ecuaciones del movimiento del aire en una dimensión y cálculo para la formación de nubes por un...

7/25/2019 Ecuaciones Del Movimiento Del Aire en Una Dimensin y Clculo Para La Formacin de Nubes Por Un Viento

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REVISTA INVESTIGACION OPERACIONAL VOL. 36, NO. 2, 133-139, 2015

ECUACIONES DEL MOVIMIENTO DEL AIRE ENUNA DIMENSIN Y CLCULO PARA LAFORMACIN DE NUBES POR UN VIENTOHisao Fujita Yashima1, Asma Ayachi and Mohamed Zine AissaouiLaboratoire de Mathmatiques Appliques et Modlisation, Universit de Guelma, Algrie.

ABSTRACTIn this paper we present an example of numerical computation of the motion of the air which goes over a mountain and, according tohumidity, causes different quantities of condensation and different variations of temperature. The result of computation coincidessatisfactorily with the theoretical values and those of observation.

KEYWORDS: viscous heat-conductive gas, stationary flow, formation of clouds.

MSC: 76N15, 86A10, 65L12.

RESUMENEn este trabajo presentamos un ejemplo de clculo numrico del movimiento del aire que pasa sobre una montaa y que, segn lahumedad, provoca diferentes cantidades de condensacin y diferentes variaciones de la temperatura. El resultado del clculocoincide de manera satisfactoria con los valores tericos y con los de la observacin.

1.

INTRODUCCIN

El fenmeno de la formacin de nubes por el viento que pasa sobre una montaa se observa comnmente y seexplica por los principios de la termodinmica: con la subida del aire la presin disminuye y por eso disminuyetambin la temperatura, lo que ocasiona la condensacin del vapor de agua y el calentamiento relativo del airepor el calor latente. Para describir este fenmeno de manera cientficamente coherente, se necesita tambin ladescripcin del movimiento del aire segn los principios de la mecnica de fluidos, lo que hace bastante

complicado el problema (para la problemtica general, vanse por ejemplo, Matveev (1981) [14], Cotton et al(2011) [6]). Como modelo especfico, por ejemplo en Clark et al(1991) [5] se propuse un modelo bastanteexacto del fenmeno y, basndose en este modelo, se analizaron no pocos ejemplos concretos con simulacinnumrica (por ejemplo Wobrock et al(2003) [17], Planche et al(2013) [15] entre otros). Existen tambinprogramas de clculo muy potente como el modelo WRF (Weather Research and Forecasting model, vaseSkamarock et al(2008) [16]), que nos permite hacer simulaciones bastante detalladas a mesoescala condiferentes tipos de relieve de la tierra. Pero en todo caso la complejidad del fenmeno fsico obliga una``parametrizacin'', o sea algunas simplificaciones de magnitudes fsicas de procesos microfsicos, para podercalcular la solucin de las ecuaciones del modelo.Desde el punto de vista matemtico, las ecuaciones que modelan el movimiento estacionario de un gas viscoso(sin condensacin del vapor) son esencialmente del tipo elptico y, generalmente, se demuestra la existencia deuna solucin solamente con datos pequeos con respecto a los coeficientes de viscosidad y de conductividadtrmica (vanse por ejemplo Farwik (1989) [8], Benabidallah et al(2007) [3]). Pero, si se considera un modelo

en una dimensin con datos regulares (pero no necesariamente pequeos), como sugiere la teora de lasperturbaciones singulares (vase Lions (1973) [12]), se puede esperar una solucin en la vecindad de la solucinde las ecuaciones sin viscosidad y sin conductividad trmica.El objetivo del presente trabajo es deducir los aspectos esenciales del fenmeno directamente de las ecuacionesfundamentales de la mecnica de fluidos con el trmino que representa de manera directa la cantidad decondensacin sin utilizar la parametrizacin usual. Naturalmente a causa de la complejidad del problema no espracticable resolver las ecuaciones con todas las generalidades; por eso proponemos el estudio del caso en que eldominio se reduce a l en una dimensin, lo que, desde el punto de vista matemtico, ofrece la posibilidad deresolver las ecuaciones con coeficientes de viscosidad y de conductividad trmica bastante pequeos como en larealidad. En concreto, vamos a considerar un sistema de ecuaciones del movimiento de un gas (aire) en unadimensin con el trmino de fuerza externa que resulta de la fuerza gravitacional y del perfil de la superficieterrestre y con el trmino de la cantidad de condensacin dado por la derivada de la parte positiva de la

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diferencia entre la densidad real del vapor y la densidad del vapor saturado, y, utilizando el mtodo dediferencias finitas, construiremos la solucin numrica del sistema de ecuaciones. Ya que la parte positiva de unafuncin, generalmente, no es derivable en los puntos en que muda el signo, para poder resolver nuestrasecuaciones necesitamos introducir un esquema particular de clculo. Adems, para definir la cantidad decondensacin es conveniente utilizar la aproximacin sucesiva; pero a causa de la propiedad del calor latente,que provoca una oscilacin de aproximaciones sucesivas usuales, necesitamos utilizar una aproximacin

sucesiva acumulativa, como veremos en lo que sigue.Como resultado del clculo se muestra entre otros una correspondencia muy clara entre la humedad del aireentrante y la atenuacin del descenso de la temperatura, y esta correspondencia corresponde de manerasatisfactoria a lo que se espera de los datos de observacin y de las propiedades conocidas de la transformacinadiabtica y del calor latente. Adems el uso del mtodo de diferencias finitas en estas simulaciones ha resultadoeficaz. Nos parece que la idea metodolgica del presente trabajo se puede aplicar a no pocos casos interesantes.En efecto, por ejemplo en Ghomrani et al(2014) [9] se ha utilizado un mtodo anlogo para el problema de unacorriente vertical ascendente del aire con la condensacin del vapor y se ha obtenido un resultadointeresante.

2.

SISTEMA DE ECUACIONES

Consideremos una superficie terrestre, cuya altura se denota por ( [0,]), y un flujo estacionario delaire sobre esta superficie terrestre. Denotamos por

la velocidad del aire en la direccin de la superficie del

terreno, es decir, si y son la componente en la direccin de y la componente en la direccin vertical de lavelocidad, tenemos ++ (2.1)Adoptemos la aproximacin que considera la seccin del flujo del aire como constante, como si el aire corrieraen un tubo de seccin constante.Partimos desde el sistema de ecuaciones bien conocidas que describe el movimiento de un gas (vanse Landau etal(1989) [11], Antontsev et al(1990) [1]) y lo reformulamos en el caso del movimiento estacionario en un tubo(eventualmente construido solamente en nuestra mente), de manera que tenemos ecuaciones a una dimensinespacial. Si admitimos la hiptesis del tubo con seccin constante, podemos escribir la ecuacin de continuidaden la forma

+

0(2.2)

donde denota la densidad del aire. Por otra parte, denotando por la temperatura, por y los coeficientesde viscosidad y por la constante de los gases dividida por la masa molar del gas, e introduciendo el trmino dela friccin con el terreno y el gradiente bsico de la presin , la ecuacin de la cantidad de movimientose escribe en la forma

+ +

+ , (2.3)

con + [ (3 4) ], + ( 4) (2 1) ,( , ); la expresin de los coeficientesyresulta por clculos bastante largos peroelementales. De manera anloga la ecuacin del balance de la energa se escribe en la forma

(2.4)

+ + ,

donde + [ ], + [ ], + [ 1 ],mientras que y son el calor especfico del gas y el coeficiente de conductividad trmica.Cuando se produce la condensacin del vapor, se debe aadirle a la ecuacin (2.4) el trmino debido al calorlatente de la condensacin

,


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donde es el calor latente de la evaporacin/condensacin, mientras que denota la cantidad de lacondensacin (su valor negativo indica la de la evaporacin). Para el aire que, partiendo desde un lugar indicadopor 0, pasa sobre la montaa, podemos poner + [mx0, ()], (2.5)donde

es la densidad del aire al punto inicial

0y

la densidad del vapor en el punto inicial

0,

mientras que denota la densidad del vapor saturado en la temperatura . Los valores de y sonaproximadamente 3244 2,72 T 10 (J/kg), (2.6) 10,,, , 6,107 (mbar) (2.7) 18,01 (g/mol), 8,314 (J/mol)(vanse por ejemplo Matveev (1965, 1984, 2000) [13], Kikone et al(1979) [10]).

Por otra parte, de (2.2) se deduce que hay una constante tal que+ . (2.8)

Dado que el caso 0 no nos interesa, sin restringir la generalidad podemos suponer que> 0

.

Aadiendo a (2.4) y substituyendo (2.5) y (2.8) en (2.3)-(2.4), tenemos el sistema + 1 , (2.9)

1 +

+ [mx0, + ()]. (2.10)

Dado que son ecuaciones diferenciales de segundo orden, tenemos que considerar el sistema de ecuaciones (2.9)-(2.10) por ejemplo con las condiciones de frontera

0 ,

,

0 ,

. (2.11)

No es fcil demostrar la existencia de una solucin de este problema. Pero, cuando + (anulando el ltimo trmino de (2.10)) en todo el dominio, utilizando la idea de la perturbacin singular (vasepor ejemplo Lions (1973) [12]) podemos demostrar la existencia de una solucin en una vecindad de la solucinde las ecuaciones sin viscosidad y conductividad trmica (Ayachi et al(2014) [2]). Por eso, siguiendo esta idea,vamos a resolver numricamente el sistema de ecuaciones (2.9)-(2.10) con las condiciones (2.11).

3.

ALGUNOS PROBLEMAS DEL CLCULO NUMRICO

Para la resolucin numrica del sistema de ecuaciones (2.9)-(2.10), utilizamos el esquema de diferencias finitas.Pero la propiedad de la condensacin y del calor latente pueden crear oscilacin en el clculo. En efecto tenemos

mx 0,

()< 0

(cuando mx0, () > 0) y es bastante grande, lo que crea el efecto oscilatorio: si sevalora un poco ms que el real, en la etapa sucesiva del clculo se da un valor menos que el real y eso produceun valor ms grande que el real en la etapa siguiente, amplificando siempre el error.Para eliminar la aparicin de esta oscilacin en el punto donde inicia la condensacin, utilizamos laaproximacin siguiente de la derivada:|= [ 1 1 2],donde es el paso de la discretizacin; en esta definicin los pasos ``pares'' y los ``impares'' tienen el mismopeso.La misma propiedad del calor latente puede provocar oscilacin tambin en la aproximacin sucesiva. Paraevitar eso, introducimos el esquema siguiente de iteracin: sea dada la -ima aproximacin [], [];entonces pongamos

[] +[] , []([]) [] 10,[],[], , [] []=


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(es decir, []es el promedio de [], 1,,). Con esos valores pongamos[] []+ [mx0,[] []], [] 3244 2,72 [] 1 0.

Con []y []as definidos podemos resolver el sistema de la 1-ima aproximacin

[]

[]

[+] + 1 [][] [] [+] (3.1) [] [] 1 [][] []+

[] [+] [] [+] [][]. (3.2)Las ecuaciones (2.9)-(2.10) son de segundo orden y las condiciones son puestas en los extremos del dominio.Pero los coeficientes de viscosidad y y de conductividad trmica son muy pequeos, de manera que no sepuede utilizar el mtodo habitual basado en el papel dominante de los trminos de viscosidad y de conductividadtrmica. Por eso utilizamos el mtodo de ``shooting'' (su idea bsica se encuentra en muchos manuales, porejemplo Burden et al(2001) [4], Farag (2014) [8]), resolviendo el problema de Cauchy con la condicin en un

extremo 0 , 0 y la de la derivada de las funciones incgnitas en el mismo extremo 0, 0 con diferentes valores de y y escogiendo una solucin que aproxima mejor la condicin , en el otro extremo del dominio. Se pueden considerar los valores , comofuncin de , ; pero la complejidad de nuestro sistema no permite utilizar propiedad de esta funcin. Poreso consideramos el dominio 0 < < con la parte muy regular en la proximidad del extremo 0, demanera que es suficiente examinar , en una vecindad muy pequea de la derivada 0, 0de lasolucin , del sistema sin viscosidad y sin conductividad trmica.4.

RESULTADO DEL CLCULO NUMRICO

Consideremos el dominio

0 2 10

y la funcin

1 1 si 2 10 18 10, 0 si no;se observa que la cima del terreno representado por la funcin es 1000(m), 10(m).Utilizando los valores y los esquemas ya mencionados y los coeficientes 9,8 /, , 28,96 /, 0,1, 0,2, 120, 40, 100y poniendo las condiciones0 0 2 /, 2 10 2 10,0 0 293,150 , 2 1 0 2 1 0,(y son las soluciones de las ecuaciones con 0, 0, 0; en nuestro caso tenemos 2 10 2 m/s, 2 10 293,150 K), obtenemos los resultados ilustrados en los grafos:

Figure 1 - Temperatura sin condensacinFigure 1 : Temperatura en el caso en que no hay la condensacin,

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200282

284

286

288

290

292

294

Km

K


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Figure 2 : Temperatura en el caso 1,2 10,

Figure 2 - Temperatura con condensacin ( 1,2 10)

Figure 3 : Velocidad en el caso en que no hay la condensacin,

Figure 3 - Velocidad sin condensacin

Figure 4 : Velocidad en el caso 1,2 10,

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200286

287

288

289

290

291

292

293

294

Km

K

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2001.95

2

2.05

2.1

2.15

2.2

Km

m/s


6/7


7/7

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5.

CONCLUSIN

Hemos conseguido resultados de clculo que coinciden satisfactoriamente con lo que se espera de los datos deobservacin y el conocimiento terico del valor del calor latente. Podemos decir que las ecuacionesfundamentales de la dinmica de los gases, con las leyes de la transicin de fase del agua, sin utilizar laparametrizacin emprica, pueden determinar con exactitud suficiente los valores de la temperatura, de la

velocidad del aire y la cantidad de la condensacin en un flujo del aire. Nos parece que el mtodo del clculoutilizado es suficientemente simple y suficientemente eficaz; as podemos esperar aplicaciones de esta idea declculo a otros casos de fenmenos atmosfricos en que es presente la condensacin del vapor de agua.En el presente trabajo no nos hemos ocupado de problemas en que est implicada la turbulencia. El estudio deflujos turbulentos es deseable, pero en nuestra opinin, requiere otros instrumentos tericos y numricos. Esoser uno de los temas de nuestra investigacin futura.

RECEIVED JULY, 2014REVISED JANUARY, 2015

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