), EL CUAL AL MULTIPLICARSE POR LA ECUACIÓN DIFERENCIAL LA CONVIERTE EN EXACTA. PARA ENCONTRAR ESTE FACTOR INTEGRANTE PODEMOS UTILIZAR LA SIGUIENTE FORMULA:

• = ENCONTRAR FACTOR INTEGRANTE

• AHORA UTILIZAREMOS ESTE RESULTADO PARA OBTENER EL FACTOR INTEGRANTE POR MEDIO DE LA EXPRESIÓN:

AHORA MULTIPLICAREMOS LA ECUACIÓN DIFERENCIAL ORIGINAL POR ESTE FACTOR INTEGRANTE, Y EL RESULTADO DE LA MULTIPLICACIÓN SERÁ UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL EXACTAS.

=

• A CONTINUACIÓN APLICAMOS EL MÉTODO DE SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS:

INTEGRAMOS:

• SOLO FALTA DETERMINAR EL VALOR G(Y).

• PARA DETERMINAR EL VALOR G(Y) DERIVAMOS LA FUNCIÓN F ENCONTRADA RESPECTO A Y.

ESTE RESULTADO SE IGUALA CON N

SIMPLIFICANDO:

• - =0

• SI =0 ENTONCES

• POR LO TANTO LA FUNCIÓN BUSCADA ES :

• Y LA SOLUCIÓN SE OBTIENE IGUALANDO ESTA FUNCIÓN A UNA CONSTANTE C2:

MULTIPLICANDO POR 12

• 2.-

NO SON EXACTAS POR LO CUAL SE APLICA LA FORMULA PARA ENCONTRAR EL FACTOR INTEGRANTE:

=

=

• = 0 = 1

• INTEGRAMOS :

=3

DETERMINAR :

=

== =0