Ecuacin bidimensional de onda

ECUACIN BIDIMENSIONAL DE ONDA

Se analizar la ecuacin bidimensional a travs de un movimiento vibratorio planar, como la vibracin de una membrana elstica.

El ensayo para determinar las ecuaciones diferenciales de equilibrio consiste en fijar la membrana elstica, similar a un parche de un tambor pero de forma rectangular, sujetndola por sus cuatro bordes. La membrana, que est tensa, se golpea en la parte central de manera que comience a vibrar, y se evala el desplazamiento que se produce en sentido vertical.

Las consideraciones preliminares son similares a las que se realizaron para el anlisis del movimiento vibratorio de una cuerda, pero teniendo en cuenta que ahora existen dos dimensiones a contemplar, a saber:1) La membrana es flexible y delgada, y no ofrece resistencia a la flexin. Se desplaza en sentido vertical, sin modificar sus dimensiones transversales (no se estira).

2) Es homognea, siendo su masa por unidad de rea constante y su espesor uniforme e infinitesimal.

3) La tensin por unidad de longitud T [kg/cm] que se observa sobre los bordes del diferencial de rea considerado es la misma en todas direcciones y no cambia al moverse la membrana.

4) El desplazamiento u = u (x,y,t) es pequeo frente a las dimensiones de la membrana.

5) En el anlisis se desprecia la aceleracin de la gravedad g.

Otras simplificaciones que se hacen son las siguientes: la fuerza T por unidad de longitud est aplicada en el centro de cada borde del rea incremental A = xy

Los ngulos son muy pequeos, luego las componentes horizontales de las tensiones son afectadas por cos 1 y cos 1 ; y sern iguales y opuestas, luego slo se considerar un desplazamiento vertical:T y sen T y sen

pero como los ngulos son pequeos, se puede asimilar el seno a la tangente, o sea:

T y (sen sen ) T y (tg tg )

donde las tangentes pueden representarse por las derivadas de la ordenada respecto de la abscisa:

T y (tg tg ) = T y ( [u/x]x+x, y1 [u/x]x, y2 )

u y

y x x + x x

Del mismo modo se pueden considerar las componentes verticales de las tensiones que actan sobre los otros dos bordes del rectngulo incremental de rea considerado:T x ( [u/y]x1, y+y [u/y]x2, y )

Por Ley de Newton se debe cumplir:

Fi = m asiendo las Fi las fuerzas actuantes en sentido vertical, en este caso las tensiones componente vertical. Pero adems la masa es:m = A

donde:

A = x y

siendo la masa por unidad de rea en [g/cm2]

y tambin:a = 2u /t2la aceleracin en sentido vertical, propia del movimiento, obviando la aceleracin de la gravedad g.Por lo tanto, quedar: x y [2u/t2] = T y ([u/x]x+x, y1 [u/x]x, y2) + T x ([u/y]x1, y+y [u/y]x2, y)

lo que tambin se puede representar, cambiando la notacin de las derivadas parciales, del siguiente modo: x y [2u/t2] = T y ([ux]x+x, y1 [ux]x, y2) + T x ([uy]x1, y+y [uy]x2, y)

si ahora se pasan los incrementos de x y al segundo miembro y se toma el lmite de ese cociente incremental, para x 0 y para y 0; se obtendr la derivada parcial segunda, a saber:

[2u/t2] = T/ (2u/x2 + 2u/y2)siendo:

T/ = c2

Luego:

2u/t2 = c2 (2u/x2 + 2u/y2)

que es la Ecuacin Bidimensional de Onda.

Para resolverla se debe recurrir a las condiciones de contorno, obviamente el desplazamiento es nulo en los bordes de la membrana que se encuentran fijos, y esto da en parte las condiciones de contorno, pero las restantes tienen que ver (como en el caso de la cuerda) con el desplazamiento inicial y la velocidad inicial, considerados para t = 0 Condiciones de contorno:u (0,y,t) = u (x,0,t) = u (a,y,t) = u (x,b,t) = 0

u (x,y,0) = f (x,y)

desplazamiento inicial

[u/t]t=0 = g (x,y)

velocidad inicialsiendo a y b las dimensiones de la membrana rectangular segn el eje x y el eje y, respectivamente, como se puede apreciar en el siguiente grfico:

A continuacin se debe aplicar el mtodo de separacin de variables para el clculo y resolucin de la ED bidimensional de onda.

u (x,y,t) = F (x) G (y) H (t)y finalmente se llega a la solucin bidimensional de la onda, que se puede expresar como:

umn (x,y,t) = (Bmn cos mn t + Bmn* sen mn t) sen mx/a sen ny/b

en este caso aparecern vibraciones planares, y aquellas lneas donde el desplazamiento sea nulo, se llamarn lneas nodales.

Si se utiliza la propiedad de la linealidad de las soluciones de las ED lineales, como se hizo para la cuerda, se pueden sumar todas las m y n soluciones anteriores, obteniendo una nueva solucin que cumplir con las condiciones de contorno y dar lugar a dos series dobles de Fourier, de manera que permitir calcular los coeficientes por el desarrollo de medio rango.

u (x,y,t) = (Bmn cos mn t + Bmn* sen mn t) sen mx/a sen ny/b

m=1 n=1Clculo de los coeficientes:

Partiendo de la solucin antes vista, se verifica la condicin de contorno referida al desplazamiento inicial de la membrana, vale decir, se har t = 0.

u (x,y,t) = (Bmn cos mn t + Bmn* sen mn t) sen mx/a sen ny/b (1)

m=1 n=1si se hace t = 0

u (x,y,0) = Bmn sen mx/a sen ny/b = f (x,y)

(2)

m=1 n=1donde conviene definir una funcin auxiliar, para sortear el inconveniente de manejar la serie doble:

se define:

Km (y) = Bmn sen ny/b

(3)

n=1donde, en esta ltima serie de Fourier se puede encontrar el coeficiente por desarrollo de medio rango de una funcin definida en un intervalo arbitrario, el cual obviamente- es

0 y b

luego:

bBmn = 2/b Km (y) sen ny/b dy

(4)

0tambin se puede reemplazar (3) en (2), entonces:

f (x,y) = Km (y) sen mx/a

m=1y en esta otra serie de Fourier, se puede encontrar el coeficiente Km (y) tambin por desarrollo de medio rango, a saber:

aKm (y) = 2/a f (x,y) sen mx/a dx

(5)

0y, si esta ltima frmula, (5) se reemplaza en (4), resultar:

a bBmn = 4/ab f (x,y) sen mx/a sen ny/b dx dy

0 0

Para calcular el restante coeficiente, se debe aplicar la otra condicin de contorno, referida a la velocidad inicial, para ello debe derivarse respecto del tiempo en la frmula (1):

[u/t]t=0 = [(Bmn cos mn t + Bmn* sen mn t) sen mx/a sen ny/b]/t = m=1 n=1

= g (x,y)entonces:

[u/t]t=0 = [(- Bmnmnsenmn t + Bmn*mncosmn t) sen mx/a sen ny/b]t=0 m=1 n=1o sea:

g (x,y) = Bmn*mn sen mx/a sen ny/b

(6)

m=1 n=1donde tambin se puede definir una funcin auxiliar para sortear la dificultad que presenta la serie doble de Fourier:

Km*(y) = Bmn* mn sen ny/b

(7) n=1De donde el coeficiente se puede calcular por desarrollo de medio rango, de la siguiente forma:

bBmn* mn = 2/b Km*(y) sen ny/b dy

(8)

0Y reemplazando (7) en (6), resulta:

g (x,y) = Km*(y) sen mx/a

m=1

de esta ltima frmula, que es una serie de Fourier, surge por desarrollo de medio rango el coeficiente:

a

Km*(y) = 2/a g (x,y) sen mx/a dx

0

y, si esta ltima expresin se reemplaza en (8), resultar:

b a

Bmn* mn = 4/ab g (x,y) sen ny/b sen mx/a dx dy

0 0o sea:

b a

Bmn* = 4/ mn ab g (x,y) sen ny/b sen mx/a dx dy

0 0