ecuaciones diferenciales 1

CURSO: CÁLCULO II

Tema :

ECUACIÓN DIFERENCIAL

Es importante recordar que una ecuación es una proposición matemática que

involucra una igualdad entre dos expresiones de cualquier índole, con la condición de

que estas expresiones contengan términos indefinidos. Estos términos son

expresiones, a veces llamadas incógnitas o indeterminadas, que representan algo (un

número, vector, matriz, función, etc.) que no tiene asignado un valor fijo, pero puede

ser sustituido, en teoría al menos, por cualquier valor apropiado.

Algunos valores convierten a la ecuación en una proposición falsa y otros en una

proposición verdadera (la ecuación conteniendo incógnitas no se puede calificar nunca

como falsa o verdadera, hasta que se sustituyen las incógnitas por valores apropiados);

a estos últimos valores se les llama soluciones de la ecuación.

Las leyes del universo están descritas en el lenguaje de las matemáticas. El álgebra es

suficiente para resolver muchos problemas estáticos, pero la mayoría de los

fenómenos naturales más interesantes involucra cambios descritos por ecuaciones que

relacionan cantidades que cambian.

Debido a que la derivada de la función es la razón a la cual la cantidad

está cambiando respecto de la variable t independiente, es natural que las

ecuaciones que involucran derivadas se usen frecuentemente para describir el

universo cambiante. Una ecuación que relaciona una función desconocida con una o

más derivadas se llama ecuación diferencial.

DEFINICIÓN:Una ecuación diferenciales una ecuación que relaciona una o más

variables independientes con alguna variable dependiente y sus derivadas.

Facultad de Ingeniería Semestre 2013-0

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias.

Es decir, es una ecuación que contiene las derivadas de una función o variable

dependiente con respecto a una o más variables independientes.

Ejemplos:

1.

2.

3.

4. ; Modelo del aprendizaje de una tarea en este caso y

representa el nivel de habilidad del estudiante como función del tiempo, las constantes ρ , η dependen del individuo y la naturaleza de la tarea.

5. ; Cuerda vibrante y la propagación de ondas, donde t representa

el tiempo, x la posición a lo largo de la cuerda, c la rapidez de la onda y u el

desplazamiento de la cuerda, que es una función del tiempo y la posición.

6. , ecuación de calor o de difusión.

En la ecuación (1) y es la variable dependiente, y es una función desconocida que

depende de la variable independiente x, representa la primera derivada de y con

respecto a x.

ORDEN Y GRADO DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL

El orden de una ED, es el orden de la derivada más alta que aparece en la

ecuación.

El grado de una ED, está dado por el exponente (GRADO) de la derivada de

mayor orden que aparezca en la ecuación.

Ejemplos:

1. es de 2do

orden y de 1er

grado.

2. es de orden y de 1er

grado.


3. es de 2do

orden y de 1er

grado.

4. es de orden y de grado.

5. es de orden y de 1er

grado.

6. es de 2do

orden y de grado.

CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES SEGÚN EL TIPO, ORDEN Y

GRADO

1. SEGÚN EL TIPO: se clasifican en: Ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) y

ecuaciones diferenciales parciales (EDP).

Ecuación Diferencial Ordinaria(EDO):Esta ecuación diferencial contiene derivadas de

una o más variables dependientes con respecto a una sola variable independiente.

Ejemplos:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.Ld2 qdt2

+R dqdt

+ 1Cq=0

(Ecuación diferencial de la corriente eléctrica, donde q es la

carga eléctrica, R es la resistencia, L es la inductancia y C la capacitancia).

Ecuación Diferencial Parcial (EDP):Esta ecuación diferencial contiene derivadas

parciales de una o más variables dependientes, respecto a dos o más variables

independientes.


Ejemplos:

1.

∂2 z∂ x2

− ∂ z∂ y

=0

2. V xx+V y=cos ( xy )

3.a2( ∂2w

∂ x2+∂2w

∂ y2+∂2w

∂ z2)=∂2w

∂ t2 (Ecuación diferencial de la onda)

4.

5.

6.

2. SEGÚN EL ORDEN: se clasifican en ecuaciones de primer, segundo y tercer orden, etc., según sea la mayor derivada que aparezca en la expresión.Ejemplo:

1. es de orden.

2. es de 2do

orden.

3. es de 2do

orden.

3. SEGÚN EL GRADO: Se clasifican en lineales (EDL) y no lineales (EDNL), siempre y

cuando la solución diferencial esté dada en forma de polinomio.

Ecuación diferencial lineal (EDL): esta ecuación diferencial tiene dos características

que la distinguen del resto:

a) La variable dependiente yy todas sus derivadas son de primer grado.

b) Los coeficientes de la variable yy de sus derivadas dependen sólo de la variable

independiente x, o bien son constantes.

Su forma general es:

Donde an( x ) , an−1 (x ) , . . . , a0 (x ) , F ( x ) , depende sólo de la variable independiente x .


Si , la EDO se llama lineal homogénea.

Si , la EDO se llama lineal nohomogénea.

Ejemplo:

Ecuación diferencial no lineal (EDNL): Todas las ecuaciones que no sean lineales son

no lineales.

Ejemplos:

1.

2.

Donde tanto la ecuación (1) como la (2) tienen coeficientes que no son sólo función

de la variable independiente x, y por lo tanto no son ecuaciones diferenciales

lineales.

Ejemplos:

1. , Edo. lineal de orden 2 no homogénea.

2. , Edo. No lineal de orden 3 homogénea.

DEFINICIÓN: Decimos que una ecuación diferencial ordinaria de orden n está expresada en forma implícita cuando tiene la forma:

Y decimos que está expresada en forma explícita cuando tenemos:

ORIGEN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS


Las ecuaciones diferenciales aparecen no solo a partir de conceptos puramente

matemáticos, sino también del intento de describir en términos matemáticos

problemas físicos en ciencias. Además, proporcionan un importante instrumento de

trabajo en áreas como la ingeniería y la economía.

1. Ley de enfriamiento de Newton:La razón de cambio del tiempo t (la razón de

cambio respecto del tiempo) de la temperatura de un cuerpo es

proporcional a la diferencia entre la temperatura del cuerpo y la temperatura

A del medio ambiente. Es decir:

ó

Donde k es una constante positiva, t es la variable independiente y T la

dependiente

Obsérvese que si , entonces , por lo que la temperatura es una función

decreciente de t y el cuerpo se está enfriando.

Pero si , entonces , por tanto, T está aumentando.

Así, la ley física se traduce en una ecuación diferencial. Si damos valores a k y A,

podremos encontrar una fórmula explícita para , y entonces con la ayuda de

esta fórmula será posible predecir la temperatura que tendrá el cuerpo.

2. Dinámica de poblaciones de Malthus:La razón de cambio respecto del tiempo de

una población con tasa de natalidad y mortalidad constante es, en muchos

casos sencillos, proporcional al tamaño de la población. Esto es,

Donde k es la constante de proporcionalidad.

3. Problema Matemático:

Hállese la ecuación diferencial de la familia de curvas planas descritas:

a) Circunferencias de radio fijo r con centro en el eje x , siendo a arbitrario.

Solución:


La ecuación de la circunferencia es de la forma:( x−a )2+ y2=r2 ,

Entonces . Derivando se tiene 1= − yy '

√r2− y2 .

Por lo tanto:√r2− y2=− yy ' ,r2=(1+( y ' )2 ) y2

b) Parábolas que tienen sus vértices en el origen y sus focos sobre el eje y.

Solución

La ecuación de ésta familia de parábolas es: Donde el vértice es V(0,0) y el foco F(0,p) como el parámetro es p entonces lo eliminaremos.

De

Derivando se tiene

Entonces

4. Problema Físico:Una partícula de masa m se mueve a lo largo de una línea recta (el

eje x) mientras está expuesto a:

1) Una fuerza proporcional a su desplazamiento x de un punto fijo y dirigido hacia 0; y 2) Una fuerza resistente proporcional a su velocidad.

Solución

La primera fuerza podemos representarla por −k 1x y la segunda por −k 2

dxdt ,

donde k 1 , k2 son factores de proporcionalidad. La fuerza total (masa por aceleración) igual a F es dado por:

F=−k 1x−k2dxdtmd2 xdt 2

=−k 1 x−k2dxdt .

SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES


Definición: Una función se llama solución de una ecuación diferencial si al sustituir en

ella sus derivadas se satisfacen la igualdad.

Ejemplo: verificar que es solución de la ecuación diferencial

Solución:

Obteniendo sus derivadas:

Sustituyendo en la ecuación

diferencial:

Nota:La gráfica de las soluciones de una ecuación diferencial son llamadasCURVAS INTEGRALES.

Ejemplo: verificar que es solución de Solución:

Se tiene . Derivando, obtenemos

De donde

Y la ecuación se satisface para todo .

EJERCICIOS PROPUESTOS1. Indicar el orden y grado de cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales

a)

b)

c)

d)


e) f)2. Diga si las ecuaciones diferenciales dadas son lineales o no lineales. Indique el orden

de cada ecuación.

a)

b)

c)

d)

e)3. Verificar que las funciones dadas son soluciones de las ecuaciones diferenciales

indicadas:

a)

b)

c) ;

d) ;

e)

f)

g) ;

h)

i)

4. Demuéstrese que si e son dos soluciones diferentes de la

ecuación , entonces también es una solución

siendo A y B constantes.


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