ecuaciones de segundo grado
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UNIDAD EDUCATIVA ldquoISABEL DE GODIacuteN ECUACIONES CUADRAacuteTICAS
Mgs Luis Chimborazo A
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ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
Tenemos una ecuacioacuten de segundo grado o ecuacioacuten cuadraacutetica cuando la variable o incoacutegnita estaacute
elevada al cuadrado (elevada a exponente 2)
En esta seccioacuten encontraraacutes
Ecuaciones Cuadraacuteticas
Resolucioacuten de Ecuaciones Cuadraacuteticas Incompletas
Resolucioacuten de Ecuaciones Cuadraacuteticas por Factorizacioacuten
Resolucioacuten de Ecuaciones Cuadraacuteticas completando cuadrados
Formula General para la Resolucioacuten de Ecuaciones Cuadraacuteticas
Ecuaciones Cuadraacuteticas
Veamos las siguientes ecuaciones
a) 7x2 +5x -24 = 0
b) x2 + 5x = -85
c) 13x2 = 7
d) 4x2 - 4x = 0
En todos los ejemplos anteriores (ecuaciones a b c y d) observamos que se tiene a la variable o
incoacutegnita elevada al cuadrado (exponente 2) en alguno de sus teacuterminos Entonces todas ellas son
Ecuaciones de Segundo Grado o Ecuaciones Cuadraacuteticas
Una ecuacioacuten cuadraacutetica tiene por lo general dos respuestas o raiacuteces que cumpliraacuten las condiciones
mismas de la ecuacioacuten
En general una ecuacioacuten cuadraacutetica tiene la forma ax2 + bx + c = 0 donde a b y c son nuacutemeros
reales y x es la incoacutegnita o variable
Resolucioacuten de Ecuaciones Cuadraacuteticas Incompletas
En algunas ecuaciones cuadraacuteticas no encontraremos alguno de los teacuterminos Veamos en los
siguientes ejemplos
Ejemplo 1
Resolver 4x2 - 16 = 0
En este primer ejemplo falta el teacutermino que contiene solamente a la variable x o variable de primer
grado entonces debemos proceder de la siguiente manera
4x2 - 16 = 0
4x2 = 16 Pasamos el -16 al otro lado de la igualdad empleando operaciones inversas
x2 = 16 = 4
4 Pasamos el 4 a dividir al otro lado de la igualdad
radicx2 = radic4 Ahora sacamos la raiacutez cuadrada en ambos teacuterminos (para eliminar el exponente de x)
x = plusmn2 Tendremos dos respuestas una la raiacutez positiva y otra la raiacutez negativa
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Ejemplo 2
Resolver 5x2 + 3x = 0
En este segundo ejemplo nos falta el teacutermino numeacuterico o teacutermino independiente Entonces
procedemos de la siguiente manera
5x2 + 3x = 0
x(5x + 3) = 0 Factorizamos de acuerdo a nuestras posibilidades En este caso la letra x
(empleamos factor comuacuten monomio)
x(5x + 3) = 0 Igualamos a 0 (cero) cada uno de los factores tanto el primero como el segundo
x = 0 Para encontrar la primera respuesta o raiacutez igualamos el primer factor a 0 (cero)
5x + 3 = 0
x = -3
5
La otra respuesta viene de igualar el segundo factor a 0 (cero) en este caso
hemos tenido que resolver una ecuacioacuten de primer grado para lo cual hemos
empleado operaciones inversas
Resolucioacuten de Ecuaciones Cuadraacuteticas por Factorizacioacuten
Para resolver una ecuacioacuten cuadraacutetica por factorizacioacuten primero debemos llevar todos los teacuterminos a
un lado de la igualdad y en el otro lado dejar simplemente un 0 (cero) Una vez realizado esto debemos
elegir un meacutetodo de factorizacioacuten adecuado
Veamos un ejemplo
8x2 -16x = 2x +5 Ecuacioacuten Cuadraacutetica a resolver
8x2 -16x -2x -5 = 0 Llevamos todos los teacuterminos a un lado de la igualdad
8x2 -18x -5 = 0 Reducimos teacuterminos semejantes
8x2 -18x -5 = 0 Buscaremos un meacutetodo de factorizacioacuten adecuado para la primera
parte
8x2 -18x -5 = 0
4x 1
2x -5
8x2 -5
Emplearemos el meacutetodo de factorizacioacuten por aspa simple Buscamos
primero dos nuacutemeros que multiplicados me den 8 y luego dos
nuacutemeros que multiplicados me den -5 Para el primer caso escogemos
(4x)(2x) = 8x2 y luego (1)(-5) = -5
8x2 -18x -5 = 0
4x 1 2x
2x -5 -20x
aaaaaaaaa-18x
Verificamos que la suma o diferencia de los productos cruzados
cumpla con la condicioacuten de ser igual al segundo teacutermino es decir
igual a -18x
(4x +1) (2x -5) = 0 Procedemos a colocar los factores
(4x +1) = 0 (2x -5) = 0
4x + 1 = 0 2x - 5 = 0
4x = -1 2x = 5
x = -1 x = 5
4 2
Finalmente igualamos cada uno de los factores a 0 (cero) y resolvemos
las ecuaciones para hallar las raiacuteces o resultados
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Resolucioacuten de Ecuaciones Cuadraacuteticas Completando Cuadrados
Para resolver una ecuacioacuten cuadraacutetica con este meacutetodo debemos completar un binomio al cuadrado y luego
despejar utilizando nuestros principios matemaacuteticos
Veamos un ejemplo
x2 + 6x + 5 = 0
x2 + 6x + 5 +4= 0 +4 Hemos sumado 4 en ambos lados de la igualdad
x2 + 6x + 9 = 4 Observamos que a la izquierda (x +3)2 = x2 + 6x + 9
(x +3)2 = 4 Ademaacutes en el teacutermino de la derecha 22 = 4
(x +3)2 -22 = 0 Llevaremos todos los teacuterminos a un solo lado de la igualdad mientras que al
otro lado dejaremos simplemente 0 (cero)
[(x -3) -2] [(x -3) +2] = 0
(x -3 -2) (x -3 +2) = 0
(x -5) (x -1) = 0
Factorizamos Observe que en el primer factor se respetan todos los signos
mientras que en segundo factor se cambia el signo solo al teacutermino
independiente (nuacutemero)
(x -5) = 0 (x -1) = 0
x -5 = 0 x -1 = 0
x = 5 x = 1
Finalmente igualamos cada uno de los factores a 0 (cero) y resolvemos
las ecuaciones para hallar las raiacuteces o resultados
Foacutermula General para la Resolucioacuten de Ecuaciones Cuadraacuteticas
Habiamos dicho que una ecuacioacuten cuadraacutetica tiene la forma ax2 + bx + c = 0
donde a b y c son nuacutemeros reales y x es la incoacutegnita o variable
Entonces para hallar directamente las raices podemos aplicar la foacutermula
x = -b plusmn radic(b2 -4ac)
2a Trabajemos un ejemplo
3x2 -2x -5 = 0 En mi ecuacioacuten original ubico los valores de a b y c
x = -b plusmn radic(b2 -4ac)
2a
x = -(-2) plusmn radic[(-2)2 -4(3)(-5)
2(3)
Reemplazo los valores en la foacutermula general
x = 2 plusmn radic(4 +60)
6 Resuelvo las potencias y productos
x = 2 plusmn radic64
6 Resuelvo la operacioacuten dentro del radical (en este caso una suma)
x = 2 plusmn 8
6
Resolvemos el radical y dejamos todo listo para hallar las dos
raiacuteces o respuestas
x = 2 + 8 x= 2 -8
6 6
Una de las raiacuteces seraacute para el caso de la suma mientras que la
otra seraacute para el caso de la resta
x = 10 = 5 x= -6 = -1
6 3 6 Finalmente hallamos los valores para x
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Ejemplo 2
Resolver 5x2 + 3x = 0
En este segundo ejemplo nos falta el teacutermino numeacuterico o teacutermino independiente Entonces
procedemos de la siguiente manera
5x2 + 3x = 0
x(5x + 3) = 0 Factorizamos de acuerdo a nuestras posibilidades En este caso la letra x
(empleamos factor comuacuten monomio)
x(5x + 3) = 0 Igualamos a 0 (cero) cada uno de los factores tanto el primero como el segundo
x = 0 Para encontrar la primera respuesta o raiacutez igualamos el primer factor a 0 (cero)
5x + 3 = 0
x = -3
5
La otra respuesta viene de igualar el segundo factor a 0 (cero) en este caso
hemos tenido que resolver una ecuacioacuten de primer grado para lo cual hemos
empleado operaciones inversas
Resolucioacuten de Ecuaciones Cuadraacuteticas por Factorizacioacuten
Para resolver una ecuacioacuten cuadraacutetica por factorizacioacuten primero debemos llevar todos los teacuterminos a
un lado de la igualdad y en el otro lado dejar simplemente un 0 (cero) Una vez realizado esto debemos
elegir un meacutetodo de factorizacioacuten adecuado
Veamos un ejemplo
8x2 -16x = 2x +5 Ecuacioacuten Cuadraacutetica a resolver
8x2 -16x -2x -5 = 0 Llevamos todos los teacuterminos a un lado de la igualdad
8x2 -18x -5 = 0 Reducimos teacuterminos semejantes
8x2 -18x -5 = 0 Buscaremos un meacutetodo de factorizacioacuten adecuado para la primera
parte
8x2 -18x -5 = 0
4x 1
2x -5
8x2 -5
Emplearemos el meacutetodo de factorizacioacuten por aspa simple Buscamos
primero dos nuacutemeros que multiplicados me den 8 y luego dos
nuacutemeros que multiplicados me den -5 Para el primer caso escogemos
(4x)(2x) = 8x2 y luego (1)(-5) = -5
8x2 -18x -5 = 0
4x 1 2x
2x -5 -20x
aaaaaaaaa-18x
Verificamos que la suma o diferencia de los productos cruzados
cumpla con la condicioacuten de ser igual al segundo teacutermino es decir
igual a -18x
(4x +1) (2x -5) = 0 Procedemos a colocar los factores
(4x +1) = 0 (2x -5) = 0
4x + 1 = 0 2x - 5 = 0
4x = -1 2x = 5
x = -1 x = 5
4 2
Finalmente igualamos cada uno de los factores a 0 (cero) y resolvemos
las ecuaciones para hallar las raiacuteces o resultados
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Resolucioacuten de Ecuaciones Cuadraacuteticas Completando Cuadrados
Para resolver una ecuacioacuten cuadraacutetica con este meacutetodo debemos completar un binomio al cuadrado y luego
despejar utilizando nuestros principios matemaacuteticos
Veamos un ejemplo
x2 + 6x + 5 = 0
x2 + 6x + 5 +4= 0 +4 Hemos sumado 4 en ambos lados de la igualdad
x2 + 6x + 9 = 4 Observamos que a la izquierda (x +3)2 = x2 + 6x + 9
(x +3)2 = 4 Ademaacutes en el teacutermino de la derecha 22 = 4
(x +3)2 -22 = 0 Llevaremos todos los teacuterminos a un solo lado de la igualdad mientras que al
otro lado dejaremos simplemente 0 (cero)
[(x -3) -2] [(x -3) +2] = 0
(x -3 -2) (x -3 +2) = 0
(x -5) (x -1) = 0
Factorizamos Observe que en el primer factor se respetan todos los signos
mientras que en segundo factor se cambia el signo solo al teacutermino
independiente (nuacutemero)
(x -5) = 0 (x -1) = 0
x -5 = 0 x -1 = 0
x = 5 x = 1
Finalmente igualamos cada uno de los factores a 0 (cero) y resolvemos
las ecuaciones para hallar las raiacuteces o resultados
Foacutermula General para la Resolucioacuten de Ecuaciones Cuadraacuteticas
Habiamos dicho que una ecuacioacuten cuadraacutetica tiene la forma ax2 + bx + c = 0
donde a b y c son nuacutemeros reales y x es la incoacutegnita o variable
Entonces para hallar directamente las raices podemos aplicar la foacutermula
x = -b plusmn radic(b2 -4ac)
2a Trabajemos un ejemplo
3x2 -2x -5 = 0 En mi ecuacioacuten original ubico los valores de a b y c
x = -b plusmn radic(b2 -4ac)
2a
x = -(-2) plusmn radic[(-2)2 -4(3)(-5)
2(3)
Reemplazo los valores en la foacutermula general
x = 2 plusmn radic(4 +60)
6 Resuelvo las potencias y productos
x = 2 plusmn radic64
6 Resuelvo la operacioacuten dentro del radical (en este caso una suma)
x = 2 plusmn 8
6
Resolvemos el radical y dejamos todo listo para hallar las dos
raiacuteces o respuestas
x = 2 + 8 x= 2 -8
6 6
Una de las raiacuteces seraacute para el caso de la suma mientras que la
otra seraacute para el caso de la resta
x = 10 = 5 x= -6 = -1
6 3 6 Finalmente hallamos los valores para x
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Resolucioacuten de Ecuaciones Cuadraacuteticas Completando Cuadrados
Para resolver una ecuacioacuten cuadraacutetica con este meacutetodo debemos completar un binomio al cuadrado y luego
despejar utilizando nuestros principios matemaacuteticos
Veamos un ejemplo
x2 + 6x + 5 = 0
x2 + 6x + 5 +4= 0 +4 Hemos sumado 4 en ambos lados de la igualdad
x2 + 6x + 9 = 4 Observamos que a la izquierda (x +3)2 = x2 + 6x + 9
(x +3)2 = 4 Ademaacutes en el teacutermino de la derecha 22 = 4
(x +3)2 -22 = 0 Llevaremos todos los teacuterminos a un solo lado de la igualdad mientras que al
otro lado dejaremos simplemente 0 (cero)
[(x -3) -2] [(x -3) +2] = 0
(x -3 -2) (x -3 +2) = 0
(x -5) (x -1) = 0
Factorizamos Observe que en el primer factor se respetan todos los signos
mientras que en segundo factor se cambia el signo solo al teacutermino
independiente (nuacutemero)
(x -5) = 0 (x -1) = 0
x -5 = 0 x -1 = 0
x = 5 x = 1
Finalmente igualamos cada uno de los factores a 0 (cero) y resolvemos
las ecuaciones para hallar las raiacuteces o resultados
Foacutermula General para la Resolucioacuten de Ecuaciones Cuadraacuteticas
Habiamos dicho que una ecuacioacuten cuadraacutetica tiene la forma ax2 + bx + c = 0
donde a b y c son nuacutemeros reales y x es la incoacutegnita o variable
Entonces para hallar directamente las raices podemos aplicar la foacutermula
x = -b plusmn radic(b2 -4ac)
2a Trabajemos un ejemplo
3x2 -2x -5 = 0 En mi ecuacioacuten original ubico los valores de a b y c
x = -b plusmn radic(b2 -4ac)
2a
x = -(-2) plusmn radic[(-2)2 -4(3)(-5)
2(3)
Reemplazo los valores en la foacutermula general
x = 2 plusmn radic(4 +60)
6 Resuelvo las potencias y productos
x = 2 plusmn radic64
6 Resuelvo la operacioacuten dentro del radical (en este caso una suma)
x = 2 plusmn 8
6
Resolvemos el radical y dejamos todo listo para hallar las dos
raiacuteces o respuestas
x = 2 + 8 x= 2 -8
6 6
Una de las raiacuteces seraacute para el caso de la suma mientras que la
otra seraacute para el caso de la resta
x = 10 = 5 x= -6 = -1
6 3 6 Finalmente hallamos los valores para x