3. Ecuaciones de Maxwell en la materia

En el primer tema hemos estudiado cmo es la luz en el vaco. Ahora queremos saber cmo es la luz en la materia. Es el resultado de la interaccin de la luz con las cargas de la materia; problema muy complejo. Atajo: reemplazar las ecuaciones de Maxwell en el vaco por otras que tengan en cuenta la presencia de la materia desde el principio. La solucin final es muy sencilla: reemplazar la constante dielctrica del vaco por otra de la materia que contiene toda la infomacin relevante sobre la materia.

Planteamiento Aproximaciones: Medios diluidos = esparcimiento Medios densos = ecuaciones de Maxwell en la materia Promedio espacial de las ecuaciones de Maxwell Polarizacin y Magnetizacin Susceptibilidades y Conductividad Constante dielctrica generalizada Clasificacin ptica de los medios materiales

Propagacin en la materia: problema horriblemente complejo La luz cambia el estado de movimiento de las cargas (fuerza de Lorentz) Las cargas en movimiento generan ms luz (Ec. Maxwell) La luz generada por cada carga se suma a la inicial y cambia el estado de la luz La nueva luz cambia el estado de movimiento de todas las cargas Etctera..etctera..etctera

Hay que hacer alguna aproximacin: P Medios pticamente diluidos = cargas independientes = esparcimiento scattering Hay pocas particulas o suficientemente alejadas entre si de forma que la luz emitida

por cada una no influye en las dems ni modifica el campo incidente. P Medios pticamente densos = cargas muy prximas entre si = Ecuaciones de

Maxwell en la materia

!!!tomos/m 10 328

Esparcimiento (scattering): este tipo de problemas se suelen resolver en dos pasos 1) Se calcula el movimiento de las cargas inducido por la luz (tema anterior) 2) Se calcula la luz emitida por las cargas en el estado de movimiento del paso 1 Las propiedades de la luz reemitida (frecuencia, fase, intensidad, polarizacin) dependen de las propiedades de la luz incidente y de las cargas (intensidad, polarizacin, masa, carga, frecuencia de resonancia) Por ejemplo: la cantidad de potencia luminosa extraida de la luz incidente se mide con un parmetro llamado seccin eficaz

P Medios pticamente diluidos = cargas independientes = esparcimiento scattering

Hay pocas particulas o suficientemente alejadas entre si de forma que la luz emitida por cada una no influye en las dems ni modifica el campo incidente.

P Medios pticamente densos = cargas muy prximas entre si = Ecuaciones de Maxwell en la materia (este tema)

Claves (i) Los tomos estn tan empaquetados que vale una descripcin continua de la

materia

(ii) Dinmica de la materia proporcional al campo electromagntico (ptica lineal)

(iii) Un solo campo que engloba incidente y reemitido por las cargas

!!!tomos/m 10 328Ecuaciones de Maxwell en la materia

Materia ordinaria (slidos lquidos) Incluso en un volumen de 3 hay Por ejemplo en el aire en un volumen 3 hay

tomos 1010tomos 107

Para la escala de longitud tpica de la luz () la materia est tan empaquetada que se puede aproximar por una distribucin contnua. No tenemos acceso a los detalles microscpicos, slo a promedios espaciales sobre volmenes pequeos comparados con pero que contengan muchos tomos (se eliminan las irregularidades a pequea escala). Cualquier detector har un promedio espacial extendido a su volumen.

Los gases suelen ser medios pticamente densos

Promedio espacial

( ) ( )trrErdV

trE V ,1, 3 +

=

( ) ( )trrBrdV

trB V ,1, 3 +

=

etctera x

E

xE

=

jtEB

tBE

B

E

=

=

+

=

=

00

0

1

0

0

/

jt

EB

t

BE

B

E

=

=

+

=

=

00

0

1

0

0

/

promedios extendidos a cierto volumen V centrado en r

P

=+= libreligadalibre

Expresamos las densidades de carga y corriente ligadas como dos campos (aprovechando la continuidad de la materia resultante del promedio espacial)

Mt

Pjjjj

+

+=+=

libreligadalibre

P = polarizacin = momento dipolar elctrico por unidad de volumen M = magnetizacin = momento dipolar magntico por unidad de volumen

=

VjjjrqV

P 1

jjj rrqVM

Vj

=

211

Electrodinmica clsica, J. D. Jackson 6.7

=

VjjjrqV

j 1libre

jt

EB

t

BE

B

E

=

=

+

=

=

00

0

1

0

0

/

libre

libre

0

0

jt

DH

t

BE

B

D

=

=

+

=

=

P

= libre Mt

Pjj

+

+=

libre

D= desplazamiento elctrico (C/m2) H= campo magntico (A/m)

PED

+= 0

MBH

=0

1

libre

libre

0

0

jt

DH

t

BE

B

D

=

=

+

=

=

Hay cuatro campos porque dos de ellos (D,H) describen las cargas ligadas. Nueva forma para el vector de Poynting y su promedio temporal para ondas armnicas

==

HESHES

Re21

PED

+= 0

MBH

=0

1

Finalizado el promedio pasamos al segundo paso: expresar la dinmica de la materia como proporcionales al campo E,B ya que normalmente la polarizacin, magnetizacin y corriente son inducidos por la luz. A partir de ahora trabajamos con ondas armnicas

+= EP e 0

+= HM m

+= Ej

libre

P Slo se han expresado los trminos ms usuales. Por ejemplo P podra depender tambin de H, E2 , EH, etc. P , , , son funciones de la posicin y frecuencia P , , , pueden ser complejas o incluso matrices dependiendo del medio

ED

=

HB

=

= susceptibilidad elctrica o magntica, = conductividad

= 0 (1+e ) permitividad elctrica (cte. dielctrica) = 0 (1+m ) permeabilidad magntica

ptica lineal

Para ondas armnicas se puede eliminar tambin la carga libre con el siguiente truco A partir de la ecuacin de conservacin de la carga

0t librelibre =+

j ( )Ej ==

librelibret

teniendo en cuenta que para ondas armnicas tieE

cteEi +

=

libre

libre

libre

0

0

jt

DH

t

BE

B

D

=

=

+

=

=

( )

( )

0~

0

0

0~

=+

=

=

=

EiH

HiE

H

E

),(),(),(~

rirr +=Cte dielctrica generalizada

la cte no importa porque no lleva dependencia en t

( )

( )

0~

0

0

0~

=+

=

=

=

EiH

HiE

H

E

),(),(),(~

rirr +=

Formalmente son ecuaciones como las del vaco!! (en el vaco ==0 =0 =0 ). La materia viene descrita simplemente por una serie de parmetros. Estos parmetros determinan las propiedades pticas de los materiales. En este curso ~0

( ) ( )( ) ( )

absorbente medioRe~ te trasparenmedioRe~dispersivo no medio~~ dispersivo medio~homogeneo medio~~ oinhomogene medio~

istropo medioescalar~ ,anistropo medio matriz~

==

==

==

====

rr

Clasificacin ptica de la materia

Fantstico resultado!!!

RESUMEN La luz modifica el estado de la materia. La materia modifica el estado de la luz. Damos cuenta de esta dependencia mutua en dos pasos: 1) promedio espacial de la ecuaciones de Maxwell (que incluye en un todo la luz original y la reemitida por las cargas)

2) expresando el estado de la materia como proporcional al de la luz Las ecuaciones de Maxwell promediadas son como las del vaco, pero con una constante dielctrica generalizada. La constante dielctrica generalizada contiene las propiedades pticas de la materia.