ec. de bernoulli
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FENÓMENOS DE TRANSPORTE I
DINÁMICA DE LOS FLUIDOS
La ecuación fundamental de la Hidrodinámica (Ec. de Bernoulli) se
deduce de las ecuaciones de Euler y para deducir estas últimas es necesario
conocer las fuerzas que intervienen en el movimiento de un fluido.
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FENÓMENOS DE TRANSPORTE I
Fuerzas que actúan sobre un fluido en movimiento
1. La fuerza de la Gravedad2. La fuerza ocasionada por la diferencia de
presiones3. La fuerza de viscosidad4. La fuerza de la elasticidad5. La tensión superficial La fuerza de la gravedad es externa, las
demás son internas. Para deducir la ecuación de Euler se tomara en cuenta situaciones ideales, es decir solamente las fuerzas 1 y 2.
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FENÓMENOS DE TRANSPORTE I
Componentes de la aceleración en un punto
dxdx
dcc xx
dzdz
dcc xx
dydy
dcc xx
y
z
x
c
c + dc
cy
cx
cz
dzdz
dcdy
dy
dcdx
dx
dcc xxxx
A2 ( x + dx, y + dy, z + dz)
A1 (x, y, z)
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FENÓMENOS DE TRANSPORTE I
Configuración de flujo en un instante “t”
dz
dcc
dy
dcc
dx
dcc
dt
dc
dt
dc yz
yy
yx
yy
dzdz
dcdy
dy
dcdx
dx
dcdt
dt
dcdc xxxx
x
dzdz
dcdy
dy
dcdx
dx
dcdt
dt
dcdc yyyy
y
dzdz
dcdy
dy
dcdx
dx
dcdt
dt
dcdc zzzz
z
Dividiendo ambos miembros de las tres ecuaciones entre dt
dz
dcc
dy
dcc
dx
dcc
dt
dc
dt
dc xz
xy
xx
xx
dz
dcc
dy
dcc
dx
dcc
dt
dc
dt
dc zz
zy
zx
zz
Componentes de la aceleración en cada punto y cada instante de tiempo “t”
dz
dcc
dy
dcc
dx
dcc
dt
dc yz
yy
yx
y
dz
dcc
dy
dcc
dx
dcc
dt
dc xz
xy
xx
x
dz
dcc
dy
dcc
dx
dcc
dt
dc zz
zy
zx
z
Ecuación de aceleración en régimen permanente
0dt
dc
dt
dc
dt
dc zyx
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FENÓMENOS DE TRANSPORTE I
Ecuación de Euler
z
y
x
2
dx
2
dx
dy
dx
dz
Peso: dW = ρ ( dx dy dz ) g
Trayectoria de una partícula
A (x, y, z)
dydzdx
dx
dpp
2dydz
dx
dx
dpp
2
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FENÓMENOS DE TRANSPORTE I
Consideraciones teóricas
Sobre las seis caras del corte paralelepípedo actúa la fuerza debida a la presión.
El eje “z” se ha elegido como vertical hacia arriba.
Sobre el paralelepípedo actúa la fuerza debida a la gravedad (peso) en dirección negativa
Se toma en cuenta la Segunda Ley de Newton: Fuerza = masa x aceleración.
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FENÓMENOS DE TRANSPORTE I
Análisis diferencial con respecto al eje “x”
dt
dcdmamF x.
dydzdx
dx
dppdydz
dx
dx
dppF
22
dydzdx
dx
dppdydz
dx
dx
dpp
dt
dcdxdydz x
22. gdxdydzdm
Masa del paralelepípedo
Segunda Ley de Newton
La Fuerza con respecto a la presión
dx
dp
dt
dcx1
dz
dcc
dy
dcc
dx
dcc
dt
dc xz
xy
xx
x
dx
dp
dz
dcc
dy
dcc
dx
dcc x
zx
yx
x 1
Igualando fuerzas
Recordar la Ec. de la aceleración en régimen permanente
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FENÓMENOS DE TRANSPORTE I
Ecuaciones de Euler En el eje “z” hay una fuerza adicional: el
Peso
dx
dp
dt
dcx1
dy
dp
dt
dcy1
dz
dpg
dt
dcz1
dy
dp
dz
dcc
dy
dcc
dx
dcc y
zy
yy
x 1
dx
dp
dz
dcc
dy
dcc
dx
dcc x
zx
yx
x 1
dz
dpg
dz
dcc
dy
dcc
dx
dcc z
zz
yz
x 1
Ecuaciones de aceleración en los diferentes ejes (régimen permanente, fluido ideal e
incompresible, fuerza de la gravedad única fuerza exterior)
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FENÓMENOS DE TRANSPORTE I
Ecuación de Bernoulli para el fluido ideal
dzgdzdz
dpdy
dy
dpdx
dx
dpdz
dt
dcdy
dt
dcdx
dt
dc zyx .111
zzyyxx dccdccdcc
dzdt
dcdy
dt
dcdx
dt
dc zyx dx
dx
dpdx
dt
dcx1
dydy
dpdy
dt
dcy1
dzdz
dpgdzdz
dt
dcz1
2222
2
1
2
1cdcccd zyx
Análisis de la velocidad
Multiplicar aceleración por la derivada del eje correspondiente
Análisis de la presión
dzdz
dpdy
dy
dpdx
dx
dpdp gdzdpcd
1
2
1 2
0
2.
2
cd
dzgdp
Ecuación de Bernoulli
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FENÓMENOS DE TRANSPORTE I
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FENÓMENOS DE TRANSPORTE I