Facultad de Ciencias

e

Ingeniería

E.A.P. de Ingeniería: Sistemas y Electrónica

CICLO

PRE

I

MATEMÁTICA BASICA 2016 I

Lic.: Miguel Angel Tarazona Giraldo Email - mtarazona@uch.edu.pe

1 | P á g i n a

TEMA: ECUACIÓN DE PRIMER GRADO SEMANA:

TURNO: NOCHE AULA: 504 B FECHA:

ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA

TIPOS DE IGUALDADES

El signo igual se puede utilizar en matemáticas en

expresiones que tienen distintos significados. Se llama:

- Igualdad numérica: aquella igualdad en la que sólo intervienen números. Ej: 3+4=5+2

- Identidad algebraica o literal: aquella igualdad en la que intervienen letras y números y que se verifican para cualquier valor que se dé a las letras. Ej: 3(𝑥 + 𝑦) = 3𝑥 + 3𝑦

- Ecuación: aquella igualdad en la que intervienen letras y números y que sólo se verifica para algún valor de las letras. Ej: 𝑥 + 3 = 5 (Este último tipo de igualdad, será el que estudiemos en este tema)

PARTES DE UNA ECUACIÓN

Miembros de una ecuación: lo escrito a cada lado del

signo igual (el primer miembro está a la izquierda del

signo igual, y el segundo a la derecha)

Incógnita: la letra desconocida.

Términos: cada uno de los sumandos que intervienen

en cada miembro (positivos o negativos).

Términos independientes: los que no tienen incógnita.

Grado de una ecuación: el máximo exponente de la

incógnita.

Solución: los valores numéricos de la incógnita que

hacen que la igualdad sea cierta.

Resolver una ecuación es encontrar sus soluciones.

Comprobar: consiste en sustituir las letras por los

valores obtenidos para ver si la igualdad es cierta.

ECUACIONES EQUIVALENTES: PRINCIPIOS

DE EQUIVALENCIA

Ecuaciones equivalentes son aquellas que tienen las

mismas soluciones.

Para resolver una ecuación va transformando ésta en

otra equivalente más sencilla, aplicando los siguientes

principios de equivalencia:

1º) Si a los dos miembros de una ecuación se les suma

o se les resta un mismo número (o una misma

expresión algebraica) resulta otra ecuación

equivalente a la dada.

(3𝑥 + 2 = 6 𝑒𝑠 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 3𝑥 + 2 − 2 = 6 − 2)

Consecuencias de este principio:

Si los dos miembros de una ecuación tienen dos términos iguales se pueden suprimir sin que varíen las soluciones. Ej: 𝑥 + 5 + 3𝑥 = 2 − 7𝑥 + 5

𝑒𝑠 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎: 𝑥 + 3𝑥 = 2 − 7𝑥 Este principio nos permite transponer términos, es

decir: pasar términos de un miembro a otro cambiándolo de signo. Ej: 3𝑥 + 5 = 2 𝑒𝑠 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎: 3𝑥 = 2 − 5

2º) Si los dos miembros de una ecuación se

multiplican o dividen por un mismo número

(distinto de cero), se obtiene otra ecuación

equivalente a la dada.

Consecuencias de este principio:

Se pueden cambiar de signo todos los términos de una ecuación (equivale a multiplicar ambos miembros por –1).

Ej: −3𝑥 − 5 = −2 + 4𝑥 es equivalente a 3𝑥 + 5 = 2 − 4𝑥

Este principio nos permite pasar dividendo al segundo miembro los números que están

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multiplicando en el primero, y al revés (si están dividiendo pasarán multiplicando).

𝐸𝑗: 3𝑥 = 6 𝑒𝑠 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 𝑥 = 6/3 Este principio también nos permite resolver

ecuaciones con números fraccionarios (multiplicando ambos miembros por el mínimo común múltiplo de todos los denominadores).

RESOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DE

PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA

Conviene seguir los siguientes pasos:

1.- Suprimir paréntesis: efectuando las operaciones

indicadas.

2.- Suprimir denominadores: reduciendo a común

denominador ambos miembros.

3.- Transponer de términos: pasando a un mismo

miembro todos los términos que contenga la incógnita

y al otro los restantes.

4.- Simplificar o reducir términos semejantes y operar

5.- Despejar la incógnita: dejarla sola en un miembro.

6.- Comprobar: si la solución obtenido cumple la

ecuación inicial.

CONVIENE SEGUIR LOS SIGUIENTES PASOS:

1.- Suprimir paréntesis: efectuando las operaciones

indicadas.

2.- Suprimir denominadores: reduciendo a común

denominador ambos miembros.

3.- Transponer de términos: pasando a un mismo

miembro todos los términos que contenga la incógnita

y al otro los restantes.

4.- Simplificar o reducir términos semejantes y operar

5.- Despejar la incógnita: dejarla sola en un miembro.

6.- Comprobar: si la solución obtenido cumple la

ecuación inicial.

Como afecta un signo “-“ delante de una fracción

cuando se quitan los denominadores

EJERCICIOS

1. Resolver los siguientes ejercicios

4

)1(21

2

)41(5

3

)43(2)

03

41

2

32

5

13)

xx

xxb

xxxxa

9

)43(2

6

)1(3)2(5

3

1)

xxx

xc

2)32(33

)41(2

7

15)

3

11

8

)1(2

6

27)

xxx

e

xxxx

d

2.- Resolver las siguientes ecuaciones de primer

grado con una incógnita:

a) 3𝑥 + 7 = 0 b) 2(𝑥 − 3) − 5(𝑥 − 2) = 3𝑥 − 4(3𝑥 − 1)

c) 10

222

5

31

4

2

xxx

xxxx

e

xx

xxd

3

32

2

)4(

6

)3(5)

6

21

3

)13(2

4

25)

3.- Si al dinero que tengo ahora le añado su tercera

parte y 10 euros más, tendría el doble de lo que

tengo ahora. Calcular el dinero que tengo ahora.

4.- Una persona tiene el triple de años que otra.

Dentro de 6 años sólo tendrá el doble. Calcular las

edades de cada una.

5.- Una persona realiza 3/5 partes de un viaje en

tren; los 7/8 del resto en coche y los 26 km

restantes en moto. Calcular cuántos kilómetros

recorre.

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6.- Tres niños juntan su dinero y en total tienen 20

euros. Calcular cuánto tenía cada uno sabiendo

que el primer aporta 5 euros más que el segundo

y que el segundo aporta el doble que el primero.

7.-Resuelve estas ecuaciones pequeñas con denominadores:

a) 2

4 14 2

x x b) 5 3

4

x

8.- El doble de la edad de Lucía más 25 años es igual a la edad de su abuelo que es 51 años. ¿Qué edad tiene Lucía? 9.- Los tres lados de un triángulo equilátero vienen expresados en metros. Si su perímetro es 27 metros, halla la longitud de cada lado. 10.- Javier tiene 30 años menos que su padre y éste tiene 4 veces los años de Javier. Averigua la edad de cada uno. 11.- En una caja hay doble número de caramelos de menta que de limón y triple número de caramelos de naranja que de menta y limón juntos. En total hay 312 caramelos. Hallar cuántos caramelos hay de cada sabor. 12.- La suma de cuatro números es igual a 90. El segundo número es el doble que el primero; el tercero es el doble del segundo, y el cuarto es el doble del tercero. Halla el valor de los cuatro números. 13.-En una fiesta de fin de curso hay doble número de mujeres que de hombres y triple número de niños que de hombres y mujeres juntos. Halla el número de hombres, mujeres y niños que hay en la fiesta sabiendo que en total son 156 las personas que hay en ella. 14.- El doble de un número menos cinco es nueve. ¿De qué número se trata?

25.- La suma de dos números consecutivos es 55. ¿De qué números se trata? 26.- Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) 623 xx

b) b) xxx 815782

c) 7521 xxx

d) d) 0132473 xxx

e) 4326104 xx

f) 446249 xxx

g) xxx 31325

h) h) xxxxx 92562273

i) xxxx 57294

j) j) 3276258 xxxx

k) xxx

13

42

2

5

l) 2

1

4

43

2

3

x

xx

m) xx

xx

5

733

2

5

n) 2

5

48

42

2

3 xxxx

ñ) 5

321

3

42

4

5

xxx

o) 9

33

3

42

2

xx

xx

p)

6

453

3

42

2

5

xx

x

q) 4

3

2

5

xx