LA CIRCUNFERENCIA

Forma canónica

𝒙𝟐 + 𝒙𝟐 = 𝒓𝟐 Forma ordinaria

(𝒙 − 𝒉)𝟐 + (𝒚 − 𝒌)𝟐 = 𝒓𝟐

Forma General

𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝑫𝒙 + 𝑬𝒚 + 𝑭 = 𝟎

Los coeficientes de 𝒙𝟐 𝒚 𝒚𝟐 deben ser “iguales”

𝐶 (−𝐷

2 ; −

𝐸

2) 𝑟 =

1

2 . √𝐷2 + 𝐸2 − 4𝐹

Si: 𝐷2 + 𝐸2 – 4𝐹 > 0, representa una circunferencia.

Si: 𝐷2 + 𝐸2 – 4𝐹 = 0, representa un punto.

Si: 𝐷2 + 𝐸2 – 4𝐹 < 0, representa un conjunto vacío.

PARÁBOLA CON VÉRTICE EN EL ORIGEN (𝟎, 𝟎)

HORIZONTAL VERTICAL

Ecuación estándar 𝒚𝟐 = 𝟒𝒑𝒙

𝒙𝟐 = 𝟒𝒑𝒚

Abre 𝐻𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎 𝑜 𝑖𝑧𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑑𝑎

𝐻𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑏𝑎 𝑜 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜

Coordenadas del foco (𝑝, 0)

(0, 𝑝)

Ecuación de la directriz 𝑥 = −𝑝

𝑦 = −𝑝

Eje 𝑒𝑗𝑒 𝑥

𝑒𝑗𝑒 𝑦

Longitud focal 𝑝

𝑝

Longitud del lado recto |4𝑝|

|4𝑝|

Excentricidad 𝑒 =

𝑑(𝑃𝐹)

𝑑(𝑃𝑙)= 1

𝑒 =𝑑(𝑃𝐹)

𝑑(𝑃𝑙)= 1

PARÁBOLA CON VÉRTICE (𝒉, 𝒌)

HORIZONTAL VERTICAL

Ecuación estándar (𝒚 − 𝒌)𝟐 = 𝟒𝒑(𝒙 − 𝒉)

(𝒙 − 𝒉)𝟐 = 𝟒𝒑(𝒚 − 𝒌)

Abre 𝐻𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎 𝑜 𝑖𝑧𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑑𝑎 𝐻𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑏𝑎 𝑜 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜

Coordenadas del foco (ℎ + 𝑝, 𝑘)

(ℎ, 𝑘 + 𝑝)

Ecuación de la directriz 𝑥 = ℎ − 𝑝

𝑦 = 𝑘 − 𝑝

Ecuación del eje 𝑦 = 𝑘

𝑥 = ℎ

Longitud focal

𝑝

𝑝

Longitud del lado recto

|4𝑝|

|4𝑝|

Longitud del radio vector

|𝑥1 − ℎ + 𝑝|

|𝑦1 − 𝑘 + 𝑝|

Excentricidad

𝑒 =𝑑(𝑃𝐹)

𝑑(𝑃𝑙)= 1

𝑒 =𝑑(𝑃𝐹)

𝑑(𝑃𝑙)= 1

Ecuación General

𝑩𝒚𝟐 + 𝑫𝒙 + 𝑬𝒚 + 𝑭 = 𝟎

𝑩 ≠ 𝟎 ; 𝑫 ≠ 𝟎

𝑨𝒙𝟐 + 𝑫𝒙 + 𝑬𝒚 + 𝑭 = 𝟎

𝑨 ≠ 𝟎 ; 𝑬 ≠ 𝟎

ELIPSE CON CENTRO EN EL ORIGEN (𝟎, 𝟎)

HORIZONTAL VERTICAL

Forma canónica

𝒙𝟐

𝒂𝟐+

𝒚𝟐

𝒃𝟐= 𝟏

𝒙𝟐

𝒃𝟐+

𝒚𝟐

𝒂𝟐= 𝟏

Eje focal

𝑒𝑗𝑒 𝑥

𝑒𝑗𝑒 𝑦

Focos

(±𝑐, 0)

(0, ±𝑐)

Vértices

(±𝑎, 0)

(0, ±𝑎)

Semieje mayor

𝑎

𝑎

Semieje menor

𝑏

𝑏

Relación pitagórica

𝑐2 = 𝑎2 − 𝑏2

𝑐2 = 𝑎2 − 𝑏2

Excentricidad

𝑒 =𝑐

𝑎=

√𝑎2 − 𝑏2

𝑎 ; 0 < 𝑒 < 1

𝑒 = 0, representa una circunferencia

𝑒 =𝑐

𝑎=

√𝑎2 − 𝑏2

𝑎 ; 0 < 𝑒 < 1

𝑒 = 0, representa una circunferencia

Longitud del lado recto

2𝑏2

𝑎

2𝑏2

𝑎

Longitud de los radios vectores

𝑟1 = 𝑎 − 𝑒𝑥1 𝑟2 = 𝑎 + 𝑒𝑥1

𝑟1 = 𝑎 − 𝑒𝑦1 𝑟2 = 𝑎 + 𝑒𝑦1

Suma de radios vectores 𝑟1 + 𝑟2 = 2𝑎 𝑟1 + 𝑟2 = 2𝑎

ELIPSE CON CENTRO (𝒉, 𝒌)

HORIZONTAL VERTICAL

Forma ordinaria (𝒙 − 𝒉)𝟐

𝒂𝟐+

(𝒚 − 𝒌)𝟐

𝒃𝟐= 𝟏

(𝒙 − 𝒉)𝟐

𝒃𝟐+

(𝒚 − 𝒌)𝟐

𝒂𝟐= 𝟏

Eje focal 𝑦 = 𝑘

𝑥 = ℎ

Focos

(ℎ ± 𝑐, 𝑘)

(ℎ, 𝑘 ± 𝑐)

Vértices

(ℎ ± 𝑎, 𝑘)

(ℎ, 𝑘 ± 𝑎)

Semieje mayor

𝑎

𝑎

Semieje menor

𝑏

𝑏

Directrices

𝑥 = ℎ ±𝑎2

𝑐

𝑦 = 𝑘 ±𝑎2

𝑐

Relación pitagórica

𝑐2 = 𝑎2 − 𝑏2

𝑐2 = 𝑎2 − 𝑏2

Excentricidad

𝑒 =𝑐

𝑎=

√𝑎2 − 𝑏2

𝑎 ; 0 < 𝑒 < 1

𝑒 = 0, representa una circunferencia

𝑒 =𝑐

𝑎=

√𝑎2 − 𝑏2

𝑎 ; 0 < 𝑒 < 1

𝑒 = 0, representa una circunferencia

Longitud del lado recto 2𝑏2

𝑎

2𝑏2

𝑎

Longitud de los radios vectores

𝑟1 = 𝑎 − 𝑒𝑥1 𝑟1 = 𝑎 + 𝑒𝑥1

𝑟1 = 𝑎 − 𝑒𝑥1 𝑟1 = 𝑎 + 𝑒𝑥1

Suma de radios vectores

𝑟1 + 𝑟2 = 2𝑎

𝑟1 + 𝑟2 = 2𝑎

Ecuación General

𝑨𝒙𝟐 + 𝑩𝒚𝟐 + 𝑫𝒙 + 𝑬𝒚 + 𝑭 = 𝟎

A y B son de igual signo.

𝐴 < 𝐵

𝑨𝒙𝟐 + 𝑩𝒚𝟐 + 𝑫𝒙 + 𝑬𝒚 + 𝑭 = 𝟎

A y B son de igual signo.

𝐴 > 𝐵

HIPÉRBOLA CON CENTRO EN EL ORIGEN (𝟎, 𝟎)

HORIZONTAL VERTICAL

Forma canónica

𝒙𝟐

𝒂𝟐−

𝒚𝟐

𝒃𝟐= 𝟏

𝒚𝟐

𝒂𝟐−

𝒙𝟐

𝒃𝟐= 𝟏

Eje focal

𝑒𝑗𝑒 𝑥

𝑒𝑗𝑒 𝑦

Vértices

(±𝑎, 0)

(0, ±𝑎)

Focos

(±𝑐, 0)

(0, ±𝑐)

Longitud del eje transverso 2𝑎

2𝑎

Longitud del eje conjugado

2𝑏

2𝑏

Excentricidad

𝑒 =𝑐

𝑎=

√𝑎2 + 𝑏2

𝑎 ; 𝑒 > 1

𝑒 =𝑐

𝑎=

√𝑎2 + 𝑏2

𝑎 ; 𝑒 > 1

Longitud del lado recto

2𝑏2

𝑎

2𝑏2

𝑎

Relación pitagórica

𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2

𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2

Asíntotas 𝑏𝑥 ± 𝑎𝑦 = 0 ⟺ 𝑦 = ±𝑏

𝑎𝑥

𝑏𝑦 ± 𝑎𝑥 = 0 ⟺ 𝑦 = ±𝑎

𝑏𝑥

HIPÉRBOLA CON CENTRO (𝒉, 𝒌)

HORIZONTAL VERTICAL

Forma ordinaria

(𝒙 − 𝒉)𝟐

𝒂𝟐−

(𝒚 − 𝒌)𝟐

𝒃𝟐= 𝟏

(𝒚 − 𝒌)𝟐

𝒂𝟐−

(𝒙 − 𝒉)𝟐

𝒃𝟐= 𝟏

Eje focal

𝑦 = 𝑘 𝑥 = ℎ

Centro

𝐶(ℎ, 𝑘) 𝐶(ℎ, 𝑘)

Vértices

(ℎ ± 𝑎, 𝑘)

(ℎ, 𝑘 ± 𝑎)

Focos

(ℎ ± 𝑐, 𝑘)

(ℎ, 𝑘 ± 𝑐)

Extremo del eje conjugado

𝐵(ℎ, 𝑘 ± 𝑏)

𝐵(ℎ ± 𝑏, 𝑘)

Longitud del eje transverso

2𝑎

2𝑎

Longitud del eje conjugado

2𝑏

2𝑏

Excentricidad

𝑒 =𝑐

𝑎=

√𝑎2 + 𝑏2

𝑎 ; 𝑒 > 1

𝑒 =𝑐

𝑎=

√𝑎2 + 𝑏2

𝑎 ; 𝑒 > 1

Longitud del lado recto

2𝑏2

𝑎

2𝑏2

𝑎

Relación pitagórica

𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2

𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2

Asíntotas

(𝑦 − 𝑘) = ±𝑏

𝑎(𝑥 − ℎ)

(𝑦 − 𝑘) = ±𝑎

𝑏(𝑥 − ℎ)

Directrices

𝑥 = ℎ ±𝑎

𝑒

𝑦 = 𝑘 ±𝑎

𝑒

Ecuación General

𝑨𝒙𝟐 + 𝑩𝒚𝟐 + 𝑫𝒙 + 𝑬𝒚 + 𝑭 = 𝟎

A y B tienen signo

opuesto.

A es positivo y B es negativo.

𝑨𝒙𝟐 + 𝑩𝒚𝟐 + 𝑫𝒙 + 𝑬𝒚 + 𝑭 = 𝟎

A y B tienen signo

opuesto.

A es negativo y B es positivo.