Examen de la Asignatura: Control e Instrumentación de Procesos Químicos Junio 2009 3. h. Problema 1 En la Figura 1 puede verse un dispositivo en el que un cierto producto adquiere una viscosidad V tras ser procesado. Se conoce que la relación entre la viscosidad V, la temperatura T de entrada del producto y la señal u al motor M viene dada por:

)2t(buVTdtdVV −=+ (1)

La temperatura T viene impuesta por el proceso anterior, pero la señal u puede ser manipulada. Se sabe también que el sistema opera normalmente con un valor de u en torno a 30% de su rango, valor para el cual, en condiciones estacionarias y con una temperatura de entrada de 60ºC, la viscosidad vale 50, todo ello en el sistema de unidades en que está expresada (1). (t tiempo en minutos)

T VM

u

Figura 1. Se pide: a) Proponer un esquema de regulación con nomenclatura ISA y dibujar el

correspondiente diagrama de bloques indicando las funciones de transferencia. b) Sintonizar un regulador de la viscosidad de salida con el criterio de obtener una

respuesta ante cambios de temperatura en salto sin error estacionario y que minimice los errores grandes en el punto de trabajo antes indicado.

c) En caso de que sea conveniente, diseñar un compensador feedforward de los cambios de temperatura.

d) Si la temperatura cambia continuamente a razón de 2ºC por hora, ¿cual será el error estacionario con el regulador antes diseñado?

e) Si, trabajando en lazo cerrado, la consigna de viscosidad experimentara cambios sinusoidales de amplitud 2 unidades y periodo 2 minutos, ¿Cuál será la evolución de la viscosidad al cabo de un cierto tiempo?

Problema 2 En el proceso de la figura, se desea procesar una cierta cantidad de un producto B que debe mezclarse con otro A en un reactor con un relleno que opera endotérmicamente para producir el producto C. En el reactor la temperatura debe mantenerse de modo que en ningún punto del mismo esté por debajo de un cierto valor a pesar de posibles perturbaciones. El producto C de la reacción se concentra posteriormente en un evaporador de tipo Robert en el que se desea mantener con precisión la densidad del concentrado. El vapor de alimentación se comparte con un intercambiador de calor que permite calentar la corriente A, y se sabe que el caudal total de vapor no puede manipularse y experimenta cambios significativos. El condensador de la figura puede experimentar también cambios de presión. Se pide: Dibujar un diagrama de control e instrumentación con nomenclatura ISA que cumpla con los requisitos antes mencionados y explicar su funcionamiento.

A

B

C

Vapor

Condensador

Condensado

Examen de la Asignatura: Control e Instrumentación de Procesos Químicos Junio 2009 1 h.

Cuestiones

1. ¿Qué es el diagrama de Nyquist de un sistema y para qué puede usarse?

2. ¿Qué se entiende por control de rango partido? Pon un ejemplo

3. ¿Qué puedes decir sobre el tipo de respuesta ante un salto en escalón en la entrada que presentaría un sistema cuya función de transferencia fuera:

1s4se)2s(

2

s5

++− −

4. ¿Qué es un Grafcet? Explícalo brevemente 5. Si, partiendo de unas condiciones de equilibrio, un sistema al que se le da un

salto en la variable manipulada responde como en la figura, ¿Qué tipo de modelo podría postularse para el mismo?

0 5 10 15-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5Step Respons e

Time (sec)

Am

plit

ude

Solucion problema 1 Se conoce que:

buVTdtdVV =+ buVT = 50 . 60 = b 30 b = 100

Linealizando el sistema en el punto de operación u = 30, V = 50, T = 60:

)(65

5)(65

10)(

50)5.0(1006050

)5.0(100)(

0)5.0(

5.0

00

00

sTs

sUsesV

TtuVdt

Vd

tuTVVdt

VdTdt

VdV

tbuVTdtdVV

s

+−

+=

Δ−−Δ=Δ+Δ

−Δ=Δ+ΔΔ

++Δ

=−−+

−

Diseño por Lopez con criterio MISE => porque quiero eliminar cambios en la perturbación T(s), como no quiero errores estacionarios, un PI o un POD, y como quiero minimizar errores grandes en el punto de trabajo: criterio MISE d = 0.5 τ = 5/6 = 0.83 K= 10/6 = 1.6 PI => MISE => parte proporcional: a=1.305, b=-0.959

b

i

daT

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=τ

τ b

d daT

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=ττ

G(s)

D(s)

V(s) U

T

b

pdaKK ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=τ

Para poder aplicar esto d/τ <1 => en nuestro caso: 0.5/0.83 = 0.6 <1 => se cumple 1.6 Kp = 1.305 * 0.6-0.959 => Kp= 1.33 Integral => a=0.492 ; b= -0.739 0.833 / Ti = 0.492 * 0.6-0.739 => Ti = 1.16 PI => U(s) = 1.33 ( 1 + 1/ 1.16s) c) No es conveniente un feedforward => porque la salida del sistema afectado por las perturbaciones es mucho más rápido que la función de transferencia del sistema G(S) que tiene un retardo de 0.5 m.

d) Sistema en lazo cerrado:

Error estacionario:

)(4592.212.216.19663.0

9663.0)()16.1/11(33.1*)183.0/(6.11

)65/(5)( 5.00525.0 sTseess

sSTsse

ssE sss −−− +++=

++++−

−=

Rampa => T(s)= 2ºC / hora = 2ºC/ 60 minutos = 0.033 T(t)=0.033 t => T(s)= 0.0333 / s2

G(s)

D(s)

V(s) U

T

PI

W

))s( )s(R)s(G1

)s(D)s(W)s(R )s (G 1

1 (slim )s (sE lim e T0s0 sss +

-+

==→→

4558.012.2

033.0*09633.0033.04592.212.216.19663.0

9663.0lim)(lim 25.005200==

+++==

−−→→ sseessssssEe ssssss

e) T= 2 minutos => w = 2π/T = π

Amplitud = 2 * | F(jw) |

)(

16.1)116.1(33.1

)183.0(6.11

16.1)116.1(33.1

)183.0(6.1

)( 5.0

5.0

sW

ss

se

ss

se

sF s

s

++

+

++

= −

−

)()()(1

)()()()(1

)()()( sVsRsG

sDsWsRsG

sRsGsY+

++

=

Solución Problema 2

LS TT

A

FC FT

LC

LT

FT FC FF

B

C

Vapor

TC

TT Condensador

LT LC

PC

PT

DC

DT

FT

FY FY

Condensado

TT

TT

TC

Problemas de la Asignatura “Control e Instrumentación de Procesos Químicos”4º curso de Ingeniería Química

Problema 1

En el sistema de la figura pueden verse dos depósitos de almacenamiento, A y B, a los quellega un líquido proveniente de ciertas fuentes de suministro. La salida del depósito B pasa porun recalentador alimentado con vapor de calefacción y vierte en el depósito C donde tambiénvierte la salida del depósito A. Los líquidos deben mezclarse en cierta proporción. La mezclade ambos en el depósito agitado C se envía a otro proceso que impone el consumo dedeterminadas cantidades variables con el tiempo. Dicha mezcla, además, debe enviarse atemperatura constante mantenida con precisión a pesar de posibles perturbaciones. Se suponeque el líquido que llega a B y A lo hace a temperatura sensiblemente constante, por elcontrario, la presión de suministro de vapor de calefacción sufre cambios notables.

A B

C

vapor

Se pide:1) diseñar un sistema de regulación que cumpla los objetivos propuestos, colocando lostransmisores, actuadores y controladores necesarios.2) justificar el diseño realizado explicando los objetivos del mismo y su funcionamiento.

Solución:

Se necesita implementar un sistema de control que cubra varios objetivos:Mantener el nivel de los depósitos para evitar desbordamientos o situaciones de falta de algúnfluido para la mezclaMantener una proporción entre los flujos de A y B que se vierten en CMantener la temperatura en C a pesar de las perturbaciones de la presión de vapor y de loscambios de caudales entrantesPara ello se ha diseñado la estructura de la figura:

Como el caudal de salida de C está predeterminado, los controles de nivel LC en los tresdepósitos deben implementarse hacia atrás, manipulando la entrada a los depósitos. Podríandiseñarse cascadas nivel-caudal, pero el nivel no es crítico y no parece necesario, por tanto.

Para mantener la proporción entre los caudales de entrada al depósito C, y teniendo en cuentaque el caudal de salida de A lo determina el regulador de nivel de C, se mide dicho caudal yse implementa un control ratio FF sobre el caudal de salida de B.

Para mantener la temperatura de C con precisión hay una cascada de reguladores detemperatura: el regulador de temperatura de C fija la consigna del regulador de temperaturade la corriente B, la única que puede alterarse. Dado que las corrientes A y B entran en unacierta relación, esta parece ser una buena política, siendo importante poder mantener latemperatura de B según se necesite. Para ello, se implementa una cascada adicional con unregulador de presión de la cámara de calefacción del cambiador para absorver los cambios

A B

C

vapo

LC

LC

LC

FC

LT

LT

LT

PC

PT

FTFT

FF TCTT

TT

TC

FY

de presión de vapor y un feedforward con los cambios de caudal para adelantarse a corregirsu efecto.

Problema 2

Se desea realizar un sistema de control de temperatura de un cierto reactor químicoexotérmico, utilizando como actuador una válvula de regulación de refrigerante, tal como se veen la figura.

TC TT

En un ensayo en lazo abierto se ha medido la respuesta temporal de la temperatura en ºCcuando la señal de control a la válvula variaba en -20%, resultando ser la de la figura con laescala temporal en minutos.

Se pide:1) Diseñar un regulador que no presente error estacionario frente a cambios en escalón en lareferencia, que no presente sobrepico ante los mismos y que se estabilice en un tiempo nosuperior a 3 minutos. Justificar el diseño realizado.2) Si la referencia del regulador varia en rampa de pendiente 5 ºC /min. ¿Presentará elsistema error estacionario?. En caso afirmativo calcularlo.

3) Dibujar el lugar de las raíces correspondiente a variaciones de la ganancia del regulador ycomentarlo.

Solución:

1) El sistema, dada la forma de su respuesta escalón, puede aproximarse por un sistema deprimer orden sin retardo, ya que es una respuesta estable sin inflexión en la respuesta nisobrepico.

1sK

)s(G+τ

=

De acuerdo a los criterios de diseño, y teniendo en cuenta el tipo de modelo del proceso,podemos escoger el método de sintonía denominado λ-tuning en el cual el criterio de diseñoes obtener un sistema que en lazo cerrado tenga una respuesta similar a la de la función detransferencia:

1s1+λ

la cual es sobreamortiguada. En nuestro caso, si se desea que el sistema en lazo cerrado seestabilice en menos de 3 minutos, basta que la constante de tiempo λ cumpla con la relación4λ=3 de modo que podemos escoger λ = 0.75 min.

El regulador, puesto que un sistema de primer orden como el de este proceso no tieneintegradores, deberá ser de tipo PI o PID. La tabla de sintonía de Rivera- Morari para un PImejorado proporciona los valores de los parámetros del regulador según:

Donde K es la ganancia, τ la constante de tiempo y d el retardo de un modelo de primerorden con retardo que pueda representar al proceso en lazo abierto. En nuestro caso d=0, demodo que se cumple la condición de validez de uso de la tabla:

El modelo de primer orden puede obtenerse de forma gráfica como puede verse en la figura.La ganancia es el cambio de la salida dividido por el cambio de la entrada:

%Cº

125.0205.2

K −=−

=

y la constante de tiempo puede calcularse, bien mediante el método de la máxima pendiente,bien buscando en instante de tiempo en el que se alcanza el 63.2% del cambio final. Ambosmétodos dan valores muy parecidos τ = 1.2 min., de modo que:

1s2.1125.0

1sK

)s(G+

−=

+τ=

λ+τ

=K2

d2K p 2

dTi +τ=

7.1d

>λ

y los parámetros del regulador resultan:

Kp = -1.2/(0.75 0.125) = -12.8 % / ºC Ti = 1.2 min

2) El error estacionario ante cambios en la referencia viene dado por:

Donde R(s) es la función de transferencia del regulador:

s2.11s2.1

8.12)sT

1sT(K)

sT1

1(K)s(Ri

ip

ip

+−=

+=+=

de modo que:

1.2

2.5

1.58

)s(W)s(R)s(G1

1)s(E

+=

14.233.11

5)s(sElime

s5

s2.1)1s2.1)(8.12(

1s2.1)125.0(

1

1

)s(W)s(R)s(G1

1)s(E

0sss

2

=+

==

+−+

−+

=

+=

→

y el sistema presentará un error estacionario de 2.14 ºC

3) El lugar de las raíces es un diagrama de las soluciones de la ecuación:

1+ Kp G(s)R(s) = 0

En nuestro caso:

p

pp

K1042.0s

0s

K1042.01

s2.1

)1s2.1(K

1s2.1)125.0(

1)s(R)s(G1

=

=−=+

+−

+=+

y el diagrama es: s

Examen de la Asignatura: Control e Instrumentación de Procesos Químicos Junio 2007 3.5 h. Problema 1 En el proceso de la figura 1 puede verse un recipiente cerrado y aislado térmicamente de 10 l. de volumen que recibe un flujo q de un fluido, que sale por rebose, y se calienta desde una temperatura Ti hasta otra T gracias a una resistencia eléctrica R alimentada por una corriente continua I que procede de un amplificador. Este amplificador tiene una entrada u que admite señales en el rango 4-20 mA y proporciona una salida de corriente variable en el rango 0–8A. Se dispone también de un transmisor de temperatura calibrado en el rango 10-60ºC y de un PID comercial que trabaja en unidades de %. Las propiedades del fluido son sensiblemente constantes en el rango de temperaturas de operación y se sabe que cuando el sistema está en estado estacionario, el caudal de entrada es de 2 l/min, la corriente del amplificador es de 4A y la temperatura de entrada es de 20ºC, entonces la temperatura de salida es de 28ºC.

Amplificador

TiT

R

I

u

q

Se pide: a) Calcular un modelo matemático del proceso que relacione las principales variables.

Se supondrá que el amplificador tiene una respuesta lineal y rápida. b) Proponer un esquema de regulación con nomenclatura ISA y dibujar el

correspondiente diagrama de bloques indicando las funciones de transferencia. c) Sintonizar un regulador de la temperatura de salida con el criterio de obtener una

respuesta ante cambios de referencia en salto sin error estacionario y con un tiempo de asentamiento en lazo cerrado de 12min. en un entorno del punto de operación antes indicado.

d) Si el caudal de entrada experimenta cambios sinusoidales como los de la figura 2, (Tiempo en min.)¿Cómo evolucionará la temperatura de salida en lazo cerrado?

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 201.5

1.6

1.7

1.8

1.9

2

2.1

2.2

2.3

2.4

2.5

e) Si se aumenta la ganancia del regulador desde su valor de diseño, ¿Cómo

evolucionará la respuesta en lazo cerrado del sistema ante cambios en salto de la temperatura de entrada?

Problema 2 En el esquema de la figura, se desea procesar ciertas cantidades del producto líquido A, que requiere calentarlo hasta una temperatura de 90ºC en un horno alimentado por gas y mantener el producto en un tanque un tiempo de residencia de 20 min. Se sabe que la presión de suministro del gas experimenta cambios apreciables. El horno calienta simultáneamente una corriente no manipulable de otro producto B que debe mantenerse siempre a una temperatura superior a 80ºC y que se utiliza para calentar una tercera corriente C hasta 40ºC, temperatura que debe mantenerse con precisión a pesar de posibles perturbaciones en la corriente de calefacción. Se pide: Dibujar un diagrama de control del proceso, con la instrumentación adecuada y nomenclatura ISA, y explicar su funcionamiento.

A

B

C

Aire

gas

Examen de la Asignatura: Control e Instrumentación de Procesos Químicos Junio 2007 1 h.

Cuestiones a) ¿Podrias aplicar reguladores PID en el control de un sistema multivariable cuya

RGA fuera:? Razona la respuesta. [ ]

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

7.13.14.13.19.02.14.12,18.0

321

321

uuu

yyy

En caso afirmativo, ¿Cuál seria la mejor combinación de lazos entrada/salida? b) ¿Qué es el lugar de las raíces y para qué se puede emplear? c) ¿Qué puedes decir sobre el tipo de respuesta ante un salto en escalón en la entrada

que presentaría un sistema cuya función de transferencia fuera:

1)2(

2

3

+++ −

sses s ?

d) ¿Qué se entiende por robustez de un lazo de control? ¿Qué medidas de robustez

conoces? e) ¿Bajo que condiciones se puede emplear una compensación en adelanto o

feedforward?

Solución Problema 1 a) Calcular un modelo matemático del proceso que relacione las principales variables. Se supondrá que el amplificador tiene una respuesta lineal y rápida. Un balance energético conduce a:

%en u con08.010016

4-200-8I

mAen u con)4(5.0)4(4-20

0-8I

cte.c,R, V,con )(

m

e

2

uu

uu

cRITTq

tdTdV

mm

ei

==

−=−=

=ρρ

+−=

En estado estacionario:

%5012)4(420

084

116/16 4)2820(20

0

2

==⇒−−−

=

==ρ

⇒ρ

+−=

mAuu

cR

cR

ee

por tanto:

0064.0)(10 2uTTqtdTd

i +−= T en ºC u en %

b) Proponer un esquema de regulación con nomenclatura ISA y dibujar el correspondiente diagrama de bloques indicando las funciones de transferencia.

Amplificador

TiT

R

I u

TT

TC

Para calcular las funciones de transferencia hemos de linealizar previamente el modelo:

0)()()()()(

0),,,,(

1064)(

00

00

00

00

00

24

=−∂∂

+−∂∂

+−∂∂

+−∂∂

+−∂

∂

=

+−= −

uuufqq

qfTT

TfTT

TfTT

Tf

IqTTTf

uTTqtdTd

V

iii

i

i

uuqTTTqTqtdTdV ii Δ+Δ−+Δ+Δ−=

Δ00000 0128.0)(

uKqKTKTtdTd

uq

uq

qTT

TTtdTd

qV

i

ii

Δ+Δ+Δ=Δ+Δ

τ

Δ+Δ−

+Δ=Δ+Δ

321

0

0

0

00

0

0128.0)(

uqTTtdTd

i Δ+Δ−Δ=Δ+Δ 32.045

y tomando transformadas de Laplace resultan las funciones de transferencia:

)(15

32.0)(15

4)(15

1)(

)(1

)(1

)(1

)( 321

sUs

sQs

sTs

sT

sUsK

sQsK

sTsK

sT

i

i

++

+−

++

=

+τ+

+τ+

+τ=

T en ºC , u en %

y como el span es 100/(60-10) = 2,

)(15

64.0)(15

8)(15

2)( sUs

sQs

sTs

sT i ++

+−

++

= T en % del span, u en %

El diagrama de bloques es entonces:

T(s) U(s)

Q(s)

R(s)

Ti(s)

w E(s)

158+

−s 15

2+s

1564.0+s

c) Sintonizar un regulador de la temperatura de salida con el criterio de obtener una respuesta ante cambios de referencia en salto sin error estacionario y con un tiempo de asentamiento en lazo cerrado de 12min. en un entorno del punto de operación antes indicado. En función del objetivo de sintonía Podemos utilizar el criterio de λ-tuning o Rivera-Morari IMC, con un PI o un PID. El λ deseado tendría que ser 12/3 = 4 min. el cual cumple el mínimo λ > 0.2τ = 0.2 * 5 = 1 En nuestro caso el retardo es cero, luego el criterio de sintonía da:

min52/

%/%953.14*64.0

52

2

=+τ=

==λ+τ

=

dTK

dK

i

p

siendo igual para un PID pues resulta Td = 0. s

ssT

ksRi

p 515953.1)11()( +

=+=

d) Si el caudal de entrada experimenta cambios sinusoidales como los de la figura 2, (Tiempo en min.)¿Cómo evolucionará la temperatura de salida en lazo cerrado?

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 201.5

1.6

1.7

1.8

1.9

2

2.1

2.2

2.3

2.4

2.5

La función de transferencia en lazo cerrado es:

)(

515953.1

1564.01

158

)(

515953.1

1564.01

152

)(

515953.1

1564.01

515953.1

1564.0

)(

)()()(1

)()(

)()(1)(

)()()(1

)()()( 22

11

sQ

ss

s

ssT

ss

s

ssW

ss

s

ss

ssT

sVsRsG

sDsV

sRsGsD

sWsRsG

sRsGsY

i ++

+

+−

++

++

+++

++

++=

++

++

+=

)()235.15)(15(

40)( sQss

ssT++

−=

La frecuencia de oscilación es: 2*pi/5 = 1.256 rad/min La respuesta será una sinusoide de frecuencia 1.256 rad/min, amplitud de oscilación |G(jω)| y desfase arg G(jω):

radarctgarctgjjj

jjjjj

jQjjjjT

9294.15235.1

512/

)235.15)(15(40arg

2344.1)235.1256.15)(1256.15(

256.140)235.15)(15(

40

)()235.15)(15(

40)(

−=ω

−ω

−π−=+ω+ωω−

=++

−=

+ω+ωω−

ω+ω+ωω−

=ω

f) Si se aumenta la ganancia del regulador desde su valor de diseño, ¿Cómo

evolucionará la respuesta en lazo cerrado del sistema ante cambios en salto de la temperatura de entrada?

Puesto que

)()64.05)(15(

10)(

515

1564.01

152

)( sTkss

ssT

ssk

s

ssT ip

i

p++

=+

++

+=

El sistema tiene un polo en -1/5, otro en -0.64kp/5 que irá haciéndose mas negativo, y siempre será real, a medida que la ganancia kp aumente, así como un cero en 0. Nótese que un cero en s=0 produce una respuesta que es la derivada de la misma respuesta sin el cero. La respuesta si no hubiese cero seria la de un sistema de segundo orden sobreamortiguado cada vez mas rápido que acercaría su respuesta a uno de primer orden con constante de tiempo 5, y por tanto, con tiempo de asentamiento 15 min. Por tanto ante un salto en la temperatura de entrada la respuesta será:

Sin cero Con cero

Problema 2 Solución

FC

FT

TC

TT

HS

T

Gas

TmA

B

TC

TT

C

AireFCFT

FF

FCFT

FF

LTLC

τ/S

TC

TT

FCFT

TY

+FT

Problemas de “Control e Instrumentación de Procesos Químicos”4º Ingeniería Química

Problema 3

El sistema de la figura representa un cambiador de calor con un sistema de calefacción internono manipulable que calienta un flujo q de agua desde una temperatuta Ti a una temperatura T.Para este sistema se sabe que la relación entre la señal de control a la válvula de entrada U en% y la temperatura de salida T en ºC (tiempo en minutos) viene dada por:

i2 T2U8.8T6

tdTd

3 ++−=

y que cuando el sistema está en estado estacionario y la temperatura de entrada es de 10 ºC,la de salida es de 40ºC.

Se pide:

1) Dibujar sobre el esquema un sistema de control de temperatura

2) Suponer que el regulador es de tipo PI, dibujar un diagrama de bloques y calcular lafunción de transferencia en lazo cerrado despreciando la dinámica del transmisor.

3) Si la ganancia del regulador es 0.1 y el tiempo integral es de 1min estudiar la estabilidad delsistema y la forma de la respuesta ante un salto escalón en la referencia.

4) Calcular el error estacionario frente a un salto de 0.2 ºC en la temperatura de entrada delíquido.

Cambiador

TTi

q

U

1) Para controlar la temperatura la única posibilidad es actuar sobre el flujo de líquido através de la válvula, luego el sistema de control deberá ser como en la figura, donde se hainstalado un transmisor de temperatura y un controlador que manipula la válvula:

2) Para poder establecer un diagrama de bloques y calcular la función de transferencia enlazo cerrado hay que calcular la función de transferencia del proceso. Ello ha de hacerselinealizando el modelo matemático que relaciona la temperatura T con la apertura de laválvula y la temperatura Ti :

i2 T2U8.8T6

tdTd

3 ++−=

Para ello comenzaremos calculando un punto de linealización estacionario. De acuerdo a losdatos del problema se conoce que cuando la temperatura de entrada es de 10 ºC, la de salidaes de 40ºC en equilibrio, de modo que:

Cº10T

Cº40T

%58.8/)20240(U

10*2U8.840*60

0i

0

0

20

=

=

=−=

++−=

Desarrollando en serie de Taylor:

i0ii00

i

i0

i2

T-TTUUUT-TTcon T2U88T6

T2U)U8.8*2(T6tdTd

3

T2U8.8T6tdTd

3

=∆−=∆=∆∆+∆+∆−=

∆+∆+∆−=∆

++−=

de modo que tomando transformadas de Fourier a ambos lados del signo igual, resulta:

Cambiador

T

Ti

q

U

TTTC

)s(T6s3

2)s(U

6s388

)s(T

)s(T2)s(U88)s(T6)s(Ts3)s(T2)s(U88)s(T6)s(Ts3

i

i

i

∆+

+∆+

=∆

∆+∆=∆+∆∆+∆+∆−=∆

y ahora, teniendo en cuanta que la función de transferencia de un regulador PI es:

)sT

11(K

ip +

es posible dibujar el diagrama en lazo cerrado:

y calcular la función de transferencia en lazo cerrado:

)s(T)1sT(88KsT)6s3(

sT2)s(W

)1sT(88KsT)6s3(

)1sT(88K

)s(T)

sT1sT

(K6s3

881

6s32

)s(W)

sT1sT

(K6s3

881

)sT

1sT(K

6s388

)s(T

)s(T6s3

2)s(W)

sT1sT

(K6s3

88)s(T)

sT1sT

(K6s3

881

)s(T6s3

2))s(T)s(W)(

sT1sT

(K6s3

88)s(T

6s32

)s(U6s3

88)s(T

iipi

i

ipi

ip

i

i

ip

i

ip

i

ip

ii

ip

i

ip

ii

ipi

∆+++

++++

+=

=∆+

++

+++

++

++

=∆

∆+

++

+=∆

++

+

∆+

+∆−+

+=∆

++∆

+=∆

)sT

11(K

ip +

6s32+

6s388+

∆U ∆T

∆Ti

errorw

3) Dando valores a los parámetros del PI según el enunciado:

)s(T8.8s8.14s3

s2)s(W

8.8s8.14s3)1s(8.8

)s(T)1s(8.8s)6s3(

s2)s(W

)1s(8.8s)6s3()1s(8.8

)s(T

i22

i

∆++

+++

+=

=∆+++

++++

+=∆

y la estabilidad en lazo cerrado puede calcularse mediante las raíces de:

24.4,69.06

8.8348.148.14s

08.8s8.14s32

2,1

2

−−=−±−

=

=++

como ambas son reales y negativas la respuesta ante un cambio en la referencia seriá estable ysin oscilaciones, con un punto de inflexión, aunque no muy acusado debido a que hay un polo(-4.24) bastante mas rápido que el otro (-0.69). El tiempo de asentamiento lo impondrá elpolo mas lento y será del orden de 3/0.69 = 4.34 min para un criterio del 5% (4/0.69 = 5.79min para un criterio del 1%). Sin embargo, como además el sistema tiene un cero en lazocerrado en s= -1, se producirá un adelantamiento de la misma. La ganancia es 1. Larespuesta total se ve en la figura.

4) Para calcular el error estacionario ante un cambio de 0.2 ºC en Ti :

Time (sec.)

Am

plitu

de

Step Response

0 1.4 2.8 4.2 5.6 70

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1From: U(1)

To: Y

(1)

0s2.0

8.8s8.14s3s2

slim)s(sElime

s2.0

8.8s8.14s3s2

)s(T)s(R)s(G1

)s(D)s(E

20s0sss

2i

=++

−==

++−

=∆+

−=

→→

y no habrá error estacionario.Problema 4

A B

vapor Reactor

Cambiador

En la figura se representa un reactor químico endotérmico en el que dos productos A y Breaccionan a una cierta temperatura para formar el producto C, el cual, tras calentarse en elintercambiador de calor, se almacena transitoriamente en un depósito. El líquido sale porrebose de la cámara de reacción por lo que siempre está llena de productos, mientras que lacámara de calefacción recibe un vapor cuya presión experimenta fuertes cambios y sale comocondensado. El caudal del producto B no es manipulable.

Diseñar un sistema de control tal que sea capaz de mantener con precisión la temperatura finaldel producto C, así como su concentración. Colocar la instrumentación, transmisores yactuadores, necesarios y explicar su funcionamiento.

Solución:

Los objetivos que deben cubrirse son:• Mantener en el nivel en el depósito, como debe hacerse en todos ellos.• Dado que se trata de una reacción química, mantener las proporciones en la entrada de

productos al reactor.• Mantener la temperatura del reactor exotérmico para asegurar una adecuada operación a

pesar de los cambios en la presión del vapor de calefacción• Mantener la temperatura requerida en el producto C• Mantener la concentración del producto C

A B

vapor Reactor

Cambiador

FT FC FTFF

TT

TT

TC

TC

LT

LC

PTPC

TT

TC

AT

AC

Para ello se ha diseñado un esquema de control como el de la figura. Dado que el caudal delproducto B no es manipulable, implementaremos el control de proporciones de productos A yB como un ratio sobre B, manejando el caudal de A.

Esto hace que el caudal de salida del reactor venga impuesto, y la única alternativa parainstalar el control de nivel del depósito es actuando sobre su salida.

El control de temperatura del reactor se implementa como una cascada con un lazo interno decontrol de temperatura de la camisa, a fin de absorber mas rápidamente en este último lasvariaciones de presión de vapor de suministro.

El control de temperatura de C tras el cambiador se implementa también como otra cascadacuyo lazo interno es uno de presión de vapor por la misma razón.

El control de composición de C se realiza utilizando un analizador para su medida y actuandosobre la proporción de ambos productos, que puede de este modo corregirse si lacomposición de C no es la adecuada.

Nótese que tanto la temperatura como la composición de C podrían medirse en el depósito,esto incluiría en el lazo de control las posibles perturbaciones que se produjeran en el mismo yactuaría como un filtro para cambios rápidos, aunque también introduciría un elemento maslento que haría menos ágil la respuesta del sistema.

Problemas de “Control e Instrumentación de Procesos Químicos”4º Curso de Ingenieria Química

Problema 5

En la figura puede verse un esquema de un reactor endotérmico donde se introducen dosproductos A y B, que reaccionan para formar otro C, los cuales se mantienen notablementeconstantes.

A B

T

valvula

Se ha realizado un experimento consistente en aumentar la apertura de la válvula de admisiónde vapor en un 10% y registrar el cambio en la temperatura del reactor cuando las demasvariables estaban constantes, el cual puede verse en la gráfica, donde se supone que latemperatura del reactor inicialmente estaba en el valor marcado como 0. La escala detemperatura es en ºC y la temporal en minutos. El transmisor de temperatura estába calibradoen el rango 0-80 ºC.

0 5 10 150

10

20

30

40

50

60r

Se pide:1) Calcular un modelo dinámico que relacione la temperatura del reactor con la apertura de

la válvula, utilizando para la ganancia unidades %/%.2) Calcular el tiempo de asentamiento y la frecuencia de oscilación y comparalas con los

valores que pueden estimarse a partir del modelo.3) Diseñar el regulador de temperatura mas sencillo que proporcione las siguientescaracterísticas: sin error estacionario, sin o con muy poco sobrepico y con un tiempo deasentamiento del orden de 5 min.

Solución:

1) Dado que la única información es la respuesta a un ensayo en salto, utilizaremos dichagráfica para deducir un modelo lineal aproximado. De la forma de la respuesta, consobrepico y oscilación y sin retardo, se deduce que podemos escoger un modelo desegundo orden del tipo:

2nn

2

2n

2sK

ω+δω+ω

3

4

5

6r

5 %8.5

La ganancia K se calcula mediante el cociente entre el cambio en temperatura en estadoestacionario, 50ºC, y el cambio en la apertura de la válvula 10%. Como se piden unidades en%/%, debemos convertir los 50ºC a escala de % teniendo en cuenta que 80ºC son el 100%del transmisor.

K = (50 100 / 80) / 10 = 6.25 % / %

Para calcular el valor del amortiguamiento δ usaremos la medida del sobrepico. El valor delsobrepico es de 8.5 ºC y en % sobre el valor final: 8.5 100 /50 = 17 % y se sabe que larelación de este valor con el amortiguamiento viene dada por:

21e100 δ−

δπ−

por tanto:

491.0;318.0318.1

1)772.1(;

1)17.0ln(;17.0e

2

2

222

21 2

=δ=δ

δ−πδ

=−δ−

δπ−==δ−

δπ−

Un valor similar de δ puede obtenerse de las gráficas %M / δ

Para calcular la frecuencia propia no amortiguada ωn, usaremos el tiempo de pico. El tiempode pico es de 3.53 min y se sabe que viene relacionado con los parámetros de la función detransferencia por:

2n

p1

tδ−ω

π=

por tanto:

02.1;491.01

53.3 n2n

=ω−ω

π=

y la función de transferencia resultante entre los cambios de temperatura y de posición de lavalvula resulta ser en % / %:

04.1ss5.6

2 ++

2) El periodo de oscilación obtenido de la gráfica es aproximadamente de 2(7.5 – 3.53) =7.94 min. Con lo que la frecuencia de oscilación será: 2π/7.94 = 0.79 rad/min. Siendo dificilhacer las medidas con precisión en la gráfica por la forma plana de la oscilación descendente.

Del mismo modo, el tiempo de asentamiento del 5% obtenido de la gráfica esaproximadamente de 5.5 min.

Los valores calculados del modelo son:

min65.0/3;5.002.149.0min/rad89.049.0102.11

n

22nr

===δω=−=δ−ω=ω

que son valores próximos a los medidos. En particular, téngase en cuenta que el cálculo deltiempo de asentamiento mediante 3/δωn en sistemas de segundo orden es solo una expresiónaproximada. También debe tenerse en cuenta que la respuesta de la gráfica se estáaproximando por la de un sistema de segundo orden, pero en el enunciado no se dice que seaexactamente un sistema de segundo orden.3) Para diseñar el regulador pedido debemos escoger en primer lugar su tipo. Teniendo encuenta que el proceso no tiene integradores, para eliminar el error estacionario se necesitaráun regulador PI o PID. Por otra parte, dado el tipo de función de transferencia y lasespecificaciones de diseño, no es posible aplicar las reglas de Ziegler-Nichols ni las tablas deRovira, Lopez o Morari. Un procedimiento de diseño aplicable es obtener un margen de fase(relacionado con el sobrepico) a una frecuencia dada (relacionada con la velocidad derespuesta). Si se desea que el sistema en lazo cerrado tenga un ligero o ningún sobrepicopuede tomarse un margen de fase de unos 55º. Para estimar la frecuencia a la que se quiereobtener este margen de fase para el conjunto proceso-regulador, dado que el tiempo deasentamiento requerido es un poco inferior al de lazo abierto, tomaremos una frecuencialigeramente superior a la de corte en lazo abierto.

Dado que en nuestro caso la función de transferencia es:

04.1ss04.125.6

04.1ss5.6

22 ++=

++

y sabemos que para una función de transferencia:

2nn

2

2n

2s ω+δω+ω

la frecuencia de corte está aproximadamente en la frecuencia ωn, podemos hacer el diseñorespecto a esta función de transferencia para la que podemos estimar dicha frecuencia, y

dividir luego la ganancia del regulador resultante por 6.25 .No obstante, dado que el valor dela ganancia del proceso solo interviene en el denominador de la fórmula de cálculo de laganancia Kp del regulador, (como puede verse en las fórmulas que figuran mas abajo) es igualusar para ellas la función de transferencia del proceso que incluye la ganancia 6.25 y nodividir despues por este factor. En el diseño, por tanto escogeremos una frecuencialigeramente superior a ωn = 1.02, por ejemplo ωf = 1.2 rad/min.

En el caso de un PI, se trata de conseguir unos valores de la ganancia y el tiempo integral delregulador tales que el margen de fase de G(jω)R(jω) sea 55º a la frecuencia 1.2

La solución, de acuerdo a la teoría, viene dada por las expresiones:

Donde

[ ] [ ]

%/%19.014.5

29.0cosK min8.2

)29.0(tg2.11

T

rad29.089.118055

-

rad89.104.12.1j)2.1j(arg)j(Garg

14.504.12.1j)2.1j(

5.604.1j)j(

5.6)j(G

pi

2f

2f

2f

f

====

=−π

π=θ

−=++−=ω

=++

=+ω+ω

=ω

Una vez obtenidos los parámetros del regulador PI, y dado que no existe una relación exactapara el sistema resultante de tercer orden con un cero, con el tiempo de asentamiento, seriaconveniente comprobar en simulación que el sistema en lazo cerrado obtenido cumple lasespecificaciones.

-O

φ

G(jω)R(jω)

ω

[ ]

)j(Gcos

K

tg1

T

)j(Garg

fp

fi

f

ωθ

=

θω=

ω+φ−π=θ

Otra alternativa de diseño es un procedimiento de síntesis directa. Si tomamos comocomportamiento deseado en lazo cerrado una función de transferencia de primer orden(sobreamortiguada) con ganancia unidad y constante de tiempo λ = 5/3 = 1.66, podemoscalcular el regulador R(s) que da en lazo cerrado esa función M(s):

Igualando términos a un PID ideal

y sustituyendo: Kp = 0.093, Ti = 0.96 Td = 0.998

04.1ss5.6

s2sK

)s(G22

nn2

2n

++=

ω+δω+ω

=

s)/2(1s)/2(s)2/1)(/2(

K2

sK1s)/2(/s

sKs2s

)11s(Ks2s

)1s

11(

s2sK

1s1

))s(M1)(s(G)s(M

)s(R

n

n2

nn

n

n2n

2

2n

2nn

2

2n

2nn

2

2nn

2

2n

ωδ+ωδ+δωωδ

λωδ

=

=λ

+ωδ+ω=

λωω+δω+

=

=−+λωω+δω+

=

+λ−

ω+δω+ω

+λ=−

=

nd

ni

np 2

1T

2T

K2

Kδω

=ω

δ=

λωδ

=

1s66.11

1s1

)s(M+

=+λ

=

sT)1sTsTT(K

ideal PIDi

i2

dip ++=

Problema 6

El proceso de la figura representa un horno de calentamiento de un material, que entra atemperatura Ti y debe salir a temperatura T. En el horno se puede manipular el flujo F deelemento calefactor para hacer que la temperatura final T del material alcance los valoresdeseados.

Ti Horno T

F

Se sabe que la relación entre la temperatura T, la temperatura de entrada del material Ti y elflujo F viene dada por:

( )5 3 2 32+ + = +Fd Td t

T FT Ti

con T y Ti en ºC, F en Kg/min y el tiempo en minutos, y que cuando el sistema esta en estadoestacionario a 40ºC la temperatura de entrada en de 10ºC. Se pide:

1) Obtener la función de transferencia del sistema en ese punto de trabajo.2) Para la regulación del sistema se utiliza un regulador PI de ganancia 0.1 %/ºC y tiempo

integral 20 segundos. Se conoce que la relación entre la señal de control U del reguladoren % y el flujo F en Kg/min es F=U. Dibujar el diagrama de regulación del proceso y eldiagrama de bloques correspondiente en lazo cerrado, y estudiar la estabilidad delsistema.

3) Calcular la ganancia del regulador para que el sistema se coloque en el límite deestabilidad.

4) Para un cambio en rampa en la temperatura Ti de 2ºC/min. calcular el error estacionariocon los parámetros de sintonía del apartado 2).

5) Si los cambios en Ti son significativos, ¿Como diseñarias un compensador en adelantoque mejorara el funcionamiento del sistema?. Calcúlalo y dibuja el esquemacorrespondiente.

Solucion:

1) Dado que el modelo del sistema es no lineal, para obtener la función de transferencia entrela salida T, la entrada F y la posible perturbación Ti debemos linealizar dicho modelo. El puntode linealización, de acuerdo al enunciado, es el punto de equilibrio que verifica:

min/Kg6.26120/3190F;1040F3402;TFT3T2 002

i2 ==+=+=

con lo que dicho punto de linealización resulta ser:

T0 = 40ªC, F0 = 26.6 Kg/min, Ti0 = 10ªC, 0T0 =&

dtdT

Tnotación la usado hemos donde =&

La ecuación del modelo es función de F, Ti, T y su derivada T& , y puede linealizarse usandouna expansión de Taylor:

i

i00000

i0ii000

i0i000

ii2

TF120T2.80dt

Td8.84

0TF)T3T3(T)F3T4(T)3F(5

:que locon ;T-TT;F-FF;T-TT;T-TTdonde

0TTf

FFf

TTf

TTf

: tipodelexpresión una esión linealizac la

0)T,F,T,T(f0TFT3T2tdTd

)F35(

∆+∆=∆+∆

=∆−∆−+∆−+∆+

=∆=∆=∆=∆

=∆∂∂

+∆∂∂

+∆∂∂

+∆∂∂

==−−++

&&

&&&

&&

&

Tomando ahora transformadas de Laplace a ambos lados de esta ecuación linealizada, yteniendo en cuenta que, si en el instante inicial el proceso está en equilibrio, los valores inicialesde los incrementos serán nulos:

{ } { } { }

{ } { } { })s(T)s(F120)s(T)2.80s8.84(

TL)s(T,FL)s(F,TLT(s) donde )s(T)s(F120)s(T2.80)s(sT8.84

TLFL120TL2.80dt

TdL8.84

i

iii

i

+=+∆=∆=∆=+=+

∆+∆=∆+

∆

y la función de transferencia resulta ser:

)s(T1s06.1

0125.0)s(F

1s06.15.1

)s(T2.80s8.84

1)s(F

2.80s8.84120

)s(T ii ++

+=

++

+=

2) El diagrama de regulación es:

Proceso

TT

TC

TTi

FU

y el diagrama de bloques:

La función de transferencia en lazo cerrado puede calcularse como:

)s(T45.0s15.1s06.1

s0125.0)s(W

45.0s15.1s06.145.0s15.0

)s(T

s3.0s1.0

1s06.15.1

1

1s06.10125.0

)s(W

s3.0s1.0

1s06.15.1

1

s3.0s1.0

1s06.15.1

)s(T)s(R)s(G1

)s(D)s(W

)s(R)s(G1)s(R)s(G

)s(T

i22

i

i

+++

+++

=

=+

++

+++

++

++=

=+

++

=

y la estabilidad en lazo cerrado puede estudiarse calculando los polos en lazo cerrado, estoes, las raices de:

36.0j54.006.12

45.006.1415.115.1s;045.0s15.1s06.1

22 ±−=

−±−==++

como la parte real de ambos polos es negativa, el sistema será estable en lazo cerrado.

3) Si la ganancia del regulador fuera variable en lugar de 0.1, la función de transferencia enlazo cerrado seria:

)s)60/20(

11(1.0 +

1s06.10125.0

+

1s06.15.1

+

U T

Ti

EWF

1

)s(TK5.4s)K5.11(s06.1

s0125.0)s(W

K5.4s)K5.11(s06.1

K5.4sK5.1

)s(T

s3s

K1s06.1

5.11

1s06.10125.0

)s(W

s3s

K1s06.1

5.11

s3s

K1s06.1

5.1

)s(T

ipp

2pp

2pp

i

pp

p

++++

+++

+=

=+

++

+++

++

++=

y la estabilidad vendria dada en función de las raices de:

06.12

K5.406.14)K5.11(K5.11s;0K5.4s)K5.11(s06.1

p2

pppp

2−+±−−

==+++

las raices serán reales si se verifica:

0627.0;08.75.4

79.1508.165.4

125.2408.1608.16K

0K08.16K25.21:sea o;0K5.406.14)K5.11(2

p

p2pp

2p

=±

=−±

=

=−+≥−+

o sea entre Kp = 0.0627 y 7.08 las raices s serán imaginarias y la condición de estabilidadsería que la parte real de las mismas fuera negativa, o sea debería cumplirse:

3/2K;0K5.11 pp −≥≤−− de modo que en este rango de valores de Kp el sistema seria

siempre estable. Fuera del rango de Kp [0.0627, 7.08], las raices s en lazo cerrado son realesy la condición de estabilidad es:

;0K5.406.14)K5.11(K5.11 p2

pp ≤−+±−−

para lo cual el valor absoluto del radicando debe ser menor en valor absoluto que 1+1.5Kp locual se cumple para cualquier Kp positivo, de modo que el sistema sera estable para cualquierKp>0

Alternativamente podría haberse usado el criterio de Root para0K5.4s)K5.11(s06.1 pp

2 =+++ que conduce a:

p

p

K5.11K5.406.1

+ 4.5Kp >0 ; 1+1.5Kp > 0 o sea Kp>0

4) El error estacionario ante un cambio en rampa en Ti de 2ºC/min puede calcularse mediantela correspondiente función de transferencia:

055.045.0

20125.0s2

)45.0s15.1s06.1(s0125.0

slime

s2

)45.0s15.1s06.1(s0125.0

)s(T

s3.0s1.0

1s06.15.1

1

1s06.10125.0

)s(T)s(R)s(G1

)s(D)s(W

)s(R)s(G11

)s(E

220sss

22i

i

−=−

=++

−=

++−

=+

++

+−

=

=+

−+

=

→

5) Un compensador en adelanto puede utilizarse, puesto que la dinámica de la salida antecambios en la perturbación Ti no es mas rápida que ante cambios en la variable manipuladaU. La función de transferencia del compensador vendrá dada por:

008.0

1s06.15.1

1s06.10125.0

)s(G)s(D

)s(G F −=

+

+=−

=

y corresponderia al siguiente esquema:

Proceso

TT

TC

TTi

FU

TT

TY

)s)60/20(

11(1.0 +

1s06.10125.0

+

1s06.15.1

+

U T

Ti

EW

-0.008

Examen de la Asignatura "Control e Instrumentación de Procesos Químicos"4º curso de Ingeniería Química

Problema 7

En un proceso de secado se introduce al secadero un cierto flujo constante de material, juntocon una corriente de un gas caliente, cuyo caudal puede manipularse por medio de la señal aun sistema ventilador. En un experimento consistente en disminuir la señal al ventilador un 10%desde una posición de equilibrio, se ha observado un cambio en la humedad del materialcomo el de la figura. El transmisor está calibrado con un span de 5 unidades. Unidades detiempo en minutos.

Se pide:1) Para controlar la humedad se usa un controlador tipo P. Dibujar un diagrama de bloquesdel sistema de control resultante, especificando las funciones de transferencia.2) Calcular el valor de la ganancia del regulador en %/%, para obtener un sobrepico del 20%en la respuesta en lazo cerrado a un salto de dos unidades en la consigna.3) Calcular el valor de la ganancia del regulador para obtener un error estacionario inferior al1 % en la respuesta en lazo cerrado a un salto del 2% en la consigna. ¿Cual será el valorestacionario de la variable manipulada en este caso?4) Si la referencia oscila senoidalmente con una amplitud del 10% y un periodo de 0.1 min. Yse utiliza el valor de la ganancia del apartado 4) ¿Cómo será la salida del sistema al cabo deun tiempo bastante largo?5) Calcular y explicar el diagrama del lugar de las raices del sistema.

Solución

1) Dado que la única información es la respuesta a un ensayo en salto, utilizaremos dichagráfica para deducir un modelo lineal aproximado. De la forma de la respuesta, con sobrepicoy oscilación y sin retardo, se deduce que podemos escoger un modelo de segundo orden deltipo:

2nn

2

2n

2sK

ω+δω+ω

La ganancia K se calcula mediante el cociente entre el cambio en humedad en estadoestacionario, 0.83, y el cambio en la apertura de la válvula -10%. Como se piden unidades en%/%, debemos convertir el cambio de humedad a escala de % teniendo en cuenta que 5unidades son el 100% del transmisor.

K = (0.83 100 / 5) / (-10) = -1.66 % / %

Para calcular el valor del amortiguamiento δ usaremos la medida del sobrepico. El valor delsobrepico es de 0.1 unidades y en % sobre el valor final: 0.1 100 /0.83 = 12 % y se sabeque la relación de este valor con el amortiguamiento viene dada por:

21e100 δ−

δπ−

por tanto:

1.1

0.1 0.83

56.0;495.436.14

1)12.2(;

1)12.0ln(;12.0e

2

2

222

21 2

=δ=δ

δ−πδ

=−δ−

δπ−==δ−

δπ−

Un valor similar de δ puede obtenerse de las gráficas %sobrepico / δ

Para calcular la frecuencia propia no amortiguada ωn, usaremos el tiempo de pico. El tiempode pico es de 1.1 min y se sabe que viene relacionado con los parámetros de la función detransferencia por:

2n

p1

tδ−ω

π=

por tanto:

44.3;56.01

1.1 n2n

=ω−ω

π=

y la función de transferencia resultante entre los cambios de temperatura y de posición de lavalvula resulta ser en % / %:

8.11s86.3s64.19

2 ++−

y el diagrama de bloques en lazo cerrado es:

2) La función de transferencia en lazo cerrado resulta ser:

)s(WK64.198.11s86.3s

K64.19)s(W

8.11s86.3s

K64.191

8.11s86.3s

K64.19

)s(W)s(R)s(G1

)s(R)s(G)s(Y

p2

p

2p

2p

−++

−=

++

−+

++

−

=+

=

Para obtener un sobrepico del 20% a un salto, independientemente del valor del mismo, elamortiguamiento en lazo cerrado debe ser

U YEW

Kp 8.11s86.3s64.19

2 ++−

45.0e10020 c1 2

c

c

=δ⇒= δ−

πδ−

o sea: 34.0KK64.198.1145.02w286.3 ppcnc −=⇒−=δ=

3) La expresión del error en lazo cerrado es:

41.11K1K64.198.11

208.11s

20K64.198.11s86.3s

8.11s86.3sslime

s20

K64.198.11s86.3s8.11s86.3s

)s(W

8.11s86.3s

K64.191

1)s(W

)s(R)s(G11

)s(E

ppp

2

2

0sss

p2

2

2p

−=⇒=−

=−++

++=

−++++

=

++

−+

=+

=

→

Dado que la función de transferencia entre U y W es:

41.11K64.198.11

8.11K20

s20

K64.198.11s86.3s

)8.11s86.3s(Kslim)s(sUlimu

)s(WK64.198.11s86.3s

)8.11s86.3s(K)s(W

8.11s86.3s

K64.191

K)s(W

)s(R)s(G1)s(R

)s(U

))s(U)s(G)s(W)(s(R))s(Y)s(W)(s(R)s(U

p

p

p2

2p

0s0sss

p2

2p

2p

p

−=−

=−++

++==

−++

++=

++

−+

=+

=

−=−=

→→

o sea, un 11.41 % por debajo de su valor de equilibrio.

4) La respuesta del sistema en lazo cerrado a cambios seniodales en la referencia será tambiénsenoidal del mismo periodo 0.1 min, pero con una amplitud y desfase que vendran dados enfunción de la magnitud y fase la función de transferencia en lazo cerrado a la frecuencia 2π/0.1= 20π . Para calcularlas sustituiremos s por j20π en la misma, daremos a Kp el valor –11.41,y calcularemos el módulo y argumento del complejo resultante:

º8.154)j2.77164

2.224arg(;14.1

2.77164

2.224j2.77164

2.224

j2.771642.224

)41.11(64.198.1120j86.3)20j()41.11(64.19

K64.198.11s86.3s

K64.19

)j(R)j(G1)j(R)j(G

22

2

j20sp2

p

j20s

−=+−

=+

=+−

+−=

−−++−−

=−++

−=

ωω+ωω

π=π=

La amplitud de la oscilación será 1.14 . 10% = 11.4% yestará retrasada 154.8º = 0.1 154.8/360 = 0.043 minutos respecto a la referencia.

5) El diagrama del lugar de las raices corresponde a las posiciones en el plano s de las raicesde la ecuación característica del sistema en lazo cerrado para distintos valores de la gananciaKp, o sea las raices de:

2

K56.783.3286.3

2

)K64.198.11(486.386.3s

0K64.198.11s86.3s

pp2

p2

+−±−=

−−±−=

=−++

Para Kp= 0 resulta: 2

j68.586.3s

±−=

Como el proceso tiene ganancia negativa, el controlador debe tenerla también. Si no fuera así,cuando aumentara la humedad disminuiria la corriente de gas caliente, operando al reves de loque se espera para corregir las desviaciones. Cuando Kp tome valores negativos cada vezmayores, el radicando será negativo, por lo que tendremos la misma parte real negativa -3.86/2 y una parte imaginaria que ira siendo cada vez mayor. El diagrama resultante es:

Lo que significa que para cualquier valor negativo de la ganancia la respuesta será de tiposubamortiguado, puesto que las raices son complejas conjugadas. Además el tiempo deasentamiento será similar, al tener todas la misma parte real. Al incrementarse negativamente laganancia también lo hace la parte imaginaria, de modo que la frecuencia de las oscilacionesserá cada vez mayor, al igual que el sobrepico.

x

x

Problema 8

Se sabe que las funciones de transferencia que relacionan las dos entradas y dos salidas de unproceso son:

Gs11

21

=+

Gs s12 2

23 1

=+ +

Gs

s s21 2

14 2

=−

+ +G

s222

3 1=

+

u1

u2

y1

y2

Se desea conocer:

1) Para instalar dos controladores SISO, ¿cual será el mejor apareamiento de entradas ysalidas?

2) ¿Seria aconsejable esa forma de regulación?3) Suponiendo que se colocan reguladores proporcionales de ganancia unidad, ¿cual será lafunción de transferencia que relaciona la salida 1 con las consignas de ambos reguladores?

Solución

1) La medida de la interacción y la mejor forma de aparear entradas y salidas puedeestudiarse con la matriz de ganancias relativas de Bristol. Para ello debe encontrarsepreviamente la matriz de ganancias.

Las ganancias entre las entradas y salidas pueden obtenerse a partir de las funciones detransferencia:

21

s1

1s2

slimk

0s11 =+=

→; 2

1s1

1s3s2

slimk

20s12 =++=

→;

5.01

s1

2s4s1s

slimk

20s21 −=++

−

=→

21

s1

1s32

slimk

0s22 =+=

→

de modo que:

−

=25.022

K

Para calcular la RGA, calcularemos uno de sus elementos, por ejemplo λ11 y luego estimar losotros usando las propiedades de la RGA:

;8.01;2.01

;2.018.0)5.0(222

22kkkk

kk

21221121

111221122211

221111

=λ−=λ=λ−=λ

=λ−=λ=−−

=−

=λ

luego:

=

8.02.02.08.0

RGA

Ahora, claramente la mejor forma de asociar entradas y salidas es controlar la salida 1 con laentrada 1 y la salida 2 regularla con la entrada 2, puesto que el termino correspondiente de laRGA (0.8) es mas próximo a 1, con lo que la interacción entre los lazos resultantes serámenor. La otra asociación, salida 1 regulada con la entrada 2 y salida 2 regulada con laentrada 1, tiene un valor de 0.2 en la RGA, lo cual quiere deciur que, como 0.2 = 2/10, hayun cambio de gananciua del 500% en un lazo de esa asociación cuando el otro conmute demanual a automático y viceversa, lo cual no es admisible.

2) En este caso, el cambio en ganancia en un lazo cuando el otro conmuta entre automático ymanual es, teniendo en cuenta que 0.8 =8/10 , de la misma proporción que pasar de 8 a 10,que es un cambio admisible y probablemente no seria necesario un controlador multivariable.

3) Para calcular esta función de transferencia, partiremos del diagrama de bloques:

u1

u2

y1

y2

Proceso

R2

R1

u1

u2

y1

y2

R2

R1 G21

G22

G11

G12w2

w1

Y operando:

Ahora, sustituyendo R1 y R2 por Kp1 y Kp2 , así como dando valores a las funciones detransferencia G:

Gs11

21

=+

Gs s12 2

23 1

=+ +

Gs

s s21 2

14 2

=−

+ +G

s222

3 1=

+

obtendremos la función de transferencia pedida.

)yw(RG)yw(RG

uGuGy)yw(RG)yw(RG

uGuGy

2222211121

2221212

2221211111

2121111

−+−=

=+=−+−=

=+=

2222

22211

222

1212

22111

2121

111

1111

wRG1

RG)yw(

RG1RG

y

)yw(RG1

RGw

RG1RG

y

++−

+=

−+

++

=

2121212222111

2222122222121

121212222111

1212122221111

2222

22211

222

1212

111

2121

111

1111

wRGRG)RG1)(RG1(

RGRG)RG1(RGw

RGRG)RG1)(RG1(RGRG)RG1(RG

y

)wRG1

RG)yw(

RG1RG

w(RG1

RGw

RG1RG

y

−++−+

+−++

−+=

+−−

+−

++

+=

Problemas de “Control e Instrumentación de procesos químicos”4º Ingeniería Química

Problema 9

La presión de un sistema de almacenamiento de un cierto gas se regula por medio de unsistema como el reflejado en la figura manipulando la linea de salida.

El sistema opera normalmente a una presión de 3 bar en el depósito de almacenamiento y conuna señal a valvula del 30%. Se sabe que el sistema, en lazo abierto, ante un cambio en laseñal a la válvula desde el 30 % al 35% da una respuesta temporal en la presión como la de lafigura, donde el tiempo aparece en sg., y la presión en bar, estando calibrado el transmisoren el rango 1-5 bar.

Se pide:

PT PC

gas

1) Diseñar un regulador que no presente error estacionario frente a cambios en salto en lareferencia, y que minimice la desviación en el tiempo sobre la misma al corregir posiblesperturbaciones.

2) Calcular el error estacionario que se obtendria con el regulador diseñado si la referencia depresión varia segun la ecuación 3+0.4 t.

3) Si el regulador se coloca en posición manual y se dan cambios sinusoidales de amplitud 2%y periodo pi/2 sg, a la señal del mando manual en torno al valor 30%, ¿Cual sería la evolucióntemporal de la presión cuando se alcance una situación estacionaria?

4) Se sabe que la relación entre la temperatura del producto que llega al dispositivo dealmacenamiento en ºC y la presión en el mismo en bars, para una apertura de válvula del 30%,viene dada por :

30)4.0t(T)30p3(tdpd

1800 2 −−+−=

¿Como modificariamos el esquema de control anterior para eliminar el efecto de los posiblescambios de temperatura del producto que llega sobre la presión? Calcula los parámetros delnuevo esquema de control para que se cumplan las especificaciones de 1) y 4).

Solución

El sistema, por la forma de la respuesta, se ve que no posee integradores en lazo abierto, demodo que un regulador que no presente error estacionario frente a cambios en la referenciadeberá ser de tipo PI o PID. Por otra parte, el criterio de diseño del enunciado es minimizarla integral del módulo del error (MIAE) ante perturbaciones. Este es el criterio utilizado en lastablas de sintonía de Lopez et al. que se aplica a procesos de respuesta sobreamortiguada enlazo abierto, como el del problema, según se aprecia en la figura. El método de las tablas deLopez se basa en el conocimiento de un modelo de primer orden con retardo del proceso deltipo:

Donde K es la ganancia, d el retardo y τ la constante de tiempo. La respuesta de nuestroproceso no es de este tipo, pero puede aproximarse por un modelo de esta clase.

La ganancia se calcula del modo habitual, mediante el cociente entre el cambio en la salida enestado estacionario y el cambio en la entrada. Para determinar la constante de tiempo y elretardo podemos seguir varios métodos, el mas común se basa en dibujar la recta tangente ala curva de respuesta de mayor pendiente, determinando luego los puntos de corte de lamisma con paralelas en los puntos de inicio y final . El resultado puede verse en la figura:

1sKe ds

+τ

−

Por tanto: %%

94.0%%

15100

0375.0%bar

0375.03035

38125.2K −=

−−=−=

−−

=

d = 0.3 sg. τ = 1.9 – 0.3 = 1.6 sg. y el modelo estimado es:

Otro procedimiento es calcular los instantes de tiempo en los que se alcanzan el 28.3% y el63.2 % del valor final y aplicar las fórmulas de estimación correspondientes:

0.3 1.9

2.8125

1s6.1e94.0 s3.0

+− −

0.75 1.4

2.9469=28.3%

2.8815=63.2%

2.8125

En este caso t2 = 1.4 sg, t1 = 0.75 sg. de modo que:

τ = 1.5(t2 –t1) = 0.975 sg; d = t2 - τ = 0.425 sg. y el modelo obtenido con esta aproximaciónes:

Ambos son válidos, teniendo en cuenta que son aproximaciones del tipo primer orden conretardo de un sistema sobreamortiguado de orden superior.

Ahora podemos aplicar las tablas de Lopez para reguladores PI paralelos. En primer lugarcomprobamos que son aplicables al cumplirse d / τ = 0.3 / 1.6 < 1 (e igual para el otromodelo). Ahora para calcular la ganancia Kp del regulador usaremos la fórmula:

Para la cual las tablas de Lopez, siguiendo el criterio MIAE nos proporcionan los valores:

a = 0.984, b= - 0.986, con lo cual:

mientras que para el tiempo integral Ti se utiliza la fórmula:

1s98.0e94.0 s42.0

+− −

b

pd

aKK

τ=

b

i

da

T

τ=

τ

Criterio Proporcional Integral

MIAE a=0.984

b=-

a=0.608

b=-

MISE a=1.305

b=-

a=0.492

b=-

MITAE a=0.859

b=-

a=0.674

b=-

%/%45.56.13.0

984.094.0

1K

986.0

p −=

−=

−

para la cual la tabla de Lopez da los valores: a = 0.608, b = - 0.707 , lo que conduce a:

Del mismo modo podria haberse usado el otro modelo, lo cual hubiera conducido a: Kp = -2.41; Ti = 0.89

2) Si la referencia de presión varia según 3 + 0.4 t, como el punto de equilibrio es 3 bares, elcambio en la referencia es 3 + 0.4t – 3 = 0.4t bares = 0.4 t 100/(5-1) = 10 t en % . Laexpresión del error es:

%56.1)45.5(94.0

108.0s10

)1s8.0)(45.5(e94.0s8.0)1s6.1(s8.0)1s6.1(

slime

s10

)1s8.0)(45.5(e94.0s8.0)1s6.1(s8.0)1s6.1(

s10

sT

)1sT(K

1s6.1e94.0

1

1)s(W

)s(R)s(G11

)s(E

2s3.00sss

2s3.0

2

i

ips3.0

=−−

=+−−+

+=

+−−++

=+

+−

+=

+=

−→

−

−

3) Si se dan cambios sinusiodales en lazo abierto en torno al 30% de la señal a la válvula, lapresión oscilará sinusoidalmente en torno al punto de equilibrio de 3 bares, al cabo de uncierto tiempo con una frecuencia igual a la de la señal de mando 2pi/(pi/2) = 4 rad/sg. y conuna amplitud y desfase que dependen del módulo y argumento de la función de transferencia aesa frecuencia:

o sea oscilara con una amplitud de 2. 0.145 = 0.29% una frecuencia de 4 rad/sg y un desfaserespecto a la señal de mando de –5.57 rad = 1.44 sg.

4) Puesto que la temperatura del producto de entrada actua como una perturbación medible,podemos mejorar el sistema de control incorporando una compensación en adelanto(feedforward). Para ello necesitamos la función de transferencia entre la presión y latemperatura de entrada en el punto de trabajo, la cual podemos obtenerla de la ecuación delenunciado:

.sg8.0T6.13.0

608.06.1

1T1

i

707.0

i

=⇒

=

−

rad75.51

46.1arctg43.0))4j(Garg(

);1)j(6.1arg()earg())j(Garg(

145.0146.1

94.0)4j(G;

1)j(6.1e94.0

)j(G;1)j(6.1

e94.0)j(G

j3.0

222

j3.0j3.0

−=−−π−=

+ω−+π−=ω

=+

=+ω

−=ω

+ω−

=ω

ω−

ω−ω−

30)4.0t(T)30p3(tdpd

1800 2 −−+−=

En el punto de operación considerado, p0 = 3 bars, de modo que en estado estacionariopodemos escribir: (-3p0

2 + 30)T0 = 30, de donde T0 = 10 ºC. Conocido el punto deoperación, podemos linealizar la ecuación anterior en torno a:

T0 = 10ªC, p0 = 3 bar, 0p 0 =& dtdp

pnotación la usado hemos donde =&

La ecuación del modelo es función de T, p y su derivada p& , y puede linealizarse usando unaexpansión de Taylor. En lo que sigue, para simplificar la notación, utilizaremos la abreviaturaT = T(t-0.4).

)4.0t(T3p180dt

pd1800

0T)30p3(pTp6p1800

:que locon ;p-pp;T-TT;p-ppdonde

0TTf

ppf

ppf

: tipodelexpresión una esión linealizac la

0)T,p,p(f030T)30p3(tdpd

1800

2000

000

000

2

−∆=∆+∆

=∆−+∆+∆

=∆=∆=∆

=∆∂∂

+∆∂∂

+∆∂∂

==+−+

&

&&&

&&

&

Tomando ahora transformadas de Laplace a ambos lados de esta ecuación linealizada, yteniendo en cuenta que, si en el instante inicial el proceso está en equilibrio, los valores inicialesde los incrementos serán nulos:

{ } { }

{ } { })s(Te3)s(P)180s1800(

,PL)s(P,)t(TLT(s) donde )s(Te3)s(P180)s(sP1800

)4.0t(TL3pL180dt

pdL1800

s4.0

s4.0

−

−

=+

∆=∆==+

−∆=∆+

∆

y la función de transferencia resulta ser:

)%s(T1s10

e416.0bar)s(T

1s10e01661.0

)s(T180s1800

e3)s(P

s4.0s4.0s4.0

+=

+=

+=

−−−

Dado que la dinámica de la salida ante cambios en la perturbación T no es mas rápida (mayorconstante de tiempo 10 frente a 1.6 y mayor retardo, 0.4 frente a 0.3) que ante cambios en lavariable manipulada U, podrá utilizarse un compensador en adelanto para eliminar laperturbación:

La función de transferencia del compensador vendrá dada por:

1s10)1s6.1(e44.0

1s6.1e94.0

1s10e416.0

)s(G)s(D

)s(Gs4.0

s3.0

s4.0

F ++

=

+−

+−

=−

=−

−

−

y corresponderia al siguiente esquema:

Como el compensador en adelanto no altera la dinámica del lazo de control, no serianecesario modificar la sintonia del regulador para mantener las especificaciones de 1)

El esquema de proceso sería:

)s8.0

11(45.5 +−

U P

T

EW

1s10)1s6.1(e44.0 s1.0

++−

1s10e416.0 s4.0

+

−

1s6.1e94.0 s3.0

+− −

PT PC

gasTT

TY

Problema 10

Un reactor tubular como el de la figura realiza la conversión de unos reactivos R que semezclan previamente con otros S y se introducen por su parte inferior tras pasar por unprecalentador para producir un producto A. Los reactivos poseen una concentraciónconstante. El flujo de reactivos R viene impuesto por otras partes del proceso. El reactor nodispone de variables manipulables, si bien se puede actuar significativamente sobre laconcentración del producto A por medio la temperatura de entrada mediante el precalentador.Este utiliza como fluido calefactor vapor de agua que parcialmente calienta a los reactivos ydespues se utiliza para otros fines con una demanda variable. Se desea diseñar un esquema decontrol que permita mantener la concentración de A tan exactamente como sea posible.Justificar el esquema propuesto.

Solución

Los puntos qiue hay que considerar en el diseño del sistema de control son los siguientes:

Sobre la concentración de A influye la adecuada proporción entre los flujo de R y S. Para elloha de instalarse un control ratio entre ambas magnitudes. Como el flujo de R viene impuesto,la única alternativa es medirlo y actuar con un ratio sobre la consigna de un lazo de control deflujo de S. Nótese que la concentración de R y S es constante según el enunciado. Nótesetambién que, de esta forma, el flujo total que llega al reactor esta prefijado por R y el controlratio.

Para regular la concentración de producto A la única variable manipulada es la temperatura desalida del precalentador. A su vez, para poder fijar esa temperatura necesitamos un sistemade control de temperatura de la salida del precalentador. Por tanto el esquema de controlincluirá un lazo de regulación de la concentración de A, en cascada con un lazo de regulaciónde la temperatura del precalentador. La concentración de A se puede medir con un analizadoren linea.

vapor

reactor

A

R

S

Para la regulación de temperatura la única opción que queda, sin alterar la estrucrtura física, esactuar sobre el vapor por medio de una válvula, ahora bién, teniendo en cuenta que se quieremantener con precisión la concentración de A, también deberá poderse actuar con precisiónsobre la temperatura y como el vapor está sujeto a demandas variables, será conveniente noactuar directamente sobre la válvula de admisión de vapor, sino en cascada sobre un lazointerno de regulación de presión de vapor en el precalentador que absorva los cambios dedemanda.

Finalmente, y por la misma razón demantener con precisión la concentración de A, debemostener en cuenta que los cambios de R, traducidos a cambios de flujo total por el control ratio,modificarán la concentración de A al variar el tiempo de residencia en el reactor. Por ello,para compensar esta perturbación, se colocará un compensador feedforward que midiendo elcaudal R actue sobre la consigna de temperatura para adelantarse a los efectos del cambio deflujo sobre la concentración. Del mismo modo el cambio de flujo afectará a la temperatura delprecalentador, por ello, para asegurar que se siguen las ordenes en temperaturaadecuadamente, se colocará otro compensador feedforward midiendo el caudal R y actuandosobre la consigna de presión para compensar el efecto de cambio de flujo sobre latemperatura. El esquema final puede verse en la figura:

vapor

reactor

A

R

S

FCFT

FF FT

PT

PC

AT

AC

TC

TT

FYFY

Problemas de “Control e Instrumentación de Procesos Químicos”4º curso de Ingeniería Química

Problema 23

En la Fig. 1 se pude ver un proceso al que entra una corriente manipulable A y otra corrienteno manipulable B. La corriente A puede regularse por medio de un sistema de control de flujotal como se aprecia en la figura. Cuando se aumenta en 2 l/min la consigna z del regulador deflujo de A, partiendo de un cierto estado estacionario de todo el sistema, la respuesta que seobtiene en la densidad ρ del producto de salida puede verse en la Fig. 2. En esta figura, lasunidades del eje de tiempos son minutos y las de densidad Kg/l y esta última se mide con untransmisor calibrado en el rango 0.5-3 kg/l para dar una señal de 4-20 mA. Del mismo modoel transmisor de flujo de A está calibrado en el rango 0- 20 l/min.

Fig. 1Se pide:

1) Estimar un modelo matemático dinámico que relacione los cambios de consigna de caudalde producto A con los cambios en la densidad de salida del producto en esa zona detrabajo.

2) Proponer un sistema de control de densidad y dibujar un esquema del mismo utilizandonomenclatura ISA. Diseñar el regulador de densidad mas sencillo que no presente errorestacionario frente a cambios escalón en la referencia y que minimize las desviaciones dela densidad sobre el valor de referencia cuando B experimenta cambios.

3) Dibujar un diagrama de bloques del proceso en lazo cerrado y expresar las relaciones queligan los cambios en densidad con los cambios de referencia de densidad y de B, sí comolas unidades de las distintas variables.

4) En lazo abierto, cuando el caudal B experimenta un salto en escalon, la densidad varia deforma continua sin estabilizarse, y cuando B experimenta un impulso unitario positivo(l/min) la densidad se estabiliza, al cabo de un cierto tiempo, en un nuevo valor 2 Kg/l pordebajo del valor estacionario de partida. Sabiendo esto, se pide calcular el error

A

B

proceso

ρ

z

FCFT

estacionario, si existe, que presentará el sistema en lazo cerrado con el reguladorcalculado en 2), frente a un cambio unitario (l/min) en escalón del caudal B.

5) ¿Cuál es el margen de fase del sistema en lazo cerrado calculado en 2)?, ¿Quéinterpretación puedes dar a este valor?

Fig.2

Fig.2

Fig.2

Solución

1) A la vista del enunciado del problema, debemos obtener el modelo matemático pedido apartir de la curva de respuesta de la Fig.2. Dado que se trata de un procesosobreamortiguado, podemos intentar aproximar la respuesta por la de un sistema de primerorden con retardo:

1sKe ds

+τ

−

Para estimar este modelo, la ganancia se calcula del modo habitual, mediante el cociente entreel cambio en la salida en estado estacionario y el cambio en la entrada.

Con referencia a la Fig. 3 se tiene:

T

Time (min)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 31

1.05

1.1

1.15

1.2

1.25

1.3

1.35

1.4

1.45

minKg

21.02

1417.1K =

−=

o bien expresado en %/%:

%%

88.110

8.18

020100

2

5.03100

)1417.1(K ==

−

−−

=

Para determinar la constante de tiempo y el retardo podemos seguir varios métodos, el mascomún se basa en dibujar la recta tangente a la curva de respuesta de mayor pendiente,determinando luego los puntos de corte de la misma con paralelas en los puntos de inicio yfinal . El resultado puede verse en la figura:

Fig.3De donde se deduce:

d = 0.22 sg. τ = 1.374 – 0.22 = 1.15 sg. y el modelo estimado es:

Time (min)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 31

1.05

1.1

1.15

1.2

1.25

1.3

1.35

1.4

1.45

1.417

0.22

1.374

)s(z1s15.1

e88.1)s(

s22.0

+=ρ

−

2) Un esquema de un sistema de control de densidad puede verse en la Fig.4. Incorpora untransmisor de densidad y un regulkador que actua en cascada sobre la referencia de caudal deA.

Fig.4

Dado que el proceso no presenta integradores en su respuesta frente a z, el regulador massencillo que puede eliminar errores estacionarios frente a cambios de consigna es un PI. Deacuerdo a las especificaciones pedidas, podemos utilizar las Tablas de Lopez et al. con elcriterio MIAE para la sintonía, ya que corresponden al tipo de modelo identificado, verificanla condición d/τ = 022/1.15 < 1, y se ajustan al criterio pedido.Ahora para calcular la ganancia Kp del regulador usaremos la fórmula:

Para la cual las tablas de Lopez, siguiendo el criterio MIAE nos proporcionan los valores:

Criterio Proporcional Integral

MIAE a=0.984

b=-

a=0.608

b=-

MISE a=1.305

b=-

a=0.492

b=-

MITAE a=0.859

b=-

a=0.674

b=-

b

pd

aKK

τ=

A

B

proceso

ρ

z

FCFTDT

DC

w

a = 0.984, b= - 0.986, con lo cual:

mientras que para el tiempo integral Ti se utiliza la fórmula:

para la cual la tabla de Lopez da los valores: a = 0.608, b = - 0.707 , lo que conduce a:

3) Un diagrama de bloques del proceso puede observarse en la figura:

La salida del bloque D, desconocido, debe estar en %, mientras que la entrada puede figuraren l/min puesto que no sabemos nada del transmisor respectivo. Del diagrama se deduce laexpresión de las funciones de transferencia que relacionan la densidad con la referencia y elcaudal B:

b

i

da

T

τ=

τ

%/%67.215.122.0

984.088.11

K986.0

p =

=

−

.sg59.0T15.122.0

608.015.11

T1

i

707.0

i

=⇒

=

−

)s59.0

11(67.2 +

z % ρ %

B

E %W %

1s5.1e88.1 s22.0

+

−

D(s)

%

B)1s59.0(67.2e88.1s59.0)1s15.1(

D)1s5.1(s64.0w

)1s59.0(67.2e88.1s59.0)1s15.1()1s59.0(67.2e88.1

B

s59.01s59.0

67.21s15.1

e88.11

Dw

s59.01s59.0

67.21s15.1

e88.11

s59.01s59.0

67.21s15.1

e88.1

BGR1

Dw

GR1GR

)s(

s22.0s22.0

s22.0

s22.0s22.0

s22.0

++++

++++

+=

=+

++

++

++

++=

++

+=ρ

−−

−

−−

−

4) La expresión del error en lazo cerrado ante un cambio en B viene dada por:

B)1s59.0(67.2e88.1s59.0)1s15.1(

)s(D)1s15.1(s59.0B

s59.01s59.067.2

1s15.1e88.11

)s(DB

GR1D

)s(E s22.0s22.0 ++++−

=+

++

−=+

−= −−

y el error estacionario frente a un cambio escalón en B puede calcularse como:

67.288.1)s(sD59.0

imls1

)1s59.0(67.2e88.1s59.0)1s15.1()s(D)1s15.1(s59.0

siml)s(sEimle0ss22.00s0sss

−=

++++−

==→−→→

Para calcular este límite, según el enunciado, se sabe que D(s) contiene un integrador puestoque responde variando monótonamente sin estabilizarse ante un cambio escalón en B, yademás, solo tiene un integrador puesto que ante un impulso alcanza un valor estacionario.Esto hará que se cancele la s de la expresión anterior. En realidad, la única informaciónnecesaria para resolver el problema es la relativa al valor estacionario de la la respuesta a unimpulso en B en lazo abierto. Este viene dado por:

%805.03

1002l/Kg21)s(sDiml

0s−=

−−=−=

→

de modo que el error anterior alcanza el valor:

%4.967.288.1

)80)(59.0(67.288.1

)s(sD59.0iml)s(sEimle

0s0sss =−−

=−

==→→

5) Para cálcular el margen de fase del sistema hay que evaluar el valor de la expresión MF =π + arg(G(jω)R(jω)) en un valor de la frecuencia para el cual | G(jω)R(jω)|=1.

Para estimar dicha frecuencia debemos, por tanto, resolver primero la ecuación:

min/rad57.4

9.2015.12

12.312.2415.12

4.7215.142.242.24;04.722.2415.1

;)115.1()159.0(4.72;1159.0115.1

4.72

159.0

159.067.2

115.1

88.1;1

j59.01j59.0

67.21j15.1

e88.1

22

222242

222222

22

22

22

22

j22.0

=ω

=±

=+±

=ω=−ω−ω

ω+ω=+ω=ω

+ω+ω

=ω

+ω

+ω=

ω+ω

+ω

ω−

Ahora podemos calcular el MF:

º23

rad4.038.121.112

)57.4(15.1arctan)57.4(59.0arctan)57.4(22.02

215.1arctan59.0arctan22.0

j59.01j59.0

67.21j15.1

e88.1argMF

j22.0

=

==−+−π

=−+−π

=

=

π

−ω−ω+ω−+π=

ω+ω

+ω+π=

ω−

Basándonos en la relación entre margen de fase y amortiguamiento en sistemas de segundoorden, el pequeño margen de fase encontrado nos permite predecir que la respuesta delsistema tendra un sobrepico alto y el grado de robustez será pequeño frente a cambios en elproceso que aumenten el desfase del sistema, como retardos y constantes de tiempo,existiendo peligro de desestabilización si estos aumentan por algún motivo.

Problema 24

En el diagrama de la figura se puede ver un proceso en el que una corriente A, no manipulabley que experimenta cambios significativos, intercambia calor con otro líquido C a altatemperatura tras pasar por el depósito 1. En el punto de suministro del líquido C, latemperatura es sensiblemente constante, pero la presión sufre variaciones de algunaimportancia. La corriente A, tras atravesar el intercambiador, va al depósito 2, donde unaparte es reciclada al depósito 1 por medio de un sistema de bombeo que impone un caudalconstante y otra parte, B, es la salida del proceso. Se desea mantener el caudal y temperaturade B tan constantes como sea posible, así como garantizar la seguridad del proceso. Existe unsistema de rebose en el depósito 2 que hace que no sea problemático un desbordamiento endicho depósito.

Se pide:

Elegir la instrumentación y los lazos de control adecuados para ello y dibujar elcorrespondiente esquema de control según las normas ISA, justificando el mismo.

Solución

Los objetivos de regulación son mantener el caudal y temperatura de B. Además, por motivosde seguridad, deben regularse los niveles en ambos depósitos y garantizarse la circulación de1 a 2 a través del cambiador.

2

1

A

B

CD

El caudal de B puede mantenerse mediante un controlador de flujo y un transmisor de flujo.Para actuar sobre la temperatura de B, lo mas sencillo, y que no interfiere en los otroscircuitos, es variar el caudal de C. No obstante, como la presión de alimentación de Cexperimenta cambios significativos, lo lógico es utilizar una estrucura en cascada en que elregulador de temperatura actue sobre la consigna de un regulador de caudal de C, de estemodo este último regulador absorve las perturbaciones de presión de alimentación que no setransmitirán de forma significativa a la temperatura.

El nivel del depósito 1, puesto que la entrada A es no manipulable, debe regularse con lasalida D. Nótese que, aunque A fuese cero, la salida D no seria nula de forma estable debidoal caudal de recirculación y, por tanto, el intercambiador no quedaría vacio. Una consecuenciasecundaria de este lazo es que modifica la temperatura de salida, con lo cual si se quieremantener con precisión, debe incorporarse una corrección feedforward al caudal de C paracompensar estas perturbaciones.

El nivel del depósito 2 debe regularse también pero, al no quedar otras variables manipuladas,no que da mas remedio que establecer un control overrride sobre el flujo de B. Nótese queaquí lo importante es mantener el nivel por encima de un mínimo, ya que debe protegerse elequipo de bombeo y los problemas de rbose no se contemplan como tales.

Para la medida de estas variables se usarán transmisores de temperatura, nivel y caudalconvencionales. El conjunto de la propuesta puede verse en la figura:

2

1

A

B

C

LC

LT

FC FT

TCTT

FT FY

FC

FT

LC

LT

LS L min