Unidad 1: ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

ECUACIONES DE VARIABLES SEPARABLES

Ecuación separable

Se dice que una ecuación diferencial de primer orden de la forma:

es separable o que tiene variables separables.

)()( yhxgdxdy

Solución de una ED de variables separables

Al dividir la ED de variables separables

entre la función h(y), se obtiene la ecuación:

)()( yhxgdxdy

).()()()(

xgdxdyyptambiénoxg

dxdy

yh

1

Solución de una ED de variables separables…

Si y=(x) representa una solución de

entonces:

Y por consiguientePero como dy=´(x)dx

Donde H(y) y G(x) son antiderivadas de p(y) y g(x) respectivamente.

)()( xgdxdyyp

)()())(( xgxxp

dxxgdxxxp )()())((

cxGyHodxxgdyyp )()()()(

Ejemplos

2

2

2

2

2

1/

2

2

exp

exp 0

exp 0

1 exp 0

02 2

21

erf

erf

xdfdx fdff xdxdff dx x dxdxd f

dx x dxdx

x

x

f c

f x c

1. Resuelva:

Ejemplos

2. Resuelva

0

0

0

0

ln lnexp exp exp

0 ex

e

p

0

xp

dN dNkdt k dt cN NN kt c N c kt

N t c

dN tkN t

kt c

N t N k

N Ndt

kt

N c N

t

Ejemplos

2. gráfica 0

0

exp

100 1/ 4

N t N kt

N k

Ejemlos:

3. Resuelva

ln

;

exp ex

0

exp exp

p

m

m

m

m

m m

dT

dT dTdt dt cT T T T

T T t c T T c t

tT T

d

T t T c t

t

Ejemplos:ContinuaciónDel problema

lim exp exp

.

0

0 exp exp 0 exp

e

e

x

xp; p0 e

x

x

p

e p

Condiciones "finales":

independientemente de

Condiciones iniciales:

m m

i

m

m

m i

i m

m i

m

m

tT T c t T

c

T T

T T c T c T

c T T

T t T T T t

dT tT T

tT t T t

dc

Ejemplos:

Gráfica del ejercicio

exp

40 60 1/ 4m i m

m i

T t T T T t

T T

22

2

3 2

3 2

sin 2 0

sin 2

1cos3

1arcc

2

o3

sin

s

y dy x x dx

y dy x x dx c

y x x c

y x x x c

dy x xdx y

Ejemplos:4. resuelva.

3

3

3

3

3

1 0

1 0

ln 1

1

0

exp 1

ds x dxsds x dxs

s x dx

ds s x

c

s x c

d

x

x

dx

Ejemplos:

5. resuelva

2

2

2

2

2 2

01

1

sin cos1

cos cos arcsincos1 1 sin

arcsin ln arcsin lns l

1

in n

dy dxxy

dy dx cxy

dy y dy dy

dy d

ydyd

d d yyy x c y c x

y x x

x

c

x

Ejemplos:6. resuelva.

0

2

0

20

20

exp exp

1 exp2

2 exp

0 2 exp 0 2 1

1 12

2

e

e

p0

x

x

p 1

d t dt d t dt c

t c

t c t

c c

c

t t

d t tdt

Ejemplos:7.resuelva

2

2 22 1

12

1 ln

1 1 ln ln1 ln2

11 ln2

1 2

g z

gz

dg dz dg dzg z g z

zg

z zg

g z

dg z g gd

z

z z

Ejemplos:8. resuelva.

Ejercicios

Resuelva:

2

2

2

2

)2(1.5

322.4

)4(.3

)(tan.2

)()().(1

yxdxdy

yxyx

dxdy

yxdxdy

xydxdy

xSenedxdyxCosye yy

y(1)=1

y(0)=4