ecuaciones de balance

UNIVERSIDAD NACIONAL DE SALTA

FACULTAD DE CIENCIASNATURALES

SEDE REGIONAL TARTAGAL

“MECÁNICA DE FLUIDOS”

“ECUACIONES DE BALANCE”

(DIFERENCIAL E INTEGRAL)

Carrera: Ingeniería en Perforaciones

Dr Nahuel Salvo

Ecuaciones de balance 1

Índice

1.- Introducción..............................................................................................................5

2.- Definición de fluido...................................................................................................7

3.- Hipótesis del Continuo.............................................................................................8

4.- Leyes Básicas y Secundarias para Medios Continuos..........................................10

4.1.- Sistemas y Volúmenes de Control..................................................................10

5.- Tipos de flujo..........................................................................................................12

5.1.- Flujo Laminar y Turbulento.............................................................................145.2.- Experimento de Reynolds...............................................................................16

6.- Descripción Lagrangiana y Euleriana....................................................................17

7.- Derivadas Temporales............................................................................................19

7.1.- Derivadas Temporales de Integrales..............................................................24

8.- Ecuaciones de Balance (Relaciones Diferenciales e Integrales)..........................27

8.1.- Balance de Masa (forma diferencial)..............................................................288.2.- Forma especial del Teorema de Transporte de Reynolds..............................318.3.- Balance de Masa (forma integral)...................................................................32

9.- Principio de la Cantidad de Movimiento (forma integral).......................................34

9.1.- Fuerzas que actúan sobre un elemento de fluido..........................................359.2.- El Vector Esfuerzo..........................................................................................369.3.- Balance Diferencial de la Cantidad de Movimiento (Ecuaciones de Movimiento para el Esfuerzo).................................................................................389.4.- Balance Integral de la Cantidad de Movimiento.............................................41

10.- Balance de Energía..............................................................................................44

10.1.- Balance Diferencial de la Energía................................................................4510.2.- Balance Integral de la Energía.....................................................................4810.3.- Ecuación de Bernoulli...................................................................................50

APÉNDICE A...............................................................................................................54

A-1.- Teorema del Valor Medio................................................................................54

APÉNDICE B...............................................................................................................55

B-1.- Vector Esfuerzo (caso hidrostático)...............................................................55

APÉNDICE C...............................................................................................................58

C-1.- RESUMEN DE LOS DIFERENTES BALANCES (DIFERENCIALES E INTEGRALES) – FLUIDOS NEWTONIANOS........................................................58

APÉNDICE D...............................................................................................................59

D.1.- El Vector Esfuerzo..........................................................................................59D.2.- El Tensor esfuerzo y el Vector Esfuerzo........................................................60

APÉNDICE E...............................................................................................................63


E.1.- Simetría del Tensor Esfuerzo.........................................................................63

APÉNDICE F...............................................................................................................66

F.1.- Ecuaciones Constitutivas................................................................................66F.2.- Ecuación constitutiva para un Fluido Newtoniano..........................................69

11.- Bibliografía...........................................................................................................72


1.- Introducción

La expresión “mecánica de fluidos” puede aparecer solamente como unnombre para una ciencia tan antigua en origen como en realizaciones. En un sentidoestricto es mucho más que eso porque corresponde a un enfoque muy especial quepermite estudiar el comportamiento de líquidos y gases.

El origen de esta rama de la física puede ser considerado unos 4000 años ACen la zona de la Mesopotamia y Egipto donde las obras hidráulicas eran importantepara mantener la agricultura. Posteriormente imperios como los chinos, griegos yromanos se caracterizaron también por importantes obras hidráulicas. Desde esaépoca hasta nuestros días numerosos inventores e investigadores aportaron teorías,relaciones empíricas y aplicaciones que conformaron una ciencia que se aplica auna infinidad de fenómenos.

La Mecánica de los Fluidos ocupa un lugar muy importante en las cienciasexactas e ingenierías modernas, integra el currículo de diversas licenciaturas (enfísica, en energías renovables, por ejemplo) y constituye una parte fundamental en laaeronáutica y la astronáutica. También es el principal marco de la ingenieríamecánica, la ingeniería en perforaciones, la ingeniería en petróleo, las ingenieríascivil e industrial, la bioingeniería, etc. Es decir, está presente en casi todas lasdisciplinas científicas y técnicas modernas. Los principios básicos de la Mecánica deFluidos brindan un amplio abanico de conocimientos que permiten analizaraplicaciones en muchísimas áreas de la ciencia y tecnología.

Históricamente los principios básicos del movimiento de los fluidos sedesarrollaron lentamente a través de los siglos XVI al XIX como resultado del trabajode muchos científicos como Da Vinci, Galileo, Torricelli, Pascal, Bernoulli, Euler,Navier, Stokes, Kelvin, Reynolds y otros, que hicieron interesantes aportes teóricos alo que se denomina “hidrodinámica”. También en el campo de la hidráulicaexperimental existen importantes contribuciones debidas a Chezy, Ventura, Hagen,Manning, Pouseuille, Darcy, Froude y otros, fundamentalmente durante el siglo XIX.

Hacia finales del siglo XIX la hidrodinámica y la hidráulica experimentalpresentaban una cierta rivalidad. Por una parte, la hidrodinámica clásica aplicabacon rigurosidad principios matemáticos para modelar el comportamiento de losfluidos, para lo cual debía recurrir a simplificar sus propiedades, por lo que sehablaba de “fluidos ideales”. Esto hizo que los resultados no fueran siempreaplicables a casos reales. Por otra parte, la hidráulica experimental acumulabaantecedentes y datos sobre el comportamiento de fluidos reales sin dar importanciaa la formulación de una teoría rigurosa.

La Mecánica de Fluidos moderna aparece a principios del siglo XX como unesfuerzo para unir estas dos tendencias: experimental y teórica. Generalmente sereconoce como fundador de la Mecánica de Fluidos moderna al alemán L. Prandtl(1875-1953), lo que sugiere que esta es una ciencia relativamente joven, a la queinclusive hoy en día se suman importantes aportes y descubrimientos.

En términos generales se puede expresar que la Mecánica de Fluidos estudiaen forma macroscópica el estado en reposo y en movimiento de los fluidos, además


de los efectos que estos ejercen sobre sólidos con los que se encuentran encontacto. Se sustenta en principios básicos que le confieren una unidad conceptual yen su desarrollo teórico aparecen las mismas relaciones matemáticas en diferentescontextos, lo que proporciona cierta unidad formal.

Un aspecto interesante de analizar es el campo de aplicación de la Mecánica deFluidos desde el punto de vista del avance científico y cómo su estudio evolucionaaceleradamente logrando nuevas aplicaciones o mejorando (haciendo más eficientes)sistemas donde un fluido es el principal responsable de su funcionamiento.

Teniendo en cuenta que la Mecánica de Fluidos es una ciencia describe a losfluidos tanto en condiciones estáticas o dinámicas, entonces es necesario resaltarque una parte importante es la Cinemática y que constituye una rama de lamecánica de fluidos que trata con cantidades que involucran espacio y tiempoúnicamente. Se consideran cantidades como los desplazamientos, velocidades,aceleraciones, deformaciones, rotaciones, etc. de elementos de fluidos sinconsiderar las fuerzas responsables de tales movimientos. En otras palabras lacinemática describe el movimiento aparente de las partículas que componen unfluido. Por otro lado las fuerzas que causan los fenómenos mencionados se estudianen la dinámica de fluidos.

Por lo general para determinar el comportamiento de los fluidos, se planteanhipótesis iniciales las cuales se desarrollan para determinar los postulados quegobiernan su movimiento. Por lo tanto se presenta en las diferentes secciones quefiguran a continuación los fundamentos de balances diferenciales e integrales demasa, cantidad de movimiento, energía. En la deducción de estas ecuaciones seconsiderarán los aspectos matemáticos relacionados con el Teorema del ValorMedio, Teorema de Gauss (Teorema de la Divergencia) y el Teorema de Transportede Reynolds como un caso particular del teorema de Leibnitz. Siendo estosteoremas las principales herramientas matemáticas que se emplean en el análisis delas ecuaciones de balance.

Pero antes de comenzar a plantear las ecuaciones que describen elmovimiento de un fluido, es importante considerar la definición de un fluido. Ademáses importante determinar de que forma será considerada la materia o sea desde unpunto de vista microscópico o macroscópico y que relación hay entre estas dosvisiones.

También es importante analizar ¿cómo se puede observar una partículafluida? y en este sentido habrá que distinguir entre una descripción Material y unadescripción Espacial y como influyen ambas descripciones en el calculo de porejemplo: derivadas o integrales.


2.- Definición de fluido

Para estudiar los diferentes fenómenos, por ejemplo, relacionados con lainteracción de un fluido con un sólido o entre dos fluidos es necesario considerarantes que nada en un modelo constitutivo que permita establecer con claridadalgunas propiedades.

La materia en la naturaleza puede ser dividida en dos grandes grupos:“sólidos” y “fluidos”. En los fluidos se consideran “los líquidos” y “los gases”. Lossólidos tienen una forma definida, además no se deforman con solo aplicar algunafuerza o dicho en otras palabras su forma definida se modifica cuando se aplicanfuerzas considerables. Por el contrario intuitivamente se puede pensar que elcomportamiento característico de un fluido es que carece de rigidez y por lo tanto sedeforma fácilmente y por lo tanto los fluidos se adaptan al recipiente que loscontiene.

Es importante plantear algunas definiciones para diferenciar correctamente ladiferencia entre un sólido y un fluido y esto se justifica porque puede suceder queciertas sustancias o materiales sometidos a determinadas condiciones se comportencomo sólidos y si se cambian las condiciones, la misma sustancia, se comportacomo un fluido. Por ejemplo: el agua se convierte en hielo si la enfriamos y en vaporsi la calentamos y estos estados son distintos y sus propiedades muy diferentes.También puede suceder que dos sustancias diferentes, por ejemplo un líquido y unsólido, al unirse mezclen sus características y el resultado final tenga uncomportamiento muy diferente al de cada sustancia considerada en formaindependiente.

Una pregunta interesante sería: ¿Es posible caminar sobre el agua como sifuese una superficie sólida? y la respuesta inmediata seria no, pero si mezclamosagua con harina de maíz (“maicena”) entonces es posible caminar sobre estasustancia sin hundirse. La mezcla de agua con harina de maiz da comoresultado una sustancia conocida en inglés como oobleck a raíz de un famosocuento infantil. En reposo es un líquido espeso y blanco, parecido a la pintura, perosi lo golpeamos con el puño se vuelve muy duro, o sea si lo maleamos con lasmanos es una especie de bola viscosa, pero si simplemente lo sostenemos en lapalma, gotea entre nuestros dedos como si fuese leche.

Estas características tan diferentes tienen su explicación, lo que se verá másadelante en el curso. Ahora para fijar ideas y conceptos es necesario distinguirclaramente entre un sólido y un líquido para obtener una definición de un fluido engeneral. Por lo tanto se define:

• “sólido simple”: a todo material en el cual las posiciones relativas de suselementos presentan cambios de pequeña magnitud cuando las magnitudesde las fuerzas que actúan sobre él son pequeñas.

• “fluido simple”: es todo medio en el cual las posiciones relativas de suselementos sufren grandes cambios, aún cuando las magnitudes de lasfuerzas que actúan sobre él sean pequeñas.


Resumiendo lo anterior, en un sólido pequeñas fuerzas producendeformaciones pequeñas y en un fluido fuerzas pequeñas dan lugar adeformaciones de gran magnitud. Por lo tanto conviene analizar lo que se entiendepor una deformación y en principio pueden suceder dos cosas en un material: unaque cambie su forma pero no su volumen y otra que cambie su volumen pero no suforma, entonces una deformación en términos generales es una combinación deambas efectos, por lo tanto se define:

• expansiones o contracciones puras: son aquellas deformaciones producen uncambio de volumen pero sin cambiar la forma (Figura 1)

• distorsiones puras: cambia la forma del material pero no cambia su volumen(Figura 1)

Figura 1: contracciones y distorsiones

A partir de lo anterior se define a un fluido como a toda sustancia incapaz decontrarrestar el efecto de las fuerzas que producen deformaciones sin cambio devolumen o sea a las distorsiones. No debe interpretarse que todo fluido no opongaresistencia a las distorsiones, pero si se debe entender que esta resistencia tiende acero cuando la rapidez con que se producen las deformaciones tienden a cero.

Por lo tanto esa resistencia a la deformación limita la rapidez con la cualocurre la deformación, pero no su magnitud. Resumiendo, en un sólido ladeformación tiende a cero si la fuerza que la produce tiende a cero, mientras que enun fluido es la rapidez de la deformación la que tiende a cero cuando la fuerza tiendea cero.

3.- Hipótesis del Continuo

Un fluido se compone de un gran número de moléculas en constantemovimiento y las mismas están sometidas a colisiones de unas contra otra y por lotanto su estructura es discontinua o discreta a escalas microscópicas. En principio,es posible estudiar la mecánica de un fluido mediante el estudio del movimiento delas moléculas individuales y es así como se hace en la Teoría Cinética o MecánicaEstadística. Pero cuando se esta interesado en aplicaciones en ingeniería, las


Contracción pura

Distorsión Pura

Cambia el volumen pero no la forma.

Cambia la forma pero no el volumen.

variables a utilizar son aquellas relacionadas con la manifestación media delmovimiento molecular. Por ejemplo, las fuerzas que se ejercen sobre las paredes delrecipiente que contiene al fluido y que son producidas por el constante bombardeode las moléculas son el resultado de la media estadística de estas fuerzas decolisión por unidad de área y que se llama presión y es una propiedadmacroscópica. Por lo tanto siempre y cuando no se este interesado en la mecánicamolecular del origen de la presión, se puede ignorar el movimiento molecular ypensar en la presión como simplemente la fuerza media por unidad de área ejercidapor el fluido.

Cuando la densidad molecular del fluido y el tamaño de la región de interésson considerables, las propiedades medias son suficientes para la explicación demacroscópica fenómenos y la estructura molecular de la materia discreta pueden serignorada y reemplazada por una distribución continua, llamada “un medio continuo”.

En un medio continuo, las propiedades del fluido como la temperatura,densidad o la velocidad se definen en cada punto en el espacio y estas propiedadesson determinadas por los promedios de las características moleculares en unapequeña región que rodea el punto de interés. La aproximación de “medio continuo”es válida cuando el número de Knudsen es mucho menor que la unidad. Estenúmero se define como:

K n=λL

≪ 1 (3.1)

donde: λ es el recorrido libre medio de las moléculas y L es la escala de longitudde interés (la longitud de un cuerpo, el diámetro de un poro, el radio de giro, etc. )

Para la mayoría de las situaciones terrestres, esto no es una gran restricciónporque por ejemplo λ≈50nm para aire a temperatura ambiente y presiónatmosférica ó λ es dos órdenes de magnitud menor para el caso de agua en lasmismas condiciones.

Si bien no es motivo de estudio de esta materia, un enfoque molecular puedeser necesario para analizar situaciones donde sea necesario determinar ¿cómo secomporta un fluido sobre objetos muy pequeños? o en el estudio del movimiento delos gases tenues en la parte alta de la atmósfera, etc.

Por todo lo anterior se puede decir que la hipótesis básica de la Mecánica deFluidos consiste en suponer que a escala macroscópica, un fluido se comporta comosi tuviera una estructura perfectamente continua o dicho en otras palabras como sino tuviera una estructura. Entonces magnitudes como la masa, la cantidad demovimiento, la energía de un fluido se consideran distribuidas uniformemente en elsistema que se considere.

Desde el punto de vista matemático también se puede decir que las funcioneso derivadas (de cualquier orden) que describan a las magnitudes mencionadas yalguna otra son funciones continuas, por lo tanto si existe alguna singularidad odiscontinuidad esta puede ser considerada como un caso especial en un desarrolloteórico o una situación especial desde el punto de vista experimental.


4.- Leyes Básicas y Secundarias para Medios Continuos

De acuerdo a lo expresado por muchos libros de texto, en la física en generaly en la rama de la ingeniería en particular, la experiencia indica que en principiodeben satisfacerse cuatro “Leyes Básicas” para cualquier medio continuo.

Estas leyes básicas son:

1. Conservación de la Materia (Ecuación de Continuidad)

2. Segunda Ley de Newton (Ecuaciones de Cantidad de Movimiento yMomento de una Fuerza)

3. Conservación de la Energía (Primera Ley de la Termodinámica)

4. Segunda ley de la termodinámica (explicación del concepto deirreversibilidad y al de entropía)

Además de estas leyes generales o básicas existen numerosas leyessecundarias, algunas veces conocidas como “Relaciones” o “EcuacionesConstitutivas”, que se aplican a materiales específicos. En el Apéndice F se explicacon mayor detalle, para un fluido, lo que se entiende por Ecuaciones Constitutivas.

Se puede mencionar como ejemplo que la Ecuación de Estado para el GasPerfecto y la Ley de la Viscosidad de Newton para ciertos fluidos viscosos, son dosleyes secundarias. La primera es probable que haya sido presentada en el curso deFísica I, mientras que la segunda se analizará en este curso de Mecánica deFluidos. Además en el caso de considerar un sólido elástico su ecuación constitutivaes la Ley de Hooke la cual establece de que manera se deforma un sólido sometidoa una determinada tensión.

4.1.- Sistemas y Volúmenes de Control

Cuando es necesario aplicar las las leyes básicas y secundarias, puedeconsiderarse lo siguiente:

1. El comportamiento de todas y cada una de las masas involucradas deben sertales que satisfagan las leyes básicas y las leyes secundarias que correspondan.

2. Los volúmenes considerados en el espacio deben ser tales que se satisfagantambién las leyes básicas y las leyes secundarias.

Las dos consideraciones anteriores implican tener que definir un nuevoconcepto que es el de “Sistema Termodinámico”. Un sistema termodinámico sedefine como una parte del universo que es objeto de estudio. Por lo tanto un sistemapuede ser: una célula, una persona, el vapor de una máquina, la mezcla de gasolinay aire en un motor, la atmósfera terrestre, etc. El sistema termodinámico puede estarseparado del resto del universo (denominado “entorno”) por paredes o límites realeso imaginarios. En este último caso, el sistema objeto de estudio podría ser, porejemplo, una parte de otro más grande. Con respecto a los límites que separan a un


sistema de sus alrededores y teniendo en cuenta el intercambio de energía, estospueden:

• no permitir el flujo de energía (calor) entre el sistema y el entorno (límitesadiabáticos)

• permitir el flujo de energía con el entorno (límites diatérmicos)

Si además se considera no solo el intercambio de energía son también elintercambio de masa, los sistemas termodinámicos pueden ser “aislados”, “cerrados”o “abiertos” y cada uno de ello se define como:

• Sistema aislado: es aquél que no intercambia ni materia ni energía con losalrededores.

• Sistema cerrado: es aquél que intercambia energía (calor y trabajo) pero nomateria con los alrededores (su masa permanece constante).

• Sistema abierto: es aquél que intercambia energía y materia con losalrededores.

En la Figura 2 se han representado los distintos tipos de sistemastermodinámicos.

Figura 2: Sistemas termodinámicos

En muchos textos al sistema termodinámico abierto se lo denomina “VolumenControl” (VC) y para los desarrollos posteriores se usará las dos denominacionescomo idénticas. También debe quedar claro que un VC puede deformarse o seaaumentar o disminuir de tamaño. La superficie que limita a un VC se denomina“Superficie Control” (SC).


5.- Tipos de flujo

Una cantidad que se repite constantemente cuando se estudian conceptosrelacionados con el transporte de alguna propiedad es el de flujo, por lo tanto esimportante entender su concepto. La palabra flujo tiene en cuenta el transporte deuna determinada “propiedad”, a través de una superficie en un determinado tiempo.Es necesario aclarar que la “propiedad” en el caso de la Mecánica de Fluidos escualquier magnitud tensorial relacionada con el fluido. El concepto de flujo puede seraplicado en otras disciplinas de estudio, por ejemplo se habla flujo de automóviles enuna ruta, flujo de personas entrando o saliendo de un supermercado, flujo de avesmigratorias, etc. En estos casos se entiende como la cantidad de cosas que pasaronpor unidad de tiempo por una determinada zona (superficie).

Otro aspecto a tener en cuenta es con respecto a la “propiedad” transportada.Debe quedar claro que desde el punto de vista estadístico, cada partícula transportaen forma individual alguna “propiedad”, pero se esta interesado en calcular un valorpromedio de lo transportado por todas las partículas a través de una superficie y nolo realizado por una partícula individual. La Figura 3 (a) muestra un grupo departículas que se mueven en un conducto. El concepto de flujo ser relaciona connúmero medio de partículas (o lo que ellas transportan) que atraviesan la superficieS en un instante de tiempo t .

Figura 3: (a)flujo de partículas, (b) superficie S arbitraria

El número de partículas que se encuentran en el volumen a la izquierda deS es N=nSx . Donde n es el número de partículas por unidad de volumen. Si

la velocidad promedio de las partículas es v entonces la distancia media recorridapuede ser calculada como x=v t por lo tanto el número de partículas queatraviesanla superficie S es:

N = n S v t ⇒ Φ =Nt

= n S v (5.1)

Donde Φ en este caso representa el flujo de partículas que atraviesan Sen la unidad de tiempo t . Considerando la Figura 3 (b), se determina que el


volumen de fluido que en un intervalo de tiempo dt pasa a través de un elementode superficie dS como:

dV = v dt dA cosθ =(v⋅n) dA dt (5.2)

Integrando en toda la superficie se obtiene:

dVdt

= Q=∫S

(v⋅n) dA (5.3)

La ecuación (5.3) determina el “flujo volumétrico” o caudal. Para calcular elflujo de masa (“flujo másico”) solo es suficiente multiplicar por la densidad ρ

entonces:

dmdt

= m=∫S

ρ( v⋅n) dA (5.4)

Variable que seconsidera

Tipo de flujo Explicación conceptual

velocidad de las partículas de fluido encada punto del espacio

estacionarioLa velocidad de las partículas es la misma

en todo instante de tiempo en todo elespacio, v = v(x).

no - estacionarioLa velocidad de las partículas en cada

punto del espacio cambia constantemente,v = v(x,t).

Velocidad angular netadel fluido

irrotacionalCada elemento de fluido no posee una

velocidad angular neta, velocidad angularigual a cero.

rotacionalVelocidad angular diferente de cero de un

elemento de fluido.

Variaciones dedensidad

compresibleLa densidad del fluido varía de un punto aotro del espacio y en general es función de

las coordenadas.

incompresibleNo existe variación de la densidad en

función de la posición.

“rozamientos internos”

viscosoExisten fuerzas internas entre diferentes

capas internas del fluido, se disipa energía.

no - viscosoNo hay disipación interna de energía

(ausencia de fuerzas de roce).


Si se considera la ecuación (5.4) en una dirección se obtiene la ecuaciónconocida de caudal:

m= ρQ= ρ v A (5.5)

Es importante tener en cuenta las unidades en la ecuación (5.5) las unidadesde Q son: [Q ]=L ³/T por ejemplo: m3/s o ft3/s, las unidades de la densidad son:

ρ=M /L3 por ejemplo Kg/m3, slug/ft3; por lo tanto unidades de m son

[m]=M/T por ejemplo: kg/s o slug/s

En la tabla anterior se presenta una clasificación general de los diferentestipos de flujos, la que puede ser ampliada dependiendo de la aplicación y de labibliografía considerada. Otra característica importante de un flujo de fluido y que nofigura en la tabla es la diferencia entre “flujo laminar” y “flujo turbulento” y dada suimportancia a continuación se expresan las principales diferencias y características.

5.1.- Flujo Laminar y Turbulento

Cuando un fluido se transporta con un movimiento perfectamente ordenado,estratificado o dicho en términos cotidianos, “se mueve de forma suave” el flujo sedenomina “laminar”. Para este tipo de flujo las diferentes capas (laminas) del fluidose mueven sin mezclarse a pesar de hacerlo a diferente velocidad o sea que entredos capas adyacentes todo intercambio se realiza exclusivamente de maneramolecular. Algunos autores consideran y definen este tipo de flujo como“aerodinámico”. Un aspecto fenomenológico es que los flujos laminares ocurrencuando las velocidades son relativamente bajas o viscosidades altas como seanaliza más adelante.

Por otro lado cuando no se cumplen las condiciones de flujo laminar elmovimiento del fluido es “turbulento” o sea el flujo es turbulento. El estudio de flujosturbulentos es considerado como uno de los más complejos dentro de la física. Engeneral un flujo turbulento se puede definir como aquel que tiene tendencia aldesorden y esta caracterizado por trayectorias erráticas de sus partículas(semejantes a remolinos). En particular puede considerarse que un flujo turbulentose presenta cuando las fuerzas inerciales son de mayor importancia que las fuerzasviscosas presentes en el flujo. En la Figura 4 se muestran gráficamente estas ideas.

Figura 4: (a)flujo laminar, (b) flujo turbulento


J. O. Hinze en su libro “Turbulence” define el movimiento turbulento de unfluido de una forma muy general como una “condición irregular del flujo en la cual lasmagnitudes muestran una variación aleatoria en el tiempo y el espacio, de forma quelos distintos valores medios estadísticos pueden ser discernidos” o sea calculados.Esta definición es un poco amplia pero pone de manifiesto que una herramientaestadística debe ser utilizada para poder caracterizar o estimar valores intrínsecos(propios) de un flujo turbulento. Algunas características importantes de este tipo deflujo se detallan a continuación, si bien no son las únicas que pueden citarse, son lasmás sobresalientes.

• Desorganizado, comportamiento caótico, aleatorio: Cualitativamente es laprimera impresión que surge de la observación de un flujo turbulento. Elcomportamiento aleatorio, se refiere a fluctuaciones de las cantidadestransportadas por el flujo medio como ser: densidad, energía, presión, etc.Cuando la aleatoriedad de una variable aparece en una definición, losmétodos estadísticos deben participar en el análisis del sistema.

• Amplio espectro de escalas espaciales y temporales: Este tipo de flujo secaracteriza por exhibir estructuras (por ejemplo remolinos) en un amplioespectro de escalas espaciales y temporales. Si por ejemplo “L” es la escalaespacial de las estructuras de mayor tamaño y “ℓ” la escala de las estructurasmás pequeñas (típicamente aquella donde la disipación comienza a serrelevante consumiendo energía contenida en el flujo medio), su cociente L / ℓ,es proporcional al Número de Reynolds (Re) que físicamente representa larelación entre fuerzas de inercia con respecto a las fuerzas viscosas. Por lotanto números de Reyolds elevados significa que las fuerzas inerciales sonmayores que las fuerzas generadas por efectos viscosos.

• Impredecibilidad en el espacio y el tiempo: Los flujos turbulentos sonpredecibles sólo a corto plazo, debido a la sensibilidad del flujo a lascondiciones iniciales y de contorno (no linealidad de las ecuaciones que lodescriben), pero a largo plazo no se pueden establecer valores de variablesde forma determinista. A pesar de esto, estadísticamente pueden hacersepredicciones con cierta probabilidad de ocurrencia.

• Difusividad: En un flujo turbulento la difusividad aumenta por el hecho de serun flujo caótico y aleatorio, lo que significa que el fluido se mezclaintensamente entre sí. Debido a que se intensifica el intercambio de cantidadde movimiento y energía entre partículas se produce una mayor transferenciade alguna propiedad en los flujos turbulentos que en los laminares.

• Disipación: Los flujos turbulentos son disipativos. Se produce un fenómeno detransferencia de energía desde las escalas más grandes a las pequeñas,proceso conocido como “cascada de energía”. Los torbellinos o fluctuacionesturbulentas de mayor tamaño característico, reciben energía del flujo medio yestos transfieren su energía, prácticamente sin pérdida, a torbellinos máspequeños y así sucesivamente hasta llegar a torbellinos de un tamaño muypequeño cuya energía es disipada por efectos viscosos provocando uncambio en la energía interna.


• Altos números de Reynolds: El origen de la turbulencia por lo general estadado por una inestabilidad de flujos laminares. Empíricamente se puededeterminar, dependiendo de las condiciones de contorno, que siempre a partirde Nros de Reynolds que oscilan entre 2200 a 2700 el flujo se vuelveturbulento. Para números mayores, directamente el flujo es turbulento,aunque se han logrado experimentalmente flujos laminares para Re > 10000pero bajo condiciones muy controladas. El valor efectivo del Re a partir delcual se inicia la transición de laminara a turbulento depende del tipo deaplicación

Las características mencionadas demuestran en términos generales locomplejo del estudio de un flujo turbulento. En la mayoría de los fluidos, los efectosviscosos serán los responsables de la transferencia o conversión de la energíacinética del flujo medio en calor. Si la viscosidad del fluido es constante se consideraque la turbulencia es homogénea. Básicamente esto significa que dentro del flujo ladependencia con respecto a una dirección cualquiera puede ser despreciada oexpresado en forma extrema se puede considerar que el flujo turbulento tienecuantitativamente la misma estructura en todas las direcciones.

Otro aspecto a tener en cuenta es el término de “isotropía”. Un flujo turbulentoes isotrópico cuando sus características estadísticas no tienen una dirección depreferencia. En el caso de turbulencia isotrópica, no existen en promedio esfuerzosde corte. Matemáticamente lo anterior se demuestra cuando el gradiente de lavelocidad media del flujo es nulo.

Cada flujo turbulento tiene su propia característica, luego al comparardiferentes flujos de un mismo fluido, se puede a grandes rasgos, distinguirdiferencias. Esto implica que en una descripción cuantitativa es necesario introducirel concepto de “escala de turbulencia”. Por lo tanto, habrá una “escala de tiempo” yuna “escala espacial”. Estas escalas dependerán del sistema a estudiar, pero en unaprimera aproximación es insuficiente caracterizar un movimiento turbulento soloutilizando escalas espaciales o temporales, porque lo importante es caracterizar unflujo turbulento a partir de, por ejemplo, la dispersión de las fluctuaciones conrespecto al flujo medio.

5.2.- Experimento de Reynolds

La existencia del flujo turbulento y laminar, aunque reconocido hace poco, fuedescrito primero por Reynolds en 1883. Su experimento clásico es ilustrado en laFigura 5. El agua fluye a través de tubos transparentes cuyo flujo es controlado poruna válvula. Se introduce tinta con la misma gravedad específica que el agua dentrodel tubo abierto y se observa su comportamiento para diferentes flujos de agua en eltubo.

A bajas velocidades de flujo, los patrones de circulación de la tinta es regulary se forma una sola línea de color como se muestra en la Figura 5(a). Este es elcaso de flujo laminar y cualquier perturbación que aparece en el flujo es amortiguadarápidamente.

Cuando la velocidad aumenta o se repite la experiencia para diámetros de


conductos mayores, la tinta se dispersa a través del tubo debido a un movimientomuy irregular del fluido. La diferencia en el comportamiento de la tinta se debe a lanaturaleza ordenada del flujo laminar para el primer caso y el carácter aleatorio delflujo turbulento en el último caso. La transición del flujo laminar al turbulento, es unafunción de la velocidad de flujo.

Figura 5: Experimento de Reynolds - (a)flujo laminar, (b) flujo turbulento

Reynolds analizó las variables que determinan la naturaleza del flujo en tubos.Hoy estas variables se agrupan en un número adimensional que lleva su nombre yes el Número de Reynolds. Las variables combinadas para determinar el Re son: lavelocidad, la densidad, el diámetro del tubo y la viscosidad, siendo de la forma:

Re=ρDvμ =

fuerzasdeinerciafuerzasviscosas

(5.6)

Si bien en la definición de Re, en el numerador figura el diámetro de lacañería hay que interpretar que para el flujo en conductos D es la principaldimensión geométrica. Por lo tanto cuando se necesite utilizar el Re en otraaplicación habrá que examinar la geometría y ver cual es la dimensión principal omás importante para la determinación del Re. Por ejemplo si se esta estudiando elmovimiento alrededor de una vehículo en un túnel de viento, entonces puede serque D sea la longitud del vehículo, pero si lo que se estudia la circulación de airealrededor de un edificio, entonces, en este caso la variable geométrica en ladeterminación de Re, puede ser la altura del edificio.

La explicación anterior tiene por objetivo advertir que no siempre es eldiámetro lo que se utiliza en el cálculo de Re, sino que es una variable geométrica ypuede ser diferente dependiendo de la aplicación.

También hay que tener en cuenta que en la evaluación del denominador(fuerzas viscosas) se deberá considerar con que tipo de fluido se trabaja, porque enel caso de que el fluido no tenga viscosidad constante (fluido Newtoniano), larelación funcional (5.6) cambia bastante, aunque sigue siendo adimensional.

6.- Descripción Lagrangiana y Euleriana

Existen dos formas de describir el movimiento de un fluido. Una de ellas es ladescripción Lagrangiana o Material. En esta descripción se busca una solución quemuestre la evolución temporal de todas y cada una de las principales variablesasociadas a las partículas que intervienen en un determinado problema. Dicho en


otras palabras, esta descripción sigue la historia de cada partícula en formaindividual por lo tanto existen dos variables independientes que se consideran parala descripción, el tiempo y alguna etiqueta que identifica a la partícula.

La etiqueta, identifica a cada una de las diferentes partículas y puede ser porejemplo la posición x0 que tiene cada una, en un instante inicial t0 en algúnsistema de referencia dado. En esta descripción cualquier variable F puede serexpresada como F ( x0, t ) y en particular la posición de alguna partícula se escribecomo x( x0, t ) y que debe entenderse como: la posición de la partícula en eltiempo t la cual se encontraba en x0 para un tiempo de referencia t0 y que porlo general se lo considera cero o sea t0=0

En este método de descripción Lagrangiano se definen las trayectorias de laspartículas como el lugar geométrico de las diferentes posiciones temporales de laspartículas. O sea, la trayectoria de una partícula se define como el lugar geométricode las posiciones sucesivas a lo largo del tiempo y que en el instante inicial t0=0estaba en la posición inicial x0 (Figura 6).

Por lo tanto es necesario la identificación de cada partícula fluida y luegohacer su seguimiento en el tiempo; es decir, hay que determinar las posiciones detodas las partícula en función del tiempo, además de conocer las magnitudesasociadas a cada partícula. Este método de LAGRANGE, es el usado normalmenteen Mecánica de Sólidos donde es posible identificar partículas y estudiar suevolución temporal.

Figura 6: descripción Lagrangiana (material) del movimiento

Una descripción Lagrangiana se utilizó en física I, por ejemplo en lanzamientode proyectiles. En este tema se individualiza a una partícula y se la sigue a medidaque transcurre el tiempo, además en el tiempo inicial, generalmente se conoce laposición y entonces es posible determinar el “Alcance Máximo” o la “Altura Máxima”.

En la descripción Euleriana, el observador se concentra en lo que sucede enuna región del espacio (un punto espacial) definido por el vector x y esto significaque las variables independientes son x y t . Por lo tanto cualquier propiedad Fasociada al flujo puede ser expresada como F ( x , t ). Esta es la descripción más


utilizada en Mecánica de Fluidos por lo siguiente: para esta forma de describir unflujo lo que interesa es una región del espacio donde las diferentes partículasingresan y salen. Luego a esta región del espacio se la llamará Volumen Control(VC). Dicho en otras palabras, lo importante es la región del espacio y no unadeterminada partícula en particular.

Por lo tanto en la descripción Euleriana las diferentes propiedades del flujo sedeterminan para una dada región del espacio y no interesa que partícula ingresó osalió de la región. Por el contrario en la descripción Lagrangiana o material, parapoder determinar alguna propiedad del flujo se deberá tener identificadas a todas laspartículas del sistema y estudiar simultáneamente su evolución. Si bien es posiblehacerlo resulta que matemáticamente es muy complejo de realizar.

Por lo expresado, estas dos descripciones generan diferencias en lo querespecta a la variación de una determinada propiedad del flujo con respecto altiempo, o sea cuando se deben calcular derivadas con respecto al tiempo. En elcaso de una descripción Lagrangiana (material) la velocidad o aceleración sonsimplemente la derivada parcial y matemáticamente esto se expresa como:

vi =∂x i

∂tai =

∂vi

∂ t=

∂2x i

∂t2(6.1)

en este caso la identidad de la partícula se mantiene constante durante ladiferenciación. Con la operación anterior solo se calcula la velocidad de la partículaidentificada con el vector x de coordenadas x i y que en un tiempo inicial t0=0estaba en la posición inicial x0 .

En el caso de una descripción Euleriana (espacial) la derivada parcial solobrinda información con respecto a la variación local (en un punto del espacio) de unadeterminada propiedad y por lo tanto solo se obtiene información de la variación conrespecto al tiempo de la posición, velocidad o cualquier otra propiedad en la regióndel espacio identificada por el vector x .

Lo anterior refuerza el hecho que la descripción Euleriana es la utilizada en lamayoría de las situaciones donde interviene un flujo de fluidos y la descripciónLagrangiana solo interviene cuando el interés es, por ejemplo, estudiar la trayectoriade una determinada partícula.

7.- Derivadas Temporales

Antes de analizar e interpretar la derivada con respecto al tiempo esnecesario por claridad presentar algunas definiciones y nomenclatura, las cualesserán utilizadas en los diferentes análisis que se realizan en este apunte.

Partícula fluida: se define un “Volumen Material” como Vm(t ) y esta siemprecompuesto por las mismas partículas y la dependencia con el tiempo simboliza quepuede ser deformado. Es necesario aclarar que un volumen material esta compuestopor muchas moléculas (partículas) y algunos autores a este volumen material loconsideran como una “partícula fluida” y es por eso que siempre esta compuesto por


las mismas moléculas o sea una “partícula fluida” no puede dividirse.

Coordenadas espaciales: identifica una región del espacio y se las designa por letrasen minúscula, (x, y, z) salvo que se aclare lo contrario.

Coordenadas materiales: identifica a cada partícula y se las designa con letras enmayúscula, (X, Y, Z) salvo que se aclare lo contrario.

Para un dado tiempo t se puede designar la posición de una partícula fluidaen función de sus coordenadas espaciales x , y , z → { xi} o sea cuandoi=1 corresponde a la variable x , i=2 corresponde a la variable y , y

cuando i=3 corresponde a la variable z .

Eligiendo un determinado origen para el tiempo, por ejemplo t=0 laposición de la partícula queda determinada por la siguiente relación:

t=0 → x=X , y=Y , z=Z (7.1)

Donde se simboliza para la posición inicial el nombre de la misma variablepero en mayúscula. Para t > 0 la posición de la partícula queda determinada porla siguiente relación

xi⏟coordenadaespacial

= X i⏟coordenadamaterial

+∫0

t d xi

dtdt → r⏟

vectorespacial

= R⏟vectormaterial

+∫0

td rd t

dt (7.2)

En la ecuación anterior hay que tener en cuenta la notación de índices. Laecuación (7.2) puede ser interpretada a partir de la Figura 7. En esta figura seconsidera que r es el vector posición espacial y R es el vector posición material.

Figura 7: vectores posición en descripción material y espacial

Además hay que recordar que de acuerdo a su definición: r localiza lapartícula en una determinada posición del espacio y que R representa las


coordenadas que identifican a cada partícula, por lo tanto R es un sistema dereferencia que se mueve con la partícula mientras que r es un sistema dereferencia fijo en el espacio.

También en la Figura 7 se interpreta lo siguiente: como el vector posiciónmaterial R define a la partícula entonces es posible escribir la relación

r = r (R , t) (7.3)

Con las definiciones anteriores ahora es posible establecer e interpretar lasderivadas temporales pensando en cada una de las descripciones o seaconsiderando una “descripción material” y una “descripción espacial”.

Teniendo como referencia lo estudiado en cursos de matemáticas, para elcaso de una función escalar, continua S (t ) se define la derivada con respecto at como:

d Sd t

= limΔt→0

S(t+Δ t )−S (t )Δ t

(7.4)

Esta definición es correcta, pero si S (t ) es función de coordenadasespaciales es necesario definir también en que punto del espacio se mide o evalúaS (t ) y en que punto del espacio se mide S (t+ Δ t ). Es importante considerar

que la dependencia de S con el tiempo no necesariamente debe ser de formaexplícita sino que puede estar dada de forma implícita o sea S puede ser unafunción de la forma S (x i(t )) y en este caso hay una dependencia implícita.También puede tener ambos tipos de dependencia (explícita e implícita) o sea Spuede ser de la forma S (x i(t ) ,t )

Considerando un sistema de partículas que se mueve en el espacio y quexp es la coordenada x de la partícula p entonces la velocidad de esta

partícula en la dirección x se puede calcular como:

d xp

dt= lim

Δt→0

xp(t+Δ t )−xp(t )Δ t

= vx (7.5)

Lo importante es la interpretación de esta ecuación. Para resolverla hay queconocer el valor de la variable xp en dos instantes de tiempo t y t+Δ t por lotanto el observador debe moverse con la partícula y mide su posición en los dosinstantes de tiempo ( t y t+ Δ t ). Dicho en otras palabras, el observador tieneidentificada a la partícula y observa su posición en los dos instantes de tiempo. Porlo tanto si se ha identificado o etiquetado a la partícula, la descripción esLagrangiana o material, entonces R=cte y este tipo de operación se larepresentará como:

(dxp

d t )R=cte

= v x (7.6)


Lo que se simboliza en la ecuación (6.6) con R=cte es que lascoordenadas materiales se mantienen constantes y por lo tanto se identifica a unapartícula y a pesar de transcurrir el tiempo no cambia esta identificación.

Considerando el caso que se necesite medir otra variable que no sea laposición de una partícula, por ejemplo la temperatura del flujo, la misma se puederealizar de dos formas: una colocando el sensor en un punto fijo dentro del flujo(descripción espacial) y otra forma sería que el sensor o termómetro se mueva conel flujo (descripción material), aunque también puede ser posible que se mueva auna velocidad diferente de la velocidad media del flujo.

Para el primer caso (el termómetro en un punto fijo) las partículas pasansobre el sensor y por lo tanto este proceso de medición se realiza manteniendo lascoordenadas espaciales constantes o sea r=cte . En el segundo caso o sea elsensor se mueve con la velocidad del flujo, se puede interpretar como que eltermómetro esta montado sobre una determinada partícula y por lo tanto lascoordenadas materiales se mantienen constantes, R=cte.

Si r=cte entonces la variación de la temperatura T con el tiempo secalcula como:

∂T∂t

= (dTd t )r=cte

= limΔ t →0

T (t+ Δ t )−T (t )Δ t

(7.7)

En la ecuación (7.7) el primer miembro representa la derivada parcial de latemperatura. En este caso se mide la temperatura de una sucesión de partículas,porque por el punto fijo pasan varias partículas.

Si R=cte se mide la temperatura de una partícula y en este caso

(dTdt )R=cte

=DTDt

(7.8)

En la ecuación (7.8) se ha cambiado la nomenclatura para simbolizar que lascoordenadas materiales se mantienen constantes. Por último si el sensor se muevecon una velocidad w=cte diferente a la velocidad del flujo la derivada de latemperatura con respecto al tiempo tendrá la siguiente interpretación.

Considerando que la temperatura es función de las coordenadas espaciales sepuede escribir:

T (r , t )= T ( r [R ,t ] ,t ) (7.9)


(dTd t ) dependerá de:

las variaciones espaciales de T

la velocidad con que se mueve el sensor

la derivada parcial de T con respecto al tiempo (variación local)

donde se ha considerado la relación (7.3). La ecuación (7.9) pone de manifiesto quelas coordenadas espaciales a su vez dependen de las coordenadas materiales ycomo ya se mencionó ambos sistemas coinciden para un determinado tiempo dereferencia. Si se deriva la ecuación (7.9), teniendo en cuenta la regla de la cadena,se obtiene lo siguiente:

(dTdt )R=cte

=DTDt

=∂T∂x j

(∂ X j

∂t )R=cte⏟

v j

+ (dTd t )r=cte⏟

∂T∂t

(7.10)

DTDt

=∂T∂t

+ v j

∂T∂ x j

⇒DTDt

=∂T∂t

+ v⋅∇T (7.11)

En las ecuaciones anteriores hay que tener en cuenta la convención de lasuma para índices repetidos. Si el sensor se mueve con velocidad w=cteentonces la ecuación anterior (7.11) toma la forma:

DTDt

=∂T∂t

+ w⋅∇T (7.12)

En el caso que la propiedad que se mide es la velocidad del flujo, su derivadacon respecto al tiempo es la aceleración y por lo tanto siguiendo el mismorazonamiento se llega a la siguiente ecuación:

a= (dvd t )R=cte

=DvDt

=∂ v∂ t

+ v⋅∇ v (7.13)

En la ecuación (7.13) los términosDvDt

, ∂ v∂t

, v⋅∇ v se interpretan de la

siguiente forma:

DvDt

representa una nueva forma de derivada y se llama derivada sustancial o

material para enfatizar que la derivación se toma siguiendo a una partícula. ∂ v∂t

representa una aceleración local o sea en este caso es la variación local de la

velocidad que se puede interpretar como la aceleración en un determinado punto delcampo de flujo. En un estado estacionario este término es nulo.

v⋅∇ v representa una aceleración convectiva que se origina porque la velocidadcambia de un punto a otro del espacio.

7.1.- Derivadas Temporales de Integrales

En la mayoría de los procesos industriales u operaciones donde establecer lacirculación de un fluido o determinar un patrón de flujo es de vital importancia paraque el proceso tenga éxito, es necesario plantear ecuaciones de balance. Estoquiere decir que en fenómenos asociados a la transferencia de una determinada


propiedad o característica, comparar valores de la propiedad a estudiar entre dos omás puntos en el sistema es fundamental. En particular, la mecánica de fluidosaplicada a procesos industriales se basa principalmente en leyes que establecenbalances de masa, de cantidad de movimiento, de energía, etc.

Estos balances pueden ser formulados en forma diferencial o integral. En esteúltimo caso, un balance integral, generalmente se aplica a un volumen fijo en elespacio o a un volumen material. Como se mencionó un volumen material estacompuesto por las mismas partículas y su superficie se mueve con el fluido. Alrespecto y para aclarar y distinguir en la notación, cuando se haga referencia a unvolumen fijo, este se denotará como V sin subíndice y a un volumen material se lodenotará como Vm(t ) . O sea con el subíndice “m”.

Es necesario mencionar que las formas diferencial e integral de lasecuaciones de balance, pueden ser deducidas una de otra y durante esta deducciónmuchas veces es necesario convertir integrales de superficie en integrales devolumen o viceversa, lo cual se puede llevar a cabo a partir de aplicar el Teorema dela Divergencia o Teorema de Gauss, que establece:

∫V

∇⋅G dV =∫A

G⋅n dA → ∫V

∂G∂ x i

dV=∫A

G ni d A (7.14)

En la ecuación (7.14) G es una magnitud tensorial de cualquier orden y laintegral de volumen puede estar referida a un volumen material o a un volumen fijo.En la integral de superficie se tiene en cuenta a la superficie que limita el volumen deacuerdo a la Figura 8.

Figura 8: Ilustración del teorema de Gauss (teorema de la divergencia)

En las ecuaciones de balance también es importante tener en cuenta laderivación con respecto al tiempo de integrales de volumen o sea muchas veces esnecesario evaluar integrales de la forma:

dd t ∫V (t )

F dV

En esta integral V (t) se refiere a una región del espacio la cual puede serfija o moverse con el flujo y por lo tanto no se refiere a un volumen material. También


hay que tener en cuenta que se trata de una integral definida. Además es necesarioaclarar que el integrando F=F( x , t) puede ser cualquier magnitud tensorial.

Con respecto a la derivación se ha considerado d /d t en lugar de ∂/∂ tporque luego de realizar la operación de integrar sobre el volumen, la funciónresultante es solamente función del tiempo o sea es una función explícita del tiempo.

Para resolver este tipo de operación se considera en una primera instancia unvolumen V (t ) que puede deformarse y por lo tanto depende del tiempo. O sea, setiene un determinado volumen inmerso en una corriente fluida que se mueve conuna velocidad v . La superficie que limita a este volumen se mueve pero nonecesariamente a la velocidad del fluido porque el volumen puede deformarse.

Para diferenciar o sea derivar una integral de volumen de este tipo se aplica elteorema de Leibniz que en forma unidimensional puede ser expresado como:

dd t

∫x=a (t)

b(t )

F (x , t)d x =∫a

b∂F∂ t

d x +d bd t

F (b , t) −d ad t

F (a , t) (7.15)

La ecuación (7.15) muestra como diferenciar una integral cuyo integrando ylos limites de integración dependen de la variable con respecto a la variable quederiva, en este caso t . La interpretación gráfica de la ecuación (7.15) se muestraen la Figura 9.

En (a) se representa la función F=F(x , t) y en (b) la misma función dondeha cambiado su argumento o sea de t a t+dt luego, su integral cambió porquecambió el área bajo la curva y este cambio se representa en el área sombreada de(c).

Según la ecuación (7.15) también cambian los limites de integración porquedependen de la variable ' t ' y esta variable se incrementa en ' t+dt ' y esto haceque los límites e integración se modifiquen en un ' da ' y en un ' db ' como semuestra en la Figura 9 (d). Los cambios ' da ' y ' db ' hace que se corran loslímites de integración, por ejemplo, hacia la derecha y esto es absolutamentegeneral, se obtienen los mismos resultados pensando que los límites de integraciónse mueven de forma diferente.

El resultado general de todos estos cambios se resumen en una modificacióndel área bajo la curva y se muestra en la Figura 9 (d) como la superficie sombreada.

Considerando el segundo miembro de la ecuación (7.15), el primer términoconsidera el cambio en el argumento en la función F=F(x , t) en la variable ' t 'pasando a ser F=F(x , t+dt ) , el término da F (a , t ) representa una pérdida desuperficie porque al correrse el límite de integración a la derecha el área bajo lacurva disminuye en una cantidad igual a da F (a , t) causado por el cambio de ' a 'en ' a+da' y por esta razón aparece el signo menos en el segundo miembro de(7.15). En cambio el producto db F (b , t) representa una ganancia porque también,en este caso, el límite de integración se mueve hacia la derecha pasando de ' b ' a

' b+db ' causando un aumento del área bajo la curva y por eso el valor positivo del


segundo término en el segundo miembro de (7.15).

(a) (b)

(c) (d)

Figura 9: interpretación gráfica del teorema de Leibinz

Pensar en términos de ganancia y pérdidas puede ser interpretado alconsiderar que los límites de integración ' a ' y ' b ' se mueven con una velocidad

da /dt , db/dt respectivamente hacia la derecha y por lo tanto en ' b ' se “ganasuperficie” mientras que en ' a ' se “pierde superficie”.

El teorema de Leibniz se puede generalizar y expresarlo como:

dd t ∫

V a (t)

F ( x ,t )d V= ∫V a(t )

∂F∂ t

dV + ∫A a(t )

F ( x , t)( uA⋅n)d A (7.16)

donde: V a(t) es un volumen arbitrario y u A representa la velocidad con que semueve la superficie arbitraria Aa(t ) y n es la normal a la superficie de acuerdo ala Figura 8.

Esta ecuación se la conoce como el Teorema General de Transporte. Laintegral de superficie en la ecuación (7.16) tiene en cuenta las pérdidas y gananciasa las que se hace referencia en los párrafos anteriores. Si el volumen es fijo, u A=0por lo tanto la ecuación anterior se convierte en:


dd t ∫V

F ( x , t)dV =∫V

∂F∂ t

dV (7.17)

Lo que significa que la derivada total, puede ponerse dentro del signo deintegral pero cuando se deriva la función F=F(x , t) es una derivada parcial conrespecto al parámetro t .

En el caso que el volumen sea un Volumen Material hay que tener en cuentaque su superficie se mueve con la velocidad del fluido u A= u y el resultado es:

DD t ∫

V m( t)

F ( x , t)dV= ∫V m(t )

∂F∂ t

d V + ∫Am (t)

F ( x , t )(u⋅n)d A (7.18)

La ecuación (7.18) es el Teorema de Transporte de Reynolds y en este casoD /D t significa que las coordenadas materiales se mantienen constantes, por ser

un volumen material. Luego de obtener el balance de masa se planteará otradefinición del Teorema de Transporte.

8.- Ecuaciones de Balance (Relaciones Diferenciales e Integrales)

Antes de plantear y deducir los diferentes balances es necesario mencionarcuales serán las principales herramientas matemáticas y teoremas a utilizar. Se haráuso del:

Teorema de Transporte de Reynolds: se empleará para desarrollar la derivada deuna integral sobre un volumen material.

Teorema de la Divergencia o Teorema de Gauss: se lo utilizará para relacionar laintegral de volumen de la divergencia de una propiedad del flujo con la integral deesa propiedad sobre la frontera (superficie).

Además se utilizará notación de índices así todas las ecuaciones se resuelvenen componentes. En todos los desarrollos primero se obtendrá la ecuacióndiferencial y luego de integrarla se determinará el balance integral correspondiente.Otro aspecto a considerar para todos los desarrollos, son las zonas del espaciosobre la cual se integra (volúmenes arbitrarios, volúmenes materiales o volúmenesfijos) y en cada caso se hará notar lo que corresponda porque el dominio deintegración condiciona la aplicación del Teorema de Transporte. Con respecto a estosurgen diferencias en la ecuación (7.18) a medida que se avance con lasdeducciones.

8.1.- Balance de Masa (forma diferencial)

La masa contenida en un volumen material V m(t) se puede expresar como:

M = ∫V m(t )

ρd V

Si se considera que se conserva en el tiempo significa que la derivada de la


ecuación anterior debe ser cero, que expresado matemáticamente es:

( d Mdt )

R

=D MD t

=DD t

∫V m(t )

ρd V = 0 (8.1)

Como hay una derivada con respecto al tiempo de una integral de volumen sepuede aplicar el Teorema de Transporte de Reynolds, ecuación (7.18) obteniéndose:

DD t ∫

V m(t)

ρdV = ∫V m(t )

(∂ρ

∂ t )dV + ∫Am(t )

ρ v⋅n d A=0 (8.2)

En la integral sobre la superficie Am(t ) se aplica el Teorema de laDivergencia transformándola en una integral de volumen y luego poniendo todo bajoel mismo signo de integral la ecuación (8.2) toma la forma:

DD t ∫

V m(t)

ρdV = ∫V m(t )

[(∂ρ∂ t )+ ∇⋅ρ v ]d V=0 (8.3)

En la ecuación (8.3) hay que tener en cuenta que el volumen material V m(t)debe ser diferente de cero (solución no trivial), por lo tanto para que el resultado dela operación sea cero, la única posibilidad es que el integrando sea nulo, por lotanto:

(∂ρ

∂ t ) + ∇⋅(ρ v )= 0 (8.4)

El término de la divergencia en la ecuación (8.4), se puede desarrollar como:

∇⋅(ρ v) = v⋅∇ρ + ρ ∇⋅v (8.5)

Reemplazando en la ecuación (8.4) se obtiene:

(∂ρ

∂ t ) + v⋅∇ρ + ρ ∇⋅v = 0 (8.6)

Los dos primeros términos de la ecuación (8.6) es la derivada material de ladensidad, según la ecuación (7.11) donde se usa el escalar T , por lo tanto:

( Dρ

D t )+ρ∇⋅v = 0 (8.7)

La ecuación (8.7) es el Balance Diferencial de Masa, es una ecuación escalar(una sola ecuación) y es válida en todos los puntos del campo de flujo.

Para el caso de un fluido incompresible o sea densidad constante, el términode la derivada material en la ecuación (8.7) se hace cero y queda como ecuacióndiferencial para la conservación de la masa:


∇⋅v = 0 (8.8)

Donde el vector velocidad v expresado en función de sus componentes es:

v = u i + v j + w k = v i ei

Un fluido se considera incompresible si la densidad no cambia con la presión.Los líquidos se pueden considerar generalmente incompresibles porque el cambiode la densidad es despreciable con el aumento de la presión. Aunque esto secumple en forma general es importante tener algún criterio más riguroso paraconsiderar a un fluido incompresible, por lo tanto considerando la ecuación (8.4):

(∂ρ

∂ t ) + ∇⋅(ρ v )= 0

se puede plantear una primera hipótesis que considere nulas a las variacioneslocales de la densidad si el fluido es incompresible, esto también se puede entendercomo que la función densidad no debe contener al tiempo en forma explícita o seaρ≠ρ( t)

Aplicando esta hipótesis la ecuación (8.4) queda ∇⋅(ρ v) = 0 y analizándolamatemáticamente se puede determinar si el flujo es incompresible. Como ladensidad no depende de las coordenadas espaciales, porque es constante en todoel espacio, entonces se puede sacar la densidad de la operación de divergencia ypasarla dividiendo al segundo miembro para obtener la ecuación (8.8). Si bien estopuede ser matemáticamente correcto no es posible analizar lo que sucedefísicamente con esta operación. Hay que tener en cuenta que un flujo se caracterizacomo incompresible dependiendo siempre de la variación de la densidad del fluido yde la velocidad que desarrolle, por lo tanto habrá que imponer alguna condición parala velocidad del flujo.

Para interpretar correctamente ¿cuándo un flujo puede ser consideradoincompresible? se considerará la operación de la divergencia en una dimensión y sinperder generalidad se puede escribir:

∂∂ x

(ρu) = ρ∂ u∂ x

+ u∂ρ

∂ x= 0

donde se aplicó la derivada del producto y es lo mismo que plantea la ecuación (8.5)considerando las dimensiones x , y , z . Ahora bien en términos matemáticos si seimpone la condición que:

∣u ∂ρ

∂ x∣≪ ∣ρ ∂u∂ x∣ entonces resulta ∣δρρ ∣≪ ∣δu

u ∣En la última ecuación se ha remplazado el signo de derivada parcial por la

letra δ para simbolizar que se trata de pequeños cambios relativos en la densidadpor efecto de pequeños cambios relativos en la velocidad. Si bien se dedujo para uncaso unidimensional, la última inecuación sigue siendo válida si se expresa en


función del módulo del vector velocidad del flujo |v|=v como:

∣δρρ ∣≪ ∣δvv ∣ (8.9)

Para el caso de un proceso adiabático (sin transferencia de energía) yreversible, que constituye un proceso isoentrópico (entropía constante), la velocidaddel sonido c en el medio se relaciona con la variación de la presión con respecto ala densidad de la siguiente forma:

c = √(∂ p∂ρ )

s

(8.10)

Donde el subíndice S en la derivada indica a entropía constante. La ecuación(8.10) se puede escribir en forma muy aproximada también como:

δ p = c2δρ (8.11)

Como se demostrará en otra sección, considerando la ecuación de Bernoulli(que es una relación para la conservación de la energía) los cambios de presiónpueden ser expresados como:

δ p =−ρ v δ v (8.12)

Combinando las ecuaciones (8.11) y (8.12) se obtiene:δρρ =−

v δv

c2que

reemplazada en la ecuación (8.9) se determina:

∣δρρ ∣= vδ vc2 ≪ ∣δ v

v ∣= δ vv

⇒v2

c2 = Ma ≪ 1 (8.13)

El cociente entre la velocidad del fluido y la velocidad del sonido en esemedio, es un parámetro denominado Nro de Mach (Ma) y es una medida importantede los efectos de compresibilidad. Como puede apreciarse este número esadimensional.

Lo anterior significa que para considerar incompresibilidad para el flujo, el Nrode Mach debe ser menor que uno, ¿pero cuánto menor?. Para valores prácticos setoma Ma ≪ 0,3 y para aire en condición estándar esto se logra para flujos convelocidades menores a los 100 m/s (330 ft/s), lo que deja en claro que en la mayoríade los flujos involucrados en procesos industriales se puede asumirincompresibilidad aunque el fluido sea gaseoso como por ejemplo: aire o gas.

8.2.- Forma especial del Teorema de Transporte de Reynolds

La ecuación de continuidad puede ser utilizada para deducir una formaespecial del Teorema de Transporte. Si se considera que F=ρS es una magnitudescalar y se la sustituye en la ecuación (7.18)


DD t ∫

V m(t)

F ( x , t)dV = ∫V m(t )

∂F∂ t

d V + ∫A m(t )

F ( x ,t)( u⋅n)d A (7.18)

se obtiene:DD t

∫V m(t)

ρS dV = ∫V m(t )

∂(ρS)∂ t

d V+ ∫Am(t )

ρS ( u⋅n)d A

= ∫V m(t )

[ ∂∂ t

(ρS)+ ∇⋅(ρS u )] dV =

= ∫V m(t )

[ρ ∂ S∂ t

+ S∂ρ

∂ t+ S ∇⋅(ρ u)+ ρ u⋅∇ S ]dV

donde en la primera igualdad se aplicó el Teorema de Transporte, luego setransforma la integral de superficie, por el Teorema de la Divergencia en una integralde volumen. Finalmente se desarrollan las derivadas del los productos, obteniendo:

DD t

∫V m(t)

ρS dV = ∫V m(t )

[ρ ∂ S∂ t

+ S∂ρ

∂ t+ S ∇⋅(ρ u )+ ρ u⋅∇ S ]d V

En esta última ecuación hay que tener en cuenta lo siguiente:

S∂ρ

∂ t+ S ∇⋅(ρ u) = S( ∂ρ

∂ t+ ∇⋅(ρ u))= 0 por la ecuación de continuidad, además

ρ∂ S∂ t

+ ρ u⋅∇ S = ρ(∂ S∂ t

+ u⋅∇ S )= ρD SD t

por definición de derivada material

Con estas aclaraciones la ecuación anterior se transforma en:

DD t ∫

V m(t)

ρS dV = ∫V m(t )

ρD SDt

d V (8.14)

La ecuación (8.14) constituye la forma especial del Teorema de Transporte deReynolds para el caso de un escalar y que expresa que en este caso es válidointercambiar el signo de derivada material con el de integral.

8.3.- Balance de Masa (forma integral)

Considerando la ecuación diferencial de conservación de la masa ya deducidaanteriormente, que se transcribe

(∂ρ

∂ t )+ ∇⋅(ρ v )= 0

se procede a integrarla en un volumen arbitrario V a(t) entonces:


∫V a (t )

[(∂ρ

∂ t ) + ∇⋅(ρ v )]dV = 0 (8.15)

que aplicando el teorema de la divergencia se puede reescribir como:

∫V a (t )

(∂ρ

∂ t )d V + ∫Aa (t)

ρ v⋅n d A = 0 (8.16)

Considerando el Teorema de Transporte de Reynolds

DD t ∫

V m(t)

F ( x , t)dV= ∫V m(t )

∂F∂ t

d V + ∫Am(t)

F ( x , t)(u⋅n)d A

Con F=ρ y ua=w se obtiene:

dd t

∫V a (t)

ρdV = ∫V a (t)

(∂ρ

∂ t )dV + ∫Aa (t )

ρ(w⋅n)d A (8.17)

Es importante prestar atención a los límites de integración para entender elcambio en el operador derivada. En el Teorema de Transporte se toma la derivadamaterial, porque se esta considerando un volumen material en cambio en laecuación (8.17) se considera un volumen arbitrario V a(t) . Se procede a despejar eltérmino que contiene la derivación parcial de (8.17), por lo tanto:

∫V a (t )

(∂ρ

∂ t )d V =dd t

∫V a (t)

ρdV − ∫A a(t )

ρ(w⋅n)d A (8.18)

Reemplazando en la ecuación (8.16) del Balance de Masa se obtiene:

dd t ∫

V a (t)

ρdV = ∫Aa (t )

ρ(w⋅n)d A− ∫Aa (t )

ρ( v⋅n)d A (8.19)

La ecuación (8.19) es el Balance Integral de Masa y se puede interpretar de lasiguiente manera: Toda la masa que se genera en el volumen arbitrario V a(t)representado por el primer miembro de la ecuación (8.19) debe ser igual al flujo demasa a través de la superficie Aa(t ) de dicho volumen representado por las dosintegrales del segundo miembro de (8.19).

Si se juntan las dos integrales en (8.19) sobre la superficie Aa(t ) en una solaintegral y se puede observar otra consecuencia de la ecuación (8.17), por lo tanto:

dd t ∫

V a (t)

ρdV + ∫A a(t )

ρ(v−w)⋅n d A=0 (8.20)

El término ( v−w) en la ecuación (8.20) es la velocidad relativa del fluido conrespecto a la velocidad del volumen arbitrario. O sea el fluido se mueve convelocidad v y el volumen arbitrario V a(t) se mueve con velocidad w . Como el


término de velocidad relativa se encuentra en la integral de superficie es importanteanalizar la superficie Aa(t ) del volumen arbitrario V a(t) , y para esto seconsiderará el volumen que se muestra en la Figura 10.

En esta figura se representa un conducto y en su parte media existe unémbolo el cual se mueve de acuerdo a la flecha de la figura (hacia abajo). La líneade trazos, que se dibuja separada de la superficie del conducto (por razones declaridad) constituye el V a(t) y debe interpretarse como pegada a cada una de lassuperficies que se detallan a continuación.

➢ A e (t) Superficie (área) de entrada y salida, marcada con (1) en la Figura 10

➢ A s( t) Superficies (áreas) sólidas móviles, marcada con (3) en la Figura 10.

➢ A s Superficies (áreas) sólidas fijas, marcadas con (2) en la Figura 10

Figura 10: esquema de un volumen arbitrario en un conducto con superficies móviles

Teniendo en cuenta la división de las superficies mencionadas, ahora sepuede analizar que valores adopta la velocidad relativa ( v−w) en el balance demasa. Como existen partículas fluidas que se encuentran pegadas a cada superficie(el fluido moja la superficie), se puede determinar lo siguiente:

• v = w = 0 en las superficies sólidas fijas, indicadas por (2). Esta condiciónse conoce como “de no deslizamiento” e impone que el fluido moja a lasuperficie, por lo tanto las partículas sobre una superficie fija adquieren lavelocidad de esta o sea cero. Además la velocidad de la superficie delvolumen arbitrario w también es cero porque se encuentra sobre unasuperficie que se encuentra quieta.

• v−w = 0 en las superficies sólidas móviles, indicadas por (3). En este casotanto la superficie y las partículas fluidas pegadas a ella se mueven con lamisma velocidad dando como resultado una velocidad relativa nula.

De acuerdo a razonamiento anterior en la única superficie donde no se anulael término de velocidad relativa es en la parte de entrada y salida entonces laecuación (8.20) queda expresada de la siguiente forma:


dd t ∫

V a (t)

ρdV + ∫A e(t )

ρ( v−w)⋅n d A=0 (8.21)

y esta es la expresión que se utilizará como balance integral de masa.

9.- Principio de la Cantidad de Movimiento (forma integral)

En física la expresión “Cantidad de Movimiento” o “Momento Lineal(Momentum)” se refiere a objetos en movimiento y es una magnitud vectorial quedesempeña un papel muy importante en la segunda ley de Newton. Este conceptode Cantidad de Movimiento combina las ideas de inercia y movimiento, como se vioen los cursos de Física y como se expresará en los párrafos posteriores, también esposible plantear un principio de conservación. Este principio de conservación seutilizará para analizar sistemas en los cuales el movimiento de un fluido produce unafuerza neta sobre una parte del sistema aunque también puede ser empleadopensando en las fuerzas que actúan sobre un fluido y cuales son las causas queellas producen.

El principio de Conservación de la Cantidad de Movimiento conjuntamentecon el principio de Conservación de la Energía, son las herramientas de cálculo yanálisis más poderosas de la mecánica fluidos.

La experiencia común indica que todo objeto en movimiento posee unacualidad que se manifiesta cuando se lo intenta detener. O sea, cuando un objeto semueve a una determinada velocidad, para detenerlo es necesario realizar una fuerzasobre él. Esta cualidad que posee todo cuerpo que se mueve se denomina“Cantidad de Movimiento”. En mecánica de fluidos se debe considerar que un mediocontinuo esta compuesto por muchas partículas y por lo tanto todas en conjuntoposeen una determinada cantidad de movimiento; en otras palabras, un flujo defluido contiene una determinada cantidad de movimiento.

Entonces la cantidad de movimiento para un medio continuo que se muevesegún un campo de velocidades estará dado por la suma de todas las cantidades demovimiento de cada una de las partículas que lo componen y matemáticamente estose expresa como:

p =∫ v dm =∫V

v ρdV

9.1.- Fuerzas que actúan sobre un elemento de fluido

En esta sección se considerarán las fuerzas que actúan sobre un elemento defluido, analizando la variación de la cantidad de movimiento. En otras palabras seaplicará la segunda ley de Newton a un elemento diferencial de fluido y se obtendráuna ecuación diferencial (Ec. de Navier – Stokes) que representará el balance defuerzas que actúan sobre un elemento diferencial.

La ecuación de Navier – Stokes será el punto de partida para obtener el


balance integral de la cantidad de movimiento que será la expresión integral de lasegunda ley de Newton para un volumen arbitrario de fluido.

En el estudio de las fuerzas que intervienen en un elemento de fluido esnecesario diferenciar entre aquellas que actúan sobre la superficie del volumenmaterial V m(t) considerado ( su efecto es sobre las partículas que se encuentranen la superficie Am(t ) ) de aquellas fuerzas cuyo efecto es sobre todas laspartículas del volumen material. Lo que expresado en forma esquemática sería:

{ fuerzasvolumétricas}

{ fuerzasqueactuan sobreel cuerpo}

{ fuerzasdesuperficies}

De acuerdo a lo estudiado en el curso de Física I, el efecto de la acción deuna fuerza sobre un cuerpo es que su cantidad de movimiento varía en el tiempo. Elconcepto anterior se puede resumir como:

{ cambio enel tiempodela cantidad demovimiento}= {suma de las fuerzas que

actuan sobre elcuerpo } (9.1)

A continuación se procederá a expresar lo dicho en palabras por ecuaciones,por lo tanto la cantidad de movimiento para un volumen material se puede expresarcomo:

{cantidad demovimiento

V m(t)}= ∫

V m(t )

ρ v dV (9.2)

Para las fuerzas volumétricas se puede escribir:

{ fuerzasvolumetricas}= ∫

vm(t)

ρg dV (9.3)

Para analizar las fuerzas superficiales sobre partículas fluidas es necesariodefinir nuevos elementos de análisis. En el caso de las fuerzas que actúan sobre lassuperficie, el principal efecto que producen es deformar el elemento de fluido. Lavelocidad de la deformación depende, entre otros parámetros del coeficiente deviscosidad. Por lo tanto, el tratamiento apropiado de las fuerzas superficiales queactúan sobre un elemento de fluido debe ser realizado en función del vector esfuerzo

t (n) y luego relacionar este con el tensor esfuerzo T . El tensor de esfuerzo es deorden 2 o sea esta compuesto por nueve (9) coeficientes que determinan el estadocompleto de tensión de un medio continuo.


9.2.- El Vector Esfuerzo

Se define el vector esfuerzo para un elemento de volumen en un fluido como:

t (n)= limΔ A→0

Δ FΔ A

(9.4)

en la ecuación (9.4) Δ F es la fuerza que ejerce el fluido externo al volumen defluido considerado. En la Figura 11, se representan las fuerzas que actúan sobre unelemento de fluido.

En general, una magnitud escalar o vectorial puede ser especificada entérminos de sus coordenadas espaciales y del tiempo, sin embargo este no es elcaso del vector esfuerzo. Este vector t (n) depende además de la orientación del“versor” normal a la superficie. El sub-índice ( n ) indica esta dependencia con laorientación de la superficie. Como un ejemplo de la dependencia de t (n) con el sub-índice ( n ) puede considerarse la Figura 11 en la cual el volumen material estasiendo comprimido por dos fuerzas.

Figura 11: Vector esfuerzo en un elemento de fluido

Dependiendo de que propiedad se quiere medir en este elemento de fluido lassiguientes consideraciones son importantes, por ejemplo si lo que se quieredeterminar es la temperatura o la velocidad en el centro del cuerpo, solo interesa elpunto al cual se hace referencia y nada mas; pero en el caso de querer establecer elesfuerzo (“stress”) sobre un determinado plano que pase por el centro de la Figura11, es necesario también determinar o considerar la normal de ese plano. Por lotanto el vector esfuerzo para un dado plano depende de la normal.

Para el caso de la Figura 11, si el plano es perpendicular a las fuerzasaplicadas, entonces el vector esfuerzo esta dado por:

t (± j )=± j( FA ) (9.5)

donde el signo mas o el menos depende de la dirección de la normal al plano al quese haga referencia. De la Figura 11, queda claro que para un plano que tiene normal±k


t (±k) = 0 (8.6)

A los conceptos anteriores hay que agregar una convención para determinarcomo se debe tener en cuenta el “versor” normal n . Suponiendo un sistema de dosfases en contacto (por ejemplo dos fluidos que no se mezclan), ambas fases ejercenfuerza una sobre otra. En un análisis para determinar ¿cuál es la fase que ejercefuerza y sobre que plano? y ¿cuál es la la fase que esta sometida a esa fuerza?, esnecesario identificar claramente quien ejerce fuerza y quien esta sometida a esafuerza. Por convención la normal se toma de la siguiente manera: El plano sobre elcual actúa la fuerza de la otra fase se toma siempre con el versor normal n haciaafuera.

La Figura 12 muestra el concepto anterior considerando un volumen arbitrarioen un conducto y pensando en la entrada y salida del volumen mostrado, lasnormales se toman siempre hacia afuera del volumen. En este caso la fase querealiza fuerza es el fluido que se encuentra en (A) en la entrada y en (B) en la salida.

Figura 12: orientación del versor normal a una superficie

Habiendo considerado la dirección del versor normal a una superficie, sepuede expresar matemáticamente la fuerza neta que actúa sobre la superficie

Am(t ) de un volumen material de la siguiente forma:

{ fuerzasdesuperficies}= ∫

A m(t )

t n d A (9.7)

Finalmente el balance de fuerzas para un volumen material V m(t) según laecuación (9.1) queda expresado de la siguiente forma:

DDt ∫

V m(t )

ρ v dV⏟

cambiotemporalcantidad demovimiento

= ∫V m(t)

ρ g dV⏟

fuerzasvolumetricas

+ ∫Am(t )

tn d A⏟

fuerzassuperficiales

(9.8)

Si el fluido se encuentra en reposo, o sea en estado hidrostático, en este casono existe un cambio en el tiempo de la cantidad de movimiento, por lo tanto laecuación (9.8) se reduce a:

DD t ∫

V m(t)

ρ v d V = 0 =∫V

ρ g dV +∫A

t nd A (9.9)

Según el análisis del Apéndice B, para el caso hidrostático, el vector esfuerzo


se expresa como:t (n)=−n p (9.10)

Reemplazando la ecuación (9.9) se obtiene:

∫V

ρ g d V−∫A

n pd A = 0 (9.11)

Aplicando el teorema de la divergencia en la integral de superficie de laecuación (9.11) y poniendo todo bajo el mismo signo de integral se obtiene

∫V

ρ g d V−∫v

∇ pdV = 0 ⇒∫V

(ρ g−∇ p)dV =0

Como el volumen de integración es arbitrario, para que el resultado anteriorsea válido es necesario que el integrando sea cero, por lo tanto:

ρ g = ∇ p (9.12)

La relación (9.12) representa la ecuación diferencial de la hidrostática. Debequedar claro que g representa la aceleración resultante o sea la suma de todas lasaceleraciones cuyo origen son las fuerzas volumétricas.

9.3.- Balance Diferencial de la Cantidad de Movimiento (Ecuaciones de Movimiento para el Esfuerzo)

Retomando la ecuación (9.8) que es el balance de fuerza para un volumenmaterial V m(t) y multiplicando escalarmente cada término de esta ecuación por unvector constante, diferente de cero y arbitrario b se obtiene:

DD t ∫

V m(t)

ρ v⋅bd V = ∫V m(t )

ρ g⋅bd V + ∫Am(t )

tn⋅b d A (9.13)

En el primer miembro el término v⋅b da como resultado un escalar y por lotanto se puede aplicar la forma especial del teorema de Reynolds que se expresacomo:

DD t ∫

V m(t)

ρS dV = ∫V m(t )

ρD SDt

d V

con S un escalar. Por lo tanto la ecuación (9.13) toma la forma:

∫V m(t)

ρDD t

( v⋅b)d V = ∫V m(t)

ρ g⋅b dV + ∫Am(t )

t n⋅bd A (9.14)

en la cual se ha incluido la operación de derivada material dentro del signo deintegración. En el último término de esta ecuación y de acuerdo a lo que sedemuestra en el apéndice D donde se define el tensor esfuerzo T y se lo relacionacon el vector esfuerzo como:


t(n) = n⋅T

y el último término de (9.14) se puede expresar como:

∫Am(t)

t n⋅b d A= ∫A m(t )

n⋅(T⋅b )d A= ∫V m(t )

∇⋅(T⋅b)dV (9.15)

donde se utilizó la expresión

t n⋅b=( n⋅T )⋅b=n⋅(T⋅b) (9.16)

y el Teorema de la Divergencia para obtener la integral de volumen del segundomiembro de (9.15)

Reemplazando (9.15) en integral de superficie de (9.14) y poniendo todo bajoel mismo signo de integral se obtiene:

∫V m(t)

[ρ DD t

( v⋅b)−ρ g⋅b−∇⋅(T⋅b)]d V=0 (9.17)

La ecuación (9.17) es una integral definida, se integra sobre el volumenmaterial V m(t) que esta compuesto por las mismas partículas o sea que no puedeser un volumen nulo. Si fuera un volumen nulo la operación (9.17) no tendría sentidofísico. En conclusión para que se cumpla (9.17) es necesario que el integrando seanulo o sea:

ρDDt

( v⋅b)−ρ g⋅b−∇⋅(T⋅b)=0 (9.18)

operando con esta ecuación se puede poner:

[ρ D vDt

−ρ g−∇⋅T ]⋅b=0 (9.19)

y nuevamente teniendo en cuenta la definición del vector b como un vectorarbitrario no nulo, se debe cumplir en (9.19) que el término entre corchetes debe serigual a cero, por lo tanto:

ρD vD t

− ρ g − ∇⋅T = 0 (9.20)

La ecuación (9.20) es un resultado válido para cualquier Medio Continuo ypara completar la descripción de un determinado fenómeno, solo resta encontrar unaexpresión para el tensor de esfuerzo T . En principio este tensor T dependerá delas características del medio y por lo tanto es necesario una Ecuación Constitutivapara su definición. En el apéndice F se explica el concepto de Ecuación Constitutiva.

Según la ecuación del apéndice F, (F-18) la forma funcional del tensor deesfuerzo es:


T =−p I + τ (9.21)

El tensor T es simétrico y por lo tanto τ también lo será, además debe sersimétrico por su definición τ = 2μ D con D simétrico. τ se denomina “TensorViscoso” (ver apéndice F). Solo resta reemplazar T (ecuación (9.21)) en laecuación (9.20) que es el balance diferencial de cantidad de movimiento, resultando:

ρD vD t

= ρ g − ∇⋅( p I ) + ∇⋅τ (9.22)

Antes de continuar es necesario operar con el término ∇⋅(p I ) paraencontrar una forma más sencilla:

∇⋅(p I ) →∂( pδij )

∂ x i

=∂ p∂ x j

= ∇ p (9.23)

por lo tanto:

ρD vD t

= ρ g − ∇ p + ∇⋅τ (9.24)

Operando con el término ∇⋅τ este se puede expresar como:

∇⋅τ=∇⋅[2μ D+(κ−2/3μ)∇⋅v 1] (9.25)

de acuerdo a la definición del Apéndice F. Si se considera incompresibilidadentonces ∇⋅v=0 y se obtiene:

∇⋅τ = ∇⋅2μ D (9.26)

y reemplazando las ecuaciones (9.23), (9.26) en (9.22) se obtiene finalmente:

ρD vD t

=−∇ p+ρ g + ∇⋅2μ D (9.27)

Ahora considerando el último término de la ecuación (9.27) en componentesse tiene:

(∇⋅2μ D )ij=2μ∂D ij

∂ x j

=2μ ∂∂ x j [ 12 (∂ v i

∂ x j

+∂ v j

∂ x i)]=[μ ( ∂

2 v i

∂ x j ∂ x j

+∂

2 v j

∂ x j ∂ x i)] (9.28)

para el caso de incompresibilidad se tiene:

∂2 v j

∂ x j ∂ x i

= ∂∂ x i

( ∂v j

∂ x j)⏟

= ∇⋅v

= 0 (9.29)

Por lo tanto la ecuación (9.28) se reduce a:


(∇⋅2μ D )ij = μ( ∂2 v i

∂ x j ∂ x j) → μ∇

2v (9.30)

Teniendo en cuenta (9.30), la ecuación (9.27) se expresa como:

ρD vD t

=−∇ p + ρ g + μ∇2v (9.31)

Esta ecuación lleva el nombre de Ecuación de Navier – Stokes y representa elbalance diferencial de cantidad de movimiento para el caso de un fluido newtoniano.Esta ecuación fue desarrollada por Navier en 1827 y en forma independiente porStokes en 1845.

(9.31) también puede ser interpretada como una expresión de la Segunda Leyde Newton para un fluido con viscosidad constante porque ha sido desarrollada parael caso de un fluido newtoniano.

Para el caso de fluidos no newtonianos la ecuación (9.20) adquiere una formamuy diferente en función de la ecuación constitutiva que defina al fluido.

La ecuación (9.31) también puede ser escrita de la siguiente forma,considerando la definición de Derivada Material:

ρ (∂ v∂ t⏟

aceleraciónlocal

+ v⋅∇ v⏟aceleraciónconvectiva

)= −∇ p⏟fuerzas de presión

por unidadde volumen

+ ρ g⏟fuerzas volumetricas

por unidad de volumen

+ μ∇2 v⏟

fuerzas viscosaspor unidadde volumen

(9.32)

donde se ha interpretado el significado de cada término.

9.4.- Balance Integral de la Cantidad de Movimiento

Para obtener el Balance de Cantidad de Movimiento, para el caso de un fluidoNewtoniano se procederá de acuerdo a los siguientes pasos:

• Paso 1: Se plantea el Balance de Cantidad de Movimiento para un volumenmaterial Vm(t). Hay que tener en cuenta que un volumen material estacompuesto por las mismas partículas y es este volumen el que se sigue a lolargo de una línea de corriente. (Ver el límite de integración en la ecuación(9.8))

DDt ∫

V m(t )

ρ v dV⏟

cambiotemporalcantidad demovimiento

= ∫V m(t)

ρ g dV⏟

fuerzasvolumetricas

+ ∫Am(t)

tn d A⏟

fuerzassuperficiales

(9.8)

• Paso 2: En la ecuación (9.8) hay que tener en cuenta dos aspectos. Uno serefiere a la derivada de la integral de volumen (que representa el cambio en eltiempo de la cantidad de movimiento) y otro al Vector Esfuerzo el cual serelaciona con el Tensor Esfuerzo y tiene en cuenta la Ecuación Constitutiva


del material que se este analizando.

En la derivada con respecto al tiempo se aplica el Teorema de Transporte deReynolds, ecuación (7.18) considerando que F( x , t)=ρ v

DD t

∫V m(t)

ρ v d V= ∫V m(t )

∂ρ v∂ t

d V+ ∫A m(t )

ρ v ( u⋅n)d A (9.33)

Se reemplaza el segundo miembro de la ecuación (9.33) en el primermiembro de la ecuación (9.8) y teniendo en cuenta que t (n)=T⋅n y que u= v

resultando:

∫V m(t)

∂(ρ v )∂ t

d V+ ∫Am(t )

ρ v ( v⋅n)d A= ∫V m(t)

ρ g dV + ∫Am(t)

T⋅n d A (9.34)

• Paso 3: En las integrales de superficie se aplica el Teorema de la Divergencia(Teorema de Gauss), o sea estas integrales se transforman como:

∫Am(t)

ρ v (v⋅n)d A= ∫V m(t )

∇⋅ρ v v dV

∫Am(t)

T⋅n d A= ∫V m(t)

∇⋅T d V

que reemplazadas en la ecuación (9.34) y poniendo todo bajo el mismo signo deintegral da como resultado:

∫Vm(t)

[∂(ρ v )∂ t

+ ∇⋅(ρ v v )−ρ g−∇⋅T ]dV =0 (9.35)

Como el volumen material V m(t) es arbitrario y diferente de cero, laecuación (9.35) implica que el integrando debe ser nulo, por lo tanto:

∂(ρ v )

∂ t+ ∇⋅(ρ v v )−ρ g−∇⋅T=0 (9.36)

• Paso 4: La ecuación diferencial (9.36) ahora es válida para cualquier mediocontinuo, puede ahora ser integrada en un volumen arbitrario V a(t) .Recordemos que una ecuación diferencial se cumple punto a punto en todo elespacio y por lo tanto es correcto integrarla para otro volumen que no sea unvolumen material.

Es importante tener en cuenta la diferencia entre un volumen material V m(t)y un volumen arbitrario V a(t) . La característica del primero ha sido mencionada enpárrafos anteriores y en el caso del segundo las partículas pueden ingresar y salirdel volumen, si V a(t) es fijo o deformable, estamos en el caso de un VolumenControl (VC).


Por lo tanto la integral de (9.36) se escribe como:

∫V a (t )

∂(ρ v)∂ t

dV + ∫V a (t )

∇⋅(ρ v v )d V= ∫V a (t)

ρ g dV+ ∫V a(t )

∇⋅T dV (9.37)

En (9.37), para las integrales que tienen el operador divergencia (segundaintegral en el primer miembro y segunda integral en el segundo miembro) se aplicanuevamente el Teorema de la Divergencia y se las transforma en una integral desuperficie.

∫V a (t )

∂(ρ v)∂ t

dV + ∫Aa (t)

ρ v v⋅n d A= ∫V a(t )

ρ g dV + ∫Aa (t)

T⋅n d A (9.38)

En la ecuación (9.38) para tratar la primera integral del primer miembro, o seala integral que tiene la derivada parcial se considera la ecuación (7.16) que es laecuación general de transporte teniendo en cuenta que F( x , t)=ρ v y ua=wresultando:

dd t

∫V a (t)

ρ v d V= ∫V a(t )

∂(ρ v )∂ t

d V+ ∫A a(t )

ρ v (w⋅n)d A (9.39)

De la ecuación (9.39) se despeja el término con la derivada parcial y sereemplaza en la ecuación (9.38), entonces:

dd t ∫

V a (t)

ρ v d V+ ∫A a(t )

ρ v ( v−w)⋅n d A= ∫V a (t)

ρ g dV + ∫Aa (t )

t (n )d A (9.40)

donde también se ha considerado que t (n)=T⋅n y en esta última ecuación habráque considerar el análisis realizado para la superficie arbitraria Aa(t ) de acuerdo alo expresado en el Balance de Masa, según la Figura 10. El resultado es:

dd t ∫

V a (t )

ρ v d V⏟

cambio temporal dela cantidad de movimientoenel volumenarbitrario

+ ∫A e(t)

ρ v ( v−w)⋅n d A⏟

flujo de lacantidadde movimiento a través

dela superficiearbitraria

= ∫V a(t )

ρ g dV⏟

fuerzas volumétricasenel volumen arbitrario

+ ∫A a(t )

t (n)d A⏟

fuerzas queactúansobrela superficie arbitraria

(9.41)

La ecuación (9.41) es el Balance Integral de la Cantidad de Movimiento y noexpresa otra cosa que: el cambio en el tiempo de la cantidad de movimiento mas elflujo de la cantidad de movimiento a través de la superficie en un volumen arbitrariodebe ser igual a la suma de todas las fuerzas que actúan sobre este volumenarbitrario (fuerzas volumétricas y fuerzas de superficie).

Es conveniente reflexionar sobre lo presentado hasta el momento. Se handesarrollado dos balances integrales: Balance de Masa y Balance de Cantidad deMovimiento y ambos pueden ser aplicados a cualquier tipo de flujo: laminar oturbulento y en su deducción no se ha considerado nada al respecto.

Es importante para el caso de un flujo turbulento tener en cuenta lo siguiente:


Si bien los balances obtenidos mantienen su forma funcional es necesario agregarotras consideraciones o hipótesis las cuales tienen que ver con el modelo de flujoturbulento que se adopte en el tratamiento. Por lo tanto es necesario obtener unmodelo para el tensor viscoso, de forma que el vector esfuerzo pueda ser expresadocomo por ejemplo:

t (n)=−n p+ n⋅[⟨ τ ⟩+ ⟨τ(t )⟩ ] (8.43)

Donde se ha hecho la salvedad de dividir el tensor viscoso en dos partes, unaparte que tiene que ver con su valor medio o promedio y otra parte, tambiénpromediada, pero para el caso turbulento. Este último término debe ser nulo en elcaso de un flujo laminar.

10.- Balance de Energía

Antes de iniciar la deducción del Balance de Energía es necesario haceralgunos comentarios al respecto. La primera ley de la termodinámica es un planteobasado en observaciones experimentales a nivel macroscópico o sea es una leyempírica que establece que la energía se conserva. Por lo tanto esta ley tiene encuenta la energía que ingresa, que sale o se acumula en todo momento en unsistema que se denomina Volumen Control (VC).

Pensando en la gran variedad de sistemas que se pueden considerar esconveniente clasificar la energía en dos categorías principales, energía almacenaday energía en transición. La energía asociada con una masa (por ej. energía cinética)puede ser considerada como energía almacenada. Por otra parte, la energía que semueve o transfiere desde un sistema hacia otro se la puede definir como energía entransición y es lo que generalmente se conoce como calor.

Otra forma de diferenciar diferentes propiedades en un fluido es a través de ladefinición de “propiedades extensivas” y “propiedades intensivas”. Se considera unapropiedad extensiva a toda propiedad que depende de la masa del sistema, porejemplo la energía almacenada (energía cinética, energía potencial, cantidad demovimiento, etc.) y como una propiedad intensiva a aquella que no depende de lamasa presente en el sistema (la densidad, el color, etc.).

10.1.- Balance Diferencial de la Energía

Para el desarrollo del Balance de Diferencial de Energía se considerará, parael medio continuo, que su ecuación constitutiva es la de un fluido Newtoniano,además que es incompresibe e isotérmico. Esto último significa que no hay fuentesde calor y por lo tanto no hay transferencia de energía por conducción, convección oradiación.

Se inicia el desarrollo considerando la ecuación de movimiento para un mediocontinuo ya deducida, la ecuación (9.20):

ρD vD t

− ρ g − ∇⋅T = 0


si a esta ecuación, que es un balance de fuerzas diferencial, se la multiplicaescalarmente por el vector velocidad v y se obtiene:

ρ v⋅D vDt

= v⋅ρ g + v⋅∇⋅T (10.1)

Para el primer miembro se obtiene:

ρ v⋅D vDt

→ ρ v i

D v j

D tδij =

DDt

(1/2ρ v2) (10.2)

y como puede observarse, representa la variación de la energía cinética por unidadde volumen.

En el segundo miembro, el primer término que contiene las fuerzasvolumétricas, se puede expresar como:

g =−∇ ϕ ⇒ − v⋅ρ g =− v⋅∇ (ρϕ)=

=−∇⋅(ρϕ v)(10.3)

donde se ha considerado que g proviene de un potencial escalar ϕ y sisolamente las fuerzas de volumen son por efecto de la atracción gravitatoria, ϕrepresenta el potencial gravitatorio. También en las últimas ecuaciones se haconsiderado compresibilidad del medio continuo y es por eso que la densidad ρqueda dentro del operador divergencia.

En el análisis del último término del segundo miembro de (10.1) se consideranotación indicial, por lo tanto:

v⋅∇⋅T = v i

∂T ji

∂ x j

(10.4)

Para poder simplificar este término, primero se desarrolla la derivada conrespecto al espacio del producto entre v i T ji o sea:

∂∂ x j

(v i T ji)= v i

∂T ji

∂ x j

+ ( ∂v i

∂ x j)T ji

El primer miembro es la divergencia del producto del vector velocidad v y eltensor de tensiones T o sea ∇⋅(v⋅T ). El término entre paréntesis del segundomiembro es el gradiente de la velocidad:

( ∂ vi

∂ x j) → ∇ v

Este gradiente de la velocidad esta multiplicado por el tensor de tensiones y


considerando la convención de la suma (índices repetidos significa suma) para laexpresión completa se obtiene:

( ∂ vi

∂ x j)T ji → ∇ v :T

Como el símbolo : representa una doble contracción de índices por lo tantoel resultado es un escalar, como debía esperarse.

Además se tiene para el primer término del segundo miembro lo siguiente:

v i

∂T ji

∂ x j

→ v⋅(∇⋅T )

Resumiendo todo lo anterior se tiene para derivada del producto o sea para∇⋅(v⋅T ) el siguiente resultado:

∇⋅(v⋅T ) = v⋅(∇⋅T ) + ∇ v :T (10.5)

Observando la ecuación (10.1) el término buscado se despeja de (10.5)resultando:

v⋅(∇⋅T ) = ∇⋅( v⋅T ) − ∇ v :T (10.6)

En la ecuación (10.6) se incorpora la ecuación constitutiva de un fluidoNewtoniano, o sea T viene expresado como:

T =−p1+ τ

entonces para el último término del segundo miembro:

∇ v :T = ∇ v :(−p I+ τ) (10.7)

Si se desarrolla esta última ecuación en notación de índices se obtiene:

∇ v :(−p I+ τ) → ( ∂ v i

∂ x j)T ji =

∂ v i

∂ x j

(−δ ji p+ τ ji)

−( ∂ vi

∂ x j)δ ji p+

∂ v i

∂ x j

τ ji =−∂ v i

∂ xi⏟∇⋅v=0

p+∂ v i

∂ x j

τ ji → ∇ v : τ

Quedando finalmente:

∇ v :T = ∇ v :(−p I+ τ)= ∇ v : τ (10.8)

La ecuación (10.8) generalmente se la simboliza como Φ= ∇ v : τ y se ladenomina “Función Disipación”. Si este resultado se reemplaza en (10.6) se obtiene:


v⋅(∇⋅T ) = ∇⋅( v⋅T ) − ∇ v : τ = ∇⋅( v⋅T )−Φ (10.9)Por lo tanto para la ecuación (10.1) se tiene lo siguiente:

ρ v⋅D vD t⏟

DDt

(1 /2ρv2)

= v⋅ρ g⏟−∇⋅(ρϕ v)

+ v⋅∇⋅T⏟∇⋅( v⋅T)−Φ

(10.10)

Escribiendo finalmente:

DDt

(1/2ρ v2)

⏟cambio enel tiempodelaenergía cinética por

unidad de volumen

= −∇⋅(ρϕ v )⏟trabajorealizado porunidadde tiempo por la gravedad

por unidad de volumen

+ ∇⋅( v⋅T )⏟trabajorealizado por unidadde tiempo por lasfuerzas de

superficie porunidad de volumen

− Φ⏟conversión a

energía térmicapor unidad devolumen

(10.11)

En (10.11) debe entenderse que el trabajo realizado por unidad de tiemporepresenta una potencia o sea que las unidades de cada término son unidades depotencia que en el SI es watts.

Otro aspecto importante a tener en cuenta es con respecto a la ecuaciónconstitutiva utilizada en la deducción de (10.11), en este caso se consideró un fluidoNewtoniano y esta es la ecuación constitutiva que hay que utilizar en el término defuerzas de superficie y es precisamente en este término en donde se encuentraincluida la presión.

Con respecto a la “función disipación” Φ la misma representa un trabajoirreversible realizado por las fuerzas de superficie. Este trabajo irreversible es unatransferencia neta de calor generada por el fluido por rozamiento interno. Tambiénpuede interpretarse como que el fluido invierte parte de su energía cinética enaumentar su temperatura por acción de los efectos viscosos.

Es importante tener en cuenta que si bien no existen fuentes externas queaporten energía térmica al fluido lo mismo hay una generación interna de energíapor efecto viscoso y por lo tanto puede suceder que el fluido aumente sutemperatura.

10.2.- Balance Integral de la Energía

Nuevamente como en los desarrollos anteriores, se procederá a integrar laecuación diferencial de la energía (ecuación (10.11)) en un volumen arbitrario

V a(t) y en el desarrollo se aplicaran los teoremas de Gauss y de Transporte deReynolds.

Para el desarrollo que se presenta a continuación se tienen en cuentanuevamente las hipótesis de incompresibilidad y el que el flujo es isotérmico o seano existen fuentes externas de energía.

Se desarrolla la derivada material del primer miembro de la ecuación (10.11) yconsiderando incompresibilidad ∇⋅v = 0 se obtiene:


DD t

(1 /2ρ v2) = ∂

∂ t(1/2ρ v2

)+ v⋅∇(1/2ρv2)

= ∂∂ t

(1/2ρv2)+ ∇⋅(1/2ρ v2 v )

(10.12)

por lo que la ecuación (10.11) se puede escribir como:

∂∂ t

(1/2ρ v2)+ ∇⋅(1/2ρv2 v) =−∇⋅(ρϕ v ) + ∇⋅( v⋅T )−Φ (10.13)

Integrando esta ecuación en un volumen arbitrario V a(t)

∫V a (t )

∂∂ t

(1/2ρ v2)dV + ∫

V a(t )

∇⋅(1/2ρ v2 v )d V =− ∫V a(t )

∇⋅(ρϕ v )dV +

+ ∫V a (t)

∇⋅( v⋅T )d V − ∫V a (t )

Φ dV

(10.14)

En esta ecuación, ahora se considera el Teorema de Transporte de Reynoldsen el término que contiene la derivada parcial (primera integral del primer miembro),se tiene en cuenta que:

F( v , t)=1 /2ρ v2 y uA=wentonces:

dd t ∫

V a (t)

F ( x ,t )d V= ∫V a(t )

∂F∂ t

dV + ∫Aa (t)

F ( x ,t )(uA⋅n)d A

∫V a (t)

∂F∂ t

dV =dd t ∫

V a (t)

F ( x , t)dV − ∫Aa (t)

F ( x , t)(uA⋅n)d A

∫V a (t )

∂∂ t

(1/2ρ v2)d V =

dd t

∫V a (t )

1/2ρ v2 d V − ∫A a(t )

1/2ρ v2( w⋅n)d A

(10.15)

Volviendo a la ecuación (10.14) se aplica el Teorema de Gauss para convertirlas siguientes integrales de volumen en integrales de superficies:

∫V a (t )

∇⋅(1/2ρ v2 v )dV = ∫A a(t )

(1/2ρ v2) v⋅n d A

∫V a (t)

∇⋅(ρϕ v )d V = ∫Aa (t )

ρϕ v⋅n d A

(10.16)

La ecuación (10.16) se justifica porque al convertir una integral de volumen enuna de superficie se simplifica la información necesaria. En una integral desuperficie, por ejemplo, solo es necesario conocer el valor de la velocidad en dichasuperficie y por el contrario en el caso de una integral de volumen el valor de lavelocidad debería conocerse en todo el dominio y por lo tanto la cantidad de datos a


tener en cuenta, en muchos casos, pueden ser elevados. Por último se transforma laintegral

∫V a (t )

∇⋅( v⋅T )d V = ∫A a(t )

( v⋅T )⋅n d A (10.17)

aplicando el Teorema de Gauss nuevamente.

Luego de realizar todos estos cambios la ecuación (10.14) toma la siguienteforma:

dd t ∫V a( t )

(1/2ρ v2)d V + ∫

A e(t)

1/2ρ v2(v−w)⋅n d A =

= ∫A a (t )

(v⋅T )⋅n d A −∫Aa (t )

ρϕ v⋅n d A − ∫V a (t )

Φ dV

(10.18)

en la segunda integral del primer miembro se ha considerado lo expuesto sobre laFigura 10:

v=w=0 sobre superficies sólidas fijas A s

v−w=0 sobre superficies sólidas móviles A s( t)

En (10.18), la integral de volumen que contiene el tensor de tensiones, sepuede relacionar con el vector de esfuerzo como:

( v⋅T )⋅n = v⋅(T⋅n)= v⋅t n (10.19)

entonces:

∫Aa (t)

( v⋅T )⋅n d A = ∫A s(t )

v⋅t (n )d A⏟

W

+ ∫Ae(t )

v⋅t (n )d A (10.20)

La ecuación (10.20) representa el trabajo por unidad de tiempo (potencia)realizado por el medio externo sobre V a(t) a través de su superficie.

Como se mencionó anteriormente la superficie Aa(t ) se divide en:Aa(t )= Ae(t ) + A s(t) + A s (superficies de entrada y salida + superficies sólidas

móviles + superficies sólidas fijas).

También es necesario hacer notar que en la parte de la superficie A s lavelocidad toma el valor de v=0 por lo tanto la integral sobre esa superficie es nula.Luego (10.20) toma la forma:

∫Aa (t)

( v⋅T )⋅n d A =W+ ∫Ae (t )

v⋅t (n )d A (10.21)


El término que contiene la “Función Disipación” se lo denominará como:

Ev = ∫V a (t)

ΦdV (10.22)

y se define de esta forma la disipación de energía viscosa. Reemplazando (10.21) y(10.22) en la ecuación (10.18) se obtiene:

dd t ∫

V a (t)

(1/2ρ v2)dV

⏟rapidezde cambio

de la energíacinéticaen elvolumen control

+ ∫A e(t )

1/2ρ v2( v−w)⋅n d A

⏟flujo neto(salida−entrada)

de energíacinética enel volumencontrol

=

= ∫A e(t)

v⋅t (n)d A⏟

trabajorealizado por unidadde tiempoenla entrada y

salidadel volumencontrol

− ∫A a(t )

ρϕ v⋅n d A⏟

trabajorealizado porunidad detiemposobrelel volumencontrol

por las fuerzas volumetricas

+

W − {trabajo realizado por unidad detiemposobre el volumencontrolpor superficiessólidas móviles }

−Ev {rapidezde disipación

viscosa enenergía interna }

(10.23)

10.3.- Ecuación de Bernoulli

Como una primera aplicación del Balance de Energía se presenta acontinuación la Ecuación de Bernoulli. Esta ecuación es una herramienta muy útilporque relaciona cambios de presión con cambios de velocidad y cambios de alturaa lo largo de una linea de corriente en un flujo. Para su aplicación es importantetener en cuenta que la definición de línea de corriente es una línea imaginaria en unflujo y que cumple la condición que el vector velocidad en un punto es siempretangente a dicha línea.

La deducción que se presenta a continuación no parte del Balance Integral deEnergía como en la mayoría de la bibliografía sino que a partir de la ecuación deNavier Stokes, que representa la Segunda Ley de Newton para el caso de un fluidoNewtoniano. Además en la obtención de esta ecuación se consideróincompresibilidad. Luego se tiene:

ρD vD t

=−∇ p + ρ g + μ∇2 v

Planteando como una primera hipótesis de trabajo que los efectos viscososson despreciables y esto no significa que el fluido sea no viscoso, sino que lasfuerzas inerciales que son muy superiores frente a las fuerzas viscosas. Luego eltérmino μ∇

2 v es despreciable frente a los otros términos y se puede escribir:


ρD vD t

=−∇ p + ρ g (10.24)

La ecuación (10.24) se conoce como la ecuación de Euler.

Desarrollando el primer miembro, la derivada material y considerandonotación de índices, se obtiene:

(ρ D vD t )i =

∂ui

∂ t+ u j

∂ ui

∂ u j

(10.25)

En la ecuación (10.25) el término ∂ui /∂ u j es un tensor de segundo orden, loque significa que tiene nueve componentes, además todo tensor puede serdescompuesto en su parte simétrica y su parte antisimétrica, por lo tanto:

∂ ui

∂u j

=12 ( ∂u i

∂ x j

+∂u j

∂ xi)⏟

eij

+12 ( ∂ui

∂ x j

−∂ u j

∂ x i)⏟

r ij

(10.26)

Donde e ij y r ij representan el tensor “Velocidad de Deformación” y eltensor “Rotación” respectivamente. Hay que notar que la definición de e ij incluye el1/2 mientras que r ij no, por lo tanto:

∂ ui

∂u j

= e ij+12

rij (10.27)

Otra consideración con respecto a estos nuevos tensores son:

rij es un tensor antisimétrico por lo tanto rij =−r ji y los términos de la diagonalprincipal son nulos o sea son los términos donde los dos índices son iguales, estopermite expresar a este tensor rij en función del tensor de Levy – Chivita de lasiguiente forma:

rij =−εijk w k → r = (0 −w3 w2

w3 0 −w1

−w2 w1 0 ) (10.28)

Considerando el diferencial de velocidad d ui se puede operar como seindica

d ui = ( ∂ui

∂ x j)⏟

=e ij + 1/2 rij⏟=−εijk wk

d x j → d ui = eij dx j −12εijk wk d x j⏟w×d x

→ dui=eij dx j+12

w×d x


En la ecuación anterior se ha hecho uso de la definición del producto vectorialempleando el tensor de Levi-Chivita. Ahora se puede retomar la ecuación de Eulerque escrita en componentes se expresa:

∂ui

∂ t+ u j

∂ui

∂ x j

=− ∂∂ x i

(gz)−1ρ

∂ p∂ x i

(10.29)

El término convectivo se escribe:

u j

∂ui

∂ x j

= u j( ∂ ui

∂ x j

−∂ u j

∂ x i)⏟

=rij

+ u j

∂ u j

∂ x i⏟

= ∂∂ x i

(12 u j u j)

→ u j

∂ ui

∂ x j

= u j rij +∂∂ x i

(12 u j u j) (10.30)

Reemplazando lo expresado en la ecuación (10.28) para rij en la ecuación(10.30) se obtiene finalmente para el término convectivo lo siguiente:

u j

∂ui

∂ x j

=−u jεijk wk +∂

∂ x i( 12 q2) =−( v×w)i +

∂∂ xi

( 12 q2) (10.31)

donde: q2= u ju j representa dos veces la energía cinética contenida en el flujo.

Ahora con todas estas deducciones la ecuación de Euler (ec (10.24)) puedeser expresada como: (en componentes)

∂ui

∂ t+ ∂

∂ x i(12 q2)+ 1

ρ∂ p∂ x i

+ ∂∂ x i

(gz )=−( v×w)i (10.32)

Si además se supone que el flujo es barotrópico, o sea que la densidad solodepende de la presión: ρ = ρ( p) se puede escribir:

1ρ

∂ p∂ x i

= ∂∂ x1

∫d pρ

donde el símbolo d indica que es una diferencial exacta o sea que no depende dela trayectoria. Por lo tanto la ecuación (10.32) se escribe:

∂ui

∂ t+ ∂

∂ x i(12 q2

+∫ d pρ + gz )⏟

B

= ( v×w)i →∂u i

∂ t+

∂B∂ x i

=( v×w)i (10.33)

y expresada sin componentes se tiene:

∂ v∂ t

+ ∇ B = v×w (10.34)


En la ecuación (10.33) B define la función de Bernoulli. A continuación seaplicará esta ecuación a algunos casos particulares.

a) Flujo Estacionario: En este caso se tiene que∂ v∂ t

= 0 por lo tanto:

∇ B = v×w (6.35)

Interpretando esta ecuación se puede deducir que ∇ B es un vectorperpendicular a la superficie B = cte y además v×w es un vector perpendiculara los vectores v y w. Considerando que:

• El vector velocidad v define líneas de corriente y este vector es tangente encada punto a dicha línea.

• El w define líneas de vorticidad donde este vector es tangente a dichaslíneas.

Tanto las líneas de corriente como las de vorticidad de acuerdo a (10.35)están contenidas en una superficie en la cual ∇ B es perpendicular. Gráficamentese puede observar lo anterior en la Figura 13

Figura 13: Superficie B conteniendo líneas de corriente y vorticidad.

Luego para un fluido no viscoso, estacionario y barotrópico se debe cumplirque:

12

q2+∫

d pρ + gz = cte (10.36)

Esta ecuación es válida a lo largo de una línea de corriente y una línea devorticidad.


APÉNDICE A

A-1.- Teorema del Valor Medio

En un dimensión este teorema establece que:

⟨f∣x=ξ⟩(b−a)=∫a

b

f (x)dx a≤ξ≤b (A-1)

en la ecuación los paréntesis ⟨ ⟩ denotan valor medio de la variable que encierran.

Gráficamente puede interpretarse como

Figura A-1: interpretación gráfica del Teorema del Valor Medio

Es intuitivo que el área bajo la curva puede ser representada por el productode la longitud (b – a) con algún valor medio de la función f (x=ξ)=⟨f (ξ)⟩

En definitiva se esta proponiendo que las áreas sombreadas (A) y (B) seaniguales. Por lo tanto el cálculo de la superficie bajo la curva se determina con buenaaproximación por el producto de dos valores. Esta idea es fácil de extender aintegrales de volumen y superficie, las cuales pueden ser expresadas como:

⟨f ⟩V=∫V

f d V ⟨ f ⟩ A=∫A

f d A (A-2)


APÉNDICE B

B-1.- Vector Esfuerzo (caso hidrostático)

Para determinar el campo o la distribución de presión en un fluido se aplicarála ecuación de balance de fuerzas sobre un elemento de fluido diferencial.

DD t ∫

V m(t)

ρ v d V = ∫V m(t)

ρ g dV+ ∫A m(t )

t n d A

Si además se considera que el fluido se encuentra en reposo (casohidrostático o fluido en reposo) en la la ecuación anterior los límites de integraciónahora son constantes y por lo tanto se puede expresar que

0 =∫V

ρ g dV +∫A

tnd A (B-1)

En este caso los límites de integración son independientes del tiempo.

Aceptando la definición de que un fluido es aquel que se deformacontinuamente bajo la acción de una tensión de corte se puede plantear que losesfuerzos sobre un elemento de fluido en reposo deben actuar en forma normales alas superficies. Dicho en otras palabras lo anterior significa que en el caso de unelemento de fluido en reposo, este podrá cambiar de volumen pero no de forma osea que todos los esfuerzos actúan en forma normal a la superficie. Hay que tenerpresente que los esfuerzos cortantes son los responsables del cambio de forma.

Aplicando lo anterior al tetraedro de la figura B-1 sujeto a la restricción de quetodos los esfuerzos de corte son cero y probar que todos los esfuerzos estáticos enun fluido son isotrópicos o sea que no dependen de la dirección.

Figura B-1: esfuerzos estáticos sobre un tetraedro.


La figura B-1 se resume en la tabla B-1, que figura a continuación. La normala cada plano es saliendo y en la misma tabla se pone el valor del vector esfuerzopara el caso de un fluido en reposo. La fuerza actuando sobre cada cara es elproducto de la presión promedio en la cara por la superficie de dicha cara.

Esfuerzos actuando en diferentes caras del tetraedro

Plano Área Normal Vector Esfuerzo

ABC Δ A n −n pn

BCD Δ Ax −i i px

ADC Δ Ay − j j py

ABD Δ Az −k k pz

Tabla B-1: esfuerzos en el tetraedro de Cauchy

Aplicando la ecuación B-1 y teniendo en cuenta el Teorema del Valor Medio,ecuación A-2 es posible escribir:

0 = ρ gΔ V −n ⟨ pn⟩Δ An+ i ⟨ px⟩ Δ Ax+ j⟨ p y ⟩Δ A y+ k ⟨ pz⟩Δ A z (B-2)

Es posible expresar Δ Ax , Δ A y , Δ A z en función de Δ An pensando que las primerasson la proyección de Δ An sobre cada uno de los planos coordenados. Luego esposible escribir:

Δ Ax = i⋅n Δ An = nx Δ An

Δ A y = j⋅n Δ An = ny Δ An

Δ A z = k⋅n Δ An = nz Δ An

Sustituyendo estas relaciones en la ecuación (B-2) se obtiene:

0 = ρ gΔ V −Δ An[ n ⟨ pn⟩− i nx ⟨ px ⟩− j ny ⟨ py ⟩− k nz ⟨ pz⟩ ]

dividiendo por Δ An y tomando límite para Δ An →0 se obtiene

0 = limΔ An → 0

ρ gΔ VΔ An

−[n ⟨ pn⟩− i nx ⟨ px⟩− j n y ⟨ py ⟩−k nz ⟨ pz⟩ ]=−n pn+ i nx px+ j ny p y+ k nz pz

(B-3)

En esta ecuación se ha considerado que si Δ An →0 tiende a cero Δ V tiendea cero más rápido, por lo tanto el primer término de la ecuación se anula. Paraoperar con el último miembro es necesario considerar que la normal Δ V se puedeexpresar en función de sus componentes como:

n = i nx + j ny + k nz (B-4)

Por lo tanto el último miembro de la ecuación (B-3) se puede escribir como


0 = i nx ( pn−px) + j ny ( pn−py ) + k nz( pn−pz) (B-5)

Por lo tanto si el vector es nulo se debe cumplir que todas sus componenteslo sean por lo tanto se debe satisfacer que:

pn = px pn = py pn = pz (B-6)

De esta última ecuación se puede deducir directamente que el vector esfuerzoque actúa sobre cualquier superficie de normal n puede ser expresado como:

t n =−n p (B-7)


APÉNDICE C

C-1.- RESUMEN DE LOS DIFERENTES BALANCES (DIFERENCIALES E INTEGRALES) – FLUIDOS NEWTONIANOS

B. Diferencial B. Integral

Balance deMasa

( Dρ

D t )+ρ∇⋅v = 0

∇⋅v = 0 Incompresible

dd t ∫

V a (t)

ρdV + ∫A e(t )

ρ( v−w)⋅n d A=0

BalanceCantidad

deMovimiento

ρD vD t

=−∇ p + ρ g +

+ μ∇2 v

dd t ∫

V a (t)

ρ v d V+ ∫A e(t)

ρ v ( v−w)⋅n d A=

= ∫V a (t )

ρ g d V+ ∫A a(t )

t (n)d A

Balance deEnergía

DDt

(1/2ρ v2)= −∇⋅(ρϕ v )+

+∇⋅( v⋅T )−Φ

dd t ∫

V a (t)

(1/2ρ v2)d V + ∫

A e(t)

1 /2ρ v2( v−w)⋅n d A=

= ∫Ae (t )

v⋅t (n)d A− ∫Aa (t )

ρϕ v⋅n d A+W−E v


APÉNDICE D

D.1.- El Vector Esfuerzo

Para probar que tn =− t−n se hará uso del volumen material que se

muestra en la figura D-1 y esta formado por dos superficies idénticas y paralelas,separadas una distancia L con normal m y superficie As(t )

Cada superficie paralela de normales n y −n tienen área An (t )

Figura D-1: superficies paralelas separadas una distancia L

Aplicando el balance de fuerzas a este volumen:

DDt

∫Vm(t )

ρv d V= ∫Vm(t )

ρ gdV+ ∫As (t )

t md A+ ∫An(t )

tnd A+ ∫An (t )

t−nd A (D-1)

Donde la integral de superficie se ha dividido en tres integrales, las dosparalelas y la superficie lateral As(t ) . Aplicando el teorema del valor medio en lasintegrales de la ecuación anterior se obtiene:

DDt

[ ⟨ρv ⟩ L An(t )]=⟨ρ g⟩ L An(t )+ ⟨ tm ⟩As(t )+ ∫An (t )

[tn+ t−n ]d A

Tomando L → 0 entonces As(t ) → 0 se obtiene

0= limL→0

∫An(t )

[ tn+ t−n]d A

Como los límites son arbitrarios, el integrando debe ser idénticamente igual acero por lo tanto se obtiene lo que se quería demostrar.

tn =− t−n (D-2)


D.2.- El Tensor esfuerzo y el Vector Esfuerzo

Si en un punto del espacio el esfuerzo esta en un estado de equilibrio,entonces es posible relacionar el vector esfuerzo con el tensor esfuerzo. Parademostrar esto supondremos un volumen arbitrario como el de la figura D-2.

Es posible representar este volumen material considerando una longitudcaracterística L y un factor de forma α(t ) por lo tanto el volumen se lo puedeexpresar matemáticamente de la siguiente forma:

Vm(t )=α(t )L3 (D-3)

De la misma forma que en el punto anterior, se aplica el balance de fuerzasconjuntamente con el teorema del valor medio, por lo tanto es posible escribir lasiguiente relación:

DDt

[ ⟨ρv ⟩α(t)L3]=⟨ρ g⟩α (t )L3+ ∫Am(t )

tnd A

Figura D-2: volumen arbitrario denominado tetraedro de Cauchy

Dividiendo por L2 y tomando límite para L→0 se obtiene:

0=limL→0

1L2

∫Am(t )

tnd A (D-4)

Aplicando este resultado al tetraedro de la figura D-2, con el objeto de obtenermás información, se puede confeccionar la tabla 1 que figura a continuación. En latabla se indica el plano al que se hace referencia, el área (superficie) de cada uno,su vector normal y el vector esfuerzo en cada uno de los cuatro planos.


Esfuerzos actuando en diferentes caras del tetraedro

Plano Área Normal Vector Esfuerzo

ABC Δ A n t(n)

BCD n⋅i Δ A −i t(−i )

ADC n⋅jΔ A − j t(− j)

ABD n⋅kΔ A −k t(−k)

Tabla D-1: esfuerzos en el tetraedro de Cauchy

Retomando la ecuación (D-4) considerándola en cada plano, aplicando elteorema del valor medio se obtiene:

limΔ A→0 {

1Δ A [Δ A ⟨ t

(n )⟩+ n⋅i Δ A⟨ t

(−i)⟩+ n⋅j Δ A⟨ t(− j )⟩+ n⋅kΔ A ⟨ t

(−k )⟩ ]}=0

Se ha considerado que L2∼ΔA por lo tanto si L→0 ⇒ Δ A→0 y eltetraedro tiende a un punto, por lo tanto:

⟨ t (n)⟩ + n⋅i ⟨ t (−i )⟩+ n⋅ j ⟨ t (− j )⟩+ n⋅k ⟨ t (−k)⟩ = 0

haciendo uso del resultado tn =− t−n para el cambio de signo y como el volumen

se redujo a un punto es correcto poner:

t (n) = (n⋅i) t( i)+ (n⋅j) t ( j )+ (n⋅k ) t (k)

Esta ecuación muestra que el vector esfuerzo que actúa sobre una superficiede normal n puede ser expresado en términos de los vectores esfuerzos que actúansobre cada plano coordenado. La ecuación anterior puede ser reescrita como:

t (n) = n⋅[ i t ( i)+ j t ( j)+k t (k)] (D-5)

donde el término entre corchetes define el tensor esfuerzo de segundo orden T(nueve componentes) y por lo tanto se puede escribir:

t (n) = n⋅T (D-6)

A partir de las ecuaciones (5) y (6) queda claro que la definición del “tensoresfuerzo” es:

T = [ i t ( i )+ j t ( j )+ k t(k )] (D-7)

En la ecuación (D-7) se considera un nuevo producto entre vectores que sedenomina “producto diádico”. Es importante observar que este producto simboliza


sin “punto” y sin “cruz” entre ambos vectores.

El producto diádico entre dos vectores, da como resultado un tensor de orden2, o sea 9 (nueve) componentes. Es un claro ejemplo de una magnitud que necesitade nueve componentes para describir en forma completa el estado de tensión sobreun volumen material. Las nueve componentes del “esfuerzo”, que se interpreta comouna fuerza por unidad de superficie, se representan por medio de dos índices libres.

Figura D-3: representación del estado de tensión (esfuerzos) sobre unparalelepípedo

Uno de los índices o sea una dirección determina o especifica la “orientaciónde la superficie” sobre la cual el esfuerzo esta siendo calculado y el otro subíndicedetermina la dirección de la fuerza sobre la superficie. De acuerdo a la figura 3, elprimer subíndice indica el plano perpendicular a un determinado eje y el segundosubíndice la dirección de la fuerza. Por ejemplo: T21 el 2 indica que el plano corta aleje x2 o sea es perpendicular a este eje y el 1 indica que el esfuerzo esta en ladirección x1.

Las nueve componentes se representan como matriz y se escribe como:

T = (T 11 T 12 T13

T 21 T 22 T23

T 31 T 32 T33)


APÉNDICE E

E.1.- Simetría del Tensor Esfuerzo

Para determinar la naturaleza del “tensor esfuerzo”, definido en la ecuación(D-6) en relación con el “vector esfuerzo” es necesario considerar un balance de lostorques que actúan en un volumen material como se muestra en la figura E-1.

En esta figura solo se muestran los esfuerzos aplicados en dos caras porclaridad del dibujo pero es importante tener en cuenta que el esfuerzo esta aplicadoen las seis caras del volumen mostrado.

Para demostrar la simetría del tensor esfuerzo es necesario plantear elprincipio de conservación del momento angular el cual puede ser enunciado de lasiguiente manera: (VC = volumen control, SC = superficie control)

Figura E-1: esfuerzos aplicados a un volumen arbitrario

{Rapidez de cambio

del momento angularen un VC }= {

Flujo neto demomento angulara través de la SC }+ {

torques debido alas fuerzasde superficie }+ {

torques debidoa las fuerzasvolumétricas }

La ecuación diferencial que expresa el balance de fuerza de una partícula fluida es:

ρDvDt

= ρ(∂ v∂t + v⋅∇ v)=ρ g+ ∇⋅T

en notación de índices se tiene: ρ(∂vi

∂t+ v j

∂vi

∂ x j)= ρgi+

∂T ij

∂ x j

El procedimiento que sigue se basa en sumar un “cero” a la ecuación del balance defuerzas. Para este propósito se considera incompresibilidad, entonces la ecuaciónde continuidad (balance de masa) esta igualada a cero, además si se multiplica estaecuación por la velocidad, todo sigue siendo cero por lo tanto se puede sumar este“cero” al primer miembro de la ecuación anterior. Expresado lo anterior


matemáticamente se tiene:

vi (∂ρ

∂t+

∂(ρv j)

∂ x j)

⏟ecuación decontinuidad

= 0 → vi∂ρ

∂t+ v i

∂∂ x j

(ρv j)= 0

sumando esta ecuación al balance de fuerzas

ρ∂v i

∂t+ ρv j

∂v i

∂x j

+ v i∂ρ

∂t+ v i

∂∂ x j

(ρv j) = ρg i+∂T ij

∂x j

en esta ecuación se puede identificar:

ρ∂vi

∂ t+ v i

∂ρ

∂t= ∂

∂t(ρv i)

ρv j

∂v i

∂x j

+ v i∂

∂ x j

(ρv j)=∂

∂ x j

(ρviv j)

por lo tanto se puede expresar la ecuación anterior como:

∂ρv i

∂t+

∂(ρv jv i)

∂ x j⏟=∇⋅ρv v

= ρg i+∂T ij

∂x j

o ∂∂t

(ρv)+ ∇⋅(ρ v v)−ρ g−(∇⋅T )=0

Se integra esta ecuación en un volumen arbitrario, diferente de cero, luego se tiene:

∫V[ ∂∂t

(ρ v )+ ∇⋅(ρv v)−ρ g]dV =∫V

(∇⋅T )dV

aplicando el teorema de Gauss (divergencia) al segundo miembro y luegomultiplicando por un vector arbitrario, diferente de cero r=x j

∫V

r×[ ∂∂t

(ρv)+ ∇⋅(ρv v )−ρg ]dV =∫A

r×(T⋅n)d A

Para el segundo miembro, si se considera notación indicial, se tiene:

(r×T⋅n)i=εijk x jemTmk⏟T⋅n

por lo tanto:

∫A

(r×T⋅n)d A=∫A

εijk x jemTmkd A=∫A

εijk(x jTmk )emd A=∫V

εijk∂

∂xm

(x jTmk)dV

La última integral se obtiene de aplicar nuevamente el teorema de la divergencia.


∫V

εijk∂

∂ xm

(x jTmk)dV=∫V

εijk [Tmk

∂ x j

∂xm

+ x j

∂Tmk

∂ xm]dV=

=∫V

εijkTmk

∂x j

∂ xm⏟δjm

+ εijk x j

∂Tmk

∂xm⏟r×∇⋅T

dV

se tiene por lo tanto

∫V

r×[ ∂∂t

(ρv)+ ∇⋅(ρv v )−ρg ]dV =∫V

εijk Tmk δ jmdV+∫V

r×∇⋅T dV

pasando la última integral al primer miembro y reagrupando

∫V

r× [ ∂∂t

(ρ v)+ ∇⋅(ρv v)−ρ g−∇⋅T ]⏟=0

dV =∫V

εijk Tmk δ jmdV=∫V

εijkT jkdV=0

para que se cumpla la ecuación anterior debe ser el integrando εijkT jk=0 porqueel volumen de integración es arbitrario. Luego desarrollando esta ecuación seobtiene:

εijkT jk = ε123⏟=1

T 23 + ε132⏟=−1

T 32 + ε312⏟=1

T12 + ε321⏟=−1

T 21 + ε231⏟=1

T 31 + ε213⏟=−1

T13 = 0

(T 23−T 32) + (T 12−T 21) + (T 31−T 13)= 0 ⇒ T 23=T 32 ; T 12=T21 ; T 31=T 13⏟demuestra simetría del tensor de tensiones


APÉNDICE F

F.1.- Ecuaciones Constitutivas

En el desarrollo de las diferentes ecuaciones de balance, en general no fuenecesario especificar el tipo de material al que se hacía referencia. Esto asegura enalgún sentido que estas ecuaciones de balance son válidas en términos generales.

Cuando se aplican ecuaciones de balance en un determinado proceso esnecesario tener en cuenta que tipo de material en particular interviene y por lo tantoes necesario agregar información que tenga en cuenta el comportamiento delmaterial. Esto significa que en las ecuaciones de balance es necesario introducirinformación relacionada con la naturaleza del material que interviene en undeterminado proceso.

Como un ejemplo de lo anterior supongamos la ecuación de continuidad enforma unidimensional que a lo largo del eje x se puede expresar como:

∂ρ

∂ t+

∂(ρ v)∂ x

= 0 (F-1)

En (F-1) para su resolución es necesario una ecuación adicional porque (F-1)es una sola ecuación y contiene dos incógnitas: la velocidad v y la densidad ρ .Esta ecuación adicional es el caso de una “Ecuación Constitutiva”. En los procesosde tratamiento de materiales una ecuación constitutiva describe el comportamientode un material específico o de una clase de materiales.

Por lo tanto se puede definir que una Ecuación Constitutiva es aquellaecuación propia del material y por lo tanto lo define y será una ecuación querelaciona funcionalmente variables termodinámicas y/o mecánicas y cada materialtendrá una ecuación constitutiva específica que solo dependerá de su composiciónmolecular. Entonces una Ecuación Constitutiva es muy diferente a una ley física, lacual se aplica a cualquier situación.

En la obtención de una Ecuación Constitutiva usualmente es necesariocombinar algunas hipótesis teóricas con observaciones experimentales.

Para aclarar lo expuesto en los párrafos anteriores, en la deducción de laecuación (27) (4.8) ∇⋅v = 0 se propuso que el material es incompresible, lo quesignifica que esta ecuación solo es válida para este tipo de material o fluido. Encambio, hubiera sido válido suponer en la misma ecuación que v=v (ρ) o sea quela velocidad es una función de la densidad y como hipótesis de trabajo se hubieranplanteado las siguientes consideraciones:

a) En los lugares del espacio donde la densidad es mínima la velocidad es máxima yen el límite se debe cumplir que v (ρ=0)=vmax b) Un aumento en la densidad siempre esta acompañado por una disminución de la


velocidad, de forma tal que se cumple que (∂ v∂ρ )⩽0 sobre todo el rango de ρ

c) Cuando la densidad tienda a un máximo, la velocidad tenderá a cero o seav (ρ=ρmax)=0

Estas reglas pueden ser satisfechas por muchas relaciones funcionales y unade ellas puede ser una relación lineal de la velocidad con la densidad de la forma:

v = vmax(1−ρ

ρmax ) (F-2)

Las ecuaciones (F-1) y (F-2) constituyen un sistema de dos ecuaciones y dosincógnitas que puede ser resuelto. En la práctica los parámetros vmax y ρmax

pueden ser determinados a partir de ensayos experimentales. Para resolver elsistema de ecuaciones (F-1) y (F-2) y como v=v (ρ) la ecuación (F-1) setransforma en:

∂ρ

∂ t+ (∂(ρ v )

∂ρ )∂ρ

∂ x= 0 (F-3)

Sustituyendo (F-2) en (F-3) se obtiene:

∂ρ

∂ t+ vmax(1− 2ρ

ρmax )∂ρ

∂ x= 0 (F-4)

Ecuación que es muy diferente al caso de un fluido incompresible dondeρ=cte . Otro aspecto a tener en cuenta en la resolución de (F-4) es que por ser

una ecuación diferencial que depende del tiempo y del espacio, la solución requierede condiciones iniciales y de condiciones de contorno (espaciales).

Otro ejemplo sobre la necesidad de una Ecuación Constitutiva es cuando seconsidera el balance diferencial de la conservación de la cantidad de movimiento,ecuación (59) (5.20)

ρD vD t

− ρ g − ∇⋅T = 0 (F-5)

En esta ecuación habrá que tener en cuenta para su resolución el material yesto se pone de manifiesto en la definición del tensor de esfuerzo T , que será muydiferente por ejemplo: si el fluido es newtoniano o no newtoniano. Nuevamente lainformación sobre el material deberá ser proporcionada por una EcuaciónConstitutiva.

En mecánica de sólidos y también en mecánica de fluidos, una ecuaciónconstitutiva relaciona en general un campo de tensiones aplicadas con ladeformación que producen o con la velocidad de deformación que provocan. Unejemplo típico es el caso de un sólido elástico ideal que responde a la ley de Hookey para el caso de un fluido viscoso ideal sería el comportamiento de un fluidoNewtoniano.


El comportamiento de un determinado material por lo tanto puede serexpresado en forma simbólica como:

{ Tensoresfuerzo}= f { Tensor

deformación} (F-6)

En la ecuación (F-6) debe quedar claro que la relación funcional entre dostensores puede ser no lineal. Al igual que en el caso anterior, para solucionar laecuación (F-5) es necesario una o mas ecuaciones, porque el sistema contiene másincógnitas que ecuaciones. Las incógnitas incluyen, la densidad, tres componentesde la velocidad y seis componentes del tensor esfuerzo o sea en total 11 incógnitasy existen cuatro ecuaciones que son: el balance de masa (1 ecuación), tresecuaciones de la cantidad de movimiento (una por cada componente), por lo tantoes necesario ecuaciones constitutivas para tener una descripción completa.

Como se mencionó las relaciones constitutivas pueden ser desarrolladas apartir de diferentes fuentes: observaciones y correlaciones experimentales, teoríasfenomenológicas, teorías moleculares, hipótesis (conjeturas), etc. Toda ecuaciónconstitutiva no puede violar o estar en contra de algún principio, por ejemplotermodinámico (2da ley de la termodinámica) por lo tanto la formulación de unaecuación existen ciertas restricciones que deben ser tenidas en cuenta. Lo anteriorsignifica que cualquier modelo constitutivo describe en forma aproximada y bajociertas hipótesis el comportamiento de un determinado material.

F.2.- Ecuación constitutiva para un Fluido Newtoniano

Si se considera un fluido confinado entre dos placas paralelas y una de ellasse mueve con velocidad constante, puede suponerse que en el fluido se estableceun perfil de velocidad que en una primera aproximación puede ser consideradolineal, o sea la velocidad varía en forma lineal con el espesor entre las dos placas, locual se muestra en la figura F-1.

Figura F-1: perfil de velocidad entre dos placas paralelas

A partir de la figura F-1 se puede enunciar como hipótesis que cuando semueve la placa superior con una velocidad V=cte , se inducen tensiones de corteτ yx . Para muchos fluidos este esfuerzo inducido es proporcional a la derivada de

la velocidad, lo cual expresado matemáticamente es:


y

x

Perfil de velocidad

V

τ yx = μ∂ vx

∂ y(F-7)

y la constante de proporcionalidad μ es lo que se llama viscosidad, sus unidadesson [μ ]= M /LT . Teniendo en cuenta, de forma general, que la velocidad tiene trescomponentes y que cada componente debe a su vez ser derivada con respecto acada una de las variables espaciales, da como resultado 9 elementos. La operaciónmatemática que expresa lo enunciado es el gradiente de la velocidad ∇ v (estaoperación no es la divergencia, que daría un solo valor). Lo anterior escrito en formade componentes se expresa como:

(∇ v )ij =∂ v j

∂ x i

i , j=1,2,3 (F-8)

La ecuación (F-8) define el tensor velocidad de deformación y quegeneralmente se lo simboliza como L y sus componentes son:

L=(∂ v1

∂ x1

∂ v1

∂ x2

∂ v1

∂ x3

∂ v2

∂ x1

∂ v2

∂ x2

∂ v2

∂ x3

∂v3

∂ x1

∂ v3

∂ x2

∂ v3

∂ x3

) (F-9)

Que en notación indicial se expresa como:

Lij =∂ vi

∂ x j

i , j=1,2,3 (F-10)

Comparando el tensor definido en (F-8) y en (F-10) se puede observar que secumple que:

L = (∇ v)T (F-11)

donde el supraíndice T indica transpuesta o sea el intercambio de filas por columnaspara el caso de (F-9). Teniendo en cuenta que cualquier tensor puede se dividido enuna parte simétrica y una parte antisimétrica es posible expresar L como:

L =12(L+LT

)⏟

partesimétrica

+12(L−LT

)⏟

parteantisimétrica

(F-12)

donde la parte simétrica se llama D , “tensor velocidad de deformación” y la parteantisimétrica se llama W , “tensor vorticidad”


D =12(L+L

T)

W =12(L−LT

)

⇒ L = D + W (F-13)

Los tensores D y W en notación de índices se escriben como:

Dij =12 ( ∂ vi

∂ x j

+∂v j

∂ x i)

W ij =12 ( ∂v i

∂ x j

−∂ v j

∂ x i)

(F-14)

Algunos textos definen el tensor velocidad de deformación como γ=2D y eltensor vorticidad como ω=2W . La parte simétrica será diferente de cerosolamente cuando el material se deforma y esta deformación puede generar algúnesfuerzo. Con respecto a la parte antisimétrica esta será diferente de cero cuando elmaterial se somete a una rotación como sólido rígido y esto puede no induciresfuerzo. Por lo tanto en un fluido Newtoniano, es de esperar que el esfuerzo seauna función de D pero independiente de W .

Para el caso de un material isotrópico (iguales características en todas lasdirecciones) e imponiendo linealidad con respecto a la velocidad de deformación sepuede establecer que para el caso de un fluido newtoniano se cumple que:

τ = 2μ D + λ(tr D)1 (F-15)

En esta ecuación τ se denomina Tensor Viscoso. La ecuación (F-15)introduce una nueva constante λ , conocida como viscosidad de dilatación. Estaconstante se expresa en función de dos coeficientes como:

λ=(κ−23μ )

donde: κ se conoce como “coeficiente de viscosidad volumétrica” y μ es el“coeficiente de viscosidad de corte”. Además en (F-15) 1 representa la matrizidentidad que se la considera como un tensor unitario y cuyas componentes son :

1 = (1 0 00 1 00 0 1) → (1)ij=δij

donde: δij representa la delta de Kronecker

En (F-15), (tr D) , indica “traza de D” y que matemáticamente es la suma delos elementos de la diagonal principal del tensor o sea se suman los elementos quetienen i= j . Si se considera la ecuación (F-14) para D se tiene que:


tr D=12 (2 ∂v1

∂ x1

+2∂ v2

∂ x2

+2∂ v3

∂ x3)=∇⋅v (F-16)

lo cual es cero cuando el fluido es incompresible o sea si su densidad es constante.La propiedad λ es difícil de medir experimentalmete. En función de (F-16) para elcaso de un fluido newtoniano la ecuación constitutiva es:

τ = 2μ D (F-17)

Otra interpretación para obtener (F-17) puede ser que los coeficientesκ=2/3μ que se conoce como hipótesis de Stokes y el fluido se conoce como

Stokesiano.

Para concluir, el tensor de esfuerzo se define para el caso de un fluidonewtoniano como:

T =−p1 + τ (F-18)

donde τ = 0 para el caso de un fluido en reposo. La experiencia indica que en unfluido en reposo o en un flujo uniforme (flujo tapón, donde el fluido se considera noviscoso) no se producen tensiones de corte y por lo tanto la máxima tensión de cortees cero. En este caso, el estado de tensión se lo denomina “hidrostático” y para esteestado de tensión es posible expresar el tensor de tensiones como:

T ij =−pδ ij → T =−p1 (F-3)

donde: δij representa la delta de Kronecker, 1 indica la matriz identidad.


11.- Bibliografía

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