ecuaciones difeRENCIALES

APLICACIONES EN LA INGENIERA PRIMER PROBLEMAUn cilindro macizo est limitado por las superficies r = a, z = O Y z = b .Se desea determinar la distribucin de temperaturas estacionarias en el cilindro, si u = las dos primeras superficies y u = f(1') en z = b.En este caso, el problema de contorno a resolver es el siguiente:

Suponiendo: se tiene que:

Luego:

Al igual que el ejemplo anterior:

Donde son races positivas de la ecuacin .Se obtiene las soluciones particulares

De esta manera la funcin:

es la solucin del problema de contorno, supuesto que las C, sean tales que se satisfaga la condicin u( r, b) = f (r), esto es.

De donde se deduce

As finalmente

Donde la suma es tomada sobre todas las races positivas de JO(Aa) = O.

SEGUNDO PROBLEMAConsiderar un pndulo simple, con la siguiente caracterstica: su longitud 1 ahora crece con velocidad constante. Encontrar la ecuacin de movimiento y la solucin para osciladores pequeas.

Entonces: La ecuacin Lagrangiana de movimiento para la variable es:

Por consiguiente:

Sea l la longitud de la cuerda, en el tiempo t : l = l0 + vt, donde v es la constante de crecimiento, entonces: l = v Para el caso de oscilaciones pequeas sen puede sustituirse por , por tanto:

Sea:

Entonces:

Entonces

Esta ltima ecuacin tiene la forma de la ecuacin diferencial general con soluciones Funciones de Bessel.Por tanto:

Por ende:

Para simplificar la notacin ponga:Entonces por lo visto anteriormente se tiene

Usando la propiedad diferencial que se demostr se encuentra

Las constantes A y B se encuentran a partir de las condiciones iniciales; por ejemplo, cuando se estudi el pndulo simple clsico con oscilaciones pequeas se puso:

Y se vio que la solucin general es

En el problema bajo discusin se puede tomar estas mismas condiciones iniciales

Entonces para t=0

Por la propiedad recursiva

Se puede probar que

Ahora use las relaciones de la recursin

Para obtener

Por consiguiente

Entonces la solucin general es

Esta ecuacin puede simplificarse si se ajustan

En muchos problemas de la Fsica que dan lugar a ecuaciones diferenciales en derivadas parciales, de Laplace o de ondas en coordenadas cilndricas, aparece una ecuacin diferencial ordinaria en la coordenada radial, de la forma

Donde la variable x es proporcional a la coordenada radial y n es un entero. La ecuacin (1) se conoce como ecuacin de Bessel de orden n. Como es una ecuacin diferencial de segundo orden en las derivadas, su solucin general est formada por dos funciones linealmente independientes, que podemos escribir como

Donde J n se llama funcin de Bessel de primera especie y de orden n, y la funcin se llama funcin de Bessel de segunda especie y de orden n (o funcin de Neumann o funcin de Weber).

Ecuacin de Bessel y sus aplicaciones Pgina 1