Resumen En este documento se presenta una breve

descripcin sobre las ecuaciones diferenciales parciales, con su

respectivo nombre y formulacin, posteriormente se

profundizar sobre el estudio de una ecuacin en particular, que

es la ecuacin del calor bidimensional de estado estable. Se

planteara un ejercicio, se lo resolver analticamente y luego se

proceder a modelarlo en el software matemtico Matlab, para

corroborar nuestros resultados.

ndices laplaciano, Elptica, Hiperblica, Diricheft,

Bidimensional Ecuaciones Parciales, Ecuacin de Calor.

I. INTRODUCCIN

Las Ecuaciones diferenciales Parciales de segundo orden de

dos variables independientes se clasifican como elpticas,

parablicas e hiperblicas. En general, las EDP solo implican

derivadas parciales respecto a las variables espaciales y por

tanto, las soluciones de esas ecuaciones solo se determinan por

las condiciones de frontera. [1]

Las ecuaciones parablicas e hiperblicas involucran

derivadas parciales respecto a las variables espaciales as

como el tiempo, por lo que las soluciones de esas ecuaciones

generalmente se determinan a partir de las condiciones de

frontera e iniciales. [1]

Una solucin de una EDP elptica (tal como la ecuacin de

Laplace) puede describir un sistema fsico cuyo estado est en

equilibrio (estado estable), por ejemplo la ecuacin del calor

puede, describir un estado difucional, mientras que una EDP

hiperblica, por ejemplo la ecuacin de la onda, puede

describir un estado vibracional. [1]

Ecuacin Nombre Tipo

Laplace Elptica

Onda Hiperblica

Difusin Parablica

Helmholtz Elptica

Tabla 1.- cuadro comparativo de los diferentes tipos de ecuaciones con su

respectivo nombre y tipo.

II. MARCO TERICO

ECUACIN BIDIMENSIONAL DEL CALOR

La Ecuacin del Calor es apropiada para el abordaje de una

Matemtica Aplicada al contexto de carreras de Ingeniera

pues involucra conceptos inherentes a disciplinas como Fsica

y Termodinmica. [4]

La ecuacin del calor es un modelo matemtico (quizs el ms

sencillo) que trata de describir la evolucin de la temperatura

en un cuerpo slido. [4]

Si queremos estudiar la distribucin del calor de una placa

plana, entonces hay que resolver la ecuacin del calor

bidimensional. [2]

( ) ( )

El Laplaciano de la funcin T, es la suma de las segundas

derivadas parciales de dos dimensiones de la funcin T con

respecto a x e y es: [3]

( )

Ahora procederemos a reemplazar el Laplaciano en la

ecuacin original, quedndonos as la ecuacin del calor

Bidimensional. [3]

(

) ( )

Donde T(x, y, t) es una funcin que depende del tiempo t 0 y de dos variables espaciales x e y que se mueven en una regin

del plano R, definida por la forma de la placa. [2]

La constante (difusin trmica) es el resultado de la divisin de la conductividad trmica K con respecto a la

densidad del material (masa por unidad de volumen), con el calor especifico c (por unidad de masa). [3]

( )

En esta seccin centraremos nuestra atencin en la situacin

estacionaria, donde la temperatura T no vara con el tiempo, de

Ecuacin Bidimensional del Calor Henry Arias harias@est.ups.edu.ec , Tania Torres ttorresj1@est.ups.edu.ec

Vinicio Llanos vllanosf@est.ups.edu.ec , Patricio Sumba isumbaq@est.ups.edu.ec

modo que es una funcin solo de x e y. As, nos interesa la

temperatura estacionaria de la placa. En este caso, de modo que la ecuacin (3) se convierte en la ecuacin

bidimensional de Laplace. [3]

( )

Esta importante ecuacin diferencial parcial tambin se

conoce como la ecuacin de potencial. [3]

PROBLEMAS DE DIRICHLET

Determinaremos una solucin de la ecuacin particular de la

ecuacin de Laplace en una regin plana acotada R mediante

las condiciones adecuadas de frontera, para determinar la

temperatura estacionaria en una placa con valores asignados

en la frontera, debemos resolver el problema con valores en la

frontera. [3]

( ) ( )

( ) ( ) ( ( ) ) ( )

Para determinar una solucin de la ecuacin de Laplace es una

regin R con valores dados en la frontera, se llama Problemas

de Dirichlet. Se sabe que si la curva frontera C y la funcin de

valores en la frontera f se comportan relativamente bien,

entonces existe una nica solucin del problema de Dirichlet

(6), (7). [3]

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

En la siguiente grafica (Fig.1) se muestra una placa

rectangular con los valores indicados en la frontera a lo largo

de sus cuatro aristas, indicando el problema de Dirichlet. [3]

Fig. 1.- Placa rectangular con todos los valores de frontera

Especificados.

Para resolver la ecuacin diferencial parcial por el mtodo de

variables separables y obtener su solucin particular, se

necesita de tres condiciones de frontera homognea, mientras

la cuarta condicin no debe ser homognea. [2]

III. DESARROLLO DEL EJERCICIO

Encontrar la solucin de transmisin de calor de una placa

cuadrada, cuyas dimensiones son 1m por cada lado, est

sometida en sus bordes a una temperatura de 0, excepto

en el tramo donde esta sometida a una temperatura ( ) ( )

Fig. 2.-Grafica de la placa, con las dimensiones especificadas en el

problema y sometidas a diferentes temperaturas a cada lado.

Solucin:

Para la resolucin de esta ecuacin diferencial parcial

utilizaremos el mtodo de series finitas.

Dnde:

Por lo tanto:

Como el ejercicio es de estado estacionario, quiere decir que

ya ha pasado mucho tiempo, ya no existe cambio temporal,

por ende la funcin nos queda.

ecuacion de laplace.

Asumimos que la ( ) ( ) y reemplazamos en nuestra ecuacin de Laplace.

Al derivar (x, y) nos quedara:

Para que se cumpla la igualdad estas deben ser constantes:

Dnde:

Procedemos a despejar:

( ) ( )

( ) ( )

Dnde:

( ) ( ) ( ( ) ( ))( ( ) ( ))

Con esta ecuacin de temperatura, procedemos a reemplazar

la primera condicin de frontera:

Para

( ( ( )) ( ( )))( ( ) ( ))

( )( ( ) ( ))

( ( ) ( ))

Para que se cumpla esta igualdad debe ser igual a cero:

( ( ))( ( ) ( ))

( ( ))( ( ) ( ))

Condicin 2 de Diricheft Para todo

( ( ))( ( ) ( ))

( )( ( ) ( ))

Para que se cumpla esta igualdad, sen(n)=0; pero n no puede

ser cero porque si no, no tenemos solucin, pero sabemos que

( )( ( ) ( ))

Condicin 3 de Diricheft para toda X

( )( ( ( )) ( ( )))

( )( )

Para que se cumpla, debe ser igual a 0

( )( ( ))

Ultima condicin de Frontera:

Para todo ( )

( ) ( ) ( ( ))

Para que la igualdad se cumpla:

m=1

( )

( )

Respuesta:

( ) ( ) ( )

Ahora procederemos a modelar nuestra Respuesta en el

software matemtico Matlab.

Fig. 3.-Grafica de la solucin de la temperatura de la placa vista como un

solido

Fig. 4.-Grafica de la solucin de la temperatura en la placa, vista de frente

representada en los ejes x eh y

Fig. 5.- Grafica de la solucin de la temperatura en la placa, con una barra

representativa de las intensidades de la temperatura en la placa en toda su

altura

Aqu est el cdigo implementado en el software matemtico

Matlab, con el que se procedi a realizar las diferentes

grficas, que denotaron la solucion de nuestro ejercicio.

CODIGO MATLAB

% Programa para graficar la solucion del

ejercicio de ecuacion bidimensional del

calor de una placa Cuadrada % Henry Arias, Tania Torres, Vinicio

Llanos, Patricio Sumba

x=0:0.01:1; y=x; [X,Y]=meshgrid(x,y); T=(1/sinh(pi))*sin(pi*X).*sinh(pi*Y); surf(X,Y,T) surf(X,Y,T);view(2) surf(X,Y,T);view(2);colorbar title('Solucion de la transferencia de

Calor en una Placa vista como un Plano') xlabel('coordenada x') ylabel('coordenada y')

IV. CONCLUSIONES

1.- La ecuacin de calor bidimensional, es muy importante ya

que con ella se puede modelar como es el comportamiento de

un slido o una superficie que es sometida a ciertas

temperaturas, obteniendo as una aproximacin con la

realidad.

2.- La solucin del ejercicio planteado fue simulado en el

software Matlab, quien nos mostr graficas de lo que est

sucediendo en la placa del ejercicio, muy parecidas a lo que se

plante en el problema, demostrando as que nuestro clculo

es correcto.

3.- Las Ecuaciones Diferenciales Parciales, son muy

importantes en el estudio de ingeniera, ya que estas nos

permiten obtener un modelado matemtico ms exacto de lo

que ocurre ya sea en un circuito elctrico o en algn fenmeno

fsico.

V. REFERENCIAS

[1] Dennis G. Zill.; Michael R. Cullen, Ecuaciones Diferenciales, problemas con valores en la frontera Sptima Edicin.

[2] J. Jones. (1991, May 10). Networks. (2nd ed.) [Online]. Disponible: http://www.atm.com

[3] Henry Edwards; David Penney Ecuaciones Diferenciales Segunda Edicin.

[4] M. Braun; Ecuaciones diferenciales y sus aplicaciones Primera

Edicin.