ecuaciones de rectas y planos · matemáticas ii - 2 - + + + = + + + = 0 0 a x b y c z d ax by cz d...
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Alonso Fernández Galián
- 1 -
TEMA 12: ECUACIONES DE RECTAS Y PLANOS
La Geometría Analítica en el espacio se ocupa fundamentalmente del estudio de rectas y planos
por medio de ecuaciones. En particular, estudiaremos posiciones relativas, ángulos,
perpendicularidad, distancias,…
Nota: Un punto A del espacio está caracterizado por su vector de posición OAa =
, que tiene las
mismas coordenadas que él:
Dado el punto ),,( 321 aaaA , su
vector de posición es el vector:
),,( 321 aaaOAa ==
A través del vector de posición podemos operar con las coordenadas de A.
10.1 LA ECUACIÓN DE LA RECTA
Una recta r queda determinada conociendo un punto A por el que pasa y un vector u
que
determine su dirección, denominado vector director de la recta (ni el punto A ni el vector u
son
únicos, podemos tomar cualquier punto de la recta y cualquier vector paralelo a ella).
La ecuación de la recta en forma vectorial. Sea r la recta
que pasa por el punto ),,( 321 aaaA y tiene vector
director ),,( 321 uuuu =
. Para cualquier punto ),,( zyxP
de la recta existirá un número ℝ tal que:
uOAOP
+=
En coordenadas:
),,(),,(),,( 321321 uuuaaazyx += (ec. vectorial de r)
Dando distintos valores al parámetro obtendremos las coordenadas ),,( zyx de los distintos
puntos de la recta r.
La ecuación de la recta en forma paramétrica. Si igualamos coordenadas en la ecuación
vectorial de la recta, deducimos que las coordenadas ),,( zyx satisfacen:
+=
+=
+=
33
32
11
uaz
uay
uax
(ec. paramétricas de r)
Busquemos ahora ecuaciones que no dependan de ningún parámetro.
La ecuación de la recta en forma continua. Despejando el parámetro en las ecuaciones
paramétricas e igualando las tres expresiones resultantes se obtiene:
3
3
2
2
1
1
u
az
u
ay
u
ax −=
−=
− (ec.’s continuas de r)
La ecuación de la recta en forma implícita. Las ecuaciones continuas son dos ecuaciones
lineales. Al expresarlas en forma general obtenemos dos ecuaciones de la forma:
Matemáticas II
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=+++
=+++
0
0
dzcybxa
dczbyax (ec. implícita de r)
Nota: La forma implícita de la ecuación de la recta expresa ésta como intersección de dos
planos.
Nota: En la forma continua se permite, de manera indicativa, que alguno de los denominadores
sea 0, lo que en realidad es un abuso de notación. Por ejemplo, la recta de ecuación continua
0
4
3
7
2
1 −=
+=
− zyx
es la recta que pasa por )4,7,1( −A y tiene vector director )0,3,2(=u
.
La ecuación de la recta que pasa por dos puntos. Para encontrar
la ecuación de la recta que pasa por los puntos ),,( 321 aaaA y
),,( 321 bbbB basta notar que dicha recta tendrá vector director:
),,( 332211 abababABu −−−==
•Ejemplo: Considera los puntos del espacio )1,0,1( −A y )2,5,1( −−B .
(a) Escribe las ecuaciones continuas de la recta r que pasa por los puntos A y B:
1
1
52
1)1,5,2(
−
+==
−
−−−==
zyxABu
(b) Comprueba si el punto (5, 10,1)C − pertenece a la recta:
Hay que ver si las coordenadas de C satisfacen la ecuación de la recta:
1
11
5
10
2
15
−
+=
−=
−
− ☺ El punto C sí pertenece a r
•Ejemplo: Escribe de todas las formas conocidas la ecuación de la recta que pasa por
)5,0,2( −A y tiene vector director )2,1,3( −=u
.
1º) Ecuación vectorial: uOAOP
+=
)2,1,3()5,0,2(),,( −+−= zyx
2º) Ecuaciones paramétricas:
+−=
−=
+=
25
0
32
z
y
x
, es decir,
+−=
−=
+=
25
32
z
y
x
3º) Ecuaciones continuas:
2
5
13
2 +=
−=
− zyx
4º) Ecuaciones implícitas:
=++
=−+
052
023
zy
yx
Tema 12: Ecuaciones de rectas y planos
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12.2 POSICIÓN RELATIVA DE DOS RECTAS
Sea r la recta que pasa por el punto A y tiene vector director u
y s la recta que pasa por el punto
B y tiene vector director v
:
= ),,(
),,(:
321
321
uuuu
aaaAr y
= ),,(
),,(:
321
321
vvvv
bbbBs
Para estudiar la posición relativa de r y s debemos considerar las siguientes matrices:
( )
=
321
321,
vvv
uuuvu
y ( )
−−−
=
332211
321
321
,,
ababab
vvv
uuu
ABvu
Estudiemos las distintas posibilidades según el rango de estas matrices:
1. Si ( ) 1, =vur
y ( ) 1,, =ABvur
, las dos rectas son coincidentes (son la misma recta):
2. Si ( ) 1, =vur
y ( ) 2,, =ABvur
, las dos rectas son paralelas:
3. Si ( ) 2, =vur
y ( ) 2,, =ABvur
, las rectas son secantes (se cortan en un punto):
4. Si ( ) 2, =vur
y ( ) 3,, =ABvur
, las rectas se cruzan en el espacio:
•Ejemplo: Estudiar la posición relativa de las siguientes rectas:
−−=
+−=
+=
1
25
1
:
z
y
x
r y
+−=
−−=
−=
21
41
23
:
z
y
x
s
Las rectas r y s están determinadas por los siguientes puntos y vectores,
−=
−−
)1,2,1(
)1,5,1(:
u
Ar y
−−=
−−
)2,4,2(
)1,1,3(:
v
Bs
[...]
Matemáticas II
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Intersección de dos rectas en forma paramétrica. Para calcular el punto P de intersección de
dos rectas secantes dadas en forma paramétrica se escriben éstas con parámetros distintos (por
ej. y ) y se iguala coordenada a coordenada para calcular el valor de los parámetros para el
que las rectas se cortan.
Ángulo entre dos rectas. El ángulo que se forma en la intersección de dos rectas secantes es
igual al ángulo que forman los vectores directores tomados en sentido correcto (este ángulo
debe ser menor o igual que 90º, de manera que su coseno es siempre positivo)
cosu v
u v
=
[…]
El vector AB tiene coordenadas )0,4,2(=AB . Las matrices correspondientes son:
( )
−−
−=
242
121, vu
y ( )
−−
−
=
042
242
121
,, ABvu
Obviamente,
( ) 1, =vur
(los vectores son proporcionales) y ( ) 2,, =ABvur
Así, concluimos que las rectas son paralelas.
•Ejemplo: Estudiar las posiciones relativas de las siguientes rectas y, en caso de ser
secantes, calcula el punto de intersección:
=
−=
+=
2
1
25
:
z
y
x
r
y
+=
−=
+=
3
4
32
:
z
y
x
s
Las rectas r y s están determinadas por los siguientes puntos y vectores,
−= )0,1,2(
)2,1,5(:
u
Ar y
−= )1,4,3(
)3,0,2(:
v
Bs
El vector AB tiene coordenadas )1,1,3( −−=AB . Se comprueba que:
( ) 2, =vur
y ( ) 2,, =ABvur
Por tanto, las rectas son secantes. Para calcular el punto de intersección, igualamos
coordenada a coordenada en las ecuaciones paramétricas:
+=
−=−
+=+
32
41
3225
Las soluciones del sistema planteado son 3−= y 1−= . Sustituyendo cualquiera de los
dos en la ecuación de la recta correspondiente obtenemos que el punto de intersección es:
)2,4,1(−P
Tema 12: Ecuaciones de rectas y planos
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12.3 LA ECUACIÓN DEL PLANO
Un plano queda determinado conociendo un punto A por el que pasa y dos vectores
linealmente independientes u
y v
que determinen su dirección, denominados vectores
directores del plano.
Veamos las ecuaciones que satisfacen las coordenadas de un punto ),,( zyxP del plano.
La ecuación del plano en forma vectorial. Sea el
plano que pasa por el punto ),,( 321 aaaA y tiene
vectores directores ),,( 321 uuuu =
y ),,( 321 vvvv =
.
Para cualquier punto ),,( zyxP de la recta existirán
dos números , ℝ tal que:
vuOAOP
++=
Esta expresión recibe el nombre de ecuación vectorial del plano. En coordenadas:
),,(),,(),,(),,( 321321321 vvvuuuaaazyx ++=
Dando distintos valores a los parámetros y se obtienen las coordenadas ),,( zyx de los
distintos puntos del plano .
La ecuación del plano en forma paramétrica. Igualando las coordenadas en la ecuación
vectorial del plano obtenemos:
++=
++=
++=
333
232
111
vuaz
vuay
vuax
Estas igualdades se denominan ecuaciones paramétricas del plano.
La ecuación del plano en forma general. Según la ecuación vectorial del plano, los puntos P
del plano quedan caracterizados según la siguiente relación:
vuOAOPP
++=
o, equivalentemente:
vuAPP
+=
Así, el punto P pertenece al plano si y sólo si los vectores AP , u
y v
son linealmente
dependientes, lo cual equivale a que el determinante de la matriz ( )vuAP
,, sea 0. Así:
( ) 00,,det
321
321
321
=
−−−
=
vvv
uuu
azayax
vuAPP
Desarrollando el determinante obtenemos una ecuación de la forma:
0=+++ dczbyax
Esta ecuación se denomina ecuación general o implícita del plano.
Matemáticas II
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Plano determinado por tres puntos. Un plano queda determinado conociendo tres puntos no
alineados A, B y C.
Para ello partimos de un punto cualquiera, por
ejemplo A, y tomamos como vectores directores
los vectores ABu =
y ACv =
.
Ecuaciones de los planos coordenados. Veamos cuáles son las ecuaciones generales de los
planos que contienen a los ejes de coordenadas. Los tres planos pasan por el punto O.
-Plano x-y: ( ) = ...0,,det jiOP
0=z
-Plano x-z: ( ) = ...0,,det kiOP
0=y
-Plano y-z: ( ) = ...0,,det kjOP
0=x
•Ejemplo: Escribe la ecuación general del plano determinado por los puntos )4,1,3( −A ,
)4,2,5( −B y )3,1,1(C .
09220
122
012
413
)1,2,2(
)0,1,2(
)4,1,3(:
=−++=
−−
−
−+−
→
−−=
−=
−
zyx
zyx
AC
AB
A
•Ejemplo: Escribe de todas las formas conocidas la ecuación del plano que pasa por
)5,0,2( −A y tiene vectores directores )1,1,2( −=u
y )2,0,3(−=v
.
1º) Ecuación vectorial:
)2,0,3()1,1,2()5,0,2(),,( −+−+−= zyx
2º) Ecuaciones paramétricas:
+−−=
=
−+=
25
322
z
y
x
3º) Ecuación general:
0
203
112
502
=
−
−
+−− zyx
01132 =++− zyx
Tema 12: Ecuaciones de rectas y planos
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12.4 EL VECTOR NORMAL A UN PLANO
Veamos la interpretación de los coeficientes de a, b y c en la ecuación general de un plano .
0:
321
321
321
=
−−−
vvv
uuu
azayax
Si descomponemos el determinante en suma de dos por la primera fila se obtiene:
0
321
321
321
321
321 =
−−−
+
vvv
uuu
aaa
vvv
uuu
zyx
El segundo determinante es un número real d ℝ. Desarrollemos el primero por la primera fila:
021
21
31
31
32
32=++− dz
vv
uuy
vv
uux
vv
uu
Observamos así que los coeficientes de x, y y z son las coordenadas del vector vun
= .
),,( cban =
El vector n
es perpendicular a los vectores u
y v
, y por tanto, al plano . Se denomina vector
normal al plano .
Determinación de un plano por un punto y el vector normal. Un plano queda determinado
conociendo:
-Un punto por el que pasa, ),,( 321 aaaA .
-Un vector perpendicular (o normal) al plano.
Notemos que dos planos paralelos tienen los mismos vectores normales.
•Ejemplo: Determinar la ecuación del plano paralelo a 04322: =−+− zyx que pasa
por el punto )1,0,2(−P .
El plano debe tener el mismo vector normal que el plano , )3,2,2( −=n
. Por tanto,
debe de ser de la forma 0322: =++− dzyx . Calculemos d.
101302)2(2 ==++−− ddP
El plano pedido es, por tanto: 01322: =++− zyx .
•Ejemplo: Escribir en forma general la ecuación del plano perpendicular al vector
)5,1,2( −=n
que pasa por el punto )1,0,4(−A .
(i) La ecuación general del plano es de la forma 052: =+−+ dzyx .
(ii) Calculemos d para que el plano pase por el punto A:
130150)4(2 ==+−+− ddA
(iii) El plano pedido es, por tanto: 01352 =+−+ zyx
Matemáticas II
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12.5 POSICIÓN RELATIVA DE DOS PLANOS
Consideremos ahora dos planos en el espacio:
0: =+++ dczbyax y 0: =+++ dzcybxa
La posición relativa de estos planos dependerá de la compatibilidad del sistema formado por sus
ecuaciones:
=+++
=+++
0
0
dzcybxa
dczbyax
(es indiferente escribir los términos independientes a la izquierda o a la derecha). A su vez, la
compatibilidad del sistema se estudia a través de su matriz de coeficientes y de su matriz
ampliada:
=
cba
cbaA y
=
dcba
dcbaA*
Veámoslo:
1. Si ( ) 1=Ar y ( ) 1* =Ar , los planos son coincidentes (son el mismo plano):
2. Si ( ) 1=Ar y ( ) 2* =Ar , los planos son paralelos:
3. Si ( ) 2=Ar y ( ) 2* =Ar , los planos son secantes (se cortan en una recta):
•Ejemplo: Estudiar la posición relativa de los planos 0322: =++− zyx y
05636: =++− zyx .
El sistema formado por sus ecuaciones es:
−=+−
−=+−→
=++−
=++−
5636
322
05636
0322
zyx
zyx
zyx
zyx
La matriz ampliada del sistema es:
−−
−−=
5636
3212*A
Obviamente ( ) 1=Ar y ( ) 2* =Ar , por lo que los planos son paralelos.
Tema 12: Ecuaciones de rectas y planos
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Ángulo entre dos planos secantes. El ángulo que forman dos planos es el menor de los ángulos
que se forman en su intersección. Este ángulo es menor o igual que 90º, y es igual al ángulo que
forman los vectores normales de los planos, tomados en el sentido correcto.
cosn n
n n
=
•Ejemplo: Estudiar la posición relativa de los planos 01346: =−++ zyx y
02: =−++ zyx .
El sistema formado por sus ecuaciones es:
=++
=++→
=−++
=−++
2
1346
02
01346
zyx
zyx
zyx
zyx
La matriz ampliada del sistema es:
=
2111
1346*A
Obviamente ( ) ( ) 2* == ArAr , por lo que los planos son secantes. Se cortan en una recta:
Podemos dejar la solución en forma implícita,
6 4 3 1:
2
x y zr
x y z
+ + =
+ + =,
O bien pasarla a forma paramétrica. Para ello, por ejemplo, hacemos z = y resolvemos el
sistema:
=
−=
+−=
z
y
x
r
2
3
2
11
2
1
2
7
:
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12.6 POSICIÓN RELATIVA DE TRES PLANOS
Veamos ahora cómo decidir la posición relativa de tres planos en el espacio, , y . Como
antes, debemos estudiar la compatibilidad del sistema formado por sus ecuaciones:
0
0
0
:
:
:
=+++
=+++
=+++
dzcybxa
dzcybxa
dczbyax
=+++
=+++
=+++
→
0
0
0
dzcybxa
dzcybxa
dczbyax
La compatibilidad del sistema se determina con la matriz de coeficientes y la matriz ampliada:
=
cba
cba
cba
A y
=
dcba
dcba
dcba
A*
Veámoslo:
1. Si ( ) 1=Ar y ( ) 1* =Ar , los tres planos son coincidentes (son el mismo plano):
2. Si ( ) 1=Ar y ( ) 2* =Ar , los tres planos son paralelos o hay dos planos coincidentes y uno
paralelo a ellos:
3. Si ( ) 2=Ar y ( ) 2* =Ar , los tres planos son secantes y se cortan en una recta, o hay dos
coincidentes y uno secante a ellos.
4. Si ( ) 2=Ar y ( ) 3* =Ar , los planos se cortan dos a dos o hay dos planos paralelos y el
tercero es secante respecto a ellos:
5. Si ( ) 3=Ar y ( ) 3* =Ar , los tres planos son secantes y se cortan en un punto:
Tema 12: Ecuaciones de rectas y planos
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Veamos otro ejemplo:
•Ejemplo: Determina la posición relativa de los siguientes planos:
02: =−++ zyx 062: =−+ yx 02432: =−++ zyx
El sistema formado por sus ecuaciones es:
=++
=+
=++
→
=−++
=−+
=−++
2432
62
2
02432
062
02
zyx
yx
zyx
zyx
yx
zyx
La matriz ampliada del sistema es:
=
2432
6012
2111
*A
Calculemos el rango de A y de A* usando determinantes:
0112
11−= ( ) 0
432
012
111
det ==A ( ) 0
232
612
211
,,det 421 ==CCC
Según esto, ( ) ( ) 2* == ArAr . Como además no hay dos planos coincidentes podemos
concluir que los tres planos se cortan en una recta.
* Resolviendo el sistema, que es compatible indeterminado, obtenemos la recta en la que
intersecan los tres planos:
+−=
−=
=
→
=+
=++→
=++
=+
=++=−=
4
26:62
2
2432
62
2213 4
z
y
x
ryx
zyx
zyx
yx
zyxxEEE
•Ejemplo: Determina la posición relativa de los siguientes planos:
3: =x 024: =+− zyx 0123: =−+− zyx
El sistema formado por sus ecuaciones es:
=+−
=+−
=
→
=−+−
=+−
=
123
024
3
0123
024
3
zyx
zyx
x
zyx
zyx
x
La matriz ampliada del sistema es:
−
−=
1213
0214
3001
*A
Se comprueba que ( ) 2=Ar y ( ) ( ) 3* == ArAr . Como obviamente no hay dos planos
paralelos, concluimos que los tres planos se cortan dos a dos.
Matemáticas II
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12.7 POSICIÓN RELATIVA DE UNA RECTA Y UN PLANO
Estudiemos ahora la posición relativa entre una recta r, expresada en forma paramétrica, y un
plano.
r:
+=
+=
+=
33
32
11
uaz
uay
uax
y : 0=+++ dczbyax ,
Para ello, se sustituyen las coordenadas x, y y z de la recta en la ecuación general del plano, de
manera que nos quede una ecuación con incógnita .
1. Si la ecuación tiene solución única, la recta y el plano son secantes.
2. Si la ecuación tiene infinitas soluciones (porque es equivalente a la identidad 0 0= ) la
recta está contenida en el plano.
3. Si la ecuación no tiene solución (por ej. 0 1= ), la recta es paralela al plano:
•Ejemplo: Determinar la posición relativa de la recta r y el plano :
2 4 6 0:
4 2 0
x y zr
x y z
− + − =
+ − = y
: 2 5 9 0
...x y z − + − =
•Ejemplo: Determina la posición relativa de la recta r y el plano .
5 2
: 1 3
2
x
r y
z
= +
= − = − +
y : 2 3 4 3 0x y z − − + =
Sustituimos las coordenadas de r en la ecuación de :
2(5 2 ) 3(1 3 ) 4( 2 ) 3 0 + − − − − + + =
Resolvemos la ecuación:
10 4 3 9 8 4 3 0 9 18 2 + − + + − + = = − = −
Como la ecuación tiene solución única, la recta y el plano son secantes. El punto de
intersección se calcula sustituyendo el valor de en las ecuaciones paramétricas de r.
(1, 7, 4)P −
Tema 12: Ecuaciones de rectas y planos
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Estudio de la posición relativa para rectas escritas en forma implícita. Para estudiar la
posición relativa de un plano y una recta que esté expresada en forma implícita, podemos formar
el sistema formado por las tres ecuaciones:
0:
0
: 0
ax by cz dr
a x b y c z d
a x b y c z d
+ + + =
+ + + = + + + =
La posición relativa viene determinada por la compatibilidad del sistema, es decir, por los
rangos de la matriz de coeficientes y de la matriz ampliada.
1. Si ( ) 3=Ar y ( ) 3* =Ar , SCD, la recta y el plano son secantes.
2. Si ( ) 2=Ar y ( ) 2* =Ar , SCI, la recta está contenida en el plano.
3. Si ( ) 2=Ar y ( ) 3* =Ar , SI, la recta es paralela al plano.
Ángulo entre una recta y un plano. El ángulo que se forma en la intersección de una recta y un
plano secantes es igual al complementario del ángulo que forman el vector director de la recta
con el vector normal al plano.
El coseno del ángulo es:
cosnu
u n
=
El ángulo buscado es 90º = − .
[…]
En primer lugar, escribimos la recta en forma paramétrica:
4 2
1
x
y
z
= −
= − + =
Ahora, sustituimos las coordenadas de r en la ecuación de y resolvemos la ecuación
resultante:
2(4 2 ) ( 1 ) 5 9 0 8 4 1 5 9 0 0 0 − − − + + − = − + − + − = =
Como la ecuación tiene infinitas soluciones (pues la igualdad se verifica para cualquier
valor de ), concluimos que la recta está contenida en el plano.
•Ejemplo: Calculemos el ángulo que forman la recta y el plano del primer ejemplo.
(2, 3,1) (2, 3, 4) 9cos 0,45 63,47º
14 29 406
nu
u n
− − −= = =
El ángulo es, entonces, 90º 63,47º 36,53º = − =
Matemáticas II
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12.8 DISTANCIAS
Recordemos que la distancia entre dos puntos es igual al módulo de el vector que los une:
( ), ...d P Q PQ= =
Veamos ahora cómo calcular la distancia de un punto a una recta y de un punto a un plano.
Distancia de un punto a una recta. Para calcular la distancia de un punto P a una recta r
podemos proceder como sigue:
1º) Calculamos el plano perpendicular a la recta
que pasa por P.
2º) Calculamos el punto Q en el que se cortan el
plano y la recta r.
3º) Calculamos la distancia entre los puntos P y Q.
•Ejemplo: Calcular la distancia entre el punto ( 2, 6, 3)P − y la recta r de ecuación:
1 2
: 3
0
x
r y
z
= −
= + =
(i) Calculamos el plano perpendicular a r por P.
-El vector normal al plano será igual al vector director de la recta ( 2,1, 0)u = − .
2 0x y d− + + =
-Como además pasa por ( 2, 6, 3)P − :
2 ( 2) 6 0 10d d− − + + = = −
El plano es, entonces, : 2 10 0x y − + − = .
(ii) Calculamos el punto Q, intersección de y r.
-Sustituimos las coordenadas de r en la ecuación de :
2 (1 2 ) (3 ) 10 0 9 / 5 − − + + − = =
Sustituyendo el valor de , obtenemos que el punto Q es ( 13 / 5, 24 / 5, 0)Q − .
(iii) Calculamos la distancia entre los puntos P y Q, que es igual al módulo del vector PQ .
( 3 / 5, 6 / 5, 3)PQ = − − −
( )2 2
23 6 270 3 303
5 5 5 5PQ
− − = + + − = =
u.l.
La distancia del punto P a la recta r es, entonces:
( )3 30
,5
d P r = u.l.
Tema 10: Ecuaciones de rectas y planos
- 15 -
Distancia de un punto a un plano. La distancia de un punto a un plano se puede calcular
mediante un procedimiento geométrico análogo al anterior. Alternativamente, podemos utilizar
el siguiente resultado:
La distancia del punto ),,( 000 zyxP al plano : 0=+++ dczbyax es igual a:
( )222
000,
cba
dczbyaxPd
++
+++=
Demostración: El vector normal al plano es ),,( cban =
. Sea además ),,( 321 aaaA un punto
cualquiera del plano, y P la proyección de P sobre el plano.
La distancia de P a viene dada por ( ),d P PP = . Según la figura tenemos:
( )cos , cosPP
d P PP APAP
= = =
Por otro lado, es el ángulo que forman AP y n
. Así:
cosAP n
AP n
=
Con esto obtenemos:
( ), cosAP n AP n
d P PP AP APnAP n
= = = =
Desarrollemos ahora la expresión anterior para obtener una fórmula en coordenadas:
( ) 0 1 0 2 0 3
2 2 2
( ) ( ) ( ),
AP n x a a y a b z a cd P
n a b c
− + − + − = = =
+ +
222
000(*)
222
321000
cba
dczbyax
cba
cabaaaczbyax
++
+++=
++
−−−++=
donde en el paso (*) hemos usado que, como A pertenece a , sus coordenadas satisfacen la
ecuación del plano:
dcabaaadcabaaaA =−−−=+++ 321321 0
•Ejemplo: Calcular la distancia del punto )1,2,2( −P al plano 0352: =−+− zyx .
( )3
30
30
10
1)5(2
3)1(2522,
222==
+−+
−−+−=Pd u.l.
Matemáticas II
- 16 -
12.9 EL PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO. SIMETRÍAS
Es fácil ver que el punto medio del segmento de extremos ),,( 321 aaaA y ),,( 321 bbbB es:
+++
2,
2,
2
332211 bababaM
Vamos a utilizar este hecho para calcular simetrías.
Simetría respecto a un plano. Para calcular el simétrico de un
punto P respecto de un plano se siguen los siguientes pasos:
1º) Se calcula la recta r perpendicular al plano que pasa por el
punto P.
2º) Se calcula el punto Q intersección de la recta r con el plano .
3º) Se calcula el punto P’ de manera que Q sea el punto medio de P
y P’.
Simetría respecto a una recta. Similarmente, para calcular el simétrico de un punto P respecto
de una recta r hacemos lo siguiente:
1º) Se calcula el plano perpendicular a r que pasa
por el punto P.
2º) Se calcula el punto Q intersección de la recta r con
el plano .
3º) Se calcula el punto P’ de manera que Q sea el
punto medio de P y P’.
•Ejemplo: Calcular el simétrico del punto )6,1,3( −−P respecto del plano 01: =−+ zx .
(i) La recta r que pasa por P y es perpendicular a tendrá a )1,0,1(=n
como vector
director. Su ecuación es, por tanto:
3
: 1
6
x
r y
z
= − +
= = − +
(ii) Calculamos el punto Q, intersección de y r:
-Sustituimos las coordenadas de r en la ec. de : ( 3 ) ( 6 ) 1 0 5 − + + − + − = =
-Sustituyendo el valor de obtenemos que las coordenadas de Q son (2,1, 1)Q − .
(iii) Calculamos ),,( zyxP de manera que Q sea el punto medio entre P y P :
( )
=
=
=
−=
+−++−
4
1
7
1,1,22
6,
2
1,
2
3
z
y
xzyx
Solución: El punto buscado es )4,1,7(P .
Tema 10: Ecuaciones de rectas y planos
- 17 -
ANEXO: POSICIÓN RELATIVA DE DOS RECTAS EN FORMA IMPLÍCITA
Ya sabemos determinar la posición relativa de dos rectas r y s cuando están escritas en forma
paramétrica, veamos ahora cómo hacerlo cuando están expresadas en forma implícita.
=+++
=+++
0
0:
dzcybxa
dczbyaxr
=+++
=+++
0
0:
dzcybxa
dzcybxas
Como siempre, consideremos el sistema formado por las ecuaciones de las rectas,
0
0
0
0
ax by cz d
a x b y c z d
a x b y c z d
a x b y c z d
+ + + = + + + =
+ + + = + + + =
y estudiemos el rango de la matriz de coeficientes y de la matriz ampliada:
=
cba
cba
cba
cba
A y *
a b c d
a b c dA
a b c d
a b c d
=
Notemos que, como las ecuaciones primera y segunda por un lado, y tercera y cuarta por otro,
deben determinar sendas rectas, el rango de la matriz A debe ser al menos 2.
1. Si ( ) 2=Ar y ( ) 2* =Ar , las rectas son coincidentes (son la misma recta):
2. Si ( ) 2=Ar y ( ) 3* =Ar , las rectas son paralelas:
3. Si ( ) 3=Ar y ( ) 3* =Ar , las rectas son secantes (se cortan en un punto):
4. Si ( ) 3=Ar y ( ) 4* =Ar , las rectas se cruzan en el espacio:
Además, en el caso en el que sean secantes, el punto de intersección se obtiene resolviendo el
sistema.
Matemáticas II
- 18 -
La ecuación de la recta
1. Escribe de todas las formas posibles la ecuación de la recta que pasa por el origen de
coordenadas y tiene dirección ( )3,1,6 −=u
.
2. Escribe de todas las formas posibles la ecuación de la recta que pasa por los puntos
( )5,3,2 −A y ( )3,4,8B .
3. Escribe de todas las formas posibles la ecuación de la recta que pasa por los puntos
( )5,3,1−P y ( )2,3,2Q .
4. Escribe en formas vectorial, paramétrica e implícita las siguientes ecuaciones de la recta:
(a) 1
4
53
1
−
+==
− zyx (b)
0
5
2
2
3
8 −=
−=
−
+ zyx
5. Comprueba si el punto ( )3,6,2−P pertenece a alguna de las siguientes rectas:
(a)
+−=
=
−=
21
3
46
:
z
y
x
r (b) 3
6
2
43:
−
−=
−=+
zyxs
6. Determina los valores de m para que los puntos ( )3,2, −mA , ( )1,,2 mB y ( )2,3,5 −A estén
alineados y hallar las ecuaciones de la recta que los contiene.
7. Calcula la ecuación de la recta r paralela a 3
47
3:
−=−=
zy
xs que pasa por ( )0,2,2 −P .
Posición relativa de dos rectas
8. Estudiar la posición relativa de las rectas:
+=
−=
=
tz
ty
tx
r
31
21 y
+=
−=
+=
sz
sy
sx
r
67
2
22
2
9. Estudiar la posición relativa de las rectas:
4
3
2
2
3
1:
−=
+=
− zyxr y
42
3
1
2:
zyxs =
+=
−
+
10. Estudia la posición relativa de las siguientes rectas:
−=
+=
+=
tz
ty
tx
r 3
45
: y 42
3
1
2:
zyxs =
+=
−
+
EJERCICIOS DEL TEMA 12
Tema 10: Ecuaciones de rectas y planos
- 19 -
11. Considera las rectas 2
1
1
2
1
1:
−=
−=
− zyxr y
3 1: 3
2 2
x zs y
− += − =
−. Comprueba que se
cortan en un punto. Después, calcula el punto de intersección y el ángulo que forman.
12. Calcula el ángulo que forman las siguientes rectas:
1: 2 7
2
xr y z
−= − = − y
1
1
2
5
2
3:
−
+=
−=
+ zyxs
13. Encuentra el valor de m ℝ para que las siguientes rectas sean secantes:
+−=
+−=
+=
51
34
21
z
y
x
r y
−=−−
=++
22
2
zyx
mzyxs
Después, encuentra el punto de intersección.
14. Considera las rectas:
=
+=
−=
tz
tby
atx
r
2
1
y 2
6
1
22
+=
−
−=−
zyxs
(a) Determina los valores de ba, ℝ para que las rectas sean secantes y perpendiculares.
(b) Para los valores obtenidos, encuentra el punto de corte.
La ecuación del plano
15. Encuentra la ecuación del plano determinado por el punto ( )3,2,1A y los vectores
( )5,1,2 −=u
y ( )4,2,3=v
.
16. Encuentra la ecuación del plano que pasa por los puntos ( )3,1,2A , ( )1,1,1B y ( )8,1,5C .
17. Escribe las ecuaciones del plano paralelo a los ejes x e y y que corta al eje z en el punto
( )0, 0, 3P .
18. Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto ( )2,1,2 −P y contiene a la recta de
ecuaciones paramétricas:
2=x , += 3y , −=1z .
19. Hallar la ecuación del plano que contiene a la recta 12
2
3
3−=
−
+=
− z
yxr y pasa por el
punto P(1,– 1, 0).
20. Comprobar si los puntos ( )3,2,1A , ( )8,7,4B , ( )5,5,3C y ( )3,2,1 −−−D son coplanarios.
21. Comprueba que los puntos ( )2,1,1 −A , ( )3,2,2 −B y ( )0,1,1C no están alineados y encuentra
el plano determinado por ellos.
Matemáticas II
- 20 -
22. Considera el plano de ecuación : 2 3 6 0x y x + + − = .
(a) Calcula los puntos A, B y C en los que el plano corta a los ejes de coordenadas.
(b) Calcula el volumen del tetraedro formado por el origen de coordenadas junto con los puntos
A, B y C.
23. Sean las rectas:
=+
=
1
0:
zy
xr y
=
+=
+=
z
y
x
r 2
21
:
(a) Determina su posición relativa.
(b) Comprueba que sus vectores directores son perpendiculares.
(c) Halla la ecuación general de un plano que contenga a r y sea paralelo a r’.
Vector normal a un plano
24. Hallar el plano que pasa por el punto ( )2,1,3 −A y tiene vector normal ( )8,1,2=n
.
25. Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos ( )1,2,3 −A y ( )2,0,4B y es
perpendicular al plano 0625: =−+− zyx .
26. Dados el plano 632 =+− zyx y la recta r:
+=
=
−=
1
0
z
y
x
r
Encuentra la ecuación general de otro plano perpendicular a y que contiene a r.
27. Dado el plano 022: =−−+ zyx y la recta r:3
2 1
x z y
x y
+ = +
+ = , obtén la ecuación del
plano perpendicular a , paralelo a r, y que contiene al punto P(1, 2, 1).
Posiciones relativas entre una recta y un plano
28. Determina la posición relativa de la recta:
2=x , 13 += y , =z
y el plano 051123 =−−+ zyx .
29. Determina la posición relativa de la recta r y el plano :
=−
=−−
1
43:
zx
zyxr 13: =−+ zyx
30. Estudia la posición relativa de la recta r y el plano :
+=
=
−=
1
0
z
y
x
r , ℝ 632 =+− zyx
Tema 10: Ecuaciones de rectas y planos
- 21 -
31. Calcula el ángulo formado por el plano 032: =+ zx y la recta
=+
=+−
892
032:
yx
zyxr .
32. Dado el plano 62 =− zx y la recta
=+−
=+
4
0
azyx
zyr
(a) Encuentra el valor del parámetro a ℝ para que y r sean paralelos.
(b) Para el valor de a calculado, encuentra el plano perpendicular a que contiene a r.
Posiciones relativas de dos planos
33. Estudia la posición relativa de los planos 422: −=+−− zyx y 1244: =−+ zyx .
34. Comprueba que los planos 45: −=−+ zyx y 123: =+− zyx se cortan en una recta.
después, calcula dicha recta.
35. Estudia la posición relativa de los planos 45 −=−+ zyx y 121533 =+−− zyx .
36. Consideremos los planos:
73: =++ zbyax y 32: =+− zyx
Determina los parámetros ba, ℝ para que los planos sean paralelos.
37. Calcula la ecuación del plano que pasa por el punto ( )1,1,1A y es paralelo al plano de
ecuación 0553 =−− yx .
38. Calcula el ángulo que forman los planos 32: =−+ zyx y 02: =+− zyx .
39. Determina el valor de k ℝ para que los planos 2523: =+− zyx y 07: =++ zykx
sean perpendiculares.
Posiciones relativas de tres planos
40. Estudia la posición relativa de los siguientes planos : 3 2 0x y z + + = , : 2 0x y z − + = y
: 4 5 3 0x y z − − =
41. Determina el valor de k ℝ para que los siguientes planos se corten en una recta:
=++
=++
=++
11410
332
2
zykx
zyx
zyx
Determinación de rectas en forma implícita
42. Determina la recta que pasa por el punto ( )1,1,1A , es paralela al plano 02: =−− zyx y
está en el mismo plano que:
321
1:
zyxr ==
−
Matemáticas II
- 22 -
43. Escribe la ecuación continua de la recta que es paralela a los planos 03: =+− zyx y
0532: =−+− zyx y pasa por ( )5,1,2 −P .
44. Encuentra la ecuación de la recta s que pasa por el punto ( 2,1, 4)P − y corta
perpendicularmente a la siguiente recta:
−−=
+=
+=
24
5
34
:
z
y
x
r
45. Encuentra la recta s que pasa por el punto ( )2, 1, 4P − − y corta perpendicularmente a la recta
r:
=−
=−+
24
52
zy
zyx
46. (PAEG Junio 10-11) Dados el plano y la recta r:
0=− zx y
=
−=
+=
tz
ty
atx
r
2
1
1
, t ℝ
(a) Determina el parámetro a ℝ para que la recta r y el plano sean paralelos.
(b) Para el valor de a encontrado, encuentra las ecuaciones paramétricas de una recta r’ paralela
al plano y que corta perpendicularmente a r en el punto ( )0,1,1P .
Distancias
47. Calcula la distancia del punto ( )5,2,1P al plano 0522: =−−+ zyx .
48. Calcula la distancia entre los planos 032: =−−+ zyx y 07224: =−−+ zyx .
49. Calcula la distancia del punto ( )5,2,1P a la recta 1
5
2
2
1
1:
−
+=
+=
+ zyxr .
50. Dado el plano : 2 2 7 0x y z + − − = , calcula el lugar geométrico de los puntos del espacio
cuya distancia al plano es igual 3 unidades.
Simetrías
51. Encuentra el punto medio del segmento de extremos ( )1,0,1A y ( )3,2,5B .
52. Dados los puntos ( )9,3,2A y ( )6,2,1 −B , encuentra tres puntos P, Q y R que dividan al
segmento AB en cuatro partes iguales.
53. Encuentra el punto simétrico de ( )3,2,1P respecto del plano 0423: =+−− zyx .
54. Encuentra el punto simétrico de ( )7,3,1 −P respecto de la recta 3
431
−=+=−
zyxr .
Tema 10: Ecuaciones de rectas y planos
- 23 -
Selección de Ejercicios de PAEG - EvAU
_____________________________________________________________________________
Junio 2009-2010
Reserva I 2009-2010
Septiembre 2009-2010
Reserva I. 2010-2011
Junio. 2011-2012
Septiembre. 2011-2012
Matemáticas II
- 24 -
Reserva I 2011-2012
Reserva I 2012-2013
Reserva II 2012-2013
Junio 2014-2015
Junio. 2015-2016
Julio. 2015-2016