OPERADORES DIFERENCIALES

Los operadores y su aplicación forman un proceso importante en matemáticas formales. La aplicación de los operadores diferenciales a la solución de ecuaciones diferenciales lineales será el tema a tratar de estos apuntes.

OPERAR significa producir un efecto apropiado, y un OPERADOR es por supuesto el que opera.

Emplearemos la siguiente notación:

dy= y’ = Dydx

d 2 y = y’’= D2y entonces tenemos:dx2

d n y = y = Dnydxn

La letra D recibe el nombre de OPERADOR DIFERENCIAL.Empleamos la multiplicación del símbolo D para indicar una aplicación repetida de diferenciación. Por ejemplo.

d 2 y = d (d )=(D)(D) y= D2y dx2 dx (dx)

Se interpreta que indica la derivada de y.La importancia de la notación D se presenta cuando queremos expresar combinaciones lineales derivadas.

Las expresiones

a) (D2 + D)yb) 7(D3 + 7D2 – 5D)yc) (D2 – D + 8)x

representan:

a) y’’ + y’ b) y’’’ + 7y’ – 5y’c) x’’ – x’ + 8x

OPERADORES DIFERENCIALES EN ECUACIONES DIFERENCIALES

Podemos utilizar esta notación para ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES HOMOGÉNEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES. Por ejemplo:

Y’’ - 4y’- 8y = 0 La podemos escribir de la siguiente manera

(D2 – 4D – 8)y = 0

La notación recibe el nombre de NOTACIÓN OPERACIONAL. La combinación de símbolos D2 – 4D – 8 indica que una operación se puede efectuar sobre una función dada. La ecuación diferencial demanda todas las funciones y que, cuando operan mediante el operador D2 – 4D – 8, se hacen 0.

Como observamos anteriormente, la notación operacional toma gran importancia en el método de coeficientes indeterminados y en los que se emplean para la obtención de la solución de sistemas de ecuaciones diferenciales lineales. Resulta interesante comparar el operador D2 – 4D – 8 con la ecuación auxiliar m2 – 4D – 8 = 0 que se debe usar para resolver la ecuación diferencial. EL OPERADOR DIFERENCIAL y LA ECUACIÓN AUXILIAR muestran una misma forma polinomial, pero los símbolos D y m son objetos matemáticos muy diferentes. Mientras que D representa el operador de diferenciación, es una cantidad que satisface la ecuación auxiliar.

Podemos obtener una ventaja del hecho de que las formas polinomiales sean las mismas, puesto que si se tiene una ecuación diferencial en notación operacional, tal como:

(4D3 + 2D2 – 6) y = 0

es posible escribir de inmediato la ecuación auxiliar:

4m3 + 2m2 – 6 = 0 También se utiliza la notación de operadores diferenciales para las ecuaciones para ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES HOMOGÉNEAS CON COEFICIENTES VARIABLES, pero teniendo mayor cuidado debido a que presentan dificultades. El orden en el que se aplican dos operadores puede conducir a diferencias cuando intervienen coeficientes no constantes ya que en general no siempre conmutan uno con otro. Por el contrario, si se trata tan sólo de operadores con coeficientes constantes, entonces el orden en que se aplican los operadores no afecta el resultado.

EJEMPLOS

1) La ecuación diferencial

y’’’ – y’’ – 4y’ + 4y = 0la podemos expresar por medio del operador D como:

(D3 – D2 – 4D + 4) y = 0

descomponiendo en factores

(D – 1) (D – 2) (D + 2) y = 0

ahora:

(D – 1) (D – 2) (D + 2) y = (D – 1) (D – 2) ( d + 2)y dx

= (D – 1) (D – 2) ( d + 2)y dx

= (D – 1) [ ( d (dy + 2y) - 2( dy + 2y)] dx dx dx

= (D – 1) [d 2 y - 4y] d2 x

= d (d 2 y - 4y) - 1( d 2 y - 4y) dx dx2 dx2

= d 3 _ 4dy _ d 2 y + 4y dx3 dx dx2

= d 3 _ d 2 y _ 4dy + 4y dx3 dx2 dx

= y’’’ – y’’ – 4y’ + 4y =0

El orden de los factores puede ser cualquiera.

2) La expresión

(D + 1) (D - 3)y

nos indica que, en primer lugar, D –3 se aplica a y; posteriormente, se aplica a D + 1 al resultado:

(D + 1) (D - 3)y = (D + 1) (y’ - 3y) = (y’’ – 3y’) + (y’ – 3y) = y’’ – 2y – 3y

Si se invierte el orden, se tiene

(D + 1) (D - 3)y = ( D – 3) (y’ + y) = (y’’ + y’) –3 (y’+ y) = y’’ – 2y’ – 3y

En ambos casos, el resultado es el mismo. De hecho, se obtiene el mismo resultado cuando se aplica el operador D2 – 2D – 3 a y, igual que en las ecuaciones:

Y’’ – 2y’ – 3y = 0 (D2 – 2D –3)y = 0

Notar que D2 – 2D –3 es el resultado de “multiplicar”

(D + 1) (D – 3) o (D – 3) (D + 1)

mediante las reglas algebraicas usuales.

OPERACIONES CON OPERADORES

Apliquemos un operador a una función

(D2 –2D –3) x2 = 2 –2 (2x) –3X2

= 2 –4x -3X2

Factorizando el operador (D –3) (D + 1)x2= (D –3) (2x +x2)

= (2x +2x) –3 (2x +x2) = 2 – 4x - 3x2

EJEMPLOS:

D4X3=0

(D-3)e3x = 3e3x -3e3x = 0

(D2 –2D –3) 3e3x =9e3x - 6e3x - 3e3x =0

(D2 +1 ) sen x = - sen x + sen x = 0 ANULADORES

En los cuatro últimos ejemplos obtuvimos como resultado el valor 0, esto es, las funciones han sido anuladas por el operador, entonces se dice que el operador es “ANULADOR” para la función que se esta operando.

Una función dada puede tener más de una anulador. Cada uno de los operadores

D3, D4, D5, ....

Es un anulador para x2, así como lo son las combinaciones lineales de los mismos tales como:

D5 –3D3

Lo que todos estos anuladores de x2 tienen en común es que son múltiplos de D3. Por ejemplo:

D5 – 3D3 = (D2 –3) D3

Lo cual explica por qué dicho operador anula a x2

(D2 – 3)D3 x2 = (D2 –3)0 = 0

En forma similar, el operador D2 – 2D –3 anula a e3x, debido a que contiene a D-3 como factor:

(D2 – 2D –3) e3x = (D + 1) (D –3) e3x = (D + 1) = 0

Cuando se busca un anulador para una función dada, debemos tratar de seleccionar el más simple posible, esto es, que tenga el menor orden posible.

D3 es un anulador de orden más bajo para x2, D –3 es una anulador del orden más bajo para e3x, D2 + 1 es un anulador del orden más bajo para sen x.

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES HOMOGÉNEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES

Hasta este momento sólo se han considerado anuladores con coeficientes constantes, con lo cual nos referimos a operadores de la forma:

a 0 Dn + a 1 Dn – 1 +..... a n-1 D+ an

Donde las a1 son constantes.

Las únicas funciones que tienen anuladores con coeficientes constantes son aquellas funciones que aparecen como soluciones de las ecuaciones diferenciales lineales homogéneas con coeficientes constantes.

MÉTODO DE SOLUCION

CASO 1 RAICES REALES DISTINTASSupóngase que se tiene la siguiente ecuación:

y'’ + y’ –6y = 0

Esta ecuación se puede escribir como:

(D2 + D – 6)y = (D – 2) (D + 3)y =0

Al obtenerse las raíces son: m1=2 y m2=-3, como se observa m1 y m2

son distintas por lo cual se utiliza la fórmula general para la solución de ecuaciones diferenciales con raíces reales distintas:

y = C1 em1x + C2 em

2x

por lo tanto la solución de nuestra ecuación queda de la siguiente manera:

y = C1 e2x + C2 e-3x

Otro ejemplo de este tipo sería:

y'’’ + 2y’’ – 5y’ – 6y = 0

DEMOSTRACIÓN En esta ecuación se puede escribir como:

(D3 + 2D2 –5D –6)y = (D – 2) (D + 1) (D + 3) y = 0 Las raíces son m1= 2, m2= -1, m3= -3 y aplicando la fórmula general para raíces repetidas obtenemos:

y = C1 e2x + C2 e-x + C3 e-3x

CASO 2 RAICES REALES REPETIDAS

Sea el caso siguiente:

y'’’ – 3y’’ +3y’ – y = 0

Esta ecuación se puede escribir como:

(D3 + 3D2 + 3D – 1)y = (D –1)3 y = 0

Las raíces obtenidas son m1= 1, m2=1, m3=1, como se observa m1, m2, m3 son iguales por lo cual se utiliza la fórmula general para la solución de ecuaciones diferenciales con raíces reales iguales:

y= C1 m1x + C2 xem

1x

por lo que la solución general de la ecuación será:

y = C1 ex + C2 xex + C3 x2 ex

Otro ejemplo de este tipo de ecuaciones sería:

y'’’’ + 6y’’’ + 5y’’ – 24y’ – 36y = 0escribiendo la ecuación de la siguiente forma:

(D4 + 6D3 + 52 –24D – 36)y = (D –2) (D + 2) (D + 3)2 y = 0

las raíces son m1= 2, m2= -2, m3= -3 m4=-3

por lo tanto:

y = C1 e2x + C2 e-2x +C3 e-3x + C4 e-3x

CASO 3 RAICES COMPLEJAS

Sea la siguiente ecuación a resolver:

y ‘’ - 2y’ + 10y = 0

Esta ecuación se puede escribir como:

(D2 –2D +10) y = 0

Las raíces son: m1= 1 +3i y m2= 1-3i, recordemos que la expresión “i” representa un número complejo, por lo cual se aplica la fórmula de resolución de ecuaciones diferencial con raíces complejas que dice:

y = e x (C1 cos x + C2 sen x)

por lo que la solución de la ecuación será:

y = ex (C1 cos 3x + C2 sen 3x)

otro ejemplo podría ser: y’’’ + 4y’ = 0

se puede expresar de la siguiente forma: (D3 + 4D)y = D(D2 +4)y = 0

las raíces son m1= 0, m2= 2i, m3= -2i, aplicando la fórmula general tenemos:

y = C1 + C2 cos 2x + C3 sen 2x

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES NO HOMOGÉNEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES

METODO DE COEFICIENTES INDETERMINADOS

La ecuación diferencial lineal general de orden “n” esta dada por:

a0 y n + a1 y n-1 + .... a n-1y’ + a n y = f(x)

En nuestro caso a0, a1, .... an son constantes.

Recordemos que para obtener una solución general de una ecuación diferencial lineal no homogénea con coeficientes constantes, debemos determinar

a) La función complementaria yc (solución de la ecuación homogénea).

b) Obtener cualquier integral particular yp de la ecuación homogénea.

La suma de ambas

y = yc + yp

da la solución general de la ecuación no homogénea.

Una ecuación diferencial lineal no homogénea con coeficientes constantes puede expresarse como

P(D)y = f(x) (I) Siempre es posible hallar otro operador diferencial P0 (D) que anule a f(x).Aplicando P0 (D) a (I) se obtiene:

P0 (D) P(D) y = P0 (D) f(x) = 0Resolviendo la ecuación homogénea:

P0 (D) P(D) y = 0

Es posible determinar la forma de una solución(integral) particular yp de la ecuación homogénea (I).

Ejemplos:

Resolver

y ’’ –9y = 54 (1)

La ecuación diferencial homogénea es

y‘’ – 9y = 0

Ecuación auxiliar: m2 – 9 = (m-3) (m+3) = 0Raíces: m1=3 m2= -3

Función complementaria:

yc = C1 e 3x + C2 e-3x

Podemos transformar (1) en homogénea derivando una vez cada miembro de la ecuación.

D(D2 – 9)y = D(54) = 0 (2)

La ecuación auxiliar de (2) es: m(m –3 ) (m + 3) = 0

Y por lo tanto su solución debe ser:

y = yc +yp = C1 e-3x + C2 e3x + C3

El siguiente paso es sustituir C3= A, de esta manera Yp = APara que sea una integral particular de (1), es necesario determinar el valor del coeficiente A.

DERIVANDO.

Y’p = 0Y’’p = 0

Sustituyendo en (1)

Y’’p –9yp= 0 –9A = 54

De donde:

A = -54 = -69

en consecuencia:

yp= -6

y la solución general de (1) es:

y= C1 e-3 x + C2 e3x - 6

EJERCICIOS

DETERMINE LA SOLUCIÓN GENERAL DE LAS SIGUIENTES ECUACIONES DIFERENCIALES:

1. 4y’’ + y’ =0

2. y’’ –36y = 0

3. y’’ + 9y = 0

4. y’’ – y’ – 6y = 0

5. y’’ + 3y’ –5y = 0

6. y’’ – 4y’ +5y = 0

7. 12y’’ – 5y’ –2y= 0

8. 3y’’ + 2y’ + y =0

9. y’’’ –4y –5y=0

10. y’’’-y =0

11. y’’’ – 5y’’ +3y’ +9y = 0

12. y’’’ + 3y’’ + 3y’ +y = 0

13. 2y’’ – 5y’ = 0

14. y’’ – 8y = 0

15. 3y’’ + y = 0

16. y’’ –3y’ + 2y = 0

17. y’’ + 4y’ – y =0

18. 8y’’ + 2y’ + y = 0

19. 2y’’ –3y’ +4y = 0

20. 2y’’ + 2y’ +y = 0

21. 4y’’’ + 4y’’ + y’ = 0

22. y’’’ + 5y’’=0

23. y’’’ + 3y’’ – 4y’ –12y = 0

24. y’’’ –y’’ – 4y = 0

25. y’’’ – 6y’’ + 12y’ – 8y= 0