La ecuacion de Boltzmann

Efectos de transporte: fenomenos fısicos determinados por el movimiento de cargaselectricas bajo la accion de campos internos o externos o gradientes de temperatura.

Ecuacion cinetica de Boltzmann: es el metodo empleado para estudiar las variacionesde la funcion de distribucion debido a las perturbaciones producidas por los campos.

La funcion de distribucion de los electrones en el solido en equilibrio es la de Fermi-Dirac:

f0(E(k)) =1

1 + e(E(k)−EF )/kT

La funcion de distribucion es independiente de r porque se supone homogeneidad.Fuera del equilibrio, la funcion de distribucion f(r,k, t) dependera en general de laposicion y el tiempo. Los valores de r y k seran alterados por los campos externos ylas colisiones. La variacion total de f respecto de t sera:

f(r,k, t)

dt=

∂f

∂t+∇rf · dr

dt+

1

h∇kf · Fa

siendo Fa el conjunto de las fuerzas aplicadas. Como el numero total de estados esconstante, df/dt = 0, luego

−∂f

∂t= v · ∇rf +

1

hFa · ∇kf

Hay dos tipos de fuerzas, las debidas a campos externos y las debidas a camposinternos (defectos, impurezas, vibraciones de la red). Podemos separar Fa = F + FD

y

∂f

∂t=

(∂f

∂t

)

campos

+

(∂f

∂t

)

colisiones

siendo

(∂f

∂t

)

colisiones

=1

hFD · ∇kf

y

(∂f

∂t

)

campos

= v · ∇rf +1

hF · ∇kf

Determinemos la forma analıtica del termino de colisiones (integral de colisiones).Sea W (k,k′) la probabilidad por unidad de tiempo de que las partıculas pasen de unestado (r, k) a un estado (r′, k′) por efecto de las colisiones. Es evidente que r ∼ r′.

1

Consideremos dos volumenes elementales alrededor de los puntos k y k′. Teniendoen cuenta el spin, el numero de estados ocupados sera:

f(r,k)1

4π3d3k y f(r, k′)

1

4π3d3k′

Del mismo modo, el numero de estados libres sera, respectivamente,

[1− f(r,k)]1

4π3d3k y [1− f(r,k′)]

1

4π3d3k′

El numero de estados ocupados debera variar en dt

−dt{W (k,k′)

1

4π3d3kf(r,k) [1− f(r,k′)]

1

4π3d3k′

}+

+dt{W (k′,k)

1

4π3d3k′f(r,k′) [1− f(r, k)]

1

4π3d3k

}.

Extendiendo la integral a toda la zona de Brillouin (ZB), obtenemos la variacion totaldel numero de estados ocupados en el volumen en dt

dt1

4π3d3k

∫{W (k′,k)f(r, k′) [1− f(r,k)]−W (k,k′)f(r,k) [1− f(r,k′)]} 1

4π3d3k′

El numero de estados permitidos ocupados por las partıculas en cualquier instante detiempo es f(r,k)d3k/4π3, luego la variacion de estos estados debido a las colisioneses (

∂f

∂t

)

colisiones

dtd3k

4π3

Por tanto

(∂f

∂t

)

colisiones

=∫{W (k′, k)f(r,k′) [1− f(r, k)]−W (k, k′)f(r,k) [1− f(r, k′)]} 1

4π3d3k′

Si las probabilidades de transicion directa e inversa son iguales,

(∂f

∂t

)

colisiones

=∫

W (k, k′) [f(r,k)− f(r,k′)]1

4π3d3k′

En el caso estacionario ∂f/∂t = 0 y la ecuacion de Boltzmann se escribe:

(∂f

∂t

)

campos

= −(

∂f

∂t

)

colisiones

Luego la ecuacion de Boltzmann en el caso no estacionario puede escribirse como

2

v · ∇rf +1

hF · ∇kf =

∫W (k, k′) [f(r,k)− f(r, k′)]

1

4π3d3k′

El tiempo de relajacion

Supongamos que en t = 0 suprimimos los campos. La variacion de la funcion dedistribucion se correspondera con el termino de colisiones:

(∂f

∂t

)= −

(∂f

∂t

)

colisiones

Las colisiones garantizan el retorno al equilibrio. La hipotesis mas simple para de-scribir la evolucion del proceso es que la velocidad de restablecimiento del equilibrioes proporcional a la diferencia entre la funcion de distribucion en t y la funcion dedistribucion en equilibrio. Es decir:

(∂f

∂t

)= −

(∂f

∂t

)

colisiones

= −f(r, k, t)− f0(r,k)

τ(k)

La solucion de esta ecuacion es

f(r,k, t)− f0(r,k) = [f(r,k, 0)− f0(r,k)] e−t/τ(k)

Dado que

(∂f

∂t

)

colisiones

=∫

W (k, k′) [f(r,k)− f(r,k′)]1

4π3d3k′ = −f − f0

τ(k)

tendremos que

1

τ(k)=

1

4π3

∫W (k, k′) [f(r,k′)− f(r,k)] d3k′

y la ecuacion de Boltzmann se puede escribir en la forma

v · ∇rf +1

hF · ∇kf = −f(r,k)− f0(r,k)

τ(k)

3

La ecuacion de Boltzmann

La ecuacion de Boltzmann puede escribirse como:

∂f

∂t+ v ·∇r +

e

hE ·∇kf =

(∂f

∂t

)

s

donde, como vimos el dia pasado,

(∂f

∂t

)

s

=1

4π3

∫W (k,k′) [f(r,k′)− f(r, k)] d3k′

La aproximacion del tiempo de relajacion

La idea es la siguiente. La presencia de campos externos produce una variacion dela funcion de distribucion que pasa de f0 a fest. Si en t = 0 se suprimen los camposexternos, la funcion de distribucion vuelve a la funcion de distribucion de equilibriode manera que

∂f

∂t= −f − f0

τ

Con la condicion inicial f(t = 0, k) = fest, la solucion a esta ecuacion es:

f − f0 = (fest − f0)e−t/τ

La aproximacion del tiempo de relajacion permite una solucion aproximada de laecuacion de Boltzmann para el caso estacionario. En estado estacionario, suponiendoque tenemos un campo electrico aplicado, la ecuacion del Boltmann puede escribirsecomo:

e

hE ·∇kf = −f(k)− f0(k)

τ(k)

Reescribiendo la ecuacion en terminos de f ,

f(k) = f0(k)− e

hτ(k) E ·∇kf

En principio esta ecuacion puede resolverse de forma iterativa. Pero si estamos in-teresados en fenomenos lineales en el campo electrico E , una solucion aproximadaes:

f(k) ≈ f0(k)− e

hτ(k) E ·∇kf0

Luego para el problema lineal o para campos electricos debiles, podemos entenderla ecuacion previa como el desarrollo de la funcion de distribucion para un punto kcercano (la funcion de distribucion no se aleja mucho del equilibrio):

f(k) ≈ f0

(k − e

hτ(k) E

)

La funcion de distribucion estacionaria resultante de la aplicacion de un campoelectrico E , incluyendo los efectos de las colisiones a traves de τ puede represen-tarse como una distribucion de Fermi desplazada una cantidad eτE/h. Volvamos a

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escribir la ecuacion de Boltzmann en la aproximacion del tiempo de relajacion, es-cribiendo la expresion de la fuerza de Lorentz y suponiendo que tenemos tambieninhomogeneidades espaciales:

v ·∇rf +e

h[E + v ×B] ·∇kf = −f(r,k)− f0(r,k)

τ(k)= −f (1)(r,k)

τ(k)

Nos hace falta hallar los gradientes de f , siendo f = f0 + f (1). Recordemos que

f0(r,k) =1

1 + e(E(k)−EF (r))/kT (r),

es decir que la dependencia en k esta en la energıa del electron, mientras que ladependencia espacial puede estar en la temperatura (variaciones de T a lo largo delsemiconductor) o en el nivel de Fermi (variaciones de la concentracion de portadores).Hallemos los gradientes de f0.

∇rf0 = − e(E−EF )/kT

[1 + e(E−EF )/kT ]2∇

(E − EF

kT

)

Dado que∂f0

∂E= − e(E−EF )/kT

[1 + e(E−EF )/kT ]21

kT,

podemos escribir la ecuacion anterior como

∇rf0 = −∂f0

∂E[∇EF + (E − EF )∇ ln T ]

La derivada en k es simplemente

∇kf0 =∂f0

∂Ehv

y llegamos a la ecuacion

−f (1)(r,k)

τ(k)= v ·∇rf

(1) +1

hFL ·∇kf (1) +

∂f0

∂E{v · [eE −∇EF − (E − EF )∇ ln T ]}

dado que v · v ×B es cero.

Si f no varıa mucho respecto de f0, podemos considerar que las derivadas de f (1) sonun infinitesimo de orden superior respecto a f (1) y resolver la ecuacion anterior deforma iterativa. Es decir, tomar en primer orden

f (1)(r,k) ≈ −∂f0

∂Eτ(k) v · [eE −∇EF − (E − EF )∇ ln T ] .

Si nos quedamos en esta aproximacion, el campo magnetico no aparece. Hemos deintroducir el campo magnetico a traves del termino

e

hv ×B ·∇kf (1)

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Para simplificar, llamemos

χ(r,k) = τ(k) [eE −∇EF − (E(k)− EF )∇ ln T ] ,

de manera que la ecuacion para f (1) es, en primer orden:

f (1) = −∂f0

∂Ev · χ = −∂f0

∂E

1

h

dE

dkj

χj

El gradiente

∇kf (1) = −∂f0

∂Eh

χ

m?− v ·∇k

(∂f0

∂Eχ

)

El producto mixtoe

hv ×B ·∇kf (1) =

∂f0

∂Eev · χ

m?×B

Luego la cantidad

χ = −τ[∇(eφ + EF ) + (E − EF )∇ ln T − e

χ

m?×B

],

Si, para simplificar, llamamos

A = −τ [∇(eφ + EF ) + (E − EF )∇ ln T ] ,

se puede resolver la ecuacion anterior para χ:

χ =

A + eτA

m?×B +

e2τ 2

|m?|A ·B B

m?

1 +e2τ 2

|m?|Bm?B

Recordemos que

f (1) = −∂f0

∂Ev · χ

Densidad de corriente electrica y densidad de flujo de energıa

El proximo dıa veremos que la densidad de corriente puede escribirse como

j =e

4π3

∫vf(r,k)d3k =

e

4π3

∫vf (1)(r,k)d3k

y la densidad de energıa

w =1

4π3

∫E(k)vf(r,k)d3k =

1

4π3

∫E(k)vf (1)(r, k)d3k

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