ECUACIONES DE REDES TOPOLOGÍA

Ing. Miguel D. N. Lópina Profesor Consulto Titular

Ing. Carlos A. Rodríguez Tarrío Profesor Adjunto

Facultad de Ingeniería

Universidad de Buenos Aires

65.09.00 Cátedra de Teoría de Circuitos

1994 rev 6-5-07

ECUACIONES DE REDES - TOPOLOGIA 0.1. Autores: Este trabajo recoge la creatividad y la experiencia acumuladas en el tema desde 1973 hasta 1991 por el Profesor Consulto Titular Ing. M. D. N. Lópina durante su paso por las cátedras de Teoría de Circuitos a su cargo en las Universidades de Buenos Aires y del Centro de la Provincia de Buenos Aires. Se basa en una publicación suya efectuada en 1985 para la última de las universidades. El lng. C. A. Rodríguez Tarrío se ha desempeñado en la Universidad de Buenos Aires desde 1986 como Profesor Adjunto en la mencionada cátedra de Teoría de Circuitos, y se encuentra a cargo de la misma actualmente. Ha desarrollado una amplia experiencia en la teoría y en la práctica relativas al tema. Ha intervenido activamente en la confección de los originales y aportado su valioso espíritu crítico. 0.2. Colaboradores El lng. Ariel Lichtig es Jefe de Trabajos Prácticos en la cátedra anterior y posee un fluido manejo de los problemas de aplicación de la teoría de circuitos. Para esta obra ha colaborado en la realización de los estudios de caso 3 y 5 y diseñado las figuras. El Ing. Horacio Podestá como Jefe de Trabajos Prácticos e integrante del Grupo COMPELEC de la Facultad de Ingeniería de la Universidad de Buenos Aires ha confeccionado con AutoCad y Word para Windows las figuras del texto. 1 .1. Introducción: En la electrotecnia es un objetivo fundamental resolver circuitos eléctricos, o sea calcular las tensiones y las corrientes en todos los componentes de los sistemas en estudio. Es tradicional en los cursos elementales comenzar el tratamiento del tema haciendo uso del método de las corrientes de malla, de muy cómoda formulación para los circuitos sencillos, a nivel de iniciación. Este método falla para los circuitos prácticos. en general no planares que no pueden dibujarse sobre una superficie sin intersecciones mutuas. Se pasa de inmediato al método de las tensiones de nodo respecto de un nodo de referencia, lo que permite ya trabajar a nivel de ingeniería, aunque muchos profesores de electrotecnia básica sólo incorporan el método como un dual del de corrientes de malla, sin explotarlo adecuadamente. Sin embargo es el método por excelencia para la resolución de circuitos en forma sistemática por medio de computadoras.

En general se procede mecánicamente y no se aprovechan las propiedades topológicas de los circuitos, y para casos complicados, por ejemplo con transformadores y generadores controlados, no resulta sencillo extender los métodos anteriores ni encontrar las ecuaciones necesarias y suficientes para plantear cada problema. Por otra parte las formulaciones mencionadas conducen a sistemas de ecuaciones diferenciales de orden superior, y se hace conveniente desarrollar métodos que lleven a conjuntos de ecuaciones diferenciales de primer orden, fáciles de plantear y resolver con herramientas analíticas y computacionales. Resulta imperativo escribir y resolver el mínimo número de ecuaciones de un sistema, que sea suficiente para determinar las incógnitas y que luego, por medio de reemplazos algebraicos adecuados, permitan conocer la totalidad de las variables del circuito. En general se dispone de dos grupos de ecuaciones que dan el modelo matemático de cada sistema eléctrico: 1 - Un primer grupo de ecuaciones diferenciales que describen el comportamiento de cada elemento del sistema. Corresponden a la generalización de la ley de Ohm y dan las relaciones funcionales entre tensiones y corrientes en cada dispositivo. 2 - Un segundo grupo de ecuaciones algebraicas que dependen de la geometría (topología) del sistema. Corresponden a las leyes de Kirchhoff primera (de corrientes) y segunda (de tensiones), y dan las relaciones de interconexión entre dispositivos. Aunque el presente estudio se basará en una red eléctrica, aprovechando el mismo desarrollo conceptual es posible tratar el caso de sistemas mecánicos de traslación y/o rotación, electromecánicos y otros. Para ello solamente se deben establecer las analogías entre las variables y los parámetros de dichos sistemas y sus correspondientes eléctricos. 1 .2. Estudio de Caso 1 (aparentemente simple): Para ilustrar lo aseverado más arriba se le pide al lector que resuelva por el método de corrientes de malla el sencillo caso de un generador trifásico simétrico en conexión estrella, que alimenta en régimen permanente a una carga trifásica también simétrica en conexión triángulo, a través de una canalización formada por dos cables tripolares en paralelo, donde se ha cometido el error de transponer dos conductores en uno de los cables, provocando así un típico “cortocircuito de principiante”. Como es tradicional aunque inexacto, el generador se considerará formado por tres fuentes de tensión monofásicas, con impedancias propias constantes, y fases desacopladas unas de las otras. Igualmente se modelarán los cables, también inexactamente, como impedancias serie desacopladas. El circuito

quedará como se indica en la figura 1.

A pesar de todas las simplificaciones establecidas se encontrarán dificultades para escribir las ecuaciones del sistema por el método de corrientes de malla, usualmente tan pregonado en las primeros cursos de la especialidad, pero totalmente inútil en su utilización práctica. A continuación se pide al lector que encare el mismo Estudio de Caso por el método de tensiones de nodo, tomando como nodo de referencia el centro de estrella del generador. Verá que ahora puede plantear las ecuaciones con comodidad en forma sistemática, aunque por practicidad de trabajo previamente deberá convertir las fuentes de tensión en fuentes de corriente y las impedancias en admitancias, cosa poco simpática también para los cursos elementales de electrotecnia. Hay muchos casos en los que no es factible pasar a un modelo con fuentes de corriente. o en los que la presencia de transformadores de potencia, de elevado factor de acoplamiento, dificulta la solución numérica. Por ello se hace necesario reestudiar las bases del planteamiento de las ecuaciones de los sistemas eléctricos y encontrar formulaciones generales y alternativas que permitan con total seguridad y suficiente exactitud modelar matemáticamente cualquier red.

En este trabajo se escribirán las ecuaciones de Ohm tomando primeramente las corrientes como variables de cálculo independientes, formulación impedancia, y en segundo lugar tomando las tensiones como variables independientes, formulación admitancia. Se mostrará cómo incluir transformadores y generadores controlados en las ecuaciones. Existen métodos de formulación directa en variables mixtas, con corrientes y tensiones mezcladas, que se verán en una publicación posterior y que facilitarán y generalizarán el tratamiento del tema. Otra muy importante tarea es la solución analítica y/o numérica de las ecuaciones, cosa que escapa a este trabajo. Finalmente merece mencionarse que los elementos serán considerados lineales. La no linealidad de los mismos se traduce en adicionales y complicados mecanismos de planteamiento y solución, tampoco a tratarse en este escrito. 2.1. Definiciones iniciales: A continuación se recapitula un grupo básico de conceptos de uso corriente en el área. Se intenta perfeccionar la comprensión más acabada de términos que serán usados en este trabajo. Topología: Estudio sistematizado de los elementos componentes de una red eléctrica y sus vinculaciones recíprocas. Elemento: Constituyente individual de una red con dos o más terminales o bornes que sirven para la interconexión con otros elementos. Nodos y ramas: Los puntos de unión de los elementos en una red se llaman nodos. Varios elementos pueden unirse entre sí y considerarse como una sola unidad o conjunto. Cuando varios elementos se unen entre sí de manera que la corriente sea la misma en todos ellos, se dice que se conectan en serie. Los puntos de unión entre los componentes se llaman nodos internos. El par de nodos externos son los nodos propiamente di-chos o simplemente nodos. El conjunto de elementos en serie entre los nodos propiamente dichos se llama rama. Cuando los elementos se unen entre sí de manera que la tensión sea fa misma en todos ellos, se dice que se conectan en paralelo. Los elementos en paralelo se consideran ramas internas. El conjunto de elementos en paralelo entre los dos nodos comunes se llama rama propiamente dicha o simplemente rama. Dipolo: Elemento con dos terminales o bornes. Los componentes individuales o unidos en serie o en paralelo o de otra forma mixta que, una vez asociados, den lugar a un único par de terminales externos propiamente dichos, también entran en la definición de dipolo. Se pueden definir en él dos magnitudes eléctricas complementarias: la corriente que circula a través del dipolo y la tensión o diferencia de potencial que

simultáneamente existe entre sus terminales. La misma corriente que entra por un terminal sale por el otro. Su sentido convencional se indica con una flecha, que marca la dirección en que circulan las cargas eléctricas positivas cuando la corriente es positiva. Cada terminal posee un potencial en un instante dado. Se asigna convencionalmente signo positivo (+) a un terminal, y negativo (-) al otro. Cuando el terminal (+) es efectivamente más positivo que el terminal (-). la diferencia de potencial o tensión en el elemento es positiva. Convenciones consumidora y generadora: Un dipolo se simboliza en convención consumidora cuando la corriente se dibuja entrante por el terminal dibujado como positivo para la tensión. Si la corriente es positiva y simultáneamente la tensión también es positiva, las cargas eléctricas positivas entran en el elemento por el borne de mayor potencial y salen del mismo por el de menor potencial. Esto significa que las cargas salen con menor energía que aquélla con la que entran al elemento. Por consiguiente dejan energía en éste. Lo que equivale a decir que en esas condiciones el elemento consume energía. Opuestamente un dipolo se simboliza en convención generadora cuando la corriente se dibuja saliente por el borne dibujado como positivo para la tensión. Cuando la tensión y la corriente son simultáneamente positivas, cargas positivas salientes por el borne (+) poseen mayor energía que cuando entran por el borne (-). En esa situación las mismas reciben energía del elemento. Dipolo pasivo: Aquél en el que, partiendo de un estado inicial relajado (sin energía almacenada), a lo largo del tiempo la energía neta consumida es siempre esencialmente positiva o nula (igual o mayor que cero). Cuando el dipolo pasivo, inicialmente “desenergizado” o relajado, no puede volver a su estado inicial con un consumo neto de energía igual a cero, se lo llama dipolo disipador de energía. En caso de que pueda devolver a la red a la que está conectado toda la energía que recibió desde el comienzo de su energización, se lo llama dipolo almacenador de energía. Por ejemplo es netamente disipador un resistor puro o ideal, y son netamente almacenadores los inductores y capacitores puros o ideales. Cuadripolo: Los terminales son los puntos de conexión de los elementos al resto de la red. En un dipolo la corriente que entra en un borne sale íntegramente por el otro. Los dos terminales configuran una puerta. Un cuadripolo es un elemento o conjunto de elementos acoplados, con un total de cuatro terminales y dos puertas. Cada puerta corresponde a un par de terminales, asociados a su vez a una determinada corriente (la misma que entra por un terminal, sale por el otro del par). Más exactamente en lugar de hablar de cuatro terminales se debe hablar de dos pares de terminales o de dos puertas. Grafo: Es la representación geométrica, topológica, de una red donde se han conservado los nodos y se han reemplazado los elementos o ramas por “arcos” entre los nodos, configurando un esqueleto de la disposición física de la red. Grafo orientado: Es un grafo donde a cada rama se le ha asignado una flecha que indica la dirección positiva convencional de un nodo al otro a lo

largo de la rama. Malla: Es una trayectoria o camino cerrado a lo largo de dos o más ramas, que no pasa dos veces por un mismo nodo, y que no contiene elementos o ramas en su interior o en su exterior (o a su izquierda o derecha-ver malla 4 fig. 8). Lazo o bucle: idem malla pero puede tener elementos interiores o exteriores. Corte: superficie que corta al grafo de tal forma que sea cerrada e incluya a uno o más nodos. 3.1. Ecuaciones de Ohm y ramas tipo. La ley de Ohm para una rama pasiva en convención consumidora puede expresarse en formulación impedancia: u = Z(p) . i u = u(i) [1] o en formulación admitancia: i = Y(p) . u i = i(u) [2] El dipolo correspondiente se esquematizará en forma de “caja negra”en Convención consumidora, conteniendo los elementos particulares de cada caso. Dicha “caja negra” se reemplazará por una línea sobre la que se marcará con una flecha el sentido de la corriente. La caída de potencial o tensión entre los terminales se señalará con los signos “+“ y “-“, con el positivo en la cola de la flecha. En realidad, bastará con la flecha, sobreentendiéndose el + y el -. Ver figura 2.

Si en la rama existe una fuente de tensión Uf, se la dibujará en convención generadora respecto de la corriente definida para la rama. Si en la rama

existe una fuente de corriente If, se la dibujará en conexión generadora respecto de la tensión definida para la rama. En la figura 3 se han representado fuentes de tensión y corriente separadamente, sin estar acompañadas por impedancias en serie ni admitancias en paralelo. Se las llama fuentes no acompañadas.

Las ecuaciones serán, respectivamente: u = -Uf i = -If Frecuentemente se encontrará una fuente de tensión Uf acompañada por una impedancia en serie Z(p) o una fuente de corriente If acompañada por una admitancia en paralelo Y(p), según se indica en la figura 4, parte “a”.

Las ramas tipo elementales obedecen a relaciones funcionales de sus variables u e i, que se pueden expresar en formulaciones impedancia o admitancia respectivamente: u = Z . i – Uf [3] i = Y . u – If [4] Puede generalizarse un poco más la situación considerando la existencia simultánea de fuentes de tensión y de corriente como se muestra en la misma figura 4 parte “b”, escribiéndose las ecuaciones de Ohm ahora: u = Z . i – U en formulación impedancia Con U = Uf – Z . If [5] i = Y . u – I en formulación admitancia Con I = If – Y . Uf [6]

3.2. Acompañamiento de fuentes. En el caso en que se tuvieran ramas con fuentes puras se puede, en algunas ocasiones, trabajar directamente con las ecuaciones [3] y [4], con Z=0 ó Y=0. Usualmente lo más conveniente es “trasladar” las fuentes puras y convertirlas en fuentes acompañadas. Si se trata de una fuente de tensión Uf en la situación indicada en la figura 5(a), se la puede trasladar “abriendo” uno de sus nodos, por ejemplo el m, desdoblándolo en los nodos m´ y m´´, internos de las ramas np y nq, de modo de obtener el circuito equivalente de la figura 5(b). Con ello se ha convertido a la fuente no acompañada Uf en dos fuentes acompañadas. Además, se tendrá una rama menos y un nodo más en el grafo. Se verifica que se cumple la segunda ley de Kirchhoff idénticamente en ambos casos. No queda definida la corriente a través de la fuente original, la que deberá calcularse una vez resuelto el circuito reemplazante. En este ejemplo podría haberse eliminado el nodo n en lugar del m, quedando entonces tres fuentes de tensión acompañadas.

Lo mismo puede hacerse para el caso de fuentes de corriente no acompañadas. Supóngase el circuito de la figura 6(a) con la fuente If. En este caso se “abre” una de las mallas con la fuente If desdoblando a esta última en dos iguales con los sentidos adecuados de modo que el resto del circuito no se altere. El circuito reemplazante es el de la figura 6(b), donde se han eliminado la malla r y la rama 2-3 y quedaron dos fuentes de corriente acompañadas. En el nodo 1 no hay ninguna contribución adicional por cuanto en él se suma y se resta el mismo valor de las fuentes If. La diferencia de potencial entre los nodos 2 y 3 deberá calcularse posteriormente. En este ejemplo podría haberse eliminado la malla s en vez de la r, quedando entonces tres fuentes de corriente acompañadas.

3.3. Ecuaciones de Ohm en el Estudio de Caso 2: Dado el circuito de la figura 7a, se pide establecer las ramas tipo y escribir las ecuaciones de Ohm. Primeramente se numeran las ramas y se agrupan los elementos que formarán parte de las mismas (R1 con Uf1, G5 con If5). También se elige el sentido positivo de cada una de las ramas (ver flechas). Como norma de nomenclatura para los dibujos de una red, se indicarán:

las ramas mediante símbolos encerrados en cuadrados, los nodos mediante símbolos encerrados en círculos, y las mallas mediante símbolos encerrados en triángulos.

En la figura 7b se dibuja el grafo del circuito y se designan las ramas y sus elementos y los sentidos positivos de las corrientes y tensiones. Quedan entonces definidas las polaridades convencionalmente positivas de las fuentes, que ahora deberán compararse con las realmente existentes en el circuito: si coinciden, van en las ecuaciones con signo “+“ y, en caso contrario, con “-“. Rama por rama se escriben ahora las ecuaciones de Ohm de la red: u1 = R1 . i1 – Uf1 (formulación impedancia tipo [3]) u2 = R2 . i2 (formulación impedancia tipo [1]) i3 = C3 .p . u3 (formulación admitancia tipo [2]) u4 = L4 .p . i4 (formulación impedancia tipo [1]) i5 = G5 . U5 – If5 (formulación admitancia tipo [4]) i6 = G6 . U6 (formulación admitancia tipo [2]) Uf1 entra positiva en u = Z . i - Uf

If5 entra positiva en i = Y . u - If 3.4. Ecuaciones matriciales de Ohm de una red. Para toda red se pueden escribir las ecuaciones de Ohm en formulación impedancia o en formulación admitancia expresadas en forma matricial: a) En formulación impedancia:

Para una rama tipo elemental: u = Z . i – U con U = Uf – Z . If Para toda la red: [u] = [Z] . [i] – [U] con [U] = [Uf] – [Z] . [If] [7]

fuentes de tensión equivalentes de Thevenin de toda la red. b) En formulación admitancia: Para una rama tipo elemental: i = Y . u – I con I = If – Y . Uf

Para toda a red: [i] = [Y] . [u] – [I] con [I] = [If] – [Y] . [Uf] [8] fuentes de corriente equivalentes de Norton de toda la red. 3.5. Ecuaciones matriciales de Ohm en el Estudio de Caso 2: Particularizando las ecuaciones [7] y [8] se obtienen: La matriz de impedancias:

La matriz de admitancias:

Los vectores fuentes de tensión y corriente:

Los vectores fuentes equivalentes de Thevenin y Norton:

La ecuación matricial de Ohm en formulación impedancia:

La ecuación matricial de Ohm en formulación admitancia:

Estas dos ecuaciones matriciales reproducen las relaciones funcionales de Ohm ya escritas más arriba en forma de ecuaciones separadas. Se usará una u otra ecuación matricial según convenga. 4.1. Relaciones topológicas - Formulación de las leyes de Kirchhoff. Se supone que existen r ramas en la red, todas con elementos pasivos o con fuentes acompañadas. Por cada rama hay dos variables a calcular: su tensión u y su corriente i, o sea, hay 2-r variables incógnitas. Las relaciones funcionales de rama ofrecen una ecuación para cada rama (en formulación impedancia o admitancia). Hace falta encontrar un conjunto de r ecuaciones adicionales para poder resolver el sistema. Dichas ecuaciones provienen de relaciones topológicas de la red, obtenidas a partir de las leyes de Kirchhoff. Se trata ahora de encontrar vinculaciones ordenadas y completas de tipo topológico, es decir, que dependan de la geometría del grafo. Dichas vinculaciones surgen de considerar las interconexiones entre ramas, nodos y mallas, y expresarlas en forma de vectores y matrices. Estos arreglos, a su vez, serán susceptibles de ser combinados mediante oportunas operaciones. Para establecer las ecuaciones de vínculo es conveniente reemplazar al circuito real por su grafo orientado, esqueleto de la red, más simple, independizándose del tipo de elemento de cada rama especifica y de sus valores numéricos. El circuito del Estudio de Caso 2, por ejemplo, tendrá por representación el grafo orientado de la figura 8. Se tienen 6 ramas, 4 nodos y 4 mallas que se designan mediante números encerrados en cuadrados, círculos y triángulos, respectivamente. A las ramas se les asignó una orientación arbitraria en la figura 7.b.

Se obtendrán relaciones basadas en la primera y en la segunda ley de Kirchhoff. Pero, en lugar de sumar corrientes en los nodos o tensiones en las mallas, se insertarán “unos” o “ceros” en matrices llamadas de incidencia, según participe o no el elemento en cuestión en la respectiva ley. Además, se pondrá “+1” o “-1” de acuerdo a que exista o no coincidencia con el sentido adoptado como positivo.

4.2. Vectores de incidencia de nodos y cortes. Para el nodo 1, si se adopta que las corrientes salientes sean positivas, por la primera ley de Kirchhoff se tiene:

i6 + i2 + i1 = 0 Esto se podría escribir mediante el producto de: 1) Un vector fila de “incidencia de nodo”, constituido por tantos elementos como ramas haya, colocando “+1” en los casilleros correspondientes a las ramas 1, 2 y 6. Y “0” (o “nada”) en las restantes, y 2) Un vector columna constituido por las 6 corrientes de rama. Se tendrá:

Simbólicamente esto se puede escribir: [a1] . [i ] = 0, donde [a1] es el vector de incidencia para el nodo 1:

EI vector de incidencia correspondiente al nodo 2 vale:

En este nodo la rama 3 es saliente, entonces va un "+1", mientras que las ramas 2 y 4 por ser entrantes llevan "-1". Las restantes ramas no están relacionadas con este nodo por lo que el elemento va con "0". Igualmente se procede con el nodo 3 y se tendrán tres vectores de incidencia de tres nodos independientes correspondientes al grafo. También se puede escribir la ecuación de corrientes para el nodo 4, pero su vector de incidencia conduce a una ecuación que es combinación lineal de las anteriores. Se puede extender el concepto de vector de incidencia a un "corte", en vez de aplicarlo solamente a un nodo. Para ilustrarlo se toma una superficie que corte al grafo de tal forma que sea cerrada e incluya a uno o más nodos. Elegido un sentido positivo para la superficie de corte o "corte", que se indicará con una flecha en el dibujo, se asignará "+1" a las ramas que incidan en el corte con igual sentido que el adoptado, con "-1" a las de sentido contrario y con "0" a las que no incidan. En la figura 9 se han indicado los cortes "c" y "k". El vector de incidencia del corte "c" se obtiene considerándolo como un gran nodo:

y entonces se puede escribir: [ac] . [i ] = 0, que es la primera ley de Kirchhoff aplicada a este corte.

Los cortes, por lo tanto. Son una generalización de los nodos, pudiendo considerarse a estos últimos como cortes que contienen un solo nodo. En general en un grafo habrá muchos cortes posibles, pudiendo agruparse todos los vectores de incidencia de cortes como filas de una matriz “de Cortes totales” [AT], entendiéndose que las filas que corresponden a nodos son cortes particulares. Esto dará lugar a un número de columnas siempre igual al número de ramas y a una cierta cantidad de filas que dependen de la red. Efectuando las posibles combinaciones resulta(hay

otros cortes posibles que se escribirían a continuación del c y del k): Se cumple que: [AT] . [i] = [0] , que agrupa, entre otras a: [a1] . [i] = 0 [ac] . [i] = 0 y donde “[0]” es ahora un vector columna nulo de tantas filas como filas tiene [AT], en tanto que “0” es el valor escalar nulo. Lo indicado da todas las expresiones posibles de la primera ley de Kirchhoff de la red dada. Habrá ecuaciones redundantes y se deberá seleccionar el conjunto mínimo de vectores que no resulten combinaciones lineales entre sí. 4.3. Vectores de incidencia de mallas y bucles. El paso siguiente será escribir las restantes ecuaciones por aplicación de la segunda ley de Kirchhoff. Si se toma de nuevo el ejemplo de las figuras 7 y 8, las orientaciones preestablecidas dan los sentidos convencionales de las corrientes y simultáneamente los sentidos convencionales de las caídas de potencial en las ramas. Se puede tomar una malla “1”, como en la figura 8, con un cierto sentido que se marcará con una flecha y, al recorrerla, ir computando la suma algebraica de las tensiones. Si la flecha de la rama va en igual sentido que la flecha de la malla, la tensión o caída de potencial es positiva, ya que va del borne “+” al borne “-”. Será negativa en caso contrario. Para dicha malla se tendrá:

u2 + u3 – u1 = 0. La ecuación podrá escribirse vectorialmente así: es decir, [b1] . [u] = 0, donde [b1] es un vector fila denominado “vector de incidencia de malla”, que da la incidencia de las ramas en esa malla. Para cualquier otra malla, si las ramas involucradas tienen el mismo sentido que el elegido para aquella, se colocará en el casillero correspondiente un “+1”, si el sentido es opuesto, un “-1”, y si la rama no pertenece a la malla, un “0”. Para las mallas “2” y “3” se tiene: Se definió como malla a una trayectoria cerrada que no encierra ninguna arista o rama. Esto significa que al recorrerla en sentido dado (por ej. horario) no existe ningún elemento hacia uno de sus lados (por ej. a su derecha). La trayectoria externa 4 (ramas 1-5-6) del circuito, recorrida en sentido antihorario, constituye también una malla. Para cada trayectoria como las definidas se puede expresar su vector de incidencia de malla.

Se puede extender el concepto de vector de incidencia a un “lazo o bucle”, en vez de aplicarlo solamente a una malla. Para ilustrarlo se toma una trayectoria que puede o no incluir una o más ramas en su “interior”. Elegido un sentido positivo para dicha trayectoria, que se indicará con una flecha en el dibujo, se asignará “+1” a las ramas que incidan en el bucle, con igual sentido que el adoptado, “-1” a las de sentido contrario y “0” a las que no incidan. Se puede entonces escribir un vector de incidencia para el bucle “b” de figura 10 de la misma manera que para las mallas: Y aquí también valdrá [bb] . [u] = 0. Otro bucle posible sería el j. Ahora se puede escribir una “matriz de incidencia de bucles totales” [BT] que incluya como caso particular a las mallas 1, 2, 3 y 4 y a los bucles como los b y j. En la red hay otros bucles a más de los mencionados. Se cumple: [BT] . [u] = [0] , que agrupa, entre otras a: [b1] . [u] = 0 [bb] . [u] = 0 y donde “[0]” es ahora un vector columna nulo de tantas filas como filas

tiene[BT], en tanto que “0” es el valor escalar nulo. Lo indicado daría todas las expresiones posible de la segunda ley de Kirchhoff de la red dada. Habrá ecuaciones redundantes y se deberá seleccionar el conjunto máximo de vectores que no resulten combinaciones lineales entre sí. 4.4. Arbol y coárbol. El grafo original tiene una cierta cantidad total “N” de nodos, 4 en este caso.

Si se parte de los nodos sueltos, sin ramas o aristas que los vinculen, para interconectar dos nodos se necesita al menos una arista. Para tener continuidad con un tercero, se requieren dos aristas; y para un cuarto, tres aristas. Con esto se han vinculado entre sí todos los nodos en su mínima expresión. Así ocurre en un grafo de “conectividad” igual a “uno” o grafo simplemente conexo. Hay casos, como el del transformador, en que existen circuitos acoplados, con elementos en grupos separados unos de otros desde el punto de vista conductivo y que formarán dos subgrafos con nodos separados. Puede tomarse un nodo común a los dos subgrafos sin que se agreguen trayectorias cerradas adicionales. Ahora, la conectividad del sistema o cantidad de subgrafos valdrá “dos”. Por lo recién visto, si se interconectan los N nodos totales sin que se formen circuitos cerrados, hace falta intercalar un número total de ramas n = N - 1 cuando la conectividad es igual a uno; n = N - 2 cuando la conectividad vale dos; y en forma general, n = N – s cuando la conectividad es s. Cada conjunto de n ramas que interconectan los nodos, manteniendo la conectividad original y sin formar caminos cerrados, constituye lo que se denomina un “árbol” del grafo. Las ramas restantes forman el “coárbol”. Las ramas del árbol se llaman “ramales” y las del coárbol, “eslabones”. Para el caso en estudio, se han seleccionado las ramas 1, 3 y 5, para constituir el árbol (ramales), con lo que las ramas 2, 4 y 6, forman el coárbol (eslabones), como se muestra en figura 11.

Si n es el número total de ramales y r es el número total de ramas, resulta que el número total de eslabones m será m = r – n. Esto será útil para decidir cuántas ecuaciones habrá que escribir usando las leyes de Kirchhoff. 4.5. Aplicación de la primera ley de Kirchhoff. Volviendo al ejemplo anterior, se orientan las ramas del árbol y del coárbol. Se marca con líneas llenas el árbol y con líneas de trazos el coárbol para su fácil identificación. Para elegir la cantidad máxima de ecuaciones

de la primera ley de Kirchhoff que sean independientes entre sí se determina el conjunto de “cortes fundamentales”. Se define como corte fundamental aquel que intercepte sólo a un ramal. Por lo tanto las otras ramas interceptadas no pertenecerán al árbol, es decir, que serán del coárbol, como se ve en la figura 11. Se asigna un número al corte, que será coincidente con el del único ramal al que intercepta, y un sentido positivo que por convención será el adoptado para el ramal. De esta manera, para el corte fundamental "C1" su vector de incidencia será:

En este caso particular, dada la configuración del sistema y la elección del árbol, las ecuaciones de los cortes fundamentales coinciden con las ecuaciones correspondientes a los nodos 1, 2 y 3. Pero esto no siempre es así ya que podría haberse tomado el árbol de la figura 12. Ahora los ramales son 1, 2 y 5. EI corte fundamental C1 estará asociado con los eslabones 3, 4 y 6. EI vector de incidencia [aC1] estará asociado al corte mencionado, no a un nodo. EI caso ilustra la situación más general que se puede encontrar.

Con eI criterio señalado se escribe la matriz de cortes fundamentales para la figura 11, [AF], con tantas filas como ramales y tantas columnas como ramas haya en el grafo:

De donde se puede escribir: [Af] . [i] = [0] [9] cuyas ecuaciones corresponden a la primera ley de Kirchhoff y están rígidamente ligadas al grafo orientado y al árbol que se ha elegido. Ahora se pueden reordenar las columnas colocando primero, en orden sucesivo, las que corresponden a los ramales y luego a los eslabones, de esta forma: Al escribir [Af] de esta manera se forman dos submatrices, una primera cuadrada y unidad y otra que puede ser, según el caso, rectangular o cuadrada. La primera submatriz unidad de n x n elementos, será simbolizada [1]: y la segunda, una matriz de n x m, será denominada [Are] por corresponder a los coeficientes que vinculan los ramales con los eslabones. A la matriz [Af] ordenada de esta forma se la llamará simplemente [A], y queda: De ahora en adelante, cuando se coloque [A], sin subíndice, se sabrá que se refiere a la matriz de cortes fundamentales ordenada, que es única una vez elegido el árbol. Escribiendo la primera ley de Kirchhoff se tiene: [A] . [i] = [0] [11] donde:

Es decir. es un vector de seis elementos que se lo puede considerar compuesto de dos subvectores, uno de corrientes de ramales [ir] y otro de corrientes de eslabones [ie]. Entonces se puede escribir:

[ir] = [Are] . [ie] [13] Esto es sumamente importante, ya que si se conocen las corrientes en los eslabones, por relaciones algebraicas se pueden calcular inmediatamente Las corrientes en los ramales. Se puede escribir ahora:

donde [ki] = [-Are] y [Ci] dan la relación de todas las corrientes del grafo con las corrientes de los eslabones, que serán las únicas que se necesita calcular y definir. A la [Ci] se la denomina “matriz de conexión de corrientes”. 4.6. Aplicación de la segunda ley de Kirchhoff. Para elegir la cantidad máxima de ecuaciones de la segunda ley de Kirchhoff que sean independientes entre sí se determina el conjunto de “bucles fundamentales”. Se define como bucle fundamental aquel que intervenga sólo un eslabón. Por lo tanto incluirá otras ramas no pertenecientes al coárbol, es decir, serán del árbol, como se ve en la figura 13. Se asigna un número al bucle, que será coincidente con el del único eslabón al que incluye, y un sentido positivo que por convención será el adoptado para el eslabón. De esta manera, para el bucle fundamental “B2” su vector de incidencia será:

Si se tiene dibujado inicialmente sólo el árbol, se puede observar que cada vez que se agrega un eslabón se cierra un circuito, es decir, aparece un bucle fundamental, al que le corresponde una segunda ley de Kirchhoff relacionada con una fila de la matriz de incidencia de bucles totales.

Con el criterio establecido se escribe la matriz de bucles fundamentales [Bf] que constará de tres filas y seis columnas. Resulta:

expresándose la segunda ley de Kirchhoff como: [Bf] . [u] = [0] [15] Aquí también se pueden ordenar las columnas de modo que queden primero las ramas del árbol y luego las del coárbol, obteniéndose:

Se han marcado con n el número de ramales y con m el de eslabones correspondientes. Se han establecido para [Bf] dos submatrices: a la derecha una submatriz unidad de orden m × m, y a la izquierda la submatriz [Ber] de orden m × n que da la relación entre los bucles fundamentales y las ramas del árbol. A la matriz de bucles fundamentales, ordenada de esta forma, se la llamará [B], sin subíndice, y será única luego de elegirse el árbol. Queda:

[B] . [u] = [0] [16] Con igual procedimiento que el empleado al particionar [i ], el vector [u] puede subdividirse en subvectores de ramales y eslabones:

Operando:

de donde: [ue] = [-Ber] . [ur] [18] Es decir que si se conocen las tensiones en los ramales, también se conocen las de los eslabones por aplicación de [18]. Además se puede poner:

Ahora, conocidas las tensiones en los ramales se pueden calcular todas las tensiones de la red a través de la matriz [Cu] que es llamada “matriz de conexión de tensiones”, constituida por una submatriz unidad y otra submatriz [Ku]. 4.7. Relaciones entre ecuaciones y matrices. Haciendo una recopilación de expresiones se tiene:

Estos dos grupos se corresponden entre sí y existe una dualidad total de elementos y expresiones. Si se toma cualquier vector de incidencia de corte [ak] y cualquier vector de incidencia de bucle [bjl y se realiza el producto entre ellos se obtiene: [ak] . [bj]t = 0, en todos los casos. En la figura 14 se han dibujado un bucle j y un corte k cualesquiera, para los que se verifica:

Se observa que el corte k y el bucle j poseen comunes las ramas 2 y 5. Para el corte k la rama 2 coincide con el sentido elegido y entonces se ingresa un "+1" en el vector de incidencia de corte [a k]. Otro tanto ocurre con el bucle j y la misma rama, que también hará aparecer un "+1" en el vector de incidencia de bucle [bj]. En cambio, la rama 5 provee un "+1" para el corte k y un "-1" para el bucle j. Consecuentemente al realizar el producto de vectores precedente se obtendrá cero como resultado. Esto es cierto cualesquiera sean los cortes y los bucles que se tomen, por lo que se puede extender el concepto y poner [a] . [b]t = 0 y extender esta expresión de vectores de incidencia a una más general de matrices fundamentales: [A] . [B]t = [0], o también [B] . [A]t = [0] [22]

Pero entonces:

[Ber]t + [Are] = [0] , o sea: [Are] = - [Ber]t [23] Con lo cual basta definir una de las dos submatrices [Are] o [Ber] para tener la totalidad del conocimiento topológico. Además, como [Are] = - [Ki] y [Ber] = - [Ku] se puede escribir la llamada relación de Okada: [Ki] = - [Ku]t [24] Se pueden interpretar las relaciones obtenidas como la existencia de una dependencia functional de todas las variables [u] respecto de las variables independientes [ur] , o de todas las variables [i ] respecto de las variables independientes [i e] , ya sea a través de la matriz de conexión de corrientes [Ci ] o de conexión de tensiones [Cu ], o a través de las submatrices [Ki ] y [Ku ] vinculadas entre sí por la relación de Okada. Las relaciones comentadas también tienen que ver con el equilibrio de potencias de una red. La potencia absorbida total se puede calcular como: P = u1 . i1 + u2 . i2 + ... + un . in = 0 Que en forma vectorial se puede escribir:

Pero el vector [u] puede expresarse como [u] = [Cu] . [ur] con lo que [u]t será: [u]t = [ur]t . [Cu]t Similarmente el vector [i ] puede ponerse [i ] = [Ci] . [ie] con lo cual se obtendrá finalmente: P = [ur]t . [Cu]t . [Ci] . [ie] = 0 Pero sucede que:

A partir de relaciones exclusivamente topológicas se confirma que la potencia total vale: p = [ur]t . [A] . [B]t . [ie] = 0 ya que [A] . [B]t = 0 Esto significa que la potencia consumida por todas las ramas algebraicamente vale cero, lo cual constituye un principio de balance de potencias. En la teoría de circuitos avanzada se generaliza la expresión anterior con el teorema de Tellegen. Según éste se pueden tomar juegos de tensiones de rama [u’ ] y de corrientes de rama [i ’’] que correspondan al mismo sistema en dos instantes diferentes y efectuarse el producto: [u´]t . [ I´´] = 0 [26] Obteniéndose también cero como resultado. Es más, puede trabajarse con las variables “entre ” de un sistema mecánico de traslación, por ejemplo velocidades [v ], y con las variables “a través” de otro sistema eléctrico, por ejemplo corrientes [i ] y efectuarse el producto [v]t . [i ]. Si ambos sistemas tienen exactamente el mismo grafo orientado, el resultado también será igual a cero. Los juegos de valores también pueden corresponder a diferentes instantes. Todo esto permite usar valores conocidos de variables en un sistema y combinarlos con valores desconocidos de variables en otro sistema para crear ecuaciones de vínculo que ayuden a resolver este último. Siempre sobre la base de que ambos deberán tener el mismo grafo orientado. 5.1. Planteamiento del sistema total de ecuaciones. Con lo visto hasta ahora se tienen las herramientas necesarias para poder trabajar en el planteamiento de las ecuaciones de una red en base al análisis topológico. Se sabe que para cada rama se podrá escribir una ecuación del tipo: u = Z . i – U con U = Uf – Z . If ó i = Y . u – I con I = If – Y . Uf dando un conjunto de r ecuaciones, las que podrán escribirse en notación matricial: [u] = [Z] .[i ] – [U] con [U] = [Uf] – [Z] . [If] ó [i ] = [Y] . [u] – [I ] con [I ] = [If] – [Y] . [Uf] donde [u] e [i ] son vectores columna de las tensiones y corrientes de las r ramas del sistema, así como [Uf] e [If] lo son de las fuentes:

El subíndice r se usa ahora para designar la última rama del circuito. [Z] e [Y] , inversas una de otra, son las matrices de impedancia y admitancia del sistema. Son matrices cuadradas de r x r elementos. Las ecuaciones precedentes dan r ecuaciones de Ohm. De la primera ley de Kirchhoff [A] . [i ] = 0 se obtienen n ecuaciones, y de la segunda ley de Kirchhoff [B] . [u] = 0 se logran otras m que completan la totalidad de las 2 . r ecuaciones que se pueden escribir. Al poner:

Se están definiendo n ecuaciones lineales independientes. Aplicando esta ecuación matricial, por ejemplo, al grafo de la figura 11, se obtiene una primera ecuación algebraica de la forma i1 + ... = 0, una segunda de la forma i3 + ... = 0, y una tercera de la forma i5 + ... = 0. En ellas i1 está sólo en la primera ecuación, i3 sólo en la segunda ecuación e i5 sólo en la tercera. Esto sucede porque la primera parte de la matriz [A] es una submatriz unitaria. Las corrientes de los ramales no se repiten. La segunda parte de la matriz, [Are] , puede contribuir con corrientes de eslabones que se repiten. Resumiendo: se tendrán tres ecuaciones independientes una de otra: [a1] . [i ] = 0 , [a3] . [i ] = 0 , [a5] . [i ] = 0. Esta última conclusión es la clave de todo el planeamiento ya que, escritas las ecuaciones de esta forma se está seguro de completar la cantidad máxima de ecuaciones independientes de la primera ley de Kirchhoff. Lo mismo ocurre al plantear: En este caso, las tensiones de los eslabones u2, u4 y u6 aparecen una sola vez en cada ecuación [bk] . [u] = 0, lo que hace que las mismas resulten independientes entre sí y, además, serán la cantidad máxima de ecuaciones independientes que pueden plantearse usando la ley de Kirchhoff. Recordando que r = n + m, junto con las r ecuaciones de Ohm de rama, se tiene un máximo de 2 . r ecuaciones independientes que concuerda con la cantidad de incógnitas, que son las r tensiones y las r corrientes de cada

rama. En el Est. de Caso 2 a las ecuaciones [7’]u=Zi-U u [8’]i=Yu-I se le agregan: 5.2. Reducción del número de ecuaciones. Lo hecho hasta el momento nos conduce a un total de 2- r ecuaciones

independientes en las 2- r variables del circuito.

Se trata ahora de trabajar con menos ecuaciones, tanto para simplificar la formulación de las mismas, como para reducir el esfuerzo de cálculo. Se verá que hay varias alternativas posibles, que difieren según las variables independientes de cálculo que se adopten, y que se enumeran a continuación: a - En formulación impedancia: 1 - Variables corrientes de rama (r ecuaciones). 2 - Variables corrientes de eslabón (m ecuaciones).

3 - Variables corrientes de malla (m ecuaciones) b - En formulación admitancia: 4 - Variables tensiones de rama (r ecuaciones). 5 - Variables tensiones de ramales (n ecuaciones). 6 - Variables tensiones de nodo (n ecuaciones) c - En formulación mixta:

7 - Variables corrientes de eslabones y tensiones de ramales (r ecuaciones diferenciales de 1er. orden). A tratar en una subsiguiente publicación.

1 - Corrientes de rama: Para obtener esta formulación, las r ecuaciones de Ohm en formulación impedancia: [u] = [Z] .[i ] – [U] con [U] = [Uf] – [Z] . [If] se reemplazan directamente en las m de Kirchhoff de tensiones [B] . [u] = 0, o sea: que ahora quedan expresadas en variables corrientes de rama. Agregando las n de Kichhoff de corrientes: [A] . [i ] = [0] (n ecuaciones) [28] se obtienen las r ecuaciones finales independientes. Es decir, aquí se tienen sólo las r corrientes de rama como incógnitas en lugar de las 2 – r variables originales, con m + n = r ecuaciones ([27] + [28]). Calculadas las corrientes de rama [i ] se reemplazan en las ecuaciones de Ohm para obtener las tensiones de rama [u]. En el estudio de Caso 2 después de efectuar los reemplazos y los productos matriciales se tiene para la ecuación [27]:

[B] . [Z] . [i ] = [B] . [U] (m ecuaciones) [27]

Las 3 ecuaciones [28] se escribieron en [11”] y con estas 3 son 6 (6 incógnitas). 2 - Corrientes de eslabones: Con el objeto de reducir aún más el grupo de ecuaciones a plantear y resolver, se pueden reemplazar las corrientes de rama en función de las corrientes de los eslabones usando las relaciones [i ] = [Ci] . [ie] , y [Ci] = [B]t, quedando entonces las m ecuaciones de Kirchhoff de tensiones [27]: Que corresponde a un grupo de tantas ecuaciones como ramas del coárbol o eslabones haya. Es decir, ahora se tienen como incógnitas sólo las m corrientes de eslabones [ie] en lugar de las r corrientes de rama. Simplificando la nomenclatura puede ponerse: [Ze] . [ie ] = [Ue] (m ecuaciones) [30] donde [Ze] = [B] . [Z] . [B]t es la matriz de impedancias equivalentes de los bucles fundamentales, y [Ue] = [B] . [U] es el vector de fuentes de tensión equivalentes de los bucles fundamentales. En el Estudio de Caso 2 después de efectuar los reemplazos y los productos matriciales se tiene:

Calculadas las [ie ], se obtiene el resto de las corrientes de rama por medio de la matriz de conexión de corrientes [Ci] o con la [Ki]. Luego, como antes, se llega a las tensiones de rama.

[B] . [Z] . [B]t . [ie ] = [B] . [U] (m ecuaciones) [29]

3 – Corrientes de malla: Si en la ecuación matricial del caso anterior se reemplaza a [B] por su igual [Ci]t, se tiene: que es solamente otra forma de escribir la ecuación [29] y donde se parte de: [i ] = [Ci ] . [ie] que sirve para expresar las corrientes de rama [i ] en función de las de eslabones [ie]. Dado que las mallas son un caso particular de los bucles, en casos sencillos se pueden adoptar las clásicas corrientes de malla (ficticias) de la electrotecnia elemental, y expresar las corrientes de rama [i] en función de las corrientes de malla [im]. La matriz que expresa dicha dependencia se llama matriz de conexión de mallas [Cm] y resulta: [i ] = [Cm ] . [im] Por analogía se podrá escribir: Que corresponde a un grupo de tantas ecuaciones como mallas independientes existan. Las incógnitas son ahora solamente las “m” corrientes de malla (ficticias) [im]. Simplificando la nomenclatura puede ponerse: [Zm] . [im ] = [Um] (m ecuaciones) [32] donde [Zm] = [Cm]t . [Z] . [Cm] es la matriz de impedancias de mallas, y [Um] = [Cm]t . [U] es el vector de fuentes de tensión de mallas. Calculadas las [im] se obtienen las corrientes de rama por medio de la matriz de conexión de mallas [Cm], y luego como antes, se llega a las tensiones de rama [u]. Queda como ejercicio para el lector la aplicación de este apartado al Estudio de Caso 2. 4 – Tensiones de rama: En forma análoga al caso 1, para obtener esta formulación, las r ecuaciones de Ohm en formulación admitancia:

[Ci]t . [Z] . [Ci] . [ie ] = [Ci]t . [U] (m ecuaciones) [29’]

[Cm]t . [Z] . [Cm] . [im ] = [Cm]t . [U] (m ecuaciones) [31]

[i ] = [Y] . [u] – [I] con [I] = [If] – [Y] . [Uf] Se reemplazan directamente en las n de Kirchhoff de corrientes [A] . [i ] = 0, o sea: que ahora quedan expresadas en variables tensiones de rama. Agregando las m de Kirchhoff de tensiones:

[B] . [u] = [0] (m ecuaciones) [34] se obtienen las r ecuaciones finales independientes. Es decir, aquí se tienen sólo las r tensiones de rama como incógnitas en lugar de las 2- r variables originales. Calculadas las tensiones de rama [u] se reemplazan en las ecuaciones de Ohm para obtener las corrientes de rama [i ]. En el estudio de Caso 2 después de efectuar los reemplazos y los productos matriciales se tiene para la ecuación [33]:

Las 3 ecuaciones [34] se escribieron en [16’’] y con estas 3 son 6 (6 incógnitas). 5- Tensiones de ramal: Con el objeto de reducir aún más el grupo de ecuaciones a plantear y resolver, se pueden reemplazar las tensiones de rama en función de las tensiones de los ramales usando las relaciones [u] = [Cu] . [ur], y [Cu] = [A]t, quedando entonces las n ecuaciones de kirchhoff de corrientes [33]: Que corresponde a un grupo de tantas ecuaciones como ramas del árbol o ramales haya. Las incógnitas son ahora solamente las “n” tensiones de los ramales [ur]. Simplificando la nomenclatura puede ponerse:

[A] . [Y] . [u] = [A] . [I] (n ecuaciones) [33]

[A] . [Y] . [A]t . [ur] = [A] . [I] (n ecuaciones) [35]

[yr] . [ur] = [Ir] (n ecuaciones) [36]

donde [Yr] = [A] . [Y] . [A]t es la matriz de admitancias equivalentes de los cortes fundamentales, e [Ir] = [A] . [I] es el vector de fuentes de corriente equivalentes de los cortes fundamentales. En el Estudio de Caso 2 después de efectuar los reemplazos y los productos matriciales se tiene:

Calculadas las [ur], por medio de la matriz de conexión de tensiones [Cu] o con la [Ku] se obtiene el resto de las tensiones de rama, y luego como antes, se llega a las corrientes de rama. 6- Tensiones de nodo: Si en la ecuación matricial del caso anterior se reemplaza a [A] por su igual [Cu]t, se tiene: Que es solamente otra forma de escribir la ecuación [35] y donde se parte de:

[u] = [Cu] . [ur] que expresa las tensiones de rama [u] en función de las de los ramales [ur]. Dado que los nodos son un caso particular de los cortes, en muchos casos se pueden adoptar las clásicas tensiones de nodo (respecto de un nodo de referencia) de la electrotecnia práctica y expresar las tensiones de rama de la red [u] en función de las tensiones de nodo [un]. La matriz que expresa dicha dependencia se llama matriz de conexión de nodos [Cn] y resulta:

[u] = [Cn] . [un] Por analogía se podrá escribir:

[Cu]t . [Y] . [Cu] . [ur] = [Cu]t . [I] (n ecuaciones) [35’]

[Cn]t . [Y] . [Cn] . [un] = [Cn]t . [I] (n ecuaciones) [37]

Que corresponde a un grupo de tantas ecuaciones como nodos independientes existan. Las incógnitas son ahora solamente las “n” tensiones de nodo [un]. Simplificando la nomenclatura puede ponerse:

[Yn] . [un] = [In] (n ecuaciones) [38] donde [Yn] = [Cn]t . [Y] . [Cn] es la matriz de admitancias de nodos, e [In] = [Cn]t . [I] es el vector de fuentes de corriente de nodos. Es decir, también ahora se tienen como incógnitas sólo las n tensiones de nodo en lugar de las r tensiones de rama. Calculadas las [un] se obtienen las tensiones de rama [u] por medio de la matriz de conexión de nodos [Cn], y luego como antes, se llega a las corrientes de rama [i ]. Queda como ejercicio para el lector la aplicación de este apartado al Estudio de Caso 2. 5.3. Selección del planeamiento a utilizar. Cuando todas las ramas acepten una formulación impedancia, es inmediato pasar al método de corrientes de eslabones o de mallas (ficticias), de ser posible. Cuando todas las ramas acepten una formulación admitancia, es inmediato pasar al método de tensiones de ramales o de nodos (respecto de un nodo de referencia). Hay que ver cual de los dos sistemas conviene usar ya que en el primer caso se debe llevar todo a fuentes equivalentes de tensión y en el segundo, a fuentes equivalentes de corriente. Si ambas alternativas son viables se deberá evaluar cual de los dos métodos resulta más conveniente. La conversión a fuentes de Thevenin o de Norton puede traer complicaciones en la expresión analítica de las fuentes equivalentes en función del tiempo. En general no convendrá una conversión que implique una integración. Más sencilla será la que involucre una derivación. Por supuesto relaciones de tipo proporcional son las más simples. Tal, por ejemplo, es el caso de una rama que tiene un generador de tensión en serie con un inductor y que se desea convertir en rama con generador de corriente equivalente. La transformación sería más simple si la impedancia acompañante fuera un capacitor, poco real en casos prácticos. Más fácil aún si lo acompaña un resistor. Todo esto es válido para fuentes “acompañadas”, pero según el caso puede

extenderse la validez a fuentes no acompañadas. Si en el circuito se tiene una fuente de tensión no acompañada, en la ecuación [u] = [Z] . [i ] – [U] irá Z = 0 en la rama correspondiente a la fuente pura de tensión. Si en una rama hubiera una fuente de corriente no acompañada iría Z = ∞, cosa que no permitiría la formulación impedancia. Si en la red se tiene una fuente de corriente no acompañada, en la ecuación [i ] = [Y] . [u] – [I ] irá Y = 0 en la rama correspondiente a la fuente pura de corriente. Ahora no se pueden hacer intervenir fuentes de tensión no acompañadas pues sería Y = ∞, y no sería posible la formulación admitancia. Como ya se vio, se puede modificar convenientemente el circuito para que todas las fuentes resulten acompañadas. Pudiendo tratar a la red en cualquiera de las dos formulaciones básicas, si el factor de decisión es el número de incógnitas habrá que tener en cuenta que si se trabaja con impedancias existirán m ecuaciones; con admitancias habrá n. Se llega así al número necesario de ecuaciones que en un caso se corresponderá con el de las corrientes de eslabones (m ecuaciones) y en el otro con el de las tensiones de ramales (n ecuaciones). La presencia de circuitos acoplados con inductores mutuos y transformadores ideales así como la de fuentes controladas crea nuevos problemas de planteamiento que serán objeto de los próximos apartados. 6.1. Circuitos acoplados con inductores mutuos. Si en el circuito existen nada más que resistores, inductores, capacitores, y fuentes de tensión y de corriente acompañadas, la operatoria es sencilla siguiendo los procedimientos anteriores. En [Z] y/o en [Y] sólo aparecerán elementos en su diagonal principal, o sea que en cada rama la corriente y la tensión estarán solamente relacionadas entre sí, con exclusión de influencias de las corrientes y las tensiones de otras ramas. O sea, u1 estará únicamente vinculada con i1, u2 con i2, y así sucesivamente. Por ejemplo, si se tienen cuatro ramas en formulación impedancia:

Si entre dos ramas de un circuito, por ejemplo entre las ramas j y k, existiera una cierta inductancia mutua de valor MJk, se deberá señalar en el

dibujo con, puntos homólogos, la polaridad relativa entre las ramas, como se indica en la figura 15.

Si las corrientes se señalan como entrantes por los puntos homólogos mencionados, en los casilleros correspondientes a las filas j y k y a las respectivas columnas k y j deberán incorporarse términos Zjk(p) = Zkj(p) = Mjk . p, como impedancias mutuas de las ramas j y k. Si no hubiera concordancia entre corrientes y puntos homólogos, se cambiará el signo de los términos mencionados. Además se tendrán que agregar las impedancias propias Lj . p y Lk . p en la diagonal principal de la matriz, siempre positivas. Cuando hay sólo dos circuitos en juego se tiene:

donde las L1 y L2 son las inductancias propias de cada arrollamiento y M. la mutua, como ilustra la figura 16.

Se ve que la formulación impedancia es directamente aplicable. Si se desea despejar las corrientes en función de las tensiones [u], para obtener una formulación admitancia, hay que invertir la matriz de impedancias. Es importante tener en cuenta el determinante D(p) y el factor de acoplamiento K que valen: D(p) = p2 . (L1 . L2 – M2) K = M / (L1 . L2)1/2 En el caso de acoplamiento perfecto K = 1 y D = 0. La matriz no se puede invertir. No se puede pasar a formulación admitancia. En el caso de factor de acoplamiento cercano a uno (0.999...) aparecen problemas numéricos en la solución de las ecuaciones (paréntesis tiende a 0) y habrá que proceder con cautela. Si el circuito estuviese constituido por más de dos elementos, con inducción mutua entre las ramas j y k::

La inversa de [Z] es [Y]. Si [Z] es diagonal, también lo será [Y] siendo sus elementos recíprocos unos de otros. La inversión de la matriz precedente, en cambio, da para la parte diagonal 1/Z1(p) . 1/Z2(p), etc, mientras que la última parte es la inversión de la submatriz de 2 x 2 mostrada arriba. Piénsese en un caso levemente más complicado que el ya estudiado de los dos circuitos de la figura 16, en el que se agregan como ramas separadas las resistencias R1 y R2 de los arrollamientos del inductor mutuo. Dichas resistencias podrían agregarse como las Z1(p) y Z2(p) del ejemplo [39’]. Una manera más práctica de ver las cosas consiste en incorporar a las impedancias Zj(p) y Zk(p) dichas resistencias y escribir en formulación impedancia:

Nótese que para invertir la matriz se deberá trabajar con un determinante más complicado, a pesar de tratarse de sólo dos ramas: D(p) = Rj . Rk + (Rj . Lk + Rk . Lj) . p + (Lj . Lk – Mjk

2) . p2

6.2. Estudio de Caso 3, transformador como inductor mutuo. Se tomará como elemento de estudio un autotransformador elevador, figura 17, de potencia nominal 26,4 kVA y tensiones nominales 220/240 V, frecuencia nominal 50 Hz. Se lo analizará como transformador de dos arrollamientos de 2,2 KVA (26 kVA x 20/240), 220/20 V. Las corrientes nominales primaria y secundaria se calculan en 10 A y 110 A. Correspondería con la figura 16. En la figura 17 se agrega una fuente de tensión Uf para alimentación (rama “f”) y una resistencia Rc como carga (rama “c”). El transformador ocupa las ramas “1” y “2”. En el resto del Estudio de Caso se trabajará solamente con estas dos ramas.

Las inductancias propias primaria y secundaria valen 1,4013 H y 0,011581 H. Según el destino del aparato será la inductancia de dispersión: baja si se usa como elevador para suministro de potencia con poca caída de tensión entre vacío y plena carga, alta si se usa como estabilizador en la alimentación de luminarias de descarga en gas. Baja dispersión equivale a alto factor de acoplamiento magnético entre bobinados, alta dispersión corresponde a factor de acoplamiento bajo. Se estudiarán ambos casos con factores de acoplamiento de 0,9994 para el primero, y 0.8000 para el segundo. Se destaca la importancia del grado de definición (cantidad de dígitos significativos) del factor de acoplamiento, según la aplicación del transformador, y por ende de su construcción. Puede verse este tema en la publicación “Teoría Circuital de Transformadores” lngs. M.D.N. Lópina y N.Lemozy - CEI - 45.05.24 (2817) - Buenos Aires, 1991.

Se desea escribir las ecuaciones en formulación impedancia y admitancia, y calcular las inductancias magnetizante y de dispersión en ambos casos. Se compararán sus valores relativos. Para simplificar el tratamiento no se considerarán las resistencias ni las pérdidas magnéticas. Se han tomado los valores de las inductancias con cinco dígitos significativos, y el factor de acoplamiento con cuatro. Ambas situaciones equivalen a aceptar un error en los datos de aproximadamente 1 en 10.000. Las inductancias mutuas se calculan con la expresión: M = K . (L1 . L2 )1/2 con la que se obtienen: caso 1 M = 0,127314520 ≈ 0,12731 [H] baja dispersión, alto K caso 2 M = 0,101912764 ≈ 0,10191 [H] alta dispersión, bajo K y reemplazando valores en las ecuaciones de la formulación impedancia:

se escriben matrices de impedancia:

Invirtiendo las ecuaciones anteriores se tiene la formulación admitancia:

donde el determinante D(p) se calcula: D(p) = p2 . (L1 . L2 – M2) = p2 . L1 . L2 .(1 – k2) Caso 1 Caso 2 D(p) = 1,9468 . 10-5 . p2 D(p) = 5,8422 . 10-3 . p2

Reemplazando valores se escriben ahora las matrices de admitancia:

Se nota que las admitancias del primer caso son dos órdenes de magnitud

más grandes que las del segundo, haciendo prever comportamientos en carga esencialmente distintos. La inductancia magnetizante Lm referida al primario se considera igual a L1 (secundario abierto, alimentación por el primario). El mismo valor z11/p para ambos casos: Lm = 1,4013 [H] (Ver [A]) o sea iguales comportamientos en vacío. La inductancia de dispersión Ld referida al secundario se calcula como 1/(p . y22) (primario en cortocircuito, alimentación por el secundario): Caso 1 Caso 2 Ld = 0,013893 [mH] Ld = 4,1691 [mH] (Ver [B]) o sea muy disímiles comportamientos en cortocircuito. En el primer caso se puede referir la inductancia de dispersión al primario multiplicando por la relación de transformación al cuadrado. Si como aproximación se usa el mismo factor de conversión para el segundo se tiene: Caso 1 Caso 2 Ld = 0,0016810 [H] Ld = 0,50446 [H] La relación entre las inductancias magnetizante y de dispersión es de 3 órdenes de magnitud en el primer caso. En el segundo ambos parámetros son del mismo orden. Se analiza a continuación la influencia del número de dígitos significativos en los resultados. Para ello se variará en 0,5 por 10.000 (0,005%) el valor de los coeficientes de acoplamiento, aumentándolos a 0.99945 y 0.80004 respectivamente. Las inductancias mutuas resultan ahora: caso 1 M = 0,127320890 ≈ 0,12732 [H] caso 2 M = 0,101917859 ≈ 0,10192 [H] Aparentemente los valores son muy similares a los obtenidos anteriormente. Es necesario ver ahora los valores del determinante D(p) = p2 . L1 . L2 . (1 - k2) que con los nuevos factores de acoplamiento dan: Caso 1 Caso 2 D(p) = 1,7846 . 10-5 . p2 D(p) = 5,8412 . 10-3 . p2 Se observa que en el primer caso una variación del medio en diez mil en

el factor de acoplamiento se traduce en una variación de más del ocho porciento en las admitancias. En el segundo caso, en cambio, una variación relativa similar modifica sólo en algo más del uno en diez mil las admitancias. Todo lo dicho está relacionado además con la sensibilidad de las cuentas a la cantidad de dígitos considerados, y muestra las dificultades de la inversión de la formulación impedancia cuando el factor de acoplamiento es cercano a la unidad. Se deja como ejercicio para el lector el planteamiento de las ecuaciones matriciales cuando el transformador se conecta como autotransformador, se lo alimenta con tensión nominal primaria y se carga con carga nominal secundaria (fjg. 17). 6.3. Circuitos acoplados con transformadores ideales. Hay otros circuitos acoplados para los cuales es más difícil obtener la formulación u = u(i ) ó i = i(u). Tómese el caso del transformador ideal, figura 18, en el cual hay dos ramas separadas, ambas en convención consumidora. Las vinculaciones entre las tensiones y las corrientes del transformador ideal, de relación de transformación a = N1/N2, son: u1/u2 = a Que conducen a: i 1/i 2 = -1/a

Pero esto no es formulación impedancia ni formulación admitancia. Es lo que se denomina una formulación híbrida de parámetros “h”. También se podrían haber escrito las ecuaciones en la llamada formulación híbrida de parámetros “g”, que tampoco es lo que se quiere obtener.

[41]

Para lograr formulaciones impedancia o admitancia, se acompaña al transformador ideal con impedancia en serie de un lado y admitancia en paralelo del otro. Por ejemplo se puede agregar la admitancia Yp del lado 1 y la impedancia Zs del lado 2, figura 19. Ahora se tiene un cuadripolo con dos puertas a y b y sus cuatro terminales 1, 2, 3 y 4. Se puede considerar al subcircuito de la izquierda como una rama a y al de la derecha como una rama b, constituyentes de un grafo y acopladas entre sí, figura 20.

Las ecuaciones respectivas son: Eliminando las variables i 1 y u2 quedan dos ecuaciones solamente en ua, ub, ia e i b: Finalmente se llega a las formulaciones impedancia u = u(i ) y admitancia i = i(u):

ua = a . ub – a . Zs . i b ib = -a . ia + a . Yp . ua

ua = a . u2 ib = -a . i1

u2 = ub – Zs . i b i1 = ia - Yp . ua

Las primeras, con el reemplazo Zp = 1/Yp, escritas en forma matricial dan:

[C]

Las segundas, con el reemplazo Ys = 1/Zs, escritas en forma matricial dan: [D]

En forma más general, estas variables pueden aparecer en cualquier posición dentro de las matrices del sistema:

Con una inductancia mutua en vez de un transformador ideal acompañado, se colocará La . p en lugar de Zp, M . p en lugar de Zp/a y Lb . p en lugar de Zs + Zp/a2. Un transformador real generalmente ya se representa por un transformador ideal e impedancias serie y paralelo. Estas últimas pueden permutarse, hecha la transformación de valores que corresponda. Así en nuestro caso se podrá disponer una impedancia serie del lado 1 y una admitancia paralelo del lado 2, a conveniencia del resto del circuito. 6.4. Estudio de Caso 4, con transformador ideal.

ua = ia/Yp + i b/(Yp . a) ub = ia / (Yp . a) + ib . [Zs + 1/ (Yp . a2 )]

ia = ua . [Yp + 1/(a2 . Zs)] – ub/ (Zs . a) ib = -ua / (Zs . a) + ub / Zs

Ahora se representará al transformador de alto acoplamiento del Estudio de Caso 3 por el circuito simplificado de la figura 21, con impedancia magnetizante en el primario, impedancia de dispersión en el secundario, y transformador ideal en el medio.

La impedancia magnetizante se aproxima con la inductancia magnetizante Lm, referida al primario, y se toma igual a la inductancia propia primaria: Lm = 1,4013 [H] La impedancia de dispersión se aproxima con la inductancia de dispersión Ld. Ld = 1,3893 . 10-5 [H] La relación de transformación “a” vale: a = N1/N2 = U1n/U2n = 220/20 = 11,00 En formulación impedancia la expresión [C] (título 6.3) se escribirá:

[C’]

y en formulación admitancia, similarmente:

Reemplazando valores se calculan las matrices impedancia y admitancia:

que se pueden comparar con las del Estudio de Caso 3 (alto acoplamiento):

6.5. Circuitos con fuentes controladas. Las fuentes controladas son de cuatro tipos: 1 - Fuentes de tensión controladas por corriente: u = u(i’ ). Se prestan para formulación impedancia en forma directa. 2 - Fuentes de corriente controladas por tensión: i = i(u’ ). Se prestan para formulación admitancia en forma directa. 3 - Fuentes de tensión controladas por tensión: u = u(u’ ) híbrida “g”. Si la rama controlante se asocia con una admitancia en paralelo puede usarse la formulación impedancia. Si en cambio la rama controlada se asocia con una impedancia en serie, puede plantearse también la formulación admitancia. 4 - Fuentes de corriente controladas por corriente: i = i(i’ ) híbrida “h”. Si la rama controlante se asocia con impedancia en serie puede usarse la formulación admitancia. Si además la rama controlada se acopla con admitancia en paralelo, puede plantearse también la formulación impedancia. En la figura 22 se muestran generadores de tensión controlados por corriente. rm es la llamada transresistencia o resistencia mutua o de transferencia. La tensión del lado 2 vale rm . i1 y del lado 1 es u1 = 0. Se puede escribir en formulación impedancia (para fig.22 (a)):

[42a]

Si se le agrega impedancias en serie de ambos lados Z1 y Z2, la ecuación

queda: [42b]

Ahora se puede invertir la matriz y llegar a formulación admitancia.

En la figura 23 se muestran generadores de corriente controlados por tensión. gm es la transconductancia mutua o conductancia mutua o de transferencia. La corriente del lado 2 vale gm . u1. La del lado 1 es i1 = 0. Se escribe en formulación admitancia:

[43a]

Si se le agregan admitancias en paralelo de ambos lados Y1 e Y2 la ecuación queda:

[43b]

Ahora se puede invertir la matriz y llegar a formulación impedancia.

En la figura 24 se muestran generadores de tensión controlados por tensión. µ es el factor de amplificación de tensión. La tensión del lado 2 vale µ . u1. La corriente del lado 1 es i1 = 0. Se obtiene una formulación híbrida de parámetros “g”:

[44a]

Si se agrega una admitancia en paralelo con el lado 1 se puede llegar a formulación impedancia. Agregando además una impedancia en serie con el lado 2 se puede llegar a formulación admitancia. Vale la ecuación:

[44b]

En la figura 25 se muestran generadores de corriente controlados por corriente.

α es el factor de amplificación de corriente. La corriente en el lado 2 vale α . i1. La tensión del lado 1 es u1 = 0. Se obtiene una formulación híbrida de parámetros “h”.

[45a]

Si se agrega una impedancia en serie con el lado 1 se puede llegar a formulación admitancia. Agregando además una admitancia en paralelo con el lado 2 se puede llegar a formulaciones impedancia. Vale la ecuación:

[45b]

6.6. Estudio de Caso 5, con fuentes controladas. Se desea hallar el modelo matricial del conjunto generador-motor-carga de la figura 26 correspondiente a un accionamiento Ward Leonard. El motor es el descripto en “Aplicación didáctica al estudio de transitorio dinámico de máquina eléctrica mediante el uso de variables de estado, convolución multivariable y transformada de Laplace”, Ing. M.D.N.Lópina, CEI, mayo 1990.

Las características son las siguientes: Tensión nominal: Un = 440 [V] Corriente nominal: In = 25,838 [A] Velocidad nominal: Ω n = 104,72 [rad/s] Cupla nominal: Tmn = 95,495 [N . m] Constante de f.e.m. y par del transductor: K . φ = 3,9916 [V/rad/s] Resistencia del inducido: R = 0,85148 [Ω] Inductancia del inducido: L = 0,085148 [H] Coefic. de rozamiento viscoso (con carga): B = 0,145902 [N.m.s/rad] Momento de inercia (con carga): J = 1,45902 [kg.m2] Donde: Em = K . φ . Ω (tensión inducida del motor) Te = K . φ . i (cupla electromagnética) El generador es de excitación independiente y similar al motor, con las siguientes características adicionales: Tensión nominal del campo: Ef = 440 [V] Resistencia del campo: Rf = 340 [Ω] Inductancia del campo: Lf = 340 [H] Constante de f.e.m. a velocidad nominal: Kfg = 355,3 [V/A] Donde: Eg = Kfg . ifg (tensión inducida del generador) Se llega a un modelo circuital del siguiente tipo:

Reduciendo magnitudes al lado eléctrico del transductor equivalente:

La fuente Ef junto con Rf y Lf forman la rama 1. La rama 4 está constituida por Rmg = 2 . R y Lmg = 2 . L. El generador de tensión controlado por corriente muestra su rama

controlante 11’ designada en el grafo con el número 2, Y su rama controlada 2’2, designada con el número 3. La ley de Ohm para dicho elemento se escribe:

La rama 5 corresponde a CJ, y la 6 a GB y Itm, con: GB = B/ (K . φ)2 = 0,145902 / (3,9916)2 = 9,1573 . 10 –3 [S] CJ = J/ (K . φ)2 = 0,45902 / (3,9916)2 = 9,1573 . 10 –3 [F] ITm = Tm/ (K . φ) = 0,25053 . Tm [A] Y el grafo puede dibujarse:

La fuente de corriente ITm, y la conductancia GB conviene reemplazarlas por sus equivalentes de Thevenin, fuente de tensión ETm y RB: ETm = ITm/GB = 0,25053 . Tm / 9,1573 . 10-3 = 27,358 . Tm [V] RB = 1/ GB = 1 / 9,1573 . 10-3 = 109,20 [Ω ] Previamente se ha desvinculado a CJ para evitar introducir el operador “p” en la fuente de tensión equivalente. Ver figura 30.

La formulación matricial completa es :

Las ramas 2 y 3 representan el generador controlado. Deberán ahora introducirse los siguientes valores en las celdas de la matriz de impedancias: Rf + Lf . p = 340 + 340 . p Kfg = 355,3 Rmg + Lmg . p = 1,70296 + p . 0,170296 RB = 109,20 1/(CJ . p) = 1/(9,1573 . 10-2 . p) = 10,920/p ETm= 27,358 . Tm Como alternativa, y dada la configuración del circuito, puede plantearse un grafo distinto, más simplificado, con un total de cuatro ramas:

Y se escribe una ecuación matricial más reducida:

Si bien la expresión matricial es más sencilla, no se reconoce como elemento independiente la submatriz correspondiente al generador de tensión controlado por corriente. 6.7. El transformador ideal como par de fuentes controladas. Los ejemplos anteriores de generadores controlados son unilaterales, es decir que la rama controlada no repercute sobre la rama controlante. Un ejemplo del caso unilateral se tuvo en el generador de corriente continua con excitación independiente, en el cual, al variar la corriente de excitación varía el flujo y por ende la tensión del inducido del generador. Pero la corriente del inducido, dentro de ciertos límites, no influye para nada sobre la corriente del campo o sobre el flujo de la máquina. Se puede considerar el caso de una fuente de tensión por ejemplo en la rama 2, controlada por la tensión de la rama 1, y simultáneamente una fuente de corriente en la rama 1 controlada por la corriente en la rama 2. Las ecuaciones individuales, donde se han reubicado las variables de la segunda fuente serían:

Si se asocian ambas ecuaciones en una única expresión se obtiene la formulación híbrida de parámetros “h”. Si se calcula la relación funcional inversa se tendrá la formulación híbrida de parámetros “g”:

Si se recuerdan las ecuaciones [40] del transformador ideal se ve que: a = -1/α =1/µ O sea µ + α = 0

Entonces puede convenir interpretar dichas ecuaciones a partir de fuentes controladas. Para ello, como u1/a = u2, en el primario se tendrá la tensión u1 y en el secundario un generador de tensión controlado por tensión de valor u1/a. La corriente i1, puede considerarse como i1 = -i2/a, con lo que del lado primario se tiene una fuente de corriente controlada por corriente. Con estas interpretaciones vale el circuito de figura 32. Se trabajará de esta forma con dos fuentes controladas interrelacionadas entre sí. Téngase presente que el transformador ideal es de acción bilateral puesto que lo que pasa en el secundario repercute en el primario y viceversa.

Como variante a la representación del transformador, se puede colocar una fuente de tensión del lado 1 y una fuente de corriente del lado 2, con lo que se logra el circuito de la figura 21.

6.8. Estudio de Caso 6, transformador real en base a fuentes controladas. Usar una u otra forma de las descriptas en el apartado anterior depende del circuito total, puesto que se tendrán que buscar en él los elementos a asociar con las fuentes controladas si se quiere escribir las ecuaciones en formulaciones impedancia o admitancia. Estas fuentes se las puede acompañar, disponiendo la fuente controlada de tensión en serie con una impedancia propia del circuito, que puede ser la de dispersión del transformador. Por otro lado la fuente controlada de corriente se pondrá en paralelo con una admitancia propia del circuito, que puede ser la de excitación del transformador. Entonces se tendrá el circuito de la figura 21. Se tomará ahora el transformador estudiado hasta el momento y se lo representará según la figura 34. En el primario irá la fuente de corriente controlada por la corriente secundaria, y en paralelo con ella se instalará la inductancia magnetizante. En el secundario irá la fuente de tensión controlada por la tensión primaria, y en serie con ella se instalará la inductancia de dispersión. Dada la supuesta polaridad relativa entre los arrollamientos, al ser positivo el borne superior del lado primario, se espera que sea positivo también el superior del lado secundario. Esto indica que la fuente de tensión secundaria deberá dibujarse con su positivo hacia arriba, y valdrá la relación u2 = u1/a.

Por otra parte, suponiendo que en un instante dado entrara corriente por el borne superior del lado secundario, la mencionada polaridad relativa haría que en el primario tendiese en el mismo instante a salir por el borne superior. Esto indica que la fuente de corriente primaria podrá dibujarse con la flecha dirigida hacia arriba, y valdrá la relación i1 = i2/a. Resultan:

ia = ua/Lm . p – ib/a ub = Ld . p . ib + ua/a que conducen a las formulaciones ya obtenidas al usar el transformador ideal como elemento de representación del transformador real. En rigor son modelos equivalentes. 7.1. Más allá. Se han aprendido los conceptos básicos del planteamiento de las ecuaciones de la teoría de las redes eléctricas. Se han extendido los métodos de mallas y nodos de la electrotecnia básica. Se ha trabajado con dispositivos con acoplamiento magnético y se han evaluado las dificultades que pueden presentarse en casos que se aparten un poco de los ejemplos de iniciación. Se han manejado las fuentes controladas y se ha visto que hay frecuentes situaciones que no se prestan para el planteamiento directo, sencillo y seguro de las ecuaciones, y que muchas veces es necesario adaptar la configuración de la red para poder atacarla con las herramientas disponibles . Se hace imperativo el desarrollo de métodos más potentes para la escritura de las ecuaciones. Ese será el objeto de la siguiente publicación que se centrará en el sistema que usa las variables mezcladas y permite, con un poco de práctica, escribir directamente las ecuaciones finales por inspección del circuito, sin más que elegir inteligentemente el árbol. También será valioso que las ecuaciones sean algebraicas y diferenciales de primer orden, y que no contengan expresiones integrales en su formulación. De esta forma se podrán usar las variables de estado y se facilitará la solución por medio de múltiples herramientas analíticas, numéricas y computacionales. 7.2. BibIiografía. Koenig H. E., Blackwell W. A. - Electromechanical system theory - McGraw Hill -New York - U.S.A. - 1961 Lagasse J. - Estudio de los circuitos eléctricos - Tomo 1 - Paraninfo - Madrid - España -1970

Balabanian N., Bickart T. A., Sundaram S. - Teoría de Redes Eléctricas - Editorial Reverté - Barcelona - España - 1972 Gerez Greiser V., Czitrom de Gerez V. - Circuitos y sistemas electromecánicos -Tomo 1 - Representaciones y Servicios de Ingeniería -

México - México - 1974 Iñigo Madrigal R. - Teoría moderna de circuitos eléctricos - Ediciones Pirámide -Madrid - España - 1977 Lópina M. D. N. - Topología de redes - Universidad del Centro de la Provincia de Buenos Aires Olavarría - República Argentina - 1985 7.3. Indice General 0.1 Autores 2 0.2 Colaboradores 2 1.1 Introducción 2 1.2 Estudio de Caso 1 (aparentemente simple) 3 2.1 Definiciones iniciales 5 3.1 Ecuaciones de Ohm y ramas tipo 7 3.2 Acompañamiento de fuentes 9 3.3 Ecuaciones de Ohm en el Estudio de Caso 2 10 3.4 Ecuaciones matriciales de Ohm de una red 11 3.5 Ecuaciones matriciales de Ohm en el Estudio de Caso 2 12 4. 1 Relaciones topológicas Formulación de las leyes de Kirchhoff 14 4.2 Vectores de incidencia de nodos y cortes 15 4.3 Vectores de incidencia de mallas y bucles 17 4.4 Arbol y coárbol 19 4.5 Aplicación de la primera ley de Kirchhoff 20 4.6 Aplicación de la segunda lev de Kirchhoff 23 4.7 Relaciones entre ecuaciones y matrices 25 5.1 Planteamiento del sistema total de ecuaciones 28 5.2 Reducción del número de ecuaciones 30 1 Corrientes de rama 31 2 Corrientes de eslabones 32 3 Corrientes de malla 33 4 Tensiones de rama 33 5 Tensiones de ramal 34 6 Tensiones de nodo 35 5.3 Selección del planteamiento a utilizar 36 6.1 Circuitos acoplados con inductores mutuos 37 6.2 Estudio de Caso 3, con inductor mutuo 40 6.3 Circuitos acoplados con transformadores ideales 43 6.4 Estudio de Caso 4, con transformador ideal 45

6.5 Circuitos con fuentes controladas 47 6.6 Estudio de Caso 5, con fuentes controladas 50 6.7 El transformador ideal como par de fuentes controladas 53 6.8 Estudio de Caso 6. transformador real en base a fuentes controladas 57 7.1 Más allá 58 7.2 Bibliografía 58 7.3 Indice general 59