ecuación de la parabola y circunferencia
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Ejercicio 3 y 4 Ecuación de la Parábola y la circunferencia.
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Problema 1 Se sabe que la temperatura afecta a la eficiencia de
cierta reacción química. Se lleva a cabo un experimento y se encuentran los resultados señalados en la tabla adjunta. Determina la temperatura a la que debe efectuarse la reacción para que la eficiencia sea la más alta posible.
Temperatura 79.5 85.2 88.6Eficiencia 92.9 94.4 91.1
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Solución El primer paso es analizar el problema, la temperatura seria la
variable independiente y la eficiencia la dependiente, pues depende directamente a la temperatura. Si lo plasmamos en un plano cartesiano los valores de la temperatura quedarían en el eje x y los valores de la eficiencia en eje y.
78 80 82 84 86 88 9089
90
91
92
93
94
95
Eficiencia
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Solución El Segundo paso es determinar las tres ecuaciones en la forma de las
ecuación cuadrática de la parábola Ecuaciones: Ec1: Ec2: Ec3:
El tercer paso es encontrar los valores de las tres incógnitas, a, b y c. Este proceso se puede realizar por diversos métodos, reducción, igualación, sustitución, Cramer, Gauss etcétera.
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Solución A continuación se muestra la solución con el método de Cramer
+ 6320.3 + 79.5 + 1.0DP = + 7259.0 + 85.2 + 1.0 = + 538485.3 + 624071.8 + 643150.9 - 668816.6 - 559974.2 - 577093.7 = - 176.4
+ 7850.0 + 88.6 + 1.0
+ 92.9 + 79.5 + 1.0 Valor de aDx1 = + 94.4 + 85.2 + 1.0 = + 7915.1 + 7242.5 + 8363.8 - 7761.7 - 8230.9 - 7504.8 = + 23.9 - .135576
+ 91.1 + 88.6 + 1.0
+ 6320.3 + 92.9 + 1.0 Valor de bDx2 = + 7259.0 + 94.4 + 1.0 = + 596631.6 + 729261.3 + 661298.5 - 741036.2 - 575774.8 - 674364.8 = - 3984.4 + 22.5926
+ 7850.0 + 91.1 + 1.0
+ 6320.3 + 79.5 + 92.9 Valor de cDx3 = + 7259.0 + 85.2 + 94.4 = + 49056010.8 + 58912379.8 + 59748722.7 - 62133061.4 - 52861559.8 - 52573234.2 = + 149257.9 - 846.3349
+ 7850.0 + 88.6 + 91.1
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Solución
El cuarto paso se sustituyen los valores de a, b y c en la ecuación Obteniendo la ecuación de la parábola.
El ultimo paso es encontrar en vértice de la parábola con la ecuación
Siendo la coordenada en x del vértice.
- .135576498 x + 22.592600 x - 846.3349 = y
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Solución Para la coordenada en y sustituimos el valor de x:
Entonces las coordenadas de nuestro vértice son (83.3208,94.87) que representa el punto máximo de eficiencia.
y = .135576498(83.3208)2+22.5926(83.3208)-846.3349
y = + 94.87
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Problema 2 Se va a fabricar una caja a partir de una pieza rectangular de
cartón cuya longitud es 10+NL/10 cm más grande que su ancho. Para fabricar la caja se recortarán, en las 4 esquinas, cuadrados de 6.NL cm y se doblará la pieza resultante como se muestra en la figura. Si el volumen de la caja debe ser de 2 litros, ¿cuáles deben ser las dimensiones de la pieza rectangular de cartón?
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Solución
Las dimensiones de las cajas serán de x-13.2 de ancho, x-2.6 de largo y 6.6 de altura y si su área es igual a 2000 podemos determinar que:
Desarrollando operaciones nos queda.
Igualando a cero
Obtenemos una ecuación de segundo grado que resolveremos con ayuda de la formula general.
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Solución
a x2 + b x + c = 0↓ ↓
+ 7 x2 - 104 x = 0x1 =
## - b ± √ b2
+ 2 ax2 =
-(-104.28) ± √(-104.28) 2
+ 2 (6.6)x2 =
+ 344.47658948+ 13
+ 26.09671132
- 10.29671132
- 135.91658948+ 13
x2 =#######+ 13
x1 =
Sustituyendo en la fórmula general:
x =
x = - 4ac
- 1773
↓
-4(6.6)(-1773.488)
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Solución El último paso seria graficar
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Problema 3 Un puente colgante es sostenido por dos torres de 25+NL/10
metros que se encuentran a una distancia de 40+NL/10 metros entre sí y su punto más pequeño es de 8+NL/10. Es necesario determinar las alturas de los 7 soportes intermedios que se encuentran a distancias iguales entre sí.
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Solución Se utiliza la ecuación de la parábola en la forma Obteniendo las siguientes ecuaciones: Ec 1: c=25.6 Ec2: 424.36 a+20.6b+c= 8.6 Ec3: 1648.36 a+40.6b+c=25.6 Estas ecuaciones se pueden solucionar por diversos métodos, en este documento se solucionaran por el método de Cramer
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+ 424 + 21 x1 = 0.0 + 424 x1 + 21 x2 = + 9
+ 1648 + 41 x2 = 0.2 + 424 (0.0106533071882921) + 21 (0.198017600076522)= + 9= + 9= + 9
+ 9 + 21+ 26 + 41 + 1648 x1 + 41 x2 = + 26
+ 1648 (0.0106533071882921) + 41 (0.198017600076522)= + 26= + 26
+ 424 + 9 = + 26+ 1648 + 26
Determinante para x1
Determinante para x2
Área de fórmulas, no modificar. [email protected]
http://licmata-math.blogspot.mx/
- 16727
Determinante principal
= - 3312
Dx1 = = + 349 - 527 =
DP = = + 17229 - 33956 =
- 178
+ 26Dx2 = = + 10864 - 14176
+ 5 + 4+ 9
+ 18 + 8
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Grafica
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Problema
Es necesario realizar una perforación para colocar la polea que transmitirá el movimiento mediante una banda como se muestra en la figura, utiliza las coordenadas de los puntos A, B y C para determi-nar la ecuación de la circunferencia que nos indi-cará las coordenadas del centro y el radio.
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Solución
Obtenemos tres ecuaciones Ec1: 4.6 A+5B+C=-46.16 Ec2: 4.6A+10B+C=-121.16 Ec3: 7.6 A+12.6B+C=-216.52
Al igual que en los casos anteriores se resolverán por el método de cramer
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Solución
+ 5 + 5 + 1DP = + 5 + 10 + 1 = + 46 + 38 + 58 - 76 - 58 - 23 = - 15
+ 8 + 13 + 1
- 46 + 5 + 1 Valor de aDx1 = - 121 + 10 + 1 = - 462 - 1083 - 1527 + 2165 + 582 + 606 = + 282 - 19
- 217 + 13 + 1
+ 5 - 46 + 1 Valor de bDx2 = + 5 - 121 + 1 = - 557 - 351 - 996 + 921 + 996 + 212 = + 225 - 15
+ 8 - 217 + 1
+ 5 + 5 - 46 Valor de cDx3 = + 5 + 10 - 121 = - 9960 - 4604 - 2675 + 3508 + 7022 + 4980 = - 1729 + 115
+ 8 + 13 - 217