ecuaciones diferenciales
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Ecuaciones Diferenciales Matemáticas Avanzadas I
Lic.: Edgar Gerardo Mata Ortiz
Michelle Pamela García Morales
7°”A” T.M
Ecuaciones Diferenciales Conceptos Básicos:
Es una expresión que involucra a una función desconocida y sus derivadas por ejemplo:
Y + y´ = 0
Clasificación de las ecuaciones Diferenciales:
Ecuación Diferencial Ordinaria.
Ecuación Diferencial Parcial.
Orden de una Ecuación Diferencial
El orden de la derivada máximo que aparece en la ecuación:
Y´ significa derivada de Y.
Y¨ significa segunda derivada.
Solución de una ecuación diferencial:
La solución de una ecuación diferencial en una función desconocida “y” y la variable independiente “x” definida en un intervalo y es una función y que satisface la ecuación diferencial para todos los valores de x en el intervalo dado.
Y¨+ 4y = 0
Solución:
Y= sen2x + cos2x
Y´ = 2cos2x – 2sen2x
Y¨= 2 (-sen2x)(2) – 2 (cos2x)(2)
Y¨= - 4sen2x – 4cos2x
Comprobación y¨+4y = 0
- 4sen2x – 4cos2x+ 4 (sen2x+cos2x) = 0
- -4sen2x – 4cos2x + 4sen2x + 4cos2x = 0
Y¨ + 4y = 0
Y= 5sen2x + 3cos2x
Y´= 5(cos2x)(2) + 3(-sen2x) (2)
Y´= 10(cos2x) – 6sen2x
Y¨= - 20sen2x – 12cos2x
Comprobación: Y¨ + 4y = 0
y= - 20sen2x – 12cos2x + 4 (5sen2x + 3cos2x)
Y= -20sen2x – 12cos2x + 20sen2x + 12cos2x = 0
Estas dos soluciones se llaman soluciones particulares, pero lo que generalmente se obtiene es la solución general:
Y = C1 sen2x + C2 cos2x
Comprobar si es la solución que:
Y= x2 – 1 es solución de (y´)4 + y2 = - 1
Y´= 2x
No es la solución : (2x)4 + ( x2 – 1 )2 = - 1
Y´+ y2 = 0 - + ( )2 = 0
Y = = x -1 - + = 0
y´= - 1x-2
Y=
Y = e2x
Solución : y¨ + y´- 6y = 0
Y´= 2 e2x
Y¨ = 4 e2x
Comprobación :
4 e2x + 2 e2x - 6(e2x) = 0
6 – 6 = 0
Y = e-2x + e3x
Solución: y¨ - y´ - 6y = 0
Y´= -2 e-2x + 3e3x
Y¨ = 4 e-2x + 9 e3x
Comprobación:
-4 e-2x + 9 e3x – (- 2 e-2x + 3 e3x )- 6(e-2x + e3x )
6 e-2x + 6 e3x - 6 e-2x - 6 e3x = 0
Y = x2 + ex + e-2x
Solución : y¨ + y´- 2y = 2(1+ x - x2 )
Y´= 2x + ex + (-2e-2x )
Y¨ = 2 + ex + 4e-2x
Comprobación:
2 + ex + 4e-2x + 2x + ex + (-2e-2x ) – 2 (x2 + ex + e-2x )
2(1+ x - x2 ) = 2(1+ x - x2 ) 2 x2 - 2 ex - 2 e-2x
Y = C1 e2x + C2 (xe2x)
Solución : y¨ - 4y´ + 4y = 0
Y´= 2 C1 e2x + 2 C2 xe2x + C2e2x
Y¨= 4 C1 e2x + 4 C2 xe2x + 2 C2e2x + 2C2e2x
Comprobación :
4 C1 e2x + 4 C2 xe2x + 2 C2e2x + 2C2e2x - 4(2 C1 e2x + 2 C2 xe2x + C2e2x ) + 4 (C1 e2x + C2 (xe2x)) = 0
4 C1 e2x - 8 C1 e2x + 4 C1 e2x + 4 C2 xe2x + 4 C2 xe2x
- 8 C2 xe2x - 4 C2e2x - 4 C2e2x = 0
Ecuaciones diferenciales por separación de variables
Ecuaciones diferenciales con variables separables:
=
Aplicando anti-logaritmo
Ecuaciones diferenciales exactas
= =
No es posible separar las variables, por lo que es necesario buscar otro método.
Formula : =
1.-
= =
No es exacta porque: = no es igual =
Sin embargo, a veces es posible encontrar un factor ( que llamamos factor integrante), el cual al multiplicarse por la ecuación diferencial la convierte en exacta. Para encontrar este factor integrante podemos utilizar la siguiente formula:
= Encontrar factor integrante
Ahora utilizaremos este resultado para obtener el factor integrante por medio de la expresión:
Ahora multiplicaremos la ecuación diferencial original por este factor integrante, y el resultado de la multiplicación será una ecuación diferencial exactas.
=
A continuación aplicamos el método de solución de ecuaciones diferenciales exactas:
Integramos:
Solo falta determinar el valor g(y).
Para determinar el valor g(y) derivamos la función f encontrada respecto a y.
Este resultado se iguala con N
Simplificando:
- =0
Si =0 entonces
Por lo tanto la función buscada es :
Y la solución se obtiene igualando esta función a una constante C2:
Multiplicando por 12