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ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
DEPARTAMENTO DE FORMACIÓN BÁSICA
ECUACIONES DIFERENCIALES ODINARIAS
EJERCICIOS RESUELTOS CP
SEMESTRE 2019 A
1. DEFINICIONES Y TERMINOLOGÍA
EJERCICIOS 1.1: Definiciones y terminología
EJERCICIO 4.
EJERCICIO 5.
EJERCICIO 6.
EJERCICIO 10.
En los problemas 9 y 10 establezca si la ecuación diferencial de primer orden dada es lineal en la variable dependiente comparándola con la primera ecuación dada en (7).
En los problemas ll a 14, compruebe que la función indicada es una solución de la ecuación diferencial dada. Suponga un intervalo I de definición adecuado para cada solución.
EJERCICIO 13.
En los problemas 15 a 18 compruebe que la función indicada 𝒚 = 𝝓(𝒙) es una solución explícita de la ecuación diferencial de primer orden dada. Proceda como en el ejemplo 2, considerando a 𝝓 simplemente como una función, dando su dominio. Después considere a 𝝓 como una solución de la ecuación diferencial, dando al menos un intervalo I de definición.
EJERCICIO 16.
EJERCICIO 25.
Compruebe que la función definida en tramos
es una solución de la ecuación diferencial 𝒙𝒚′ − 𝟐𝒚 = 𝟎 en (−∞, ∞).
EJERCICIO 29.
En los problemas 27 a 30 determine los valores de 𝒎 tales que la función 𝒚 = 𝒆𝒎𝒙 sea
una solución de la ecuación diferencial dada.
En los problemas 33 a 36 use el concepto de que 𝒚 = 𝒄, −∞ < 𝒙 < ∞, es una función constante si y solo si 𝒚′ = 𝟎 para determinar si la ecuación diferencial tiene soluciones constantes.
EJERCICIO 33.
En los problemas 33 a 36 use el concepto de que 𝒚 = 𝒄, −∞ < 𝒙 < ∞, es una función constante si y solo si 𝒚′ = 𝟎 para determinar si la ecuación diferencial tiene soluciones constantes.
2. MODELOS
EJERCICIOS 1.2: Problemas con valores iniciales
En los problemas 1 y 2, 𝒚 = 𝟏/(𝟏 + 𝒄𝟏𝒆−𝒙) es una familia uniparamétrica de soluciones
de la ED de primer orden 𝒚′ = 𝒚 − 𝒚𝟐. Encuentre una solución del PVI de primer orden que consiste en esta ecuación diferencial y la condición inicial dada.
EJERCICIO 1.
En los problemas 3 a 6, 𝒚 = 𝟏/(𝒙𝟐 + 𝒄) es una familia uniparamétrica de soluciones de
la ED de primer orden 𝒚′ + 𝟐𝒙𝒚𝟐 = 𝟎. Determine una solución del PVI de primer orden que consiste en esta ecuación diferencial y la condición inicial dada. Dé el intervalo I más largo en el cual está definida la solución.
EJERCICIO 3.
EJERCICIO 4.
En los problemas 7 a 10, 𝒙 = 𝒄𝟏𝒄𝒐𝒔 𝒕 + 𝒄𝟐𝒔𝒆𝒏 𝒕 es una familia de soluciones de dos parámetros de la ED de segundo orden 𝒙′′ + 𝒙 = 𝟎. Determine una solución del PVI de segundo orden que consiste en esta ecuación diferencial y las condiciones iniciales dadas.
EJERCICIO 7.
En los problemas 11 a 14, 𝒚 = 𝒄𝟏𝒆𝒙 + 𝒄𝟐𝒆−𝒙 es una familia de soluciones de dos
parámetros de la ED de segundo orden 𝒚′′ − 𝒚 = 𝟎. Determine una solución del PVI de segundo orden que consiste en esta ecuación diferencial y las condiciones iniciales dadas.
EJERCICIO 11.
En los problemas 17 a 24 determine una región del plano 𝒙𝒚 para el que la ecuación diferencial dada tendría una solución única cuyas gráficas pasen por un punto (𝒙𝟎, 𝒚𝟎) en la región.
EJERCICIO 17.
EJERCICIOS 1.3: Ecuaciones diferenciales como modelos matemáticos
Dinámica poblacional
EJERCICIO 2.
El modelo de población dado en la ecuación (1) falla al no considerar la tasa de mortalidad; la razón de crecimiento es igual a la tasa de natalidad. En otro modelo del cambio de población de una comunidad se supone que la razón de cambio de la población es una razón neta, esto es, la diferencia entre la tasa de natalidad y la de mortalidad en la comunidad. Determine un modelo para la población P(t) si tanto la tasa de natalidad y la mortalidad son proporcionales a la población presente al tiempo t.
Ley de enfriamiento/calentamiento de Newton
EJERCICIO 5.
Una taza de café se enfría de acuerdo con la ley de enfriamiento de Newton, ecuación (3). Utilice los datos de la gráfica de la temperatura 𝑻(𝒕) en la fi gura 1.3.9 para estimar las constantes Tm, T0 y k en un modelo de la forma de un problema con valores iniciales de primer orden: 𝒅𝑻/𝒅𝒕 = 𝒌(𝑻 − 𝑻𝒎), 𝑻(𝟎) = 𝑻𝟎.
Drenado de un tanque
EJERCICIO 13.
Suponga que está saliendo agua de un tanque a través de un agujero circular de área Ah que está en el fondo. Cuando el agua sale a través del agujero, la fricción y la contracción de la corriente cerca del agujero reducen el volumen de agua que sale del
tanque por segundo a 𝒄𝑨𝒉√𝟐𝒈𝒉, donde 𝒄 (𝟎 < 𝒄 < 𝟏) es una constante empírica.
Determine una ecuación diferencial para la altura h del agua al tiempo t para el tanque cúbico que se muestra en la figura 1.3.11. El radio del agujero es de 𝟐 𝒑𝒖𝒍𝒈. y
𝒈 = 𝟑𝟐 𝒑𝒊𝒆𝒔/𝒔𝟐.
Segunda ley de Newton y ley de Hooke
EJERCICIO 19.
Después de que se fija una masa m a un resorte, éste se estira s unidades y cuelga en reposo en la posición de equilibrio como se muestra en la fi gura 1.3.17b. Después el sistema resorte/masa se pone en movimiento, sea que 𝒙(𝒕) denote la distancia dirigida del punto de equilibrio a la masa. Como se indica en la fi gura 1.3.17c, suponga que la dirección hacia abajo es positiva y que el movimiento se efectúa en una recta vertical que pasa por el centro de gravedad de la masa y que las únicas fuerzas que actúan sobre el sistema son el peso de la masa y la fuerza de restauración del resorte estirado. Utilice la ley de Hooke: la fuerza de restauración de un resorte es proporcional a su elongación total. Determine una ecuación diferencial del desplazamiento 𝒙(𝒕) al tiempo t.
3. ECUACIONES LINEALES DE PRIMER ORDEN
EJERCICIOS 2.3: Ecuaciones Lineales de Primer Orden
En los problemas 1 a 24 determine la solución general de la ecuación diferencial dada. Indique el intervalo I más largo en el que está definida la solución general. Determine si hay algunos términos transitorios en la solución general.
EJERCICIO 23.
En los problemas 25 a 30 resuelva el problema con valores iniciales. Indique el intervalo I más largo en el que está definida la solución.
EJERCICIO 28.
EJERCICIO 29.
En los problemas 31 a 34 proceda como en el ejemplo 6 para resolver el problema con valores iniciales dado. Utilice un programa de graficación para trazar la función continua 𝒚(𝒙).
EJERCICIO 32.
EJERCICIO 36.
Considere el problema con valores iniciales 𝒚′ + 𝒆𝒙𝒚 = 𝒇(𝒙), 𝒚(𝟎) = 𝟏. Exprese la solución del PVI para 𝒙 > 𝟎 como una integral no elemental cuando 𝒇(𝒙) = 𝟏. ¿Cuál es la solución cuando 𝒇(𝒙) = 𝟎? ¿Y cuándo 𝒇(𝒙) = 𝒆𝒙 ?
Problemas para analizar
EJERCICIO 39.
Lea nuevamente el ejemplo 3 y después analice, usando el teorema 1.2.1, la existencia y unicidad de una solución del problema con valores iniciales que consiste en
𝒙𝒚′ − 𝟒𝒚 = 𝒙𝟔𝒆𝒙 y de la condición inicial dada. a) 𝒚(𝟎) = 𝟎 b) 𝒚(𝟎) = 𝒚𝟎, 𝒚𝟎 > 𝟎 c) 𝒚(𝒙𝟎) = 𝒚𝟎, 𝒙𝟎 > 𝟎, 𝒚𝟎 > 𝟎
EJERCICIO 43.
a) Construya una ecuación diferencial lineal de primer orden de la forma
𝒙𝒚′ + 𝒂𝟎(𝒙)𝒚 = 𝒈(𝒙) para la cual 𝒚𝒄 = 𝒄/𝒙𝟑 y 𝒚𝒑 = 𝒙𝟑. Dé un intervalo en el que 𝒚 = 𝒙𝟑 +
𝒄/𝒙𝟑 es la solución general de la ED. b) Dé una condición inicial 𝒚(𝒙𝟎) = 𝒚𝟎 para la ED
que se determinó en el inciso a) de modo que la solución del PVI sea 𝒚 = 𝒙𝟑 − 𝟏/𝒙𝟑.
Repita si la solución es 𝒚 = 𝒙𝟑 + 𝟐/𝒙𝟑. Dé un intervalo de definición I de cada una de estas soluciones. Trace la gráfica de las curvas solución. ¿Hay un problema con valores iniciales cuya solución esté definida en (−∞, ∞)? c) ¿Es único cada PVI encontrado en el inciso b)? Es decir, puede haber más de un solo PVI para el cual,
digamos, 𝒚 = 𝒙𝟑 − 𝟏/𝒙𝟑, x en algún intervalo I, es la solución?
4. ECUACIONES SEPARABLES
EJERCICIOS 2.2: Ecuaciones Separables
EJERCICIO 34.
Demuestre que una solución implícita de
𝟐𝒙 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝒚 𝒅𝒙 − (𝒙𝟐 + 𝟏𝟎)𝒄𝒐𝒔 𝒚 𝒅𝒚 = 𝟎
está dada por 𝒍𝒏(𝒙𝟐 + 𝟏𝟎) + 𝒄𝒔𝒄 𝒚 = 𝒄. Determine las soluciones constantes si se perdieron cuando se resolvió la ecuación diferencial. Con frecuencia, un cambio radical en la forma de la solución de una ecuación diferencial corresponde a un cambio muy pequeño en la condición inicial o en la ecuación misma. En los problemas 35 a 38 determine una solución explícita del problema con valores iniciales dado. Utilice un programa de graficación para dibujar la gráfica de cada solución. Compare cada curva solución en una vecindad de (0, 1).
EJERCICIO 39.
Toda ecuación autónoma de primer orden 𝒅𝒚/𝒅𝒙 = 𝒇(𝒚) es separable. Encuentre las soluciones explícitas 𝒚𝟏(𝒙), 𝒚𝟐(𝒙), 𝒚𝟑(𝒙) y 𝒚𝟒(𝒙) de la ecuación diferencial 𝒅𝒚/𝒅𝒙 =
𝒚 − 𝒚𝟑, que satisfagan, respectivamente las condiciones iniciales 𝒚𝟏(𝟎) = 𝟐, 𝒚𝟐(𝟎) =𝟏
𝟐,
𝒚𝟑(𝟎) = −𝟏
𝟐 y 𝒚𝟒(𝟎) = −𝟐. Utilice un programa de graficación para cada solución.
Compare estas gráficas con las bosquejadas en el problema 19 de los ejercicios 2.1.
Dé el intervalo de definición exacto para cada solución.
EJERCICIO 41. a) Determine una solución explícita del problema con valores iniciales
𝒅𝒚
𝒅𝒙=
𝟐𝒙+𝟏
𝟐𝒚, 𝒚(−𝟐) = −𝟏.
b) Utilice un programa de graficación para dibujar la gráfica de la solución del inciso
a). Use la gráfica para estimar el intervalo I de definición de la solución.
c) Determine el intervalo I de definición exacto mediante métodos analíticos.
Problemas para analizar
EJERCICIO 43.
a) Explique por qué el intervalo de definición de la solución explícita 𝒚 = 𝝓𝟐(𝒙) del
problema con valores iniciales en el ejemplo 2 es el intervalo abierto (−𝟓, 𝟓).
b) ¿Alguna solución de la ecuación diferencial puede cruzar el eje 𝒙? ¿Usted cree que
𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟏 es una solución implícita del problema con valores iniciales 𝒅𝒚/𝒅𝒙 =−𝒙/𝒚, 𝒚(𝟏) = 𝟎?
EJERCICIO 44.
a) Si 𝒂 > 𝟎 analice las diferencias, si existen, entre las soluciones de los problemas con valores iniciales que consisten en la ecuación diferencial 𝒅𝒚/𝒅𝒙 = 𝒙/𝒚 y de cada una de las condiciones iniciales 𝒚(𝒂) = 𝒂, 𝒚(𝒂) = −𝒂, 𝒚(−𝒂) = 𝒂 y 𝒚(−𝒂) = −𝒂.
b) ¿Tiene una solución el problema con valores iniciales 𝒅𝒚/𝒅𝒙 = 𝒙/𝒚, 𝒚(𝟎) = 𝟎? c) Resuelva 𝒅𝒚/𝒅𝒙 = 𝒙/𝒚, 𝒚(𝟏) = 𝟐 e indique el intervalo de definición exacto de esta
solución.
EJERCICIOS 3.2: Ecuación Logística
EJERCICIO 2.
La cantidad 𝑵(𝒕) de personas en una comunidad bajo la influencia de determinado anuncio está gobernada por la ecuación logística. Inicialmente 𝑵(𝟎) = 𝟓𝟎𝟎 y se observa que 𝑵(𝟏) = 𝟏𝟎𝟎𝟎. Determine 𝑵(𝒕) si se predice que habrá un límite de 𝟓𝟎 𝟎𝟎𝟎 personas en la comunidad que verán el anuncio.
EJERCICIO 6.
Investigue el modelo de pesca del problema 5 tanto cualitativa como analíticamente en
el caso en que 𝒂 = 𝟓, 𝒃 = 𝟏, 𝒉 =𝟐𝟓
𝟒. Determine si la población desaparecerá en un
tiempo finito. De ser así, determine ese tiempo.
Modificaciones del modelo logístico
EJERCICIO 5.
a) Si se pesca un número constante h de peces de una pesquería por unidad
de tiempo, entonces un modelo para la población 𝑃(𝑡) de una pesquería al tiempo t está dado por,
𝑑𝑃
𝑑𝑡= 𝑃(𝑎 − 𝑏𝑃) − ℎ, 𝑃(0) = 𝑃0,
donde 𝑎, 𝑏, ℎ y 𝑃0 son constantes positivas. Suponga que 𝑎 = 5, 𝑏 = 1 y ℎ = 4. Puesto que la ED es autónoma, utilice el concepto de esquema de fase de la sección 2.1 para dibujar curvas solución representativas que corresponden a los casos 𝑃0 > 4, 1 < 𝑃0 < 4 y 0 < 𝑃0 < 1. Determine el comportamiento de la población a largo plazo en cada caso.
b) Resuelva el PVI del inciso a). Compruebe los resultados de su esquema de fase del inciso a) utilizando un programa de graficación para trazar la gráfica de 𝑃(𝑡) con una condición inicial tomada de cada uno de los tres intervalos dados.
c) Utilice la información de los incisos a) y b) para determinar si la población de
la pesquería desaparecerá en un tiempo fi nito. De ser así, determine ese tiempo.
5. ECUACIONES EXACTAS
EJERCICIOS 2.4: Ecuaciones Exactas
En los problemas 21 a 26 resuelva el problema con valores iniciales.
EJERCICIO 21.
EJERCICIO 27.
En los problemas 27 y 28 determine el valor de k para el que la ecuación diferencial es exacta.
EJERCICIO 30.
En los problemas 29 y 30 compruebe que la ecuación diferencial dada es no exacta. Multiplique la ecuación diferencial dada por el factor integrante indicado 𝝁 (𝒙, 𝒚) y compruebe que la nueva ecuación es exacta. Resuelva.
En los problemas 31 a 36 resuelva la ecuación diferencial dada determinando, como en el ejemplo 4, un factor integrante adecuado.
EJERCICIO 31.
EJERCICIO 35.
EJERCICIO 42.
Analice cómo se pueden encontrar las funciones 𝑴 (𝒙, 𝒚) y 𝑵 (𝒙, 𝒚) tal que cada ecuación diferencial sea exacta. Lleve a cabo sus ideas.
6. ECUACIONES HOMOGÉNEAS Y DE BERNOULLI
EJERCICIOS 2.5: Ecuaciones Homogéneas y de Bernoulli
Cada una de las ED de los problemas 1-14 es homogénea.
En los problemas 1 a 10 resuelva la ecuación diferencial dada usando las sustituciones adecuadas.
EJERCICIO 7.
EJERCICIO 11.
En los problemas 11 a 14 resuelva el problema con valores iniciales dado.
EJERCICIO 12.
Problemas para analizar
EJERCICIO 31.
Explique por qué es posible expresar cualquier ecuación diferencial homogénea 𝑴(𝒙, 𝒚)𝒅𝒙 + 𝑵 (𝒙, 𝒚)𝒅𝒚 = 𝟎 en la forma
𝒅𝒚
𝒅𝒙= 𝑭 (
𝒚
𝒙)
. Podría comenzar por demostrar que
𝑴 (𝒙, 𝒚) = 𝒙∝𝑴(𝟏, 𝒚/𝒙) y 𝑵 (𝒙, 𝒚) = 𝒙∝𝑵(𝟏, 𝒚/𝒙)
EJERCICIO 17.
En los problemas 15 a 20 resuelva la ecuación diferencial dada usando una sustitución adecuada.
EJERCICIO 18.
EJERCICIO 21.
En los problemas 21 y 22 resuelva el problema con valores iniciales dado.
7. MODELOS
EJERCICIOS 3.1, 3.2, 3.3: Modelamiento
EJERCICIOS 3.1:
Crecimiento y decrecimiento
EJERCICIO 5.
El isótopo radiactivo del plomo Pb-209, decae con una razón proporcional a la cantidad presente al tiempo t y tiene un vida media de 3.3 horas. Si al principio había 1 gramo de plomo, ¿cuánto tiempo debe transcurrir para que decaiga 90%?
Ley de Newton enfriamiento/calentamiento
EJERCICIO 13.
Un termómetro se cambia de una habitación donde la temperatura es de 70° F al exterior, donde la temperatura del aire es de 10° F. Después de medio minuto el termómetro indica 50° F. ¿Cuál es la lectura del termómetro en 𝒕 = 𝟏 𝒎𝒊𝒏? ¿Cuánto tiempo le tomará al termómetro alcanzar los 15° F?
Modelos lineales adicionales
EJERCICIO 35.
Resistencia del aire. En la ecuación (14) de la sección 1.3 vimos una ecuación diferencial que describe la velocidad 𝒗 de una masa que cae sujeta a una resistencia del aire proporcional a la velocidad instantánea es
𝒎 𝒅𝒗
𝒅𝒕= 𝒎𝒈 − 𝒌𝒗,
Donde 𝒌 > 𝟎 es una constante de proporcionalidad. La dirección positiva se toma hacia abajo.
a) Resuelva la ecuación sujeta a la condición inicial 𝒗(𝟎) = 𝒗𝟎.
b) Utilice la solución del inciso a) para determinar la velocidad límite o terminal de la
masa. Vimos cómo determinar la velocidad terminal sin resolver la ED del problema 40 en los ejercicios 2.1.
c) Si la distancia s, medida desde el punto en el que se suelta la masa se relaciona con la velocidad 𝒗 por 𝒅𝒔/𝒅𝒕 = 𝒗(𝒕), determine una expresión explícita para 𝒔(𝒕), si 𝒔(𝟎) = 𝟎.
EJERCICIO 41.
Modelo poblacional En un modelo del cambio de población de 𝑷(𝒕) de una comunidad, se supone que
𝒅𝑷
𝒅𝒕=
𝒅𝑩
𝒅𝒕−
𝒅𝑫
𝒅𝒕
Donde 𝒅𝑩/𝒅𝒕 y 𝒅𝑫/𝒅𝒕 son las tasas de natalidad y mortandad, respectivamente. a) Determine 𝑷(𝒕) si 𝒅𝑩/𝒅𝒕 = 𝒌𝟏𝑷 y 𝒅𝑫/𝒅𝒕 = 𝒌𝟐𝑷.
b) Analice los casos 𝒌𝟏 > 𝒌𝟐, 𝒌𝟏 = 𝒌𝟐 y 𝒌𝟏 < 𝒌𝟐.
EJERCICIOS 3.2:
Reacciones química
EJERCICIO 9.
Dos sustancias químicas A y B se combinan para formar la sustancia química C. La razón de reacción es proporcional al producto de las cantidades instantáneas de A y B que no se han convertido en C. Al principio hay 40 gramos de A y 50 gramos de B, y por cada gramo de B se consumen 2 de A. Se observa que a los cinco minutos se han formado 10 gramos de C. ¿Cuánto se forma en 20 minutos de C? ¿Cuál es la cantidad límite de C a largo plazo? ¿Cuánto de las sustancias A y B queda después de mucho tiempo?
EJERCICIOS 3.3:
Modelos depredador - presa
EJERCICIO 9.
Considere el modelo depredador-presa de Lotka-Volterra defi nido por
donde las poblaciones 𝒙(𝒕) (depredadores) y 𝒚(𝒕) (presa) se miden en miles. Suponga que 𝒙(𝟎) = 𝟔 y 𝒚(𝟎) = 𝟔. Utilice un programa de solución numérica para graficar 𝒙(𝒕) y 𝒚(𝒕). Use las gráficas para aproximar el tiempo 𝒕 > 𝟎 cuando las dos poblaciones son al principio iguales. Use las gráficas para aproximar el periodo de cada población.
Problema aportado
EJERCICIO 21.
Un problema de mezclas. Un par de tanques están conectados como se muestra en la figura 3.3.12. Al tiempo 𝒕 = 𝟎, el tanque A contiene 500 litros de líquido, 7 de los cuales son de etanol. Comenzando en 𝒕 = 𝟎, se agregan 3 litros por minuto de una solución de etanol a 20%. Además se bombean 2 L/min del tanque B al tanque A. La mezcla resultante es continuamente mezclada y se bombean 5 L/min al tanque B. El contenido del tanque B es también continuamente mezclado. Además de los 2 litros que se regresan al tanque A, 3 L/min se descargan desde el sistema. Sean que 𝑷(𝒕) y 𝑸(𝒕) denote el número de litros de etanol en los tanques A y B al tiempo t. Queremos encontrar 𝑷(𝒕). Usando el principio de que
razón de cambio = razón de entrada de etanol – razón de salida de etanol,
obtenemos el sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden
a) Analice cualitativamente el comportamiento del sistema. ¿Qué ocurre a corto plazo? ¿Qué ocurre a largo plazo?
b) Intente resolver este sistema. Cuando la ecuación (19) se deriva respecto al tiempo
t, se obtiene
Sustituyendo (20) en esta ecuación y simplificando.
c) Muestre que cuando se determina Q de la ecuación (19) y se sustituye la respuesta en el inciso b), obtenemos
d) Está dado que 𝑷(𝟎) = 𝟐𝟎𝟎. Muestre que 𝑷′(𝟎) = −𝟔𝟑
𝟓𝟎. Después resuelva la ecuación
diferencial en el inciso c) sujeto a estas condiciones iniciales.
e) Sustituya la solución del inciso d) en la ecuación (19) y resuelva para 𝑸(𝒕).
f) ¿Qué les pasa a 𝑷(𝒕) y 𝑸(𝒕) conforme 𝒕 → ∞?
8. ECUACIONES HOMOGÉNEAS
EJERCICIOS 4.1, 4.2, 4.3, 4.7: Ecuaciones Homogéneas (de orden
superior)
EJERCICIOS 4.1:
EJERCICIO 26.
En los problemas 23 a 30 compruebe que las funciones dadas forman un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación diferencial en el intervalo que se indica. Forme la solución general.
EJERCICIO 38.
Suponga que 𝒚𝟏 = 𝒆𝒙 y 𝒚𝟐 = 𝒆−𝒙 son dos soluciones de una ecuación diferencial lineal homogénea. Explique por qué 𝒚𝟑 = 𝒄𝒐𝒔𝒉 𝒙 y 𝒚𝟒 = 𝒔𝒆𝒏𝒉 𝒙 son también soluciones de la ecuación.
EJERCICIOS 4.2:
En los problemas 1 a 16 la función indicada 𝒚𝟏(𝒙) es una solución de la ecuación diferencial dada. Use la reducción de orden o la fórmula (5), como se indica, para encontrar una segunda solución 𝒚𝟐(𝒙).
EJERCICIO 12.
EJERCICIO 13.
En los problemas 1 a 14, obtenga la solución general de la ecuación diferencial de segundo orden dada.
EJERCICIOS 4.3:
EJERCICIO 5.
En los problemas 15 a 28 encuentre la solución general de la ecuación diferencial de orden superior dada.
EJERCICIO 25.
En los problemas 29 a 36 resuelva el problema con valores Iniciales
EJERCICIO 30.
EJERCICIO 31.
EJERCICIO 35.
EJERCICIOS 4.7:
En los problemas 31 a 36 use la sustitución 𝒙 = 𝒆𝒕 para convertir la ecuación de Cauchy-Euler a una ecuación diferencial con coeficientes constantes. Resuelva la ecuación original al resolver la nueva ecuación usando los procedimientos de las secciones 4.3 a 4.5.
EJERCICIO 31.
EJERCICIO 32.
9. ECUACIONES NO HOMOGÉNEAS
EJERCICIOS 4.6: Variación de Parámetros
En los problemas 1 a 18 resuelva cada ecuación diferencial por medio de variación de parámetros.
EJERCICIO 13.
EJERCICIO 14.
EJERCICIO 15.
En los problemas 19 a 22 resuelva cada ecuación diferencial mediante variación de parámetros, sujeta a las condiciones iniciales 𝒚(𝟎) = 𝟏, 𝒚′(𝟎) = 𝟎.
EJERCICIO 20.
EJERCICIOS 4.4: Coeficientes Indeterminados
En los problemas 1 a 26 resuelva la ecuación diferencial dada usando coeficientes indeterminados.
EJERCICIO 16.
EJERCICIO 17.
En los problemas 27 a 36 resuelva el problema con valores iniciales dado.
EJERCICIO 31.
En los problemas 41 y 42 resuelva el problema con valores iniciales dado en el que la función de entrada 𝒈(𝒙) es discontinua. [Sugerencia: Resuelva cada problema en dos intervalos y después encuentre una solución tal que 𝒚 y 𝒚′ sean continuas en 𝒙 = 𝝅/𝟐 (problema 41) y en 𝒙 = 𝝅 (problema 42).]
EJERCICIO 41.
10. APLICACIONES DE SEGUNDO ORDEN
EJERCICIOS 5.1.1: SISTEMAS RESORTE/MASA MOVIMIENTO
LIBRE NO AMORTIGUADO
EJERCICIO 10.
Una masa que pesa 10 libras alarga un resorte 1/4 pie. Esta masa se retira y se coloca una de 1.6 slugs, que se libera desde un punto situado a 1/3 pie arriba de la posición de equilibrio, con una velocidad descendente de 5/4 pie/s. Exprese la ecuación de movimiento en la forma dada en (6). ¿En qué tiempos la masa logra un desplazamiento debajo de la posición de equilibrio numéricamente igual a 1/2 de la amplitud?
EJERCICIOS 5.1.2: SISTEMAS RESORTE/MASA MOVIMIENTO
LIBRE AMORTIGUADO
EJERCICIO 21.
Una masa que pesa 4 libras se une a un resorte cuya constante es 2 lb/pie. El medio ofrece una fuerza de amortiguamiento que es numéricamente igual a la velocidad instantánea. La masa se libera desde un punto situado 1 pie arriba de la posición de equilibrio con una velocidad descendente de 8 pies/s. Determine el tiempo en el que la masa pasa por la posición de equilibrio. Encuentre el tiempo en el que la masa alcanza
su desplazamiento extremo desde la posición de equilibrio. ¿Cuál es la posición de la masa en este instante?
EJERCICIO 23.
Una masa de 1 kilogramo se fi ja a un resorte cuya constante es 16 N/m y luego el sistema completo se sumerge en un líquido que imparte una fuerza amortiguadora igual a 10 veces la velocidad instantánea. Determine las ecuaciones de movimiento si: a) al inicio la masa se libera desde un punto situado 1 metro abajo de la posición de
equilibrio, y luego b) la masa se libera inicialmente desde un punto 1 me tro abajo de la posición de
equilibrio con una velocidad ascendente de 12 m/s.
EJERCICIO 25.
Una fuerza de 2 libras alarga 1 pie un resorte. Una masa que pesa 3.2 libras se une al resorte y luego se sumerge el sistema en un medio que ofrece una fuerza amortiguamiento igual a 0.4 veces la velocidad instantánea. a) Encuentre la ecuación de movimiento si inicialmente se libera la masa desde el reposo
en un punto situado a 1 pie por encima de la posición de equilibrio.
b) Exprese la ecuación de movimiento en la forma dada en (23).
c) Encuentre la primera vez en que la masa pasa a través de la posición de equilibrio en dirección hacia arriba.
EJERCICIOS 5.1.3: SISTEMAS RESORTE/MASA MOVIMIENTO
FORZADO
EJERCICIO 29.
Una masa que pesa 16 libras alarga 8/3 pie un resorte. La masa se libera inicialmente desde el reposo desde un punto 2 pies abajo de la posición de equilibrio y el movimiento posterior ocurre en un medio que ofrece una fuerza de amortiguamiento igual a 1/2 de la velocidad instantánea. Encuentre la ecuación de movimiento si se aplica a la masa una fuerza externa igual a 𝒇(𝒕) = 𝟏𝟎 𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒕.
11. TRANSFORMADA DE LAPLACE
EJERCICIOS 7.1: DEFINICIÓN DE LA TRANSFORMADA DE
LAPLACE
En los problemas l a 18 use la definición 7.1 para encontrar 𝓛{𝒇(𝒕)}.
EJERCICIO 1.
EJERCICIO 12.
En los problemas 19 a 36 use el teorema 7.1.1 para encontrar 𝓛{𝒇(𝒕)}.
EJERCICIO 31.
EJERCICIOS 7.2.: TRANSFORMADAS INVERSAS Y
TRANSFORMADAS DE DERIVADAS
EJERCICIOS 7.2.2: TRANSFORMADAS DE DERIVADAS
En los problemas 31 a 40, use la transformada de Laplace para resolver el problema con valores iniciales.
EJERCICIO 35.
EJERCICIO 36.
EJERCICIOS 7.3: PROPIEDADES OPERACIONALES I
7.3.1 TRASLACIÓN EN EL EJE s
EJERCICIO 5.
EJERCICIOS 7.4: PROPIEDADES OPERACIONALES II
7.4.1 DERIVADAS DE UNA TRANSFORMADA
En los problemas 1 a 8 use el teorema 7.4.1 para evaluar cada una de las transformadas de Laplace.
EJERCICIO 2.
7.4.2 TRANSFORMADA DE INTEGRALES
En los problemas 19 a 30, use el teorema 7.4.2 para evaluar cada una de las transformadas de Laplace. No evalúe la integral antes de transformar.
EJERCICIO 19.
En los problemas 31 a 34, use (8) para evaluar cada transformada inversa.
EJERCICIO 31.
En los problemas 37 a 46, use la transformada de Laplace para resolver la ecuación integral o la ecuación integro diferencial
EJERCICIO 37.
ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
DEPARTAMENTO DE FORMACIÓN BÁSICA
ECUACIONES DIFERENCIALES ODINARIAS
EJERCICIOS RESUELTOS
SEMESTRE 2019 A
1. DEFINICIONES Y TERMINOLOGÍA
EJERCICIOS 1.1: Definiciones y terminología
EJERCICIO 7.
EJERCICIO 8.
EJERCICIO 14.
En los problemas 15 a 18 compruebe que la función indicada 𝒚 = 𝝓(𝒙) es una solución explícita de la ecuación diferencial de primer orden dada. Proceda como en el ejemplo 2, considerando a 𝝓 simplemente como una función, dando su dominio. Después considere a 𝝓 como una solución de la ecuación diferencial, dando al menos un intervalo I de definición.
EJERCICIO 17.
EJERCICIO 18.
EJERCICIO 30.
EJERCICIO 36.
2. MODELOS
EJERCICIOS 1.2: Problemas con valores iniciales
EJERCICIO 2.
EJERCICIO 5.
EJERCICIO 6.
EJERCICIO 8.
EJERCICIO 12.
EJERCICIO 18.
EJERCICIO 26.
EJERCICIOS 1.3: Ecuaciones diferenciales como modelos matemáticos
EJERCICIO 3.
EJERCICIO 6.
EJERCICIO 14.
EJERCICIO 16.
EJERCICIO 20.
EJERCICIO 17.
3. ECUACIONES LINEALES DE PRIMER ORDEN
EJERCICIOS 2.3: Ecuaciones Lineales de Primer Orden
EJERCICIO 24.
EJERCICIO 26.
EJERCICIO 27.
EJERCICIO 33.
EJERCICIO 36.
EJERCICIO 39.
EJERCICIO 44.
EJERCICIO 30.
4. ECUACIONES SEPARABLES
EJERCICIOS 2.2: Ecuaciones Separables
EJERCICIO 7.
EJERCICIO 21.
EJERCICIO 22.
EJERCICIO 33.
EJERCICIO 42.
EJERCICIO 29.
EJERCICIO 30.
EJERCICIO 31.
EJERCICIOS 3.2: Ecuación Logística
EJERCICIO 3.
EJERCICIO 7.
EJERCICIO 8.
5. ECUACIONES EXACTAS
EJERCICIOS 2.4: Ecuaciones Exactas
EJERCICIO 25.
EJERCICIO 28.
EJERCICIO 29.
EJERCICIO 32.
EJERCICIO 36.
EJERCICIO 37.
EJERCICIO 38.
EJERCICIO 41.
6. ECUACIONES HOMOGÉNEAS Y DE BERNOULLI
EJERCICIOS 2.5: Ecuaciones Homogéneas y de Bernoulli
EJERCICIO 8.
EJERCICIO 9.
EJERCICIO 13.
EJERCICIO 14.
EJERCICIO 32.
EJERCICIO 19.
EJERCICIO 20.
EJERCICIO 22.
EJERCICIO 35.
EJERCICIO 38.
7. MODELOS
EJERCICIOS 3.1, 3.2, 3.3: Modelamiento
EJERCICIOS 3.1:
EJERCICIO 37.
EJERCICIO 42.
EJERCICIO 6.
EJERCICIO 23.
EJERCICIO 14.
EJERCICIOS 3.2:
EJERCICIO 10.
REPASO CAPÍTULO 3: 14
EJERCICIO 14.
8. ECUACIONES HOMOGÉNEAS
EJERCICIOS 4.1, 4.2, 4.3, 4.7: Ecuaciones Homogéneas (de orden
superior)
EJERCICIOS 4.1:
EJERCICIO 27.
EJERCICIO 28.
EJERCICIO 40
EJERCICIOS 4.2:
EJERCICIO 14.
EJERCICIO 15.
EJERCICIO 16.
EJERCICIOS 4.3:
EJERCICIO 26.
EJERCICIO 28.
EJERCICIO 33.
EJERCICIO 34.
EJERCICIO 36.
EJERCICIOS 4.7:
EJERCICIO 37.
EJERCICIO 38.
REPASO CAPÍTULO 4: 21
EJERCICIO 21.
9. ECUACIONES NO HOMOGÉNEAS
EJERCICIOS 4.6: Variación de Parámetros
EJERCICIO 16.
EJERCICIO 17.
EJERCICIO 18.
EJERCICIO 21.
EJERCICIO 22.
EJERCICIO 24
EJERCICIOS 4.4: Coeficientes indeterminados
EJERCICIO 18.
En los problemas 1 a 26 resuelva la ecuación diferencial dada usando coeficientes indeterminados.
EJERCICIO 19.
EJERCICIO 20.
EJERCICIO 32.
En los problemas 27 a 36 resuelva el problema con valores iniciales dado.
EJERCICIO 33.
EJERCICIO 42.
En los problemas 41 y 42 resuelva el problema con valores iniciales dado en el que la función de entrada 𝒈(𝒙) es discontinua. [Sugerencia: Resuelva cada problema en dos intervalos y después encuentre una solución tal que 𝒚 y 𝒚′ sean continuas en 𝒙 = 𝝅/𝟐 (problema 41) y en 𝒙 = 𝝅 (problema 42).]
10. APLICACIONES DE SEGUNDO ORDEN
EJERCICIOS 5.1.1: SISTEMAS RESORTE/MASA MOVIMIENTO
LIBRE NO AMORTIGUADO
EJERCICIO 11.
Una masa que pesa 64 libras alarga 0.32 pies un resorte. Al inicio la masa se libera desde un
punto que está 8 pulgadas arriba de la posición de equilibrio con una velocidad descendente de 5
pies/s.
a) Encuentre la ecuación de movimiento.
b) ¿Cuáles son la amplitud y el periodo del movimiento?
c) ¿Cuántos ciclos completos habrá realizado la masa al final de 𝟑𝝅 segundos?
d) ¿En qué momento la masa pasa por la posición de equilibrio con dirección hacia abajo por
segunda vez?
e) ¿En qué instantes la masa alcanza sus desplazamientos extremos en cualquier lado de la
posición de equilibrio?
f) ¿Cuál es la posición de la masa en 𝒕 = 𝟑𝒔?
g) ¿Cuál es la velocidad instantánea en 𝒕 = 𝟑𝒔 ?
h) ¿Cuál es la aceleración en 𝒕 = 𝟑𝒔 ?
i) ¿Cuál es la velocidad instantánea en los instantes cuando la masa pasa por la posición de
equilibrio?
j) ¿En qué instantes la masa está 5 pulgadas abajo de la posición de equilibrio?
k) ¿En qué instantes la masa está 5 pulgadas abajo de la posición de equilibrio apuntando en
dirección hacia arriba?
EJERCICIO 12.
Una masa de 1 slug se suspende de un resorte cuya constante es de 9 lb/pie. Inicialmente la masa
se libera desde un punto que está 1 pie arriba de la posición de equilibrio con una velocidad
ascendente de √𝟑 pies/s. Determine los instantes en los que la masa se dirige hacia abajo a una
velocidad de 3 pies/s.
EJERCICIOS 5.1.2: SISTEMAS RESORTE/MASA MOVIMIENTO
LIBRE AMORTIGUADO
EJERCICIO 22.
Un resorte de 4 pies mide 8 pies de largo después de colgarle una masa que pesa 8 libras. El medio
por el que se mueve la masa ofrece una fuerza de amortiguamiento iguala √𝟐 veces la velocidad
instantánea. Encuentre la ecuación de movimiento si la masa se libera inicialmente desde la
posición de equilibrio con una velocidad descendente de 5 pies/s. Calcule el tiempo en que la masa
alcanza su desplazamiento extremo desde la posición de equilibrio. ¿Cuál es la posición de la
masa en ese instante?
EJERCICIO 24.
En los incisos a) y b) del problema 23, determine si la masa pasa por la posición de equilibrio. En cada caso calcule el tiempo en que la masa alcanza su desplazamiento extremo desde la posición de equilibrio. ¿Cuál es la posición de la masa en este instante?
23. Una masa de 1 kilogramo se fi ja a un resorte cuya constante es 16 N/m y luego el sistema completo se sumerge en un líquido que imparte una fuerza amortiguadora igual a 10 veces la velocidad instantánea. Determine las ecuaciones de movimiento si: a) al inicio la masa se libera desde un punto situado 1 metro abajo de
la posición de equilibrio, y luego b) la masa se libera inicialmente desde un punto 1 metro abajo de la
posición de equilibrio con una velocidad ascendente de 12 m/s.
EJERCICIO 26.
Después de que una masa de 10 libras se sujeta a un resorte de 5 pies, éste llega a medir 7 pies.
Se retira la masa y se sustituye con una de 8 libras. Luego se coloca al sistema en un medio que
ofrece una fuerza de amortiguamiento igual a la velocidad instantánea.
a) Encuentre la ecuación de movimiento si la masa se libera inicialmente desde el reposo de un
punto situado 1 pie arriba de la posición de equilibrio.
b) Exprese la ecuación de movimiento en la forma dada en (23).
c) Calcule los tiempos en los que la masa pasa por la posición de equilibrio con dirección hacia
abajo.
d) Trace la gráfica de la ecuación de movimiento.
EJERCICIOS 5.1.3: SISTEMAS RESORTE/MASA MOVIMIENTO
FORZADO
EJERCICIO 30.
Una masa de 1 slug está unida a un resorte cuya constante es 5 lb/pie. Al inicio la masa se libera
1 pie debajo de la posición de equilibrio con una velocidad descendente de 5 pies/s y el movimiento
posterior toma lugar en un medio que ofrece una fuerza de amortiguamiento igual a dos veces la
velocidad instantánea.
a) Encuentre la ecuación de movimiento si una fuerza externa igual a
𝒇(𝒕) = 𝟏𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒕 + 𝟑 𝒔𝒆𝒏 𝟐𝒕 actúa sobre la masa.
b) Trace la gráfica de las soluciones transitorias y de estado estable en los mismos ejes de
coordenadas.
c) Trace la gráfica de la ecuación de movimiento.
11. TRANSFORMADA DE LAPLACE
EJERCICIOS 7.1: DEFINICIÓN DE LA TRANSFORMADA DE
LAPLACE
En los problemas l a 18 use la definición 7.1 para encontrar 𝓛{𝒇(𝒕)}.
EJERCICIO 2.
EJERCICIO 13.
En los problemas 19 a 36 use el teorema 7.1.1 para encontrar 𝓛{𝒇(𝒕)}.
EJERCICIO 32.
EJERCICIOS 7.2: TRANSFORMADAS INVERSAS Y
TRANSFORMADAS DE DERIVADAS
EJERCICIOS 7.2.1: TRANSFORMADAS INVERSAS
En los problemas 1 a 30 use el álgebra apropiada y el teorema 7.2.1 para encontrar la transformada inversa de Laplace dada.
EJERCICIO 8.
EJERCICIOS 7.2.2: TRANSFORMADAS DE DERIVADAS
En los problemas 31 a 40, use la transformada de Laplace para resolver el problema con valores iniciales.
EJERCICIO 37.
EJERCICIO 38.
EJERCICIOS 7.3: PROPIEDADES OPERACIONALES I
7.3.1 TRASLACIÓN EN EL EJE s
EJERCICIO 6.
EJERCICIOS 7.4: PROPIEDADES OPERACIONALES II
7.4.1 DERIVADAS DE UNA TRANSFORMADA
En los problemas 1 a 8 use el teorema 7.4.1 para evaluar cada una de las transformadas de Laplace.
EJERCICIO 3.
7.4.2 TRANSFORMADA DE INTEGRALES
En los problemas 19 a 30, use el teorema 7.4.2 para evaluar cada una de las transformadas de Laplace. No evalúe la integral antes de transformar.
EJERCICIO 20.
En los problemas 31 a 34, use (8) para evaluar cada transformada inversa.
EJERCICIO 32.
En los problemas 37 a 46, use la transformada de Laplace para resolver la ecuación integral o la ecuación integro diferencial
EJERCICIO 38.