econometria estadísticos de prueba en el modelo de regresión múltiple
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ECONOMETRIA Estadísticos de Prueba en el Modelo de Regresión Múltiple. Mtro. Horacio Catalán Alonso. Revisión de algunas Distribuciones. Econometría. Taller de Econometría. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
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Estadísticos de Prueba en el Modelo Estadísticos de Prueba en el Modelo de Regresión Múltiplede Regresión Múltiple
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Estadísticos de Prueba en el Modelo Estadísticos de Prueba en el Modelo de Regresión Múltiplede Regresión Múltiple
Mtro. Horacio Catalán Alonso
Revisión de algunas DistribucionesRevisión de algunas Distribuciones
Taller de Econometría
Horacio Catalán AlonsoHoracio Catalán Alonso
EconometríaEconometría
Sea un vector x que representa un variable aleatoria que se distribuye como una función de densidad de probabilidad normal
kxxyx ,...,, 21
donde
kkk
k
k
y
Cov
mx
mx
m
1
1111 )()(E
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),(X N
x se distribuye como una normal con media y varianza
x es una normal con media cero y varianza igual a uno se define como una normal estandarizada
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En el caso de un vector de variables aleatorias
),0(N I Z
La matriz de covarianzas es una matriz identidad
Cualquier vector puede ser estandarizado si se define una matriz T tal que
1ΣT´T
ITΣΣT
Por lo tanto I)N(0, μ)T(
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• La multiplicación de la matriz T por las desviaciones respecto a la media generan una variable normal estándar
• Asociados a la distribución normal existen diferentes distribuciones asociadas que son utilizadas en la inferencia estadística
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Teorema: sean x1, x2,…,xn una muestra aletaoria, con una distribución normal con media y varianza 2
Se define la variable aleatoria
21
2)(
n
iix
V
Se distribuye como una chi-cuadrada con n grados de libertad )(2
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Teorema: si x1 y x2 son dos variables aleatorias independientes y cada una tiene una distribución chi-cuadrada con k1 y k2 grados de libertad, respectivamente, entonces Y = x1+x2 también se distribuye como chi-cuadrada con k1+ k2 grados de libertad
)( 21 kk 2
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Sea Z una variable normal estándar y X una variable aleatoria chi-cuadrada con grados de libertad. Si X y Z son independientes, entonces.
νΧ
ZT Tienen una distribución t de student
con grados de libertad
s
tˆ
de student con n -1 grados de libertadt
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Sean y dos variables aleatorias independientes que se distribuyen como una chi-cuadrada con m y n grados de libertad respectivamente
n
m
u Se distribuye como una F con m y n
grados de libertad
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Distribución normal
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0
Distribución t de student
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)(2 k ),( nmF
Distribución Chi-cuadrada
Distribución F
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Normal estándar
(0,1) N)T(
Se define )T(Z
)μ μ)´)´T´TT(Z´Z
μ)T(μ)T(Z´Z /
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Dado que 1ΣT´T
)()()(´ 21 n ZZ
Se distribuye como una chi-cuadrada con n grados de libertad
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ZZ )()(´ 1
21
2)(
n
ii
Con base en dos variables normal estándar se puede obtener una variable chi-cuadrada con n grados de libertad
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Del modelo de regresión
UX)2
UXY)1
Es la suma de errores al cuadrado
)ˆXY)´(ˆYY(U´U)3
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Es importante notar que
E
)(E Bajo regresores fijos
Bajo regresores aleatorios con muestras independientes
EE )()(
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El término de error se distribuye como una normal
),0(NU 2 Es necesario obtener un estimador de la varianza
Sabemos que
)ˆ(MU)4
MU)3
´)´(I´)´(U)2
ˆU)111
u
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0´)´(
´)´(IM
´)´(IM
1
1
1
UMˆMU)5
UMU)6
Sabemos que
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U´M´MU
)U)´(MU(MU´U)7
Dado que la matriz M es simétrica e idempotente
M´UUU´U)9
UM´UU´U)8
Aplicando valor esperado
´MUUE)U´UE()10
MMM´M´M
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2
2
KxKNxN2
KxKNxN2
1NxN
2
12
2
σk)(n
)U´UE(
k)(nσ
)tr(I)tr(Iσ)u´uE(
IIσ
´)´(Iσ
´)´(Iσ
Mσ´MUUE)11
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Estimador de la varianza
Es un estimador insesgado de la varianza
k)-(n
U1
2i
2
N
tS
2
SS 2Es la desviación estándar de los valores de Y respecto a la estimación Ŷ
Es un estimador insesgado de la varianza
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Sabemos que
Si
Es una normal estándar
I)N(0, Z
(n) ZZ 2/
),0(NU 2
),0(NU 2
)ranM(UU 2
/
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Si
Si se dsitribuye como una chi-cuadrsda con n-k grados de libertad
KNKN
--UU //
KN 22
2SK-T
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Restricciones
Se define
Uβ
qRβ
β
/1/2/1/2
/
//
RRRRβRVar
RβRVar
Rβ-ββ-βRERβVar
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Se obtiene que
1/2β,Nβ
/1/2 RRβ,RNβR
/1/2 RR0,Nβ-βR
/1/2 RR0,Nq-βR
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Se define la hipótesis
qβR:H
qβR:H
1
0
/1/2 RR0,Nq-βR
¿Cuál es el estadístico apropiado para realizar la prueba?
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Primero se define un estadístico con base en la normal estándar
0,1N
RR
q-βR
RR
q-βR/1/2/1/2
Se distribuye como una normal estándar con media cero y varianza igual a 1
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Sabemos que
qt
q)(
N(0,1)2
q
K-NKNUU 2
2
/
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S
RR
q-βR
KNUU
RR
q-βR/1/2
2
/
/1/2
dado que 2
/
SKN
UU
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El estadítico se distribuye como una t de student con N – K gardos de libertad
K-N
Sq-βR
RRS
q-βR
βR/1/
t
En el caso particular de H0 : βi = 0, H1 : βi ≠ 0
K-Nestimador delestándar Desviación
EstimadorSβ
iβ
i t
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Es importante destacar que la prueba -student es válida, sólo si los errores se distribuyen como una normal
dado que t (N – K) → N(0, 1) cuando N →∞
La distribución t-student tiende a la normal estandár cuando N tiende a infinito
t
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Entonces
(n) ZZ 2/
)I,0(N 2
)()I( 212/ K
/1/2 RR0,Nq-βR
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Se distribuye como una chi-cuadrda con q grados de libertad que es igual al numerio de restricciones donde
/1/22 RR)I(
)(q-βRRRq-βR 21
/1/2/q
La forma cuadrática
q-βRX
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dos variables aleatroias
)KN(
SKN 22
2
La forma cuadrática
)(2 m
)(2 n )(F 2 m
n
m
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)KN(S)KN(
q-βRRRq-βR
2
2
1/1/2/
q
)KNq,(F
)KN(
F 2
2
q
paámetros de NúmeroK
nesobservacio de NúmeroN
nesrestriccio de Númeroq
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nesrestricciocon
modelo del cuadrado al errores de SumaU**UQ*
nesrestricciosin
modelo del cuadrado al errores de SumaUUQ
/
/
q-βRRRq-βRQ*-Q1
/1//
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)KNq,(F
qK-N
Q-Q*Q
)KN(Q
)-Q*Q(
F
q
nesrestriccio
con modelo del RR
nesrestriccio
sin modelo del RR
22R
22u
El estadístico F se puede expresar como
)KW()R-(1
)R-R(
F 2u
2R
2u
q
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2R
2 NR
NQ
-Q*Q)( q
La hipótesis de restricciones en los parámetros se puede probar utilizando la chi-cuadrada con “q” grados de libertad que genera resultados similares a la prueba F
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K)-NF(1,
Cuando se impone sólo una restrición
Es equivalente a un estadístico t de student
i
2
i
β(β
K)-NF(1,Var
q Es uan prueba pseudo t
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Estadísticos de Prueba en el Modelo Estadísticos de Prueba en el Modelo de Regresión Múltiplede Regresión Múltiple
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