ecuacion logaritmica

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DE PEREIRA

DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS

ALGUNOS EJEMPLOS DE SOLUCION DE ECUACIONES E INECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS

PROFESOR FABIO VALENCIA M

Universidad tecnológica de PereiraProfesor Fabio Valencia M

Resolver la siguiente ecuación

e3x−1=1

La solución de la ecuación exponencial consiste en despejar el valor de x

Primera forma de resolver la ecuación

La función exponencial y=ex , es una función inyectiva, es decir que si

f (x1 )=f ¿), entonces x1=x2

Como, f (x1)=e3x−1Y f (x2 )=e0 ,de donde

x1=3 x−1 x2=0 , por lo tanto

3 x−1=0 , de donde x=13 , esta es la solución

Segunda forma de resolver la ecuación

La inversa de la función exponencial y=ex , es y=ln (x )

Utilizando el concepto de la función inversa y el hecho de si f es la inversa de g se cumple que, ( f ° g ) ( x )=f (g ( x ) )=x y (g° f ) ( x )=g ( f ( x ) )=x

En nuestro caso , ¿

Resolvamos la ecuacióne3x−1=1

Aplicamos su inversa , ln( ¿e3x−1¿=ln (1)

Nos da la idéntica 3x-1 =0 , de donde ,x=13

Nota verifiquemos la solución e3x−1=1 , con x=13 , tenemos e

3( 13 )−1=1 ,

simplificando e1−1=1 e0=1 se cumple, x=13 es la solución



ln (2x−1)+ ln(x−1)=0

Aplicamos la propiedad de los logarítmos , lna+ lnb=ln (a .b)

ln [ (2x−1 ) ( x−1 )]=0

Hay dos formas de resolver la ecuación

Primera forma e de resolver la ecuación

Utilizando el hecho de la función logaritmo que es inyectiva o uno a uno

ln [ (2x−1 ) ( x−1 )]=0

ln [ (2x−1 ) ( x−1 )]=ln 1

(2 x−1 ) (x−1 )=1

2 x2−3x+1=1

2 x2−3x=0 ,factor común x (2 x−3 )=0 , de donde x=0 y x=32

Verifiquemos cuales son solución de , ln (2 x−1 )+ln ( x−1 )=0

x=0 no es solución porque ln (2(0)−1 )+ln ((0)−1 )=0

ln (−1 )+ ln (−1 )=0

Sabemos que esto no se puede dar porque el dominio de la función logaritmo son los reales positivos.

Revisemos, x=32 y veamos que es la solución

ln (2( 32 )−1)+ln(( 32 )−1)=0 ln (3−1 )+ln(( 32 )−1)=0

ln (2 )+ ln( 12 )=0 aplicando propiedades ln (2 )+ ln1−ln (2)=0 de

donde , ln 1=0

Segunda forma de resolver la ecuación ln (2x−1)+ ln(x−1)=0


ln [ (2x−1 ) ( x−1 )]=0 , por propiedades

Utilizando el hecho de que la inversa de la función logaritmo es la función exponencial

aplicamos la inversa e ln [ (2x−1 )( x−1) ]=e0

(2 x−1 ) (x−1 )=1

2 x2−3x+1=1

2 x2−3x=0

x (2 x−3 )=0

x=0 y x=32

Solo sirve x=32

Nota El alumno debe escoger una solución



ln (2 x−1x−2 )=0Aplicando la inversa

eln( 2 x−1x−2 )

=e0

( 2x−1x−2 )=12 x−1=x−2

2 x−1=x−2 , luego x=-1 es la solución

Revisemos la solución x=-1 en la ecuación, ln (2 x−1x−2 )=0

ln (2(−1)−1(−1)−2 )=0ln (−3−3 )=0

ln (1 )=0 se cumple



( 13 )x−1

=13

Primera forma de resolver la ecuación

Aplicando el hecho de que la función exponencial es inyectiva

( 13 )x−1

=( 13 )1

De donde x−1=1 se tiene x=2 es la solución

Segunda forma de forma de resolver la ecuación ( 13 )x−1

=( 13 )1

Aplico la la inversa que en este caso es y=log 13

x

log 13( 13 )

x−1

=log 13( 13 )

1

Se tiene x-1=1 de donde x=2 es la solución

Tercera forma de resolver la ecuación

( 13 )x−1

=( 13 )1

Aplicamos logaritmo natural a ambos miembros

ln (13 )x−1

=ln( 13 )1

Por propiedades de logaritmo tenemos

( x−1 ) ln( 13 )=ln (13 ) (x−1 )=ln( 13 )ln ( 13 )

=1luego x=2 es la solución

RESOLVER INECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS

e3x−1<1


El campo de solución son todos los reales, ese es el dominio de la función exponencial y=ex

Como la función logaritmo es creciente al aplicarla no cambia el sentido de la desigualdad

ln (e¿¿3x−1)< ln (1)¿

3 x−1<0

x< 13

Solución (−∝ ,13)

Resolver ¿

El campo de solución son lo reales positivos

No se ve como aplicar propiedades , volvamos la inecuación positiva o negativa

¿utilizando algebra (lnx−1)(lnx+1)<0 como es negativo se tiene que cumplir

ln ( x )−1>0∧ ln ( x )+1<0∨ln ( x )−1<0∧ ln ( x )+1>0

debemos resolver cada inecuación ln ( x )−1>0 , ln ( x )>1 aplicando la inversa e lnx>e1 de donde x>e

paraln ( x )−1<0 tenemos x<e

ln ( x )+1<0 , ln ( x )←1 aplicando la inversa e lnx<e−1 de donde x<e−1

para ln (x)+1>0 tenemos x>e−1

ln ( x )−1>0∧ ln ( x )+1<0∨ln ( x )−1<0∧ ln ( x )+1>0

x>e ∧ x<e−1=1e ∨ x<e ∧ x>e−1=

1e

∅ ∪ (1e, e)


La solución es la unión ∅ ∪ ( 1e , e)=( 1e , e)

Veamos porque no es solución 1e ¿ ( ln e−1)2<1 aplicando propiedades del

logaritmo ln e−1=−1 lne y lne=1

(−lne)2<1 tenemos (−1)2<1 y esto es falso

Veamos porque no es solución 0.2 ¿>1 y debe ser menor que 1

Por esto 0.2 no es soución

Resolver la inecuación

ln (2 x−1 )+ln ( x−1 )>0

Antes de resolver el problema debemos saber cual es el campo de solución de la inecuación, recordemos que el dominio de la función logaritmo y=ln ( x ) Son todos los reales positivos o tambien Df=(0 ,+∞)


Para y=ln(2 x−1) el dominio Df={x /2 x−1>0 }

x>12 o también (

12,+∞ ¿

Para y=ln(x−1) el dominio D g={x / x−1>0 }

x>1 o también (1 ,+∞)

hacemos una intersección y tenemos como campo de solución (1 ,+∞)

ya sabemos que el resultado del problema debe estar en este intervalo

ln (2 x−1 )+ln ( x−1 )>0

Aplicando propiedades del logaritmo lna+lnb=ln(a.b)

ln [ (2x−1 ) ( x−1 )]>0

aplicamos la inversa en ambos miembros de la inecuación, el sentido de la inecuación no cambia porque la función exponencial y=ex es creciente

e (2 x−1 )( x−1)>e0

(2 x−1 ) (x−1 )>1

2 x2−3x+1>1

2 x2−3x>0

x (2 x−3 )>0

Se tiene que dar ( x>0∧2 x−3>0 )∨(x<0∧2 x−1<0)

(x>0∧ x> 32 )∨(x<0∧ x< 32)

Se hace una intersección y nos queda

(x> 32 )∨( x<0)


Posible solución (−∝ ,0)∪( 32,+∝) pero nuestro campo de solución es (1 ,+∞)

luego la solución (32,+∝)

Se puede revisar porque no es solución -5 o cualquier otro que este en (−∝ ,0¿

Si se reemplaza x por -5 en ln (2 x−1 )+ln ( x−1 )>0

Encontramos ln [ (2 (−5 )−1 )] nos queda ln (−1 ) y esto no se puede dar porque el dominio de la función logaritmo son los reales positivos

La solución es (32,+∝)


ln (2 x−1x−2 )≤0

Veamos el campo de solución {x /(2 x−1x−2 )>0} que es donde puedo trabajar el

logaritmo

( 2x−1x−2 )>0Se debe cumplir (2 x−1>0∧ x−2>0 )∨(2 x−1<0∧ x−2<0)

Es decir ambos son positivos o ambos son negativos

Resolviendo las inecuaciones tenemos

(x> 12>0∧ x>2)∨(x< 1

2∧ x<2)

[( 12 ,+∝)∩ (2,+∝ )]∪ [(−∝ , 12 )∩ (−∝ ,2 )](2 ,+∝ )∪(−∝ , 12 )


El campo de solución de la ecuación es (−∝ , 12 )∪ (2 ,+∝ )

Una manera rápida de hallar este dominio es utilizar

( 2x−1x−2 )>0 2x-1 ___-__-___-___-____0__-__12

__+____+____+______

x−2___ -__-___-___-____0__-__-___-__2__++++______

2x−1x−2

__+__+_+___+__+__0_+_+_12

__-__-_2_+__+__+__+____

El campo de solución es (−∝ , 12 )∪ (2 ,+∝ )

Ya sabemos cuales son los posibles valores de la solución ahora resolvamos la ecuación

ln (2 x−1x−2 )≤0Aplicamos la inversa en ambos miembros de la inecuación y como la función exponencial es creciente no cambia el sentido de la inecuación

eln( 2 x−1x−2 )

≤e0

( 2x−1x−2 )≤1Debemos saber si es positiva o negativa, despejemos

( 2x−1x−2 )−1≤02x−1−x+2

x−1≤0

x+1x−1

≤0


Se debe cumplir x+1_-_-_-_-_-1_+_+__0_+_+__+___+___+____

x−1__-__-_-_-__-_-_- -0-_--------1_+ +_+__+__+_

x+1x−1 _+__+-1_-_-_-_-0_-_-_- 1_+__+______

Los valores posibles de solución de la inecuación [-1,1]

Revisemos el campo de solución ¿

La solución es

¿Revisemos porque no sirve -3

ln (2(−3)−1−3−2 )≤0 ln (−7−5 )≤0 entoncesln(75

)≤0 y esto es falso

El logaritmo es negativo si 0<x<1 y 75>0

Revisemos porque no sirve 6

ln (2(6)−16−2 )≤0 ln (114 )≤0 y esto no se puede dar


( 13 )x−1

> 13

El campo de solución son todos los números reales por ser una función exponencial

Primera forma de resolver la inecuación

Utilizando el hecho de que la función y=( 13 )x

decreciente


( 13 )x−1

>( 13 )1

Tenemos x−1<1 de donde x<2

La solución es (−∞,2)

Segunda forma de resolver la inecuación

( 13 )x−1

> 13

Aplicando la inversa y recordando que y=log 13

x es una función decreciente,

significa que al aplicarlo a la inecuación se invierte el sentido de la inecuación

log 13( 13 )

x−1

< log 13

13

Nos da la idéntica x−1<1 donde x<2 es la solución

La solución es (−∞,2)

Tercera forma de resolver la inecuación

( 13 )x−1

> 13

Aplicando logaritmo natural en ambos miembros

ln (13 )x−1

>ln 13

es importante observar que no cambia de sentido la inecuación

por ser y=lnxuna función creciente

Aplicando propiedades ( x−1 ) ln( 13 )> ln 13Debemos despejar x, como ln (13 )<0al pasarlo al otro miembro dividiendo,

cambia de sentido la inecuación.


( x−1 )<ln13

ln13

( x−1 )<1donde x<2 solución x<2es decir (−∞,2)


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