ecuaciones de cantidad de movimiento
DESCRIPTION
Fenomenos de transporteTRANSCRIPT
UNIVERSIDAD SIMON BOLIVAR
DIVISION DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS DEPARTAMENTO DE TERMODINAMICA Y
FENOMENOS DE TRANSFERENCIA
TF 1221 FENÓMENOS DE TRANSPORTE I
GUIA DE
ECUACIONES DE CONTINUIDAD Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO
Profesores María Eugenia Aguilera, Dosinda González-Mendizabal, Luis Matamoros y César Oronel
Sartenejas, agosto 2005 (última revisión)
Ecuaciones de continuidad y cantidad de movimiento.
2
INTRODUCCIÓN
En el programa de la materia Fenómenos de Transporte I está
contemplado el uso de las ecuaciones de continuidad y cantidad de movimiento.
Con el objetivo de hacer llegar al estudiante todas estas ecuaciones para los
sistemas de coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas se preparó este
texto, el cual facilita considerablemente la utilización de las mismas.
Primero, se presenta la ecuación de continuidad para los distintos
sistemas de coordenadas, ya mencionados. Después se muestran las
ecuaciones de cantidad de movimiento de Cauchy y de Navier-Stokes para cada
coordenada, agrupadas según el sistema (cartesiano, cilíndrico o esférico).
Ecuaciones de continuidad y cantidad de movimiento.
3
OBJETIVOS Terminal Proporcionar al estudiante los conceptos básicos de
Mecánica de Fluidos y su aplicación a problemas de
interés práctico. Específicos • Desarrollar las ecuaciones de continuidad y cantidad de
movimiento, mediante la aplicación de la ley de la
conservación de la materia a un pequeño elemento de
volumen situado en el seno del fluido en movimiento • Proporcionar a los estudiantes las ecuaciones de
continuidad y cantidad de movimiento en los diferentes
sistemas coordenados, con la finalidad de hacer más
sencillo su manejo.
Ecuaciones de continuidad y cantidad de movimiento.
4
ÍNDICE Página
Introducción 2
Objetivos 3
Índice 4
Tema 1 LA ECUACIÓN DE CONTINUIDAD 5
La ecuación de continuidad en distintos sistemas coordenados 7
Tema 2 LA ECUACIÓN DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO 8
Las ecuaciones de movimiento de Cauchy y de Navier-Stokes en
coordenadas rectangulares
11
Las ecuaciones de movimiento de Cauchy y de Navier-Stokes en
coordenadas cilíndricas
12
Las ecuaciones de movimiento de Cauchy y de Navier-Stokes en
coordenadas esféricas
13
Componentes del tensor esfuerzo en coordenadas rectangulares 15
Componentes del tensor esfuerzo en coordenadas cilíndricas 16
Componentes del tensor esfuerzo en coordenadas esféricas 17
Bibliografía 18
Ecuaciones de continuidad y cantidad de movimiento.
5
LA ECUACIÓN DE CONTINUIDAD
La ecuación de continuidad se obtiene aplicando un balance de materia a
un elemento diferencial de volumen (∆V), a través de la cual está circulando el
fluido.
Figura 1. Región de volumen ∆x, ∆y, ∆z fija en el espacio, a través de la cual
esta circulando el fluido
Aplicando el balance de materia:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡materia de
salida de velocidadmateria de
entrada de velocidadmateriade
nacumulaciódevelocidad (1)
Considerando el par de caras perpendiculares al eje x y el área de flujo en
x como ∆y∆z, se obtiene que la velocidad de entrada de materia a través de la
cara x es (ρvx)]x∆y∆z y la velocidad de salida de materia a través de la cara x +
∆x es (ρvx)]x+∆x∆y∆z. Por los otros dos pares de caras pueden obtenerse
expresiones análogas y la velocidad de acumulación de materia en el elemento
diferencial de volumen es ( )( )zyxt ∆∆∆∂∂ρ . Por lo tanto el balance de materia
queda:
( ) ( )[ ] ( ) ( ) ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −∆∆+−∆∆=
∂∂
∆∆∆∆+∆+ yyyyyxxxxx vvzxvvzy
tzyx ρρρρρ
( ) ( )[ ]zzzzz vvyx∆+
−∆∆+ ρρ (2)
x
z
∆x
∆zy
∆y
(ρ.vx )]x (ρ.vx )]x+∆x
Ecuaciones de continuidad y cantidad de movimiento.
6
Dividiendo toda la ecuación por ∆x∆y∆z, y tomando el límite cuando ∆x,
∆y, ∆z tiende a cero, se tiene
( ) ( ) ( )⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+∂∂
−=∂∂
zyx vz
vy
vxt
ρρρρ (3)
Ésta es la ecuación de continuidad y puede escribirse en una forma más
conveniente utilizando notación generalizada:
( )vt
ρρ•∇−=
∂∂ (4)
El término ( )vρ•∇ se denomina divergencia de ρv, en donde la
divergencia (∇) y la velocidad (v) son vectores.
En el siguiente capitulo se presentan la ecuación de continuidad en todos
los sistemas coordenados
Ecuaciones de continuidad y cantidad de movimiento.
7
LA ECUACION DE CONTINUIDAD EN DISTINTOS SISTEMAS COORDENADOS
Coordenadas rectangulares (x,y,z):
( ) ( ) ( ) 0vz
vy
vxt zyx =ρ
∂∂
+ρ∂∂
+ρ∂∂
+∂ρ∂
Coordenadas cilíndricas (r, θ, z):
( ) ( ) ( ) 0vz
vr1rv
rr1
t zr =ρ∂∂
+ρθ∂∂
+ρ∂∂
+∂ρ∂
θ
Coordenadas esféricas (r, θ, φ):
( ) ( ) ( ) 0vsenr
1senvsenr
1vrrr
1t r
22
=ρφ∂∂
θ+θρ
θ∂∂
θ+ρ
∂∂
+∂ρ∂
φθ
Ecuaciones de continuidad y cantidad de movimiento.
8
LA ECUACIÓN DE MOVIMIENTO Para un elemento diferencial de volumen ∆x∆y∆z, se puede escribir el
siguiente balance de cantidad de movimiento.
Figura 2. Región de volumen ∆x, ∆y, ∆z fija en el espacio, en el que señala la dirección de transporte del componente x de la cantidad de movimiento a través
de la superficie
Aplicando el balance de cantidad de movimiento:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡+
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
sistema el sobreactuan que fuerzaslas de suma
movimiento de cantidadde
salida de velocidad
movimiento de cantidadde
entrada de velocidad
movimiento de cantidaddenacumulació
develocidad
Trabajando en la dirección x, la cantidad de movimiento que entra y sale
del elemento de volumen indicado en la figura 2, se produce por dos
mecanismos: convección y transporte molecular.
La velocidad con que entra por convección el componente x de la
cantidad de movimiento por la cara situada en x es (ρvx vx)]x∆y∆z y la velocidad
de salida por x+ ∆x es (ρvx vx)]x+∆x∆y∆z. Para las demás caras se pueden escribir
x
z
y
(τxx)]x (τxx)]x+∆x
(τzx)]z+∆z
(τyx)]y+∆y
(τyx)]y
(τzx)]z
Ecuaciones de continuidad y cantidad de movimiento.
9
expresiones similares. El flujo convectivo neto, de la cantidad de movimiento en
el elemento de volumen es:
( ) ( )[ ] ( ) ( )( ) ( )[ ]zzzzzzz
yyyyyyyxxxxxxx
vvvvyx
vvvvzxvvvvzy
∆+
∆+∆+
−∆∆+
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −∆∆+−∆∆
ρρ
ρρρρ (5)
De igual forma, la velocidad con que el componente x de la cantidad de
movimiento entra por transporte molecular por la cara situada en x es τxx]x∆y∆z,
y con la que sale por x+ ∆x es τxx]x+∆x∆y∆z; para las demás caras se pueden
escribir expresiones similares. Hay que tomar en cuenta que τij es la densidad de
flujo de cantidad de movimiento j a través de una cara perpendicular al eje i.
Sumando estas seis contribuciones, se obtiene:
[ ] [ ]zzzxzzxyyyxyyxxxxxxxx yxzxzy∆+∆+∆+
−∆∆+⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −∆∆+−∆∆ ττττττ (6)
Estas densidades de flujo de cantidad de movimiento pueden
considerarse como esfuerzos. Por lo tanto, τxx es el esfuerzo normal que actúa
sobre la cara ∆y∆z, τyx es el esfuerzo tangencial que actúa sobre la cara ∆x∆z en
la dirección x, τzx es el esfuerzo tangencial que actúa sobre la cara ∆x∆y en la
dirección x y que resultan de las fuerzas viscosas.
En la mayor parte de los casos, las únicas fuerzas importantes serán las
provenientes de la presión del fluido y la fuerza de gravedad. La resultante de
estas fuerzas en la dirección x será:
[ ] zyxgPPzy xxxx ∆∆∆+−∆∆∆+
ρ (7)
Finalmente, la velocidad de acumulación de cantidad de movimiento en el
elemento diferencial de volumen es ( )( )zyxtvx ∆∆∆∂∂ρ . Dividiendo toda la
ecuación por ∆x∆y∆z, y tomando el limite cuando ∆x, ∆y, ∆z tiende a cero, se
tiene
xzxyxxxx
zx
yx
xx g
zyxxP
zv
vyv
vxv
vt
vρ
τττρ +⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂
+∂
∂+
∂∂
−∂∂
−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
(8)
Los componentes y y z, se pueden obtener de forma análoga. Ésta
ecuación se puede escribir en notación vectorial:
Ecuaciones de continuidad y cantidad de movimiento.
10
( ) ( ) ( ) ( ) gPvvvt
ρτρρ +•∇−•∇−•∇−=∂∂ (9)
donde:
( )vtρ
∂∂ es la velocidad de acumulación de cantidad de movimiento
( )vvρ•∇ es la velocidad de ganancia de cantidad de movimiento por
convección
( )P•∇ es la fuerza de presión que actúa sobre el elemento
( )τ•∇ es la velocidad de ganancia de cantidad de movimiento por
transporte viscoso
gρ es la fuerza de gravedad que actúa sobre el elemento
En el siguiente capítulo se presentan la ecuación de cantidad de
movimiento en todos los sistemas coordenados
Ecuaciones de continuidad y cantidad de movimiento.
11
LA ECUACION DE MOVIMIENTO EN COORDENADAS RECTANGULARES (x, y, z):
En función de τ:
Componente x:
xzxyxxxx
zx
yx
xx g
zyxxP
zv
vy
vv
xv
vt
vρ+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂τ∂
+∂
τ∂+
∂τ∂
−∂∂
−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
ρ
Componente y:
yzyyyxyy
zy
yy
xy g
zyxyP
zv
vy
vv
xv
vt
vρ+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂
τ∂+
∂
τ∂+
∂
τ∂−
∂∂
−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂ρ
Componente z:
zzzyzxzz
zz
yz
xz g
zyxzP
zv
vy
vv
xv
vt
vρ+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂τ∂
+∂
τ∂+
∂τ∂
−∂∂
−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
ρ
En función de los gradientes de velocidad para un fluido newtoniano de ρ y µ
constantes:
Componente x:
x2x
2
2x
2
2x
2x
zx
yx
xx g
zv
yv
xv
xp
zv
vy
vv
xv
vt
vρ+⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂µ+
∂∂
−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
ρ
Componente y:
y2y
2
2y
2
2y
2y
zy
yy
xy g
z
v
y
v
x
vyp
zv
vy
vv
xv
vt
vρ+
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂µ+
∂∂
−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂ρ
Componente z:
z2z
2
2z
2
2z
2z
zz
yz
xz g
zv
yv
xv
zP
zv
vy
vv
xv
vt
vρ+⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂µ+
∂∂
−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
ρ
Ecuaciones de continuidad y cantidad de movimiento.
12
LA ECUACION DE MOVIMIENTO EN COORDENADAS
CILINDRICAS (r, θ, z):
En función de τ:
Componente r:
rrzr
rrr
z
2rr
rr g
zrr1)r(
rr1
rP
zv
vr
vvr
vr
vv
tv
ρ+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂τ∂
+τ
−θ∂τ∂
+τ∂∂
−∂∂
−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂
+−θ∂
∂+
∂∂
+∂∂
ρ θθθθθ
Componente θ:
θθθθ
θθθθθθθ ρ+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂τ∂
+θ∂τ∂
+τ∂∂
−θ∂
∂−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
++θ∂
∂+
∂∂
+∂∂
ρ gzr
1)r(rr
1Pr1v
zv
vrvvv
rv
rv
Vt
v zr
22z
rr
Componente z:
zzzz
rzz
zzz
rz g
zr1)r(
rr1
zP
zv
vv
rv
rv
vt
vρ+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂τ∂
+θ∂τ∂
+τ∂∂
−∂∂
−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+θ∂
∂+
∂∂
+∂∂
ρ θθ
En función de los gradientes de velocidad para un fluido newtoniano de ρ y µ
constantes:
Componente r:
( ) r2r
2
22r
2
2r
rz
2rr
rr
gzvv
r2v
r1rv
rr1
r
rP
zv
vr
vvr
vr
vv
tv
ρθθ
µ
θρ
θ
θθ
+⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
∂
∂+
∂∂
−∂
∂+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂
+
∂∂
−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂
+−∂∂
+∂∂
+∂∂
Componente θ:
( ) θθθ
θ
θθθθθθ
ρθθ
µ
θθρ
gzvv
r2v
r1rv
rr1
r
Pr1
zv
vrvvv
rv
rv
vt
v
2
2r
22
2
2
zr
r
+⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
∂
∂+
∂∂
+∂
∂+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂
+
∂∂
−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
++∂∂
+∂∂
+∂∂
Componente z:
z2z
2
2z
2
2zz
zzz
rz g
zvv
r1
rv
rrr
1zP
zv
vv
rv
rv
vt
vρ+
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
∂
∂+
θ∂
∂+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
µ+∂∂
−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+θ∂
∂+
∂∂
+∂∂
ρ θ
Ecuaciones de continuidad y cantidad de movimiento.
13
LA ECUACIÓN DE MOVIMIENTO EN
COORDENADAS ESFÉRICA (r, θ, Φ) En función de los esfuerzos (τ):
Componente r:
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +−
φ∂∂
θ+
θ∂∂
+∂∂
+∂∂
ρ φθφθ
rvvv
senrvv
rv
rv
vt
v 22rrr
rr
( ) ( ) rr
rrr2
2g
rsenr1Sen
senr1r
rr1
rP
ρ+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ τ+τ−
φ∂
τ∂
θ+θτ
θ∂∂
θ+τ
∂∂
−∂∂
−= φφθθφθ
Componente θ:
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ θ⋅−+
φ∂∂
θ+
θ∂∂
+∂∂
+∂∂
ρ φθθφθθθθ
rcotv
rvvv
senrvv
rv
rv
vt
v 2r
r
( ) ( ) θφφθθφ
θθθ ρ+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛τ
θ−
τ+
φ∂
τ∂
θ+θτ
θ∂∂
θ+τ
∂∂
⋅−θ∂
∂−= g
rcot
rsenr1sen
senr1r
rr1P
r1 r
r2
2
Componente φ:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ θ++
φ∂
∂
θ+
θ∂
∂+
∂
∂+
∂
∂ρ θφφφφφθφφ
rcotvv
rvvv
senrvv
rv
rv
vt
v rr
( ) φθφφφφθφ
φ ρ+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛τ
θ+
τ+
φ∂
τ∂
θ+
θ∂
τ∂+τ
∂∂
−φ∂
∂θ
−= gr
cot2rsenr
1r1r
rr1P
senr1 r
r2
2
En función de los gradientes de velocidades para un fluido newtoniano de ρ y µ
constantes:
Componente r
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +−
φ∂∂
θ+
θ∂∂
+∂∂
+∂∂
ρ φθφθ
rvvv
senrvv
rv
rv
vt
v 22rrr
rr
r222r2r2 g
v
senr2cotv
r2v
r2v
r2v
rP
ρ+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
φ∂
∂
θ−θ−
θ∂∂
−−∇µ+∂∂
−= φθ
θ
Ecuaciones de continuidad y cantidad de movimiento.
14
Componente θ
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ θ−+
φ∂∂
θ+
θ∂∂
+∂∂
+∂∂
ρ φθθφθθθθ
rcotv
rvvv
senrvv
rv
rv
vt
v 2r
r
θφθ
θ ρ+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
φ∂
∂
θ
θ−
θ−
θ∂∂
+∇µ+θ∂
∂−= g
v
senrcos2
senrvv
r2vP
r1
2222r
22
Componente φ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ θ−+
φ∂
∂
θ+
θ∂
∂+
∂
∂+
∂
∂ρ θφφφφφθφφ
rcotvv
rvvv
senrvv
rv
rv
vt
v rr
φθθ
φ ρ+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛φ∂
∂
θ
θ+
φ∂∂
θ+
θ−∇µ+
φ∂∂
θ−= g
vsenrcos2v
senr2
senrv
vPsenr
122
r222
2
donde
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
φ∂∂
θ∂∂
⋅θ
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
θ∂∂
θθ∂∂
θ+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂
=∇2
2
2222
22 a
senr1asen
senr1
rar
rr1a
Ecuaciones de continuidad y cantidad de movimiento.
15
COMPONENTES DEL TENSOR ESFUERZO EN COORDENADAS RECTANGULARES (X, Y, Z)
( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡•∇−
∂∂
µ−=τ v32
xv
2 xxx
( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡•∇−
∂
∂µ−=τ v
32
yv
2 yyy
( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡•∇−
∂∂
µ−=τ v32
zv
2 zzz
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
∂
∂+
∂∂
µ−=τ=τx
vy
v yxyxxy
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
∂
∂+
∂∂
µ−=τ=τz
vy
v yzyzzy
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
+∂∂
µ−=τ=τx
vz
v zxxzzx
donde
( )z
vy
vx
vv zyx
∂∂
+∂
∂+
∂∂
=•∇
Ecuaciones de continuidad y cantidad de movimiento.
16
COMPONENTES DEL TENSOR ESFUERZO EN
COORDENADAS CILÍNDRICAS (R, θ, Z)
( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡•∇−
∂∂
µ−=τ v32
rv
2 rrr
( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡•∇−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
θ∂∂
µ−=τ θθθ v
32
rvv
r12 r
( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡•∇−
∂∂
µ−=τ v32
zv
2 zzz
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡θ∂
∂+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
µ−=τ=τ θθθ
rrr
vr1
rv
rr
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡θ∂
∂+
∂∂
µ−=τ=τ θθθ
zzz
vr1
zv
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
+∂∂
µ−=τ=τr
vzv zr
rzzr
donde
( ) ( )z
vvr1rv
rr1v z
r ∂∂
+θ∂
∂+
∂∂
=•∇ θ
Ecuaciones de continuidad y cantidad de movimiento.
17
COMPONENTES DEL TENSOR ESFUERZO EN
COORDENADAS ESFÉRICAS (R, θ, φ)
( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡•∇−
∂∂
µ−=τ v32
rv
2 rrr
( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡•∇−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
θ∂∂
µ−=τ θθθ v
32
rvv
r12 r
( )⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡•∇−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ θ++
φ∂
∂
θµ−=τ θφ
φφ v32
rcotv
rvv
senr12 r
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡θ∂
∂+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
µ−=τ=τ θθθ
rrr
vr1
rv
rr
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
φ∂∂
θ+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
θθ∂∂θ
µ−=τ=τ θφθφφθ
vsenr
1sen
vr
sen
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂
+φ∂
∂θ
µ−=τ=τ φφφ r
vr
rv
senr1 r
rr
donde
( ) ( ) ( )φ∂
∂
θ+θ
θ∂∂
θ+
∂∂
=•∇ φθ
vsenr
1senvsenr
1vrrr
1v r2
2
Ecuaciones de continuidad y cantidad de movimiento.
18
BIBLIOGRAFÍA
Wilkes O. J., "Fluid Mechanicals for Chemical Engineers", Prentice Hall
International Series in the Physical and Chemical Engineering Sciences,
USA(1999).
Bird R.B., Stewart W.E. y Lightfoot E.N.,"Fenomenos de transporte", Editorial
Reverté, España(1975).