ec.simultaneas
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Modelos de Ecuaciones
Simultaneas
Econometría II
FIECS UNI
UNI – 2011 - II
Econometría II
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Modelos Multiecuacionales
Problemática: Endogeneidad de
variables explicativas
Inconsistencia de estimadores
MCO
Método de MCI
Método MC2E, Estimadores
MC2E
Método VI, Estimadores
VI
Problemática: No
identificación
Imposibilidad de identificar
parámetros estructurales
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1. Todos los modelos de regresión que se han analizado hasta ahora han sido modelos de regresión de una única ecuación, ya que la variable dependiente Y venía expresada como una función de una o más variables explicativas (las X). En estos modelos la causalidad, si existía, iba de las X hacia Y.
2. Pero, en muchas situaciones, tal relación causa-efecto unidireccional, no tiene sentido. Esto sucede cuando Y está determinada por las X y algunas de las X están, a su vez, determinadas por Y. En estos casos, no es posible estimar los parámetros de una ecuación aisladamente sin tener en cuenta la información proporcionada por las demás ecuaciones del sistema.
3. Evidentemente, si este fuera el caso, la estimación por MCO resultaría bastante inadecuada porque podría dar resultados sesgados (en el sentido estadístico). Los modelos de regresión en los que hay más de una ecuación y en los que hay relaciones de retroalimentación entre las variables se conocen como MODELOS DE ECUACIONES SIMULTÁNEAS.
¿Cuál es la naturaleza de las ecuaciones simultáneas?
Modelo de Ecuaciones simultáneasg variables endógenas: Y1, Y2, …..YgSea el modelo con:k variables exógenas: X1, X2, …..XK
ikikiggiii XXYYYY 2212120221212 ......0
ikikiggiii εXβ...XββYγ...YγYY 1111110121211 0
gikigkigggiggiggi XXYYYY ...0... 110221
................
Para la ecuación h
hn
h
h
hk
h
h
knn
k
k
hg
h
h
gnnn
g
g
hn
h
h
xx
xx
xx
yyy
yyy
yyy
y
y
y
......
...1
............
...1
...1
...
...
............
...
...
...2
1
1
0
1
212
111
2
1
21
22212
12111
2
1
hhhh XYY Econometría II
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Modelo de Ecuaciones simultáneas
gnnn
g
g
gkkk
g
g
knn
k
k
gggg
g
g
gnnn
g
g
gnnn
g
g
xx
xx
xx
yyy
yyy
yyy
yyy
yyy
yyy
...
............
...
...
...
............
...
...
...1
............
...1
...1
...
............
...
...
...
............
...
...
...
............
...
...
21
22212
12111
21
22111
12010
1
212
111
21
22212
12111
21
22212
12111
21
22212
12111
ggkggg XXYYYYYY .........1......... 21211212121
Escribimos el modelo en forma matricial y conjunta para todas las ecuaciones
Forma reducida
XIY )(
Forma estructural del modelo
XYY
XYY
11 )()( IIXY
*XY
Reescribimos el modelo y despejamos Y en función de las variables exógenas
YXXX ´)´(ˆ 1
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Supuestos del modelo
1. Las variables exógenas son fijas, no colineales y no están correlacionadas con las perturbaciones.
2. La perturbación de cada ecuación tiene E(h) = 0 y V(h)= 2h
constante para todas las observaciones
3. No existe correlación entre perturbaciones de observaciones diferentes.
4. Aunque exista correlación contemporánea entre perturbaciones de ecuaciones diferentes, estas son constantes para todas las observaciones muestrales (homocedasticidad interecuaciones)
5. Si existen “ecuaciones de definición o identidades” estas se consideran eliminadas por sustitución.
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gggg
g
g
gttgttgt
gttttt
gttttt
gttt
gt
t
t
tt
EEE
EEE
EEE
EE
..
..........
..
..
)(...)()(
............
)(...)()(
)(...)()(
......
)(
21
22221
11211
221
22212
12121
212
1
'
t
gnnn
g
g
...
............
...
...
21
22212
12111
1 2 g
11
11
11
21121111
1122121112
1111211211
11211
1
12
11
'11
...00
............
0...0
0...0
)(...)()(
............
)(...)()(
)(...)()(
......
)(
nnn
n
n
n
n EEE
EEE
EEE
EE
Matriz de covarianzas contemporáneas de las perturbaciones de las ecuaciones ()
=
Matriz de covarianzas de las perturbaciones de la ecuación 1 )( 11I
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Modelo de oferta y demanda
)(2210
1210
mercadodeequilibrioQQQ
ZPQ
YPQ
sd
s
d
2201
1201
ZPQ
YPQ
2201
1201
ZPQ
YPQ
Qd: demanda; Qs : oferta; P: Precio; Y : renta; Z: precio de un bien relacionado
Luego
21
2
2
00
11 0
0111
ZYPQ
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11
1
11
1
11
1
11
1
21
11
1
11
1
11
1
11
1
2
2
00
0
01
ZYPQ
**
21
11
2
11
21
11
2
11
12
11
00
11
0110
1
ZYPQ
11
2
11
21
11
2
11
12
11
00
11
0110
3231
2221
1211
22
211
32
311
32112 )(
22112 )(
)( 121110
121100 )(
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El problema de identificaciónEl problema de identificación pretende establecer si las estimaciones numéricas de los parámetros de una ecuación estructural pueden ser obtenidos de los coeficientes estimados de la forma reducida
Ecuación estructural
Coeficientes pueden ser obtenidos de los coeficientes estimados de la forma
reducida
La ecuación está identificada
Si
La ecuación noestá identificada
No
Exactamentesi puede obtenerse valores únicos de los parámetros
estructurales
Sobreidentificadasi puede obtenerse más de un valor
de alguno de los parámetros estructurales
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Reglas para la identificación: Condición de orden
Def. 1: En un modelo de g ecuaciones simultáneas, para que una ecuación esté identificada debe haber al menos g -1 variables excluidas entre variables endógenas y exógenas del total de variables que aparecen en el modelo
Nº variables excluidas
< g -1
= g -1
> g -1
Ecuación subidentificada
Es posible que la ecuación esté exactamente identificada
Ecuación posiblemente sobreidentificada
Sea un modelo con:
g = nº de variables endógenas en el modelo
gi = nº de variables endógenas en la ecuación
k = nº de variables exógenas en el modelo
ki = nº de variables exógenas en la ecuación
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Reglas para la identificación: Condición de orden
11** gggkkg iiii
Def. 2: En un modelo de g ecuaciones simultáneas, para que una ecuación esté identificada el nº de variables exógenas excluidas no debe ser menor que el nº de variables endógenas incluidas como variables explicativas en la ecuación, es decir, K – ki gi - 1
Si K – ki
< gi - 1
= gi - 1
> gi - 1
Ecuación subidentificada
Es posible que la ecuación esté exactamente identificada
Ecuación posiblemente sobreidentificada
1 ii gkk
Variables excluidas gi*: v. endógenas excluidas
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Reglas para la identificación: Condición de rango
En un modelo de g ecuaciones simultáneas con g variables endógenas, una ecuación está identificada si y sólo sí puede construirse por lo menos un determinante 0 de orden (g -1) x (g –1) a partir de los coeficientes de las variables excluidas de la ecuación, pero incluidas en las otras ecuaciones del modelo.
Estas dos condiciones se resumen en el siguiente criterio de clasificación
De acuerdo a la condición de orden, una ecuación está:1. Subidentificada si k – ki < gi – 1
2. Posiblemente identificada, si k – ki gi – 1
y en este caso, de acuerdo a la condición de rango, la ecuación está: a) Sobreidentificada si k – ki > gi – 1 y Rango (A*) = g – 1
b) Exactamente identificada si k – ki = gi – 1 y Rango (A*) = g – 1
c) No identificada si k – ki gi – 1 y Rango (A*) < g – 1
A* : matriz de coeficientes de las variables excluidas
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Identificación de ecuaciones
0
0
0
34432231132233
24412223322
14413311113312211
tttttt
ttttt
ttttttt
XXXYY
XXYY
XXXYYY
Sea el modelo:
000
00
0
0
1
1
001
321
434241
31
2322
1311
3231
2321
4321321
XXXXYYY
A
A1 A2 A3
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Identificación de ecuaciones
434241
31
2322
1311
3231
2321
00
0
0
1
1
001
A
A1 A2 A3
g = 3
k = 4
Ecuación 1: g1 = 3; k1 = 3
K – k1 = 1 < g1 – 1 = 2 Ecuación subidentificada
Ecuación 3: g3 = 2; k3 = 3
K – k3 = 1 = g3 – 1 = 1 Ecuación posiblementeidentificada
0
01*
31A (A*) = 1 < g -1
Ecuación sobreidentificada
Ecuación 2: g2 = 2; k2 = 2
K – k2 = 2 > g2 – 1 = 1Ecuación posiblementesobreidentificada
0
01
*
31
1311
A
(A*) = 2 = g -1
Ecuación subidentificada
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Restricciones lineales homogéneas
Sea el modelo: qjAasujetoXY 0;0
Donde: Aj : Vector de coeficientes de la ecuación jq : nº de restricciones homogéneas g : nº de variables endógenas
De acuerdo a la condición de orden, una ecuación está:1. Subidentificada si q < g – 12. Posiblemente identificada, si q g – 1 y en este caso, de acuerdo a la condición de rango, la ecuación está: a) Sobreidentificada si q > g – 1 y ( A) = g – 1
b) Exactamente identificada si q = g – 1 y ( A) = g – 1 c) No identificada si q g – 1 y ( A) < g – 1
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Identificación de ecuaciones con restricciones lineales homogéneas
0
0
0
34432231132233
24412223322
14413311113312211
tttttt
ttttt
ttttttt
XXXYY
XXYY
XXXYYY
Sea el modelo:
Sujeto a 31 = 3 11
434241
31
2322
1311
3231
2321
00
0
0
1
1
001
A
A1 A2 A3
0103000
0010000
Ecuación 1 Restricciones:
21 = 0
31 = 3 11
q = 2 = g – 1
133111
2322
303
0
A ( A) = 2 = g-1
La ecuación está exactamente identificada
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Identificación con restricciones lineales
Observaciones
• Cuando las restricciones se refieren solo a restricciones de exclusión, entonces, el análisis equivale a comparar v. exógenas excluidas con v. endógenas incluidas como explicativas y obtener el rango de la submatriz de coeficientes de las variables excluidas en la ecuación pero incluidas en las otras ecuaciones.
• Si las restricciones son no homogéneas, es decir, las restricciones tienen constante no nula, por ejemplo:
2+ 33 =5, entonces en el análisis se debe comparar (A) con g
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Identificación de ecuaciones no homogéneas
ttttt
tttt
XXYY
XYY
2332222112022
1111221011
0
0
0
0
1
1
1 21
32
22
11
0201
21
12
32121
XXXYY
Sujeto a 22 + 32 = 1
( A) = 1 = g-1
100000
010000
Ecuación 1Restricciones:
21 = 0
31 = 0
q = 2 > g – 1
32
22
0
0
A
La ecuación está sobreidentificada
110000
001000
Ecuación 2Restricciones:
12 = 0
22+ 32 = 1
q = 2 = g
10
011 A ( A) = 2 = g
La ecuación está exactamente identificada
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Estimación
Debido a que existen correlaciones contemporáneas no nulas entre las perturbaciones de ecuaciones diferentes, no es apropiado aplicar al modelo estructural MCO para obtener las estimaciones de sus coeficientes, pues bajo estas circunstancias el estimador de MCO es sesgado e inconsistente.
Métodos de estimación:1. MCI: Mínimos cuadrados indirectos.2. Variables instrumentales.3. MC2E: Mínimos cuadrados en dos etapas.4. MC3E: Mínimos cuadrados en tres etapas con información
incompleta.5. MC3E: Mínimos cuadrados en tres etapas con información
completa.6. Máxima verosimilitud.
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Estimación por MCI
Este es un método valido únicamente para ecuaciones exactamente identificadas, consiste en estimar por MCO los parámetros de la forma reducida y luego se despejan los coeficientes de la ecuación en su forma estructural, a estos estimadores se denomina estimadores de MCI.
Como en la forma reducida cada variable endógena es explicada sólo por las variables exógenas (que son predeterminadas), entonces, el estimador de MCO de los coeficientes en la forma reducida es insesgado, consistente y eficiente. El estimador de MCI es un estimador consistente de los coeficientes de la forma estructural.
Forma estructural del modelo XYY11 )()( IIXY
*XY YXXX ´)´( 1
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tttt
ttttt
XYY
XXYY
23321122
12211112211
Estimación por MCI
Se cuenta con la matriz de covarianzas
31212
11040
20423
142166
203612Y1
Y2 X1 X2 X3
Y1
Y2
X1
X2
X3
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tttt
ttttt
XYY
XXYY
23321122
12211112211
tttt
ttttt
XYY
XXYY
23321122
12211112211
21
31
21
11
32121
1221
0
0
0
1
1
XXXYY
**
1
1
1
11
1
31
21
11
32121 21
21122112
21
2112
12
2112
0
0
0
XXXYY
320 AEcuac. 1.
( A) = 1= g -1Ecuac. Exact. identificada
0
0
21
11
A
Ecuac. 2.
( A) = 1= g -1
Ecuación sobreidentificada
q =1 = g -1
q =2 > g -1
Modelo en forma estructural
Modelo en forma reducida
Identificación de ecuaciones
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YXXX ´)´( 1
4
8
12
40
23
312
110
204
2/1
2/1
2/52/11
2/1131
2/1121
2/1111
2112
2132
2112
21
2112
11
ˆ
ˆ
ˆ
4ˆ
8ˆ
ˆ
2112
32
2112
1221
2112
1211
132
122
2/5112
Coef. ecuac. 1: 21 , 11 , 21
8/1
32
3121
ˆ
ˆˆ
16/1321121111 ˆˆˆˆ
2/121222121 ˆˆˆˆ
Coef. ecuac. 2: 12 , 321
16ˆ
ˆˆ
21
2212
5
ˆ
ˆˆ
11
1212
4ˆˆˆˆ12313232 2/1312313232 ˆˆˆˆ
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Estimación por Variables instrumentales
En el modelo estructural para explicar a cada variable endógena participan, también, algunas de las otras variables endógenas lo cual genera un problema de correlación entre las variables explicativas con los términos perturbación.
Un método consistente y mas eficiente que el MCI es utilizar variables instrumentales (VI) y es aplicable a ecuaciones identificadas (exactamente o sobreidentificadas).
En el modelo de ecuaciones simultáneas se considera como v. instrumentales a las variables exógenas excluidas de la ecuación que deseamos estimar.
tttt
ttttt
XYY
XXYY
23321122
12211112211
EjemploEntonces para la ecuación 1 X3 sería v. inst de Y2 y para la ecuación 2 X1 o X2 podrían ser v. inst de Y1
Para la aplicación de VI se requiere que k - ki gi - 1
Para que exista un número suficiente de instrumentos disponibles.
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Variables instrumentales
XYY
XYY
111111 XYy
Dado el modelo
Para la ecuación 1 tenemos:
11
1111
XYy
Z1A1Sea
111 XYZ Matriz de variables explicativas en la ecuación
1*1
*1
XYZ Matriz de variables instrumentales
Entonces: 1*'1
11
*'11
ˆ yZZZA
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Estimador de variables instrumentales
1*'1
11
*'11
ˆ yZZZA
'])[()()()ˆ( 11
*'1
**'1
11
*'1111 1
ZZZZZZAV VI La matriz de covarianzas asintótica del estimador de VI
Si la ecuación está exactamente identificada el estimador de VI coincide con el estimador de MCI
)(ˆ
11
1'1
1111 kgn
eeS
1ˆ
1ˆ
1111 XYye
11''
11''
11'
1'1
ˆˆˆ2111
AZZAyZAyyee
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232
123123321122
1
21
11
21
21212211112211
xyxyy
xxyxxyy
tttt
ttttt
31212
11040
20423
142166
203612Y1 Y2 X1 X2 X3
Y1
Y2
X1
X2
X3
Matriz de covarianzasEcuación 1
2121 xxyZ 213*1
xxxZ
1*'1
11
*'11
ˆ yZZZA
1'2
1'1
1'3
1
2'21
'22
'2
2'11
'12
'1
2'31
'32
'3
21
11
21
ˆ
ˆˆ
yx
yx
yx
xxxxyx
xxxxyx
xxxxyx
2/1
16/13
8/1
0
3
2
02/11
8/116/38/1
4/18/14/1
0
3
21
104
042
121
21ˆ11ˆ21ˆ
La estimación de VI
coincide con la de MCI
EJEMPLO
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'])[()()()ˆ( 11
*'1
**'1
11
*'1
211 1
ZZZZZZAV VI
)ˆˆˆ2( 11''
11''
11'1)1(1
'1 11
AZZAyZAyyee n
2/1
16/13
8/1
104
042
4216
2/116/138/1
0
3
6
2/116/138/111
'1 212n
ee
988.0062.0124.0
062.0131.0015.0
124.0015.0031.0
08/14/1
2/116/38/1
18/14/1
101
042
123
02/11
8/116/38/1
4/18/14/1
24
386.121 )ˆ( VIAV
Cuando se utiliza covarianzas
8594.1122
)8594.10(24)11
(1
'1
11ˆ kgn
eeAsumiendo n = 25
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Estimador de mínimos cuadrados en dos etapas MC2E
Se utiliza para estimar coeficientes de ecuaciones identificadas (exactamente o sobreidentificadas).
El procedimiento de MC2E proporciona un único estimador que es la combinación lineal óptima de los estimadores que podrían generarse por VI.
1ª etapa: Construir una regresión auxiliar para cada variable endógena incluida como explicativa en la ecuación en función de todas las variables exógenas del modelo.
Procedimiento
Si la ecuación está exactamente identificada el estimador de MC2E coincide con el estimador de VI y MCI
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Estimador de MC2E
1̂Y
321 yyY
11 uXY
111111 XYy
11 ')'(ˆ YXXX
Ejemplo
11
1 ')'(ˆ YXXXXY ,
Las predicciones de las variables de Y1 son tales que
1. Cada variable de está correlacionada con la variable observada de Y1
ejemplo 321
321 ')'(ˆˆˆ yyXXXyyY
2. Las variables están incorrelacionadas con el término perturbación de la ecuación por ser combinaciones lineales de las variables exógenas X
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32
11
111111111
ˆˆ
XYXYy
11̂* XYX 11
21
1 *'*)*'(ˆ
ˆyXXX
EMC
2ª etapa: En la ecuación original se remplaza las variables endógenas por sus predicciones obtenidas con las regresiones auxiliares. Luego por MCO se estiman los coeficientes de la ecuación.
Sea
1111
1111
''
''
ˆ
ˆˆˆ**'
XXYX
XYYYXX
11'
1111'
11'1 ')'(')'(')'(ˆˆ YXXXXYYXXXXXXXXYYY
1'11
1'11
'1 ')'(ˆ XYXXXXXYXY
donde
1'1
1'1
1
ˆ*'
yX
yYyX
1111 'ˆ' YXYX
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33
11
11
1111
1111
'
1'1
''
'1'
21
1 ')'(')'(ˆ
ˆ
yX
yXXXXY
XXYX
XYYXXXXY
EMC
El estimador de MC2E es un caso especial de variables instrumentales donde:
111 XYZ 11* ˆ1
XYZ Vector de variables instrumentales
1
*'1
11
*'1
1
1
ˆ
ˆyZZZ
VI EMC
yX
yY
XXYX
XYYY
21
1'
'1
''
''
ˆ
ˆˆˆˆ
11
11
1111
1111
El estimador de MC2E es un estimador consistente y es el de mínima varianza entre los estimadores de VI, que utilizan como instrumentos combinaciones lineales de las variables predeterminadas del modelo.
11'1
11
1'11 ')'(')'(ˆ yXXXXZZXXXXZA
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34
'])[()()()ˆ( 11
*'1
**'1
11
*'11121 1
ZZZZZZAV EMC
*ˆ11
*1
XXYZ 111 XYZ
1111
1111
''
''
ˆ
ˆˆˆ**'
XXYX
XYYYZZ
1111
1111
''
''
1*1
ˆˆ'
XXYX
XYYYZZ
Como
Luego
11
111
11
*'11121 )')'('()()ˆ( ZXXXXZZZAV EMC
Matrizsimétrica
)(ˆ
11
1'1
1111 kgn
eeS
1ˆ
1ˆ
1111 XYye
1''
11'
11''
11''
11'
1'1 11111
ˆˆˆˆ2 yZAyyAZZAyZAyyee
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35
Mínimos Cuadrados en tres etapas MC3E
gggg a
a
a
Z
Z
Z
y
y
y
......
...00
............
000
000
...2
1
2
1
2
1
2
1
gnnn
g
g
gkkk
g
g
knn
k
k
gggg
g
g
gnnn
g
g
gnnn
g
g
xx
xx
xx
yyy
yyy
yyy
yyy
yyy
yyy
...
............
...
...
...
............
...
...
...1
............
...1
...1
...
............
...
...
...
............
...
...
...
............
...
...
21
22212
12111
21
22111
12010
1
212
111
21
22212
12111
21
22212
12111
21
22212
12111
ggkggg XXYYYYYY .........1......... 21211212121
Modelo de ecuaciones simultáneas
Esta notación no recoge las restricciones nulidad de parámetros en cada ecuación y no resulta útil para una solución generalizada de los estimadores de todos los coeficientes del modelo, en su lugar consideramos la notación de variables apiladas
11
1111
XYy
1111 aZy
gg
gggg XYy
gggg aZy
. . . . . . . . . . .
Y* = Z* a* + *
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g
...
*2
1
gnnn
g
g
...
............
...
...
21
22212
12111
1 2 g
t
III
III
III
EEE
EEE
EEE
EE
gggg
g
g
gggg
g
g
g
g
...
............
...
...
)(...)()(
............
)(...)()(
)(...)()(
......
)*'*(
21
22212
11211
11
22221
12111
21
'''
'''
'''
'''2
1
IECov )*'*(*)(
gggg
g
g
ttE
..
..........
..
..
)(
21
22221
11211
'
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37
Producto de Kronecker AB
111.1 BABA
Sean las matrices
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
..
..........
..
..
21
22221
11211
pqpp
q
q
bbb
bbb
bbb
B
..
..........
..
..
21
22221
11211
BaBaBa
BaBaBa
BaBaBa
BA
mnmm
n
n
..
..........
..
..
21
22221
11211
Propiedades
'''.2 BABA
DFCEFEDC .3
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38
Estimador de mínimos cuadrados en tres etapas MC3E
El estimador de MC3E puede interpretarse como un estimador en 3 etapas de las cuales las 2 primeras coinciden con las de MC2E y la tercera consiste en estimar la matriz a partir de los residuos de la 2ª etapa y aplicar luego MCG para la obtención de los estiadores de los coeficientes.
Este método generaliza el método de MC2E en el sentido de tomar en consideración las correlaciones contemporáneas de las perturbaciones.
Este método se aplica para estimar coeficientes del modelo en su conjunto o de un bloque de ecuaciones identificadas (exactamente o sobreidentificadas).
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39
MC3E - Procedimiento1ª etapa: Por MCO se estima cada una de las variables Y en función de todas las variables X
**'*)*'(ˆ 1 YXXX
**'*)*'(*ˆ*ˆ 1 YXXXXXY
ggg u
u
u
X
X
X
y
y
y
......
...00
............
000
000
...2
1
2
1
2
1
Y* = Z* a* + * Y* = X* + u*
2ª etapa: Se estima los coeficientes de cada estructural sustituyendo las variables endógenas explicativas por sus estimaciones obtenidas con la 1ª etapa
Y* = W* a* + *
]ˆ[
]ˆ[
]ˆ[
...00
............
000
000
*22
11
ggXY
XY
XY
W
**'*)*'(**'**'*)*'(**'ˆ 1112 YXXXXZZXXXXZa EMC
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40
3ª etapa: Con los residuos obtenido de la segunda etapa se estima a los elementos de la matriz
gggg
g
g
ttE
..
..........
..
..
)(
21
22221
11211
'
)(ˆ
11
1'1
1111 kgn
eeS
1''
11'
1'1 11
ˆ yZAyyee
)22()11(
2'1
1212ˆ kgnkgn
eeS
22''
122'
2''
12'
2'1 1111
ˆˆ AZZAAZyyZAyyee
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41
Se pondera al modelo con la matriz X*’ y luego se aplica MCG
X*´Y* = X*´ Z* a* + X*´ *Y* = Z* a* + *
**'*))*'((**'**'*))*'((**'*ˆ 1113 YXXVXZZXXVXZa EMC
donde
*)(*´**)(*´*)*´( XIXXVXXV )´()()(´)( XXXIIXI
´)´(´)()´()(*´*)*´(* 1111 XXXXXIXXXIXXVX
*´)])´(([*'*´)])´(([*'*ˆ 111113 YXXXXZZXXXXZa EMC
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42
Propiedades del estimador MC3E
*)*ˆ( 3 aaT EMC
1. Si las ecuaciones de un sistema están identificadas, entonces el estimador de MC3E es consistente.
2. La distribución asintótica de
Es normal con esperanza 0 y matriz de covarianzas
111*3 *´)])´(([*')ˆ(
ZXXXXZaV EMC
3. El estimador de MC3E es más eficiente que el estimador de MC2E
4. Si ij =0, i j, entonces el estimador de MC3E coincide con el estimador de
MC2E
5. Si todas las ecuaciones del modelo están exactamente identificadas, entonces los estimadores de MC2E y MC3E coinciden.
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43
Estimador de Máxima Verosimilitud
MV
Se obtiene maximizando la función de verosimilitud de la ecuación que se pretende estimar, sujeta a las restricciones para sus coeficientes. Se asume que la perturbación tiene distribución normal
Estimador de máxima verosimilitud con información limitada MVIL
Si la ecuación está exactamente identificada el estimador MVIL coincide con el estimador MC2E, VI y MCI
MVIL es un estimador consistente y su distribución asintótica coincide con el estimador de MC2E, por lo que comparte la propiedad de eficiencia de éste último.
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Estimador de Máxima
Verosimilitud MV
Se obtiene maximizando la función de verosimilitud que se obtiene al suponer que el vector de perturbaciones de todas las ecuaciones sigue una distribución normal multivariante. Para la maximización se utiliza algoritmos de métodos numéricos de optimización
Estimador de máxima verosimilitud con información completa MVIC
MVIC es un estimador consistente y asintóticamente eficiente y su distribución asintótica coincide con el estimador de MC3E, si las perturbaciones tienen distribución normal.
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Prueba de correlación contemporánea
0:0 ijH
0:1 ijH
No existe correlación contemporánea
Existe correlación contemporánea
Estadística
)ˆlnˆln( iiLR T
1. Para residuos de estimador de MV.
Tiene distribución asintótica 2
)2/)1(( gg
g
i
i
jijLM rT
2
1
1
2
2. Para residuos de estimador de MC2E o MC3E
Tiene distribución asintótica 2
)2/)1(( gg
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46
Método SUR Modelo de Regresión de ecuaciones aparentemente no
relacionadas
• Se aplica a un sistema donde cada ecuación tiene sólo variables exógenas como variables explicativas.
• Al igual que en el caso de regresión estándar se asume que las perturbaciones no están correlacionadas con las variables exógenas.
• Cada ecuación de este tipo de sistema podría ser estimado por MCO, ecuación por ecuación. Sin embargo si las perturbaciones están correlacionadas contemporáneamente, el estimador SUR es más eficiente, debido a que toma en cuenta la matriz de correlaciones
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Y* = X* + u*
gggg u
u
u
X
X
X
y
y
y
......
...00
............
000
000
...2
1
2
1
2
1
2
1
IuuEuCov )*'*(*)(
gggg
g
g
ttuuE
..
..........
..
..
)(
21
22221
11211
'
*][*'*][*'*ˆ 111 YIXXIXSUR
Donde los elementos de se estiman mediante los residuos del estimador de MCO de cada ecuación.
Nota. Para la prueba de correlación contemporánea con el estadístico LM se utiliza los residuos de MCO.
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48
Observaciones
3. Si los regresores de un bloque de ecuaciones son un subconjunto de los de otro, MCG no aporta ganancias de eficiencia en la estimación de las ecuaciones más reducidas.
4. Cuanto mayor sea la correlación contemporánea de las perturbaciones, mayor será la ganancia en eficiencia atribuible a MCG.
1. Si ij =0, i j, entonces el estimador de MCG coincide con el
estimador de MCO
2. Si xi = Xj, i j, es decir las ecuaciones tienen variables explicativas
idénticas, el estimador de MCG coincide con el estimador de MCO
5. Cuanto menor sea la correlación entre las matrices X, mayor será la ganancia en eficiencia atribuible a MCG.
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