Diseo de Elementos de Mquina

INSTITUTO POLITCNICO NACIONALESCUELA SUPERIOR DE INGENIERIA MECNICA Y ELCTRICAUNIDAD PROFESIONAL TICOMAN

Ingeniera en Aeronutica.

Diseo de Elementos de Mquina.Resistencia de materiales, cargas esfuerzos deformaciones y deflexiones

Prez Castro Bernardo Rafael.

Juan Manuel Daz Salcedo6AM2 19/Octubre/2015

TABLA DE CONTENIDO

INTRODUCCIN3DESARROLLO4MATERIALES DCTILES Y FRGILES4DETERMINACIN DE CARGAS5ESFUERZO, DEFORMACIN Y DEFLEXIN10CONCLUSIONES Y OBSERVACIONES20REFERENCIAS21

INTRODUCCIN

Existen muchos tipos de resistencias de materiales. En situaciones particulares de carga es importante comprender cules son importantes. Las resistencias ms comunes medidas son la resistencia mxima a la tensin Sut, y el lmite de cedencia a la tensin Sy. La Sut indica el mayor esfuerzo que el material aceptar antes de fracturarse y Sy indica el esfuerzo ms all del cual el material sufrir una deformacin permanente. Muchos materiales tienen resistencia a la compresin igual a la resistencia a la tensin y se les llama materiales uniformes.

Si el material es dctil entonces el lmite de cedencia a la tensin es el criterio para la falla ya que un material dctil es capaz de una distorsin significativa antes de romperse. Si el material es frgil, entonces la resistencia mxima a la tensin es el parmetro de mayor inters ya que el material se fracturar antes que ocurra cualquier distorsin significativa por fluencia. .

El ensayo a la tensin es la medida ms comn de estos parmetros de resistencia esttica. La curva de esfuerzo-deformacin que se genera en esta prueba nos permite conocer las propiedades mecnicas del material. La pendiente de esta curva en el rango elstico, conocida como el mdulo de Young o mdulo de elasticidad E define la rigidez o resistencia del material a la deflexin elstica bajo carga.

Otros parmetros que son de inters es la flexibilidad (capacidad de absorber energa sin deformacin permanente) y la tenacidad (capacidad de absorber energa sin romperse pero con deformacin permanente).

DESARROLLO

MATERIALES DTCILES Y FRGILES

Cuando de un material se dice que es dctil ser porque el mismo es fcil de deformarse, moldearse, malearse o extenderse con gran facilidad.

En tanto, cuando el trmino dctil se aplica sobre un metal, implica que el metal podr extenderse en alambres o hilos. El cobre es uno de los metales ms dctiles que existen.

La ductilidad, por su lado, ser la propiedad de aquellos materiales, los cuales, bajo la accin de una fuerza, pueden deformarse sin por ello llegar a romperse. Entonces, estos materiales que como dijimos pueden ser ciertos metales o asfaltos se clasificarn como dctiles. Por el contrario, los materiales que no presentan la mencionada capacidad de deformarse sin llegar a romperse por ello se conocen como frgiles. Esto implica que los materiales o metales dctiles son capaces de experimentar importantes deformaciones sin romperse, en cambio los frgiles s o s se rompern sin deformacin.

Por otro lado, los materiales dctiles estn capacitados para tolerar mtodos de fabricacin conocidos como de deformacin plstica y soportan por tanto una mayor cantidad de uso, ya que antes de romperse se deforman. Ser necesario emplear una fuerza considerable para poder romper un material dctil; los tomos se deslizan unos sobre otros y as estirarn el material sin romperlo.

Un material es frgil, cuando se rompe al aplicar una fuerza, sin deformarse previamente. Los materiales frgiles tienen las fases elstica y plsticas muy reducidas.

La fragilidad es una propiedad pocas veces deseada y suele venir impuesta por materiales que tienen otras propiedades aprovechables. De todas formas el cristal de emergencia de un autobs deber ser frgil para que en caso de accidente lo podamos romper con un pequeo golpe.

DETERMINACIN DE LAS CARGAS

Es necesario recordar los fundamentos del anlisis de las fuerzas estticas y dinmicas de las fuerzas de impacto y de las cargas en las vigas. Se ver el mtodo newtoniano de solucin de anlisis de fuerzas mediante varios casos prcticos.

CLASES DE CARGASEl tipo de carga de un sistema se divide en diversas clases, con base el carcter de las cargas aplicadas y en la presencia o ausencia de movimiento del sistema, lo primero es definir la configuracin general del sistema mecnico, calcular sus movimientos cinemticos y por ltimo se determinan magnitud y direccin de todos las fuerzas y pares de fuerzas en los elementos. Las cargas pueden ser constantes o variables a travs del tiempo, los elementos del sistema son estacionarios o en movimiento.

Clases de cargas.

Cargas constantes.Cargas que varan con el tiempo.

Elementos estacionarios.Clase 1Clase 2

Elementos en movimiento.Clase 3|Clase 4

La tabla muestra las clases de cargas posibles, la clase 1 es un sistema estacionario con cargas constantes, el ejemplo es el bastidor base de una prensa de husillo usada en talleres mecnicos, la base soporta siempre el peso del sistema constante a lo largo del tiempo y el bastidor base no se mueve, hay piezas que se llevan temporalmente a la prensa del husillo y aaden peso pero se puede considerar despreciable, en sistemas de clase 1 solo se necesita hacer anlisis de cargas estticas.

La clase 2 es un sistema estacionario con cargas que varan con el tiempo, el ejemplo es un puente que aunque esta estacionario, sus cargas que son los autos estn constantemente variando al pasar encima de l, adems de las cargas que genera el viento, en necesario anlisis de cargas dinmicas. La clase 3 es un sistema de movimiento con cargas constante, cualquier aceleracin significativa de los miembros en movimiento pueden crear fuerzas de reaccin que varan con el tiempo, el ejemplo es una segadora de hierba, excepto cuando topa con una piedra, las aspas siempre experimentan una carga externa casi constante proveniente del corte de la hierba, es necesario un anlisis de cargas dinmicas. El caso 4 describe el caso general de un sistema en movimiento rpido, sujeto a cargas que varan con el tiempo, aun cuando las carga aplicadas fueran maso menos contantes, las cargas dinmicas de sus aceleraciones varan con el tiempo, los ejemplos son todas las maquinas provistas de motor como el automvil donde las partes internas estn sujetas a cargas que varan con el tiempo debido a la explosin de la gasolina y general tambin carga de inercia variables por sus propias aceleraciones.

DIAGRAMAS DE CUERPO LIBREUna vez identificadas correctamente todas las fuerzas potenciales y momentos es necesario dibujas diagramas precisos de cuerpo libre de cada miembro del sistema, estos debern mostrar la geometra de la pieza y todas las fuerzas y momentos que acten, pueden existir fuerzas y momentos externos aplicados as como fuerzas y momentos de interconexin donde se unan o entren en contacto con piezas adyacentes, se definen tambin las dimensiones y los ngulos respecto a un sistema de coordenadas con origen en el centro de gravedad de la pieza para un anlisis de cargas dinmicas en necesario conocer o calcular las aceleraciones cinemticas, tanto las angulares como las lineales (en el centro de gravedad), antes de llevar a cabo el anlisis de las cargas.

ANLISIS DE LAS CARGASSe presenta un breve repaso de las leyes de Newton y de las ecuaciones de Euler aplicados a sistemas cargados dinmica y estticamente tanto en tres como en dos dimensiones, este mtodo es algo diferente a las ecuaciones clsicas de esttica y dinmica, este procedimiento tiene como fin facilitar la solucin por computadora.

Este procedimiento plantea que todos los momentos y fuerzas desconocidos son de signo positivo dejando de lado las posibles intuiciones, pero para definir sus direcciones a todas las fuerzas conocidas se loes asigna signo correspondiente, al solucionar simultneamente har que las componentes desconocidas tengan el signo correcto, el mtodo de solucin por ecuaciones simultaneas es muy simple pero requiere uso de computadora.

Los sistemas dinmicos reales existen en tres dimensiones y por lo tanto deben ser analizados como tales. No obstante, muchos sistemas tridimensionales pueden analizarse mediante mtodos ms sencillos en dos dimensiones.

Anlisis Tridimensional

Dado que de los 4 casos, 3 requieren potencialmente un anlisis de cargas dinmicas, y en vista de que un anlisis de fuerzas estticas es solo una variante del anlisis dinmico, tiene sentido empezar con el caso dinmico. El anlisis de cargas dinmicas se puede llevar a cabo con cualquiera de varios mtodos, pero el que proporciona ms informacin sobre las fuerzas internas es el procedimiento newtoniano que, desde luego, se basa en las leyes de Newton.

Primera Ley de Newton Un cuerpo se mantiene en reposo o en movimiento a una velocidad constante y en lnea recta a menos de que una fuerza externa acte sobre l.

Segunda Ley de Newton La razn de cambio en el tiempo del momento de un cuerpo es igual a la magnitud de la fuerza aplicada y acta en la direccin de tal fuerza.

La segunda ley de Newton se puede escribir para un cuerpo rgido de dos maneras, una para fuerzas lineales y otra para momentos o pares de torsin:

G= momento en razn con el centro de gravedad y HG = razn de cambio en el tiempo de los momentos, es decir, el momento angular en razn con el centro de gravedad. Los lados izquierdos de estas ecuaciones respectivamente suman todas las fuerzas y momentos que actan sobre el cuerpo, ya sea proveniente de fuerzas conocidas aplicadas o de interconexiones con cuerpos adyacentes en el sistema.En un sistema tridimensional de cuerpos rgidos interconectados, esta ecuacin vectorial para fuerzas lineales se escribe como tres ecuaciones escalares, que comprenden componentes ortogonales tomadas sobre los ejes locales x,y y z con su origen en el centro de gravedad del cuerpo:

Si se escoge los ejes x, y y z de manera que coincidan con los principales ejes de inercia del cuerpo, el momento angular del cuerpo se define de la forma

Donde Ix , Iy e IZ son los principales momentos de inercia centroidales de masa (segundos momentos de masa) en razn con los ejes principales. Esta ecuacin vectorial se puede sustituir en la ecuacin 1 para obtener las 3 ecuaciones escalares que se conocen como las ecuaciones de Euler:

Donde Mx MY Mz son los momentos en relacin con estos ejes y x y y z son las aceleraciones angulares en relacin con los ejes. Esto supone que los trminos de inercia se conservan constantes a lo largo del tiempo, es decir, la distribucin de las masas en relacin con los ejes es constante.

Tercera Ley de Newton Cuando dos partculas interactan en su punto de contacto habr un par de fuerzas de reaccin iguales y opuestas. Este par de fuerzas tendr la mxima magnitud y actuara a lo largo de la misma lnea de direccin pero tendr sentido opuesto.

Necesitaremos aplicar esta relacin, as como la segunda ley, a fin de determinar las fuerzas en los ensambles de elementos que actan uno sobre otro. En un sistema tridimensional, para cada cuerpo rgido pueden escribirse las seis ecuaciones marcadas. Adems, se escribirn tantas ecuaciones de fuerzas de reaccin (tercera ley) como sean necesarias, y el conjunto de ecuaciones resultante se resolver simultneamente para determinar fuerzas y momentos. En un sistema tridimensional el nmero de ecuaciones de la segunda ley ser de hasta seis veces el nmero de piezas individuales (en adicin a las ecuaciones de reaccin), lo que significa que incluso sistemas sencillos darn como resultado juegos grandes de ecuaciones simultaneas. Las ecuaciones de reaccin a menudo se introducen por sustitucin en las ecuaciones de la segunda ley, a fin de reducir el nmero total de ecuaciones a resolver de manera simultnea.

Anlisis bidimensionalTodas las maquinas son de tres dimensiones, pero muchos sistemas tridimensionales pueden analizarse como bidimensionales cuando sus movimientos solo se presentan en un plano o en planos paralelos. Las ecuaciones de Euler muestran que si los movimientos de rotacin (w,) y los momentos o pares de fuerzas aplicados solo existen respecto a un eje entonces el conjunto de tres ecuaciones se reduce a una ecuacin.

Ya que ahora los trminos w y en relacin con los ejes x y y valen cero. La ecuacin se reduce a

Estas ecuaciones se pueden escribir para todos los cuerpos conectados en un sistema de dos dimensiones, y todo el conjunto se resuelve de manera simultnea en funcin de sus fuerzas y momentos. El nmero de ecuaciones de la segunda ley ahora ser hasta 3 veces el nmero de elementos del sistema, ms las ecuaciones de reaccin necesarias en los puntos de conexin, con lo que resulta de nuevo un sistema de muchas ecuaciones, incluso para sistemas simples. Observe que aunque en un sistema bidimensional todo el movimiento ocurre alrededor de un eje (z), pudiera aun haber componentes de carga en la direccin z a causa de fuerzas o pares de fuerzas externos

Anlisis de carga estticaLa diferencia entre una situacin de carga dinmica y una de carga esttica es la presencia o ausencia de aceleraciones. Si en las ultimas ecuaciones las aceleraciones son todas ellas de valor 0, entonces, para el caso tridimensional, estas ecuaciones se reducen a

Y en el caso de 2 dimensiones

Por lo tanto, se observa que la situacin de carga esttica es solo un caso especial de la carga dinmica, en la cual todas las aceleraciones resultan iguales a cero. Un mtodo de solucin basado en el caso dinmico tambin satisfar el caso esttico, con la sustitucin apropiada de valores cero en lugar de las aceleraciones ausentes

Cargas de Impacto

Cuando una carga se aplica en un perodo relativamente corto recibe el nombre de carga dinmica, la misma puede tomar muchas formas, algunas cargas se aplican y suprimen de modo repentino, son las cargas de impacto, otras actan por perodos ms prolongados de tiempo y varan de intensidad, son las denominadas cargas fluctuantes. Las cargas de impacto se producen cuando dos objetos colisionan, o cuando un objeto cae sobre otro. Las cargas fluctuantes en general son producidas por maquinaria rotatoria, trnsito pedestre o vehicular, rfagas de viento, olas marinas, sismos.

Los fenmenos de impacto sobre las estructuras constituyen solicitaciones dinmicas de inters especial, ya que aunque por lo general su probabilidad es ms baja que otros tipos de acciones, su efecto es potencialmente catastrfico.

El anlisis exige a menudo procedimientos de clculo distintos a los de otras solicitaciones dinmicas ms comunes en la dinmica estructural. Salvo para los impactos a muy baja velocidad, es frecuente un comportamiento no lineal acusado de la estructura, con grandes desplazamientos y deformaciones, respuesta no lineal del material con posible rotura local, y efectos de interaccin complejos en los contactos. A medida que la velocidad del impacto es mayor, adquieren relevancia los fenmenos de transmisin de ondas de tensin o incluso de ondas de choque.La velocidad es quizs el parmetro ms simple para clasificar los distintos tipos de impactos. Sin embargo, resulta difcil clasificar de forma absoluta los mismos por un solo parmetro, ya que otras variables de tipo geomtrico o relacionadas con las propiedades del proyectil o del blanco tienen una importancia decisiva. A pesar de todo, y con objeto de realizar una primera aproximacin, se han propuesto diversas clasificaciones. Sintetizando stas, y citando los efectos sobre el material, se puede proponer la siguiente ordenacin:

Baja velocidad (v < 50m/s). Efectos elsticos, o deformacin plstica localizada. Velocidad media (50m/s < v < 500m/s). Deformacin plstica generalizada. Velocidad alta (500m/s < v < 2000m/s). La resistencia viscosa del material an tiene importancia. Hipervelocidad (2000m/s < v). El material puede considerarse como un fluido hidrodinmicoEl comportamiento dinmico de materiales solidos se rige por una serie de ecuaciones diferenciales bsicas que expresan el balance de diversas magnitudes. El balance de cantidad de movimiento, o ecuacin de Cauchy, se expresa en la configuracin deformada como:

donde () es el operador divergencia, el tensor de tensiones de Cauchy, b las fuerzas volumtricas, la densidad volumtrica y v la velocidad. Por su parte, el balance de momento cintico obliga a la simetra del tensor de tensiones, = T. La conservacin de la masa o ecuacin de continuidad establece

Por ltimo, la ecuacin de balance de energa (primer principio de termodinmica) se escribe

donde u es la energa interna por unidad de masa, del tensor velocidad de deformacin, r la densidad de fuentes de calor, y h el vector de flujo calorfico.Las ecuaciones anteriores son vlidas para cualquier material. A ellas hay que agregar leyes adicionales, denominadas ecuaciones constitutivas, que expresan el comportamiento del material y varan dependiendo del mismo y del rgimen a que est sometido. Principalmente se trata de las ecuaciones constitutivas mecnicas, que expresan la tensin como funcin de la deformacin y posiblemente otros parmetros, y las trmicas que establecen el flujo decalor.Bajo solicitaciones pequeas, como puede corresponder a impactos a baja velocidad, la respuesta del material ser elstica y lineal. Admitiendo la hiptesis de pequeas deformaciones en un material istropo, esto se expresa mediante la ley de Hooke generalizada,

donde (K, G) son los mdulos elsticos de compresibilidad y corte respectivamente, 1 es el tensor identidad de 2.o orden y es el tensor de deformaciones lineal.

Cargas CombinadasLos miembros estructurales a menudo requieren soportar ms de un tipo de carga. El anlisis de un miembro sometido a tales cargas combinadas puede realizarse usualmente mediante la superposicin de los esfuerzos debidos a cada carga que acta separadamente. La suposicin de los esfuerzos son funciones lineales de las cargas y no hay efectos interactivos entre las diferentes cargas. El ltimo requisito satisface usualmente si la de flexiones y rotaciones de la estructura son pequeas.

El anlisis se inicia con la determinacin de los esfuerzos debido a las fuerzas axiales, pares, fuerzas cortantes y momentos flexionantes. Luego, tales esfuerzos se combinan para obtener los esfuerzos resultantes, despus de lo cual pueden analizarse los esfuerzos que actan en direcciones inclinadas mediante las ecuaciones de transformacin o el crculo de Mohr. En particular, pueden calcularse los esfuerzos principales y los esfuerzos cortantes mximos. De esta manera pueden analizarse cualquier nmero de localizaciones crticas en el elemento ya se confirmado que el diseo es adecuado, o si los esfuerzos son muy grandes o muy pequeos, indicando que son necesarios algunos cambios en el diseo.

CARGAS POR VIBRACINLas cargas por vibracin se presentan en cualquier cuerpo con cargas dinmicas, sus causas son diversas y son cargas extras aparte de las cargas calculadas con las ecuaciones dinmicas.

Estas cargas se deben a la naturaleza de las propiedades de los materiales, es decir, la rigidez.La rigidez consiste en el soporte de cargas a nivel estructural del material. Un material con una rigidez baja sometido a un movimiento constate, se fracturar en poco tiempo, ningn material posee una rigidez infinita y debido a esto la vibracin siempre ser un factor importante a considerar.

La vibracin genera deflexiones y estas se convierten en fuerzas adicionales a las fuerzas de inercia. La nica manera de obtener una medida exacta de los efectos de la vibracin sobre un sistema es efectuando pruebas de prototipo o de sistemas en produccin bajo condiciones de servicio. Las tcnicas modernas de anlisis de elemento finito tambin permiten que se modelen y calculen los efectos de la vibracin. Sin embargo los fenmenos generados por la vibracin al no ser lineales son difciles de modelar en forma matemtica.

Cualquier sistema real llega a tener un nmero infinito de frecuencias naturales, a las cuales vibrar con facilidad. El nmero de frecuencias naturales que se debe o que es deseable calcular variara con cada situacin. A fin de evitar problemas de resonancia durante la operacin. Cuando un cuerpo durante su aplicacin de cargas cambiantes con el tiempo, generan una vibracin con la misma frecuencia que la frecuencia natural del cuerpo, se dice que entra en resonancia, y puede producir falla en el material.

La frecuencia natural fundamental sin amortiguador , con unidades en rad/s, o bien la con unidades en Hz, se puede calcular a partir de las expresiones.

Donde: es la frecuencia natural fundamental.m es la masa en movimiento del sistema.K es la constante del resorte efectiva del sistema.

(a) Sistema real (b) Modelo agrupadoFigura 1. Modelo agrupado de un sistema dinmico de leva seguidor.

La figura 1 muestra un modelo simple de un sistema de leva seguidor formado por una leva, un seguidor deslizante y un resorte de retorno.

El modelo total ms sencillo consiste en una masa conectada a una gua a travs de un solo resorte y con un solo amortiguador. Toda la masa en movimiento dentro del sistema (seguidor y resorte) est contenida en m y todo el resorte, incluyendo el resorte fsico y la elasticidad de todas las piezas, queda agrupado en la constante k efectiva del resorte.

La constante del resorte consiste en una relacin lineal estimada entre la fuerza F aplicada a un elemento, y su deflexin resultante.

Si se puede encontrar o deducir una expresin para la deflexin de un elemento, sta proporcionar la relacin de la constante del resorte.

Todas las perdidas por amortiguacin y friccin quedan agrupadas en el coeficiente de amortiguacin d. Si se incluye la amortiguacin, las expresiones matemticas correspondientes a la frecuencia natural fundamental amortiguada se convierten en:

Esta frecuencia amortiguada ser ligeramente menor a la frecuencia no amortiguada.

La determinacin de la masa eficaz para un modelo agrupado es sencilla y slo requiere sumar todos los valores de las masas en movimiento conectadas.

La resonancia ocurre si la frecuencia de operacin o de impulso aplicada al sistema es igual a cualquiera de sus frecuencias naturales. Significa que si la velocidad angular de entrada aplicada al sistema en rotacin es la misma que, o cercana a , la respuesta vibratoria ser muy elevada.Fuerzas dinmicas

Si los parmetros cinemticos de desplazamiento, velocidad y aceleracin son conocidos para el sistema, esta ecuacin se resuelve directamente en funcin de la fuerza de la leva en funcin del tiempo. Si la fuerza de la leva es conocida y lo que se desea son los parmetros cinemticos, entonces puede aplicarse la solucin de la ecuacin diferencial lineal de coeficientes constantes.

ESFUERZO, DEFORMACIN Y DEFLEXIN

Probablemente el lector ya haya tomado un curso de anlisis de esfuerzos (llamado talvez Resistencia de materiales o Mecnica de materiales) y, por lo tanto, conoce los fundamentos de este tema. No obstante, este captulo presentar un repaso bsico con la finalidad de crear el marco para el estudio del anlisis de fatiga en captulos posteriores. En el apndice B se estudiarn el esfuerzo y la deformacin unitaria en las propiedades de los materiales, aunque no se vern exhaustivamente. En este captulo tendremos una definicin ms completa de lo que se entiende por esfuerzo, deformacin unitaria y deflexin.

La tabla 2-0 muestra las variables que se usan en este captulo, as como las referencias a tablas o secciones donde se utilizan.

ESFUERZOEl esfuerzo se define como la fuerza por unidad de rea en unidades psi o MPa. En un elemento sometido a ciertas fuerzas, por lo general el esfuerzo se distribuye como una funcin que vara constantemente dentro del continuo del material. Cada elemento infinitesimal del material puede experimentar esfuerzos diferentes al mismo tiempo. Por consiguiente, se deben visualizar los esfuerzos que actan sobre elementos pequeos evanescentes dentro de la pieza. Estos elementos infinitesimales se modelan generalmente como cubos. Se considera que los componentes del esfuerzo actan sobre las caras de estos cubos de dos modos diferentes. Los esfuerzos normales actan de forma perpendicular (es decir, normalmente) a la cara del cubo y tienden a jalarla hacia afuera (esfuerzo normal de tensin) o empujarla hacia adentro (esfuerzo normal de compresin). El esfuerzo cortante acta paralelo a las caras de los cubos, en pares (parejas) sobre caras opuestas, lo cual tiende a distorsionar el cubo en una forma de romboide.Tales componentes de los esfuerzos normal y cortante que actan sobre un elemento infi nitesimal dan como resultado un tensor.

El esfuerzo es un tensor de segundo orden y requiere nueve valores o componentes para describirlo en tres dimensiones. Un tensor de esfuerzo en tres dimensiones se expresa como la matriz:

Donde la notacin para cada componente del esfuerzo contiene tres elementos: una magnitud( o ), la direccin de la normal a la superficie de referencia (primer subndice) y la direccin de accin (segundo subndice). Se usar para referirnos a los esfuerzos normales, y para los esfuerzos cortantes.

Muchos elementos de mquinas estn sujetos a estados de esfuerzo tridimensionales y, por lo tanto, requieren la aplicacin del tensor de esfuerzo de la ecuacin 2.1a.Sin embargo, hay algunos casos especiales, los cuales se pueden tratar como estados de esfuerzos bidimensionales.

El tensor de esfuerzo para dos dimensiones es:

La figura 2 ilustra un cubo infinitesimal de material tomado del interior del continuo de la parte que se somete a algunos esfuerzos de tres dimensiones. Las caras de este cubo infinitesimal son paralelas a un conjunto de ejes xyz establecidos con alguna orientacin conveniente. La orientacin de cada cara est definida por su vector normal de superficie como se indica en la fi gura 2-1a. La cara x tiene su normal de superficie paralela al eje x, etctera. Observe que, por consiguiente, hay dos caras x, dos caras y y dos caras z, siendo una de ellas positiva y la otra negativa, como lo define el sentido de su vector normal de superficie.

Figura 2. Cubo de esfuerzos

Para el caso bidimensional, tan slo se dibuja una cara del cubo de esfuerzos. Si se conservan las direcciones x y y y se elimina z, se observa la normal al plano xy del cubo de la figura 2-1 y se ven los esfuerzos de la figura 3, que actan sobre las caras ocultas del cubo. El lector debera verificar que las componentes de esfuerzo mostradas en la figura 3 son todas positivas segn la convencin de signos establecida anteriormente.

Observe que la definicin de la notacin de los subndices dobles es consistente cuando se aplica a esfuerzos normales. Por ejemplo, el esfuerzo normal xx acta sobre la cara x y tambin en la direccin de x. Puesto que los subndices simplemente se repiten para esfuerzos normales, es comn eliminar uno de ellos y referirse a las componentes normales simplemente como x, y y z. Se requieren ambos subndices para definir las componentes del esfuerzo cortante y, por lo mismo, se utilizarn los dos. Tambin puede demostrarse que el tensor de esfuerzo es simtrico, lo cual significa que:

Figura 3. Elemento de esfuerzo

Esto reduce el nmero de las componentes de esfuerzo a calcular.

Deformacin Unitaria.El esfuerzo y la deformacin unitaria estn linealmente relacionados por la ley de Hooke, en la regin elstica de la mayora de los materiales para ingeniera, como veremos en el apndice B. La deformacin unitaria es tambin un tensor de segundo orden, y para el caso tridimensional se expresa como:

Y para el caso bidimensional:

Donde representa ya sea una deformacin unitaria normal o cortante, que se diferencia entre s por sus subndices. Tambin se simplificarn, por conveniencia, los subndices repetidos de las deformaciones unitarias normales como x, y y z, manteniendo los subndices dobles para identificar las deformaciones unitarias cortantes. Las mismas relaciones simtricas de las componentes de los esfuerzos cortantes mostradas en la ecuacin 2.2 se aplican tambin para las componentes de deformacin unitaria.

ESFUERZOS PRINCIPALESLos sistemas de ejes adoptados en las figuras 2 Y 3 son arbitrarios, y usualmente se eligen por conveniencia para el clculo de los esfuerzos aplicados. Para cualquier combinacin particular de esfuerzos aplicados, existir una distribucin continua del campo del esfuerzo alrededor de cualquier punto que se analice. Los esfuerzos normales y cortantes en ese punto variarn segn la direccin del sistema de coordenadas seleccionado. Siempre habr planos sobre los cuales las componentes de esfuerzo cortante sean iguales a cero. Los esfuerzos normales que actan sobre estos planos se llaman esfuerzos principales.Los planos sobre los cuales actan tales esfuerzos principales se denominan planos principales. Las direcciones de las normales a la superficie de los planos principales se llaman ejes principales, y los esfuerzos normales que actan en esas direcciones son los esfuerzos normales principales. Tambin existe otro conjunto de ejes mutuamente perpendiculares a lo largo de los cuales los esfuerzos cortantes sern mximos. Los esfuerzos cortantes principales actan sobre un conjunto de planos que estn en ngulos de 45 con los planos de esfuerzos normales principales. Para el caso bidimensional de la figura 3, los planos principales y los esfuerzos principales se muestran en la figura 4.La expresin que relaciona los esfuerzos aplicados con los esfuerzos principales es:

Donde es la magnitud del esfuerzo principal, y nx, ny y nz son los cosenos de la direccin del vector unitario n, el cual es normal al plano principal: Figura 4

Para que exista la solucin de la ecuacin 2.4a, el determinante de la matriz coeficiente debe ser cero. Al desarrollar este determinante y hacerlo igual a cero, se tiene:

La ecuacin 2.4c es un polinomio cbico en . Los coeficientes C0, C1 y C2 se llaman las invariantes del tensor, ya que tienen los mismos valores sin importar la seleccin inicial de los ejes xyz, en los cuales se midieron o se calcularon los esfuerzos aplicados. Las unidades de C2 son psi (MPa), de C1 psi (MPa) y de C0 psi (MPa). Los tres esfuerzos (normales) principales 1, 2, 3 son las tres races de este polinomio cbico. Las races de este polinomio son siempre reales y, por lo general, estn ordenadas de modo que 1 > 2 > 3.Los esfuerzos cortantes principales se obtienen a partir de los valores de los esfuerzos normales principales, usando:

Si los esfuerzos normales principales se ordenan como se mostr antes, entonces mx = 13. Las direcciones de los planos de los esfuerzos cortantes principales estn a 45 de las de los esfuerzos normales principales y, tambin, son mutuamente ortogonales.Para el caso especial del estado de esfuerzo bidimensional, las ecuaciones 2.4c para el esfuerzo principal se reducen a:

Las dos races diferentes de cero calculadas a partir de la ecuacin 2.6a se designan temporalmente como a y b, y la tercera raz c es siempre cero en el caso bidimensional. Dependiendo de sus valores resultantes, las tres races se identifican de acuerdo con la convencin: la mayor algebraicamente = 1, la menor algebraicamente = 3 y la otra = 2. Usando la ecuacin 2.6a para resolver el ejemplo mostrado en la fi gura 2-4 se obtendran los valores de 1 = a, 3 = b, 2 = c, = 0, como se indica en la figura. Desde luego, la ecuacin 2.4c para el caso de 3-D se puede usar incluso para resolver cualquier caso bidimensional, de manera que uno de los tres esfuerzos principales obtenidos ser cero. El ejemplo de la figura 2-4 es un caso bidimensional resuelto con la ecuacin 2.4c. Note la raz de = 0. Una vez que se han obtenido y ordenado los tres esfuerzos principales como se describi anteriormente, se obtiene el esfuerzo de corte mximo con la ecuacin 2.5:

ESFUERZO PLANO Y DEFORMACIN PLANAEl estado general del esfuerzo y la deformacin es tridimensional; no obstante, existen configuraciones geomtricas especficas que se pueden tratar de manera diferente.

Esfuerzo planoEl estado de esfuerzo bidimensional o biaxial tambin se conoce como esfuerzo plano, el cual requiere que un esfuerzo principal sea cero. Esta condicin es comn en algunas aplicaciones. Por ejemplo, una placa o un cascarn pueden tener tambin un estado de esfuerzo plano lejos de sus lmites o puntos de unin.

Deformacin planaExisten deformaciones principales asociadas con los esfuerzos principales. Si una de las deformaciones principales (por ejemplo, 3) es cero, y si las deformaciones restantes son independientes de la dimensin a lo largo de su eje principal, n3, entonces se llama deformacin plana. Esta condicin ocurre en geometras particulares. Por ejemplo, si una barra larga, slida y prismtica se carga tan slo en direccin transversal, las regiones dentro de la barra que estn lejos de cualquier restriccin del extremo tendrn esencialmente deformacin cero a lo largo del eje de la barra, y se tendr una deformacin plana. (Sin embargo, el esfuerzo no es cero en la direccin de deformacin cero).

CRCULOS DE MOHRLos crculos de Mohr han probado exhaustivamente ser un buen medio para obtener los esfuerzos principales para el caso del esfuerzo plano. Sin embargo, ahora resulta ms prctico obtener numricamente los esfuerzos principales. No obstante, se presenta el mtodo grfico por varios motivos. Puede servir como una verificacin rpida de una solucin numrica y ser el nico mtodo viable si la energa de su computadora falla o se agotan las bateras de su calculadora. Tambin es til para obtener una presentacin visual del estado del esfuerzo en un punto determinado.

Los crculos de Mohr tambin funcionan para el caso de esfuerzos tridimensionales, aunque no hay un mtodo de construccin grfica para crearlos directamente a partir de los datos del esfuerzo aplicado, excepto en el caso especial donde uno de los esfuerzos principales coincide con un eje del sistema de coordenadas xyz seleccionado, es decir, donde un plano es el plano del esfuerzo principal. Sin embargo, una vez que se calculan los esfuerzos principales por una tcnica adecuada de bsqueda de races, los crculos de Mohr tridimensionales se pueden dibujar usando los esfuerzos principales calculados.

El plano de Mohr, sobre el cual se dibujan los crculos, se traza con sus ejes mutuamente perpendiculares, pero el ngulo entre ellos es de 180 en el espacio real. Todos los ngulos dibujados sobre el plano de Mohr tienen el doble de su valor en el espacio real. La abscisa es el eje de todos los esfuerzos normales. Los esfuerzos normales aplicados x, y y z se grafican a lo largo de este eje, y los esfuerzos principales 1, 2 y 3 tambin se encuentran sobre ste. La ordenada es el eje de todos los esfuerzos cortantes. Se suelen dibujar los esfuerzos cortantes aplicados xy, yx y xz para encontrar el esfuerzo cortante mximo.

Mohr utilizaba una convencin de signos para los esfuerzos cortantes, lo cual hace positivos a los esfuerzos que giren en sentido del movimiento de las manecillas del reloj (cw), aunque esto no es consistente con el estndar convencional de la regla de la mano derecha. Sin embargo, esta convencin de la mano izquierda se emplea incluso para sus crculos.

ESFUERZOS APLICADOS CONTRA ESFUERZOS PRINCIPALES

Los esfuerzos aplicados son las nueve componentes del tensor de esfuerzo que se generan siempre que se aplican cargas a la geometra especfica del objeto, definidas en un sistema de coordenadas seleccionado por conveniencia. Los esfuerzos principales son los tres esfuerzos normales principales y los tres esfuerzos cortantes principales. Desde luego, muchos de los trminos del esfuerzo aplicado pueden ser cero en un caso determinado.

La figura 2-8 ilustra el crculo de Mohr de una muestra de prueba a la tensin. En este caso, el esfuerzo aplicado es de tensin pura, mientras que el esfuerzo normal principal mximo es igual a l en magnitud y direccin. Sin embargo, un esfuerzo cortante principal de la mitad del esfuerzo de tensin aplicado acta sobre un plano de 45 desde el plano del esfuerzo normal principal. Por lo tanto, los esfuerzos cortantes principales usualmente sern diferentes de cero, incluso en ausencia de cualquier esfuerzo cortante aplicado.

TENSION AXIAL La carga axial a la tensin (figura 2-9) es uno de los tipos de carga ms sencillos que se pueden aplicar a un elemento. Se supone que la carga se aplica a travs del centroide del rea del elemento, y que las dos fuerzas opuestas son colineales a lo largo del eje x. En algn lugar alejado de los extremos donde se aplican las fuerzas, la distribucin del esfuerzo a travs de la seccin transversal del elemento es esencialmente uniforme, como se muestra en la figura 2-10. Los esfuerzos normales aplicados para tensin axial pura se calculan mediante

Donde P es la fuerza aplicada y A es el rea de la seccin transversal del punto de inters. ste es un esfuerzo normal aplicado. El crculo de Mohr para este caso se muestra en la gura 2-8. La carga permisible para cualquier elemento particular en tensin se determina comparando los esfuerzos principales con la adecuada resistencia del material. Por ejemplo, si el material es dctil, se puede comparar la resistencia defluencia a la tensin, Sy, con el esfuerzo normal principal y el factor de seguridad se calcula como N Sy / 1.

El cambio de longitud s de un elemento de seccin transversal uniforme cargado con una tensin pura est dado por

Donde P es la fuerza aplicada, A es el rea transversal, l es la longitud cargada y E es el mdulo de Young del material.La carga a la tensin es muy comn; ocurre en cables, puntales, pernos y muchos otros elementos cargados axialmente. El diseador necesita verificar cuidadosamente la presencia de otras cargas en el elemento que, si se presentan en combinacin con la carga de tensin, crea un estado de esfuerzo diferente al de la tensin axial pura descrito aqu.

CONCENTRACIN DE ESFUERZOSTodo el anlisis de la distribucin de esfuerzos en el interior de miembros cargados ha supuesto hasta ahora que las secciones transversales de los miembros eran totalmente uniformes. Sin embargo, la mayor parte de las piezas de maquinaria reales tendrn secciones transversales variables. Por ejemplo, las flechas a menudo se escalonan en dimetros distintos, a fin de aceptar cojinetes, engranes, poleas, etc. Estos cambios geomtricos en una pieza a menudo se conocen como elevadores de esfuerzos y deben evitarse en el diseo o, por lo menos, minimizarse tanto como sea posible.

La cantidad de concentracin de esfuerzos en cualquier geometra especfica se indica con un factor de concentracin de esfuerzos geomtrico Kt para esfuerzos normales y como Kts para esfuerzos cortantes. El esfuerzo mximo en un elevador local de esfuerzos es por lo tanto definido de la manera,

Donde son los esfuerzos nominales calculados correspondientes a la carga aplicada y seccin transversal neta particulares, suponiendo la distribucin de esfuerzos a travs de la seccin que se obtendra para una geometra uniforme.

Se pueden enunciar algunas guas de diseo de tipo general para minimizar las concentraciones de esfuerzos:

1. De ser posible, evitar cambios abruptos y/o de gran magnitud en la seccin transversal2. Evitar totalmente esquinas agudas o filosas y disee los radios de transicin que sean lo mayor posible, entre superficies de contorno diferente

REFERENCIAS

Norton L. R. Diseo de mquinas, 3ra ed. Prentice Hall

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