ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA

Código del Curso- Ecuaciones Diferenciales

Act 11: Reconocimiento Unidad 3

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ESTUDIO DE SERIES Y FUNCIONES ESPECIALES1

En este tema se trata únicamente de efectuar un breve repaso de las series de potencias. Se expondrán los conceptos y propiedades, sin realizar las demostraciones.

Se suponen conocidas las series numéricas y también los conceptos fundamentales relativos a las series de potencias.

Una serie es la suma de los términos de una sucesión. Se representa una serie

con términos an como donde N es el índice final de la serie. Las series infinitas son aquellas donde i toma el valor de absolutamente todos los números

naturales, es decir, .

Las series convergen o divergen. En cálculo, una serie diverge si no

existe o si tiende a infinito; converge si para algún .

Algunos tipos de series

Una geométrica es una serie en la cual cada término se obtiene multiplicando el anterior por una constante. Ejemplo (con constante 2):

En general, para las series geométricas

sólo si |z| < 1.

La armónica es la serie

La serie armónica es divergente.

1 Tomado de la página web: http://personal.us.es/niejimjim/tema05.pdf.

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Una alternada (O Serie telescópica) es una serie donde los términos alternan el signo. Ejemplo:

Sumas conocidas

Criterios de convergencia

Clasificar una serie es determinar si converge a un número real o si diverge ( u oscilante). Para esto existen distintos criterios que, aplicados a la serie en cuestión, mostrarán de qué tipo es (convergente o divergente).

Condición del resto

Si una serie es convergente, entonces .

El recíproco no es cierto. El contra recíproco es:

Si entonces es divergente.

Esta afirmación es muy útil, ya que nos ahorra trabajo en los criterios cuando el límite es distinto de cero.

Demostración:

Por Hipótesis:

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Sk = a1 + a2 + ... + ak

para todo s ? ?

Sabemos que Sk = a1 + a2 +... + ak -1 y que para todo s?

Por lo tanto teniendo en cuenta que Sk - Sk ? 1 = ak entonces

Queda demostrada la proposición.

Criterio de D'Alembert o Criterio del Cociente

Sea una serie , tal que ak > 0 ( serie de términos positivos).

Si existe

con , el Criterio de D'Alembert establece que:

si l < 1, la serie converge. si l > 1, entonces la serie diverge. si l = 1, no es posible decir nada sobre el comportamiento de la serie.

En este caso, es necesario probar otro criterio, como el criterio de Raabe.

Criterio de Cauchy (raíz enésima)

Sea una serie , tal que ak > 0 (serie de términos positivos). Y supongamos que existe

, siendo

Entonces, si:

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l < 1, la serie es convergente. l > 1 entonces la serie es divergente. l=1, no podemos concluir nada a priori y tenemos que recurrir al criterio de

Raabe, o de comparación, para ver si podemos llegar a alguna conclusión.

Criterio de Raabe

En algunas series, puede ocurrir que ni el criterio de D'Alembert ni el de la raíz nos permitan determinar la convergencia o divergencia de la serie, entonces recurrimos al criterio de Raabe.

Sea una serie , tal que ak > 0 (serie de términos positivos). Y supongamos que existe

, siendo

Por tanto, si l > 1, entonces la serie es convergente y si l < 1, la serie es divergente

Tened cuidado aquí, pues las conclusiones son al contrario que en los criterios de D'Alembert y de la raíz.

Criterio de la integral de Cauchy

Si f(x) es una función positiva y monótona creciente definida en el intervalo

tal que f(n) = an para todo n, entonces converge si y sólo si

es finita.

Criterio de Leibniz

Una serie de la forma (con ) se llama alternada. Tal serie converge si se cumplen las siguientes condiciones:

a) para n par y n impar

b) La serie tiene que ser absolutamente decreciente es decir que:

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Si esto se cumple la serie es condicionalmente convergente de lo contrario la serie diverge.

Nota:Se debe descartar primero la convergencia absoluta de antes de aplicar este criterio, usando los criterios para series positivas.

Serie geométrica

Dada la serie puede afirmarse que:

Si |r|<1 la Serie Converge Si |r|>=1 la Serie Diverge

Criterios de convergencia comparativos

Son aplicables en caso de disponer de otra serie tal que se conozca su condición, tal como la divergencia para la serie geométrica. Entonces:

Criterio de comparación directa (de la mayorante o de Gauss)

Si

Si converge converge

Si diverge diverge

Criterio de comparación por paso al límite del cociente

Entonces:

Si l = 0 y converge converge

Si y diverge diverge

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En otro caso, ambas series comparten la misma condición (ambas convergen, o bien ambas son divergentes).

Tipos de convergencia

Convergencia absoluta

Una serie alternada an converge absolutamente si

es una serie convergente. Se demuestra que una serie que converge absolutamente, es una serie convergente.

Las series se utilizan en el análisis complejo y el análisis funcional, donde es relevante si una serie converge.

APLICACIONES ESTUDIO DE SERIES Y FUNCIONES ESPECIALES2

Muchas funciones especiales se originan como soluciones a Ecuaciones diferenciales o a integrales de funciones elementales. Por lo tanto, las tablas de integrales por lo general incluyen una descripción de funciones especiales, y tablas de funciones especiales más integrales importantes; por lo menos, la representación integral de las funciones especiales.

Una serie de Taylor de una función f(x) infinitamente derivable (real o compleja) definida en un intervalo abierto (a-r, a+r) se define como la siguiente suma:

Aquí, n! es el factorial de n y f (n)(a) indica la n-ésima derivada de f en el punto a.

Si esta serie converge para todo x perteneciente al intervalo (a-r, a+r) y la suma es igual a f(x), entonces la función f(x) se llama analítica. Para comprobar si la serie converge a f(x), se suele utilizar una estimación del resto del teorema de Taylor. Una función es analítica si y solo si se puede representar con una serie de

2 Tomado de la página web: es.wikipedia.org/wiki/Serie_de_Taylor

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potencias; los coeficientes de esa serie son necesariamente los determinados en la fórmula de la serie de Taylor.

Si a = 0, a la serie se le llama serie de Maclaurin.

Esta representación tiene tres ventajas importantes:

La derivación e integración de una de estas series se puede realizar término a término, que resultan operaciones triviales.

Se puede utilizar para calcular valores aproximados de la función. Es posible demostrar que, si es viable la transformación de una

función a una serie de Taylor, es la óptima aproximación posible.

Algunas funciones no se pueden escribir como serie de Taylor porque tienen alguna singularidad En estos casos normalmente se puede conseguir un desarrollo en serie utilizando potencias negativas de x.

La aplicación de mayor utilidad para abarcar en el curso es la solución de Ecuaciones diferenciales mediante series de potencias.

Bibliografia

Edwards J, P. D. (1986). Ecuaciones Diferenciales elementales con aplicaciones.

Mexico: Calypso S.A.

SHEPLEY, R. (1979). Ecuaciones Diferenciales. Barcelona: Reverté S.A.

Simmons, G. F. (1993). ECUACIONES DIFERENCIALES, Con aplicaciones y

notas historicas. Mexico: McGrawHill.

ZILL, D. G. (1997). Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones de Modelado.

Mexico: Thomson Editores.