DRENADO DE UN TANQUE

John Felipe Hernández Meza

johnhernandezmg@gmail.com

Facultad Ingeniería Electrónica

Nicolás Esteban Daza González

niesdago@hotmail.com

Facultad Ingeniería Electrónica

Fabián Andrés Becerra Martínez

fabian.becerra.2013@upb.edu.co

Facultad Ingeniería Industrial

Universidad Pontificia Bolivariana Seccional Bucaramanga

TEMA: Drenado de tanques y recipientes.

PALABRAS CLAVE:

Datos experimentales, Datos teóricos, Tiempo de descarga, Área transversal.

RESUMEN:

El objetivo de este proyecto es aplicar uno de los múltiples enfoques que tienen las

ecuaciones diferenciales de primer orden, en este caso pondremos en práctica el drenado

de tanques. Para esta temática se pueden utilizar diferentes tipos de tanques ya sea

cilíndrico, cónico, etc. Pero el que usaremos será un tanque cilíndrico circular recto. Lo

que se quiere llevar a cabo con este proyecto es predecir el tiempo que tarda el tanque

en desalojar la mitad de su volumen o la totalidad de él, aplicando el modelo

matemático de Torricelli para calcular los datos teóricos, poderlos comparar con los

experimentales y así finalmente sacar conclusiones y evaluar el experimento realizado.

PROBLEMA:

En 1644, Torricelli utilizó el mercurio haciéndolo ascender en un tubo cerrado, creando

vacío en la parte superior, empujado por el peso del aire de la atmósfera. Demostró que

el aire tiene peso, e inventó el barómetro.

La unidad de presión torr se nombró en su memoria. Enunció, además, el teorema de

Torricelli, de importancia fundamental en hidráulica. El teorema de Torricelli es una

aplicación del principio de Bernoulli y estudia el flujo de un líquido contenido en un

recipiente, a través de un pequeño orificio, bajo la acción de la gravedad. A partir del

teorema de Torricelli se puede calcular el caudal de salida de un líquido por un orificio.

Dicho teorema enuncia que: «La velocidad de un líquido en una vasija abierta, por un

orificio, es la que tendría un cuerpo cualquiera, cayendo libremente en el vacío desde el

nivel del líquido hasta el centro de gravedad del orificio», lo cual se representa

matemáticamente como:

V t=√2∙ g ∙(h+ V o2

2∙ g )Situación problema:

Se llena un tanque cilíndrico con agua hasta lograr una altura de 20 cm, calcular:

a) El tiempo que tarda el tanque en perder la mitad de su volumen.

b) El tiempo que tarda el tanque en vaciarse o drenarse completamente.

DATOS RECOLECTADOS:

Inicialmente, tomamos las medidas de las dimensiones del tanque. Los resultados son

los que se muestran a continuación:

Característica Longitud [cm]Longitud

[m]

Altura del cilindro 29.6 cm 0.296 m

Diámetro del cilindro 14 cm 0.14 m

Diámetro del orificio 0.6 cm 0.006 m

Tabla 1.

Después de esto, hicimos una marca en el tanque a una altura de 10 cm de la base del

tanque para poder determinar el momento y marcar el tiempo en el que el nivel del agua

se encuentra a dicha altura, y también marcamos el tiempo cuando el tanque finalizaba

su proceso de drenado.

Este experimento lo repetimos hasta tres veces para poder comparar los resultados

experimentales con los teóricos y así poder obtener resultados verídicos y concretos.

Los resultados obtenidos fueron:

Situación

Problema

Tiempo [s]Tiempo Promedio [s]

Exp 1. Exp 2. Exp 3.

A 38 s 37 s 37.24 s 37.41 s

B 119.2 s118.4

s118.8 s 118.8 s

Tabla 2.

ECUACIÓN DIFERENCIAL Y SOLUCIONES:

Sea h (t ) la altura del líquido en el tanque en cualquier instante t y V (t ) el volumen de

agua del tanque en ese instante. La velocidad V del agua que sale a través del orificio

es:

V=√2 gh(1)

La ecuación (1) representa la velocidad que una gota de agua adquiriría al caer

libremente desde la superficie del agua hasta el agujero. En condiciones reales, hay que

tomar en cuenta la contracción que sufre un chorro de agua en un orificio, por lo que se

tendrá:

V=c√2gh (2)

Donde c es el coeficiente de descarga comprendido entre 0 y 1 (0<c<1).

Si el orificio es de forma rectangular, la constante c=0.8

Si el orificio es de forma triangular, la constante0.65≤c≤0.75

Si el orificio es de forma circular, la constante c=0.6

Según la Ley de Torricelli, la razón con la que el agua sale por el agujero (variación del

volumen de líquido en el tanque respecto del tiempo) se puede expresar como el área a

del orificio de salida por la velocidad V del agua drenada, esto es:

dVdt

=−a v (3)

Sustituyendo (2) en la ecuación (3), tenemos que:

dVdt

=−a c√2gh(4)

Si A (h ) denota el área de la sección transversal horizontal del tanque a la altura h,

aplicando el método del volumen por secciones transversales se obtiene que:

V=∫0

h

A (h )dh

Y ahora derivando respecto a t y aplicando el teorema fundamental del cálculo:

dVdt

=A (h ) dhdt

(5)

Si igualamos las ecuaciones (4) y (5) tendremos que:

A (h ) dhdt

=−ac √2gh(6)

Debido a que el tanque es de forma cilíndrica, el área transversal A( y) es constante, es

decir siempre será un círculo con área constante. Entonces sustituiremos b=A(h) en la

ecuación (6) y también podríamos decir que h= y, entonces:

bdydt

=−ac √2gy→bdydt

=−a c√2g√ y (7)

Despejando dydt

de la ecuación (7), tenemos que:

dydt

=−ac √2gb

∙√ y(8)

Como el valor de ac √2 g

b es constante, entonces sustituiremos k=ac √2g

b en la

ecuación (8), entonces:

dydt

=−k √ y (9)

Ahora calculamos la solución de la ecuación diferencial (9) aplicando el método de

variables separables, tenemos que:

∫ dy

√ y=∫−k t→2√ y=−k t+c(10)

ANÁLISIS DE DATOS:

La tabla 2, muestra los datos experimentales, es decir los datos que fueron recolectados

durante el experimento. Ahora calcularemos los datos teóricos los cuales se determinan

a partir de la ecuación (10):

2√ y=−k t+c

Primero calcularemos el valor de la constante k , con la ayuda de la tabla 1 y sabiendo

que el valor de la constante c=1, ya que el corte del orificio fue realizado con láser y la

fricción es muy mínima.

k=a ∙c ∙√2 gb

→k=π (0.0032) ∙(1) ∙√2(9.8)

π (4.9×10−3)→k=8.1315×10−3

Ya tenemos el valor de la constante k . Ahora necesitamos el valor de la constante c, y

para poder hallar dicho valor se debe plantear un problema de valor inicial el cual es

y (0 )=0.1:

2√ y=−k t+c→2√0.2=−k (0 )+c→c=2√0.2

Una vez halladas estas constantes, podremos definir la solución particular a la ecuación

diferencial:

2√ y=(−8.1315×10−3 ) t+2√0.2(11)

DATOS TEÓRICOS:

Situación Problema A: y (t )=0.1 ,t=?

Para poder hallar t , primero y debe estar despejada de la ecuación (11). Para esto:

2√ y=(−8.1315×10−3 ) t+2√0.2

√ y=(−4.06575×10−3 )t+√0.2

y=( 1.6530×10−5 ) t 2+(−3.6365×10−3 ) t+0.2 (12)

Ahora que y ya está despejada, podemos aplicar el problema de valor inicial:

0.1= (1.6530×10−5 ) t 2+ (−3.6365×10−3 ) t+0.2

0=(1.6530×10−5) t 2+(−3.6365×10−3 )t+0.1

Se aplica la fórmula del bachiller:

t=3.6365×10−3±√(−3.6365×10−3 )2−4 (1.6530×10−5 )(0.1)

2 (1.6530×10−5 )

t 1=187.77 s t 2=32.21 s

Situación problema B: y (t )=0 , t=?

Realizamos el mismo procedimiento utilizando la ecuación (12):

y=( 1.6530×10−5 ) t 2+(−3.6365×10−3 ) t+0.2

0=(1.6530×10−5) t 2+(−3.6365×10−3 )t+0.2

t=3.6365×10−3±√(−3.6365×10−3 )2−4 (1.6530×10−5 )(0.2)

2 (1.6530×10−5 )

t 1=110.34 s t 2=109.64 s

COMPARACIÓN DE DATOS Y PORCENTAJE DE ERROR:

Porcentaje de error Situación Problema A:

VALOR TEÓRICO VALOR EXPERIMENTAL32.21 37.41

%Error=|Valor Teórico−Valor Experimental|

Valor Teórico∙100

%Error=|32.21−37.41|

32.21∙100→%Error=16.14 %

Porcentaje de error Situación Problema B:

VALOR TEÓRICO VALOR EXPERIMENTAL110.34 118.8

%Error=|Valor Teórico−Valor Experimental|

Valor Teórico∙100

%Error=|110.34−118.8|

110.34∙100→%Error=7.66 %

CONCLUSIONES:

Gracias a los conceptos estudiados de la ley de Torricelli, su forma de

aplicación, y el experimento realizado para este proyecto, en el que se despreció

la perdida de energía cinética, y del líquido al momento de introducción al

tanque. Y se tomaron como constantes la densidad y viscosidad del líquido

usado; se pudo obtener de forma teórica una solución particular para ello.

2√ y=(−8.1315×10−3 ) t+2√0.2

0 20 40 60 80 100 1200

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.1006

0

Drenado del Tanque

Tiempo transurrido de drenado (seg)Altu

ra d

el Lí

quid

o en

el ta

nque

(m)

Donde podemos observar que a medida que transcurre el tiempo de drenado, la

altura del líquido va disminuyendo exponencialmente. Y en la que se cumple

con los datos hallados en el anterior informe de, 32 segundos en el tiempo

transcurrido cuando el tanque se encuentra a la mitad de la altura a la que inició.

Y de 110 segundos transcurridos al momento de drenado total del tanque.

Comparados los datos teóricos hallados y los obtenidos durante el experimento,

se pudo tener una diferencia entre estos, es decir, se presentó un error, el cual

pudo deberse a diversos factores los cuales influyen en los resultados.

Algunos de estos factores pudo ser un error en la inclinación a la que se

encontraba el tanque mientras se ejecutaba la prueba. Aunque pudo ser poca,

esto afecta los resultados experimentales debido a que dicha inclinación hace

que el agua se acumule a un lado del cilindro, impidiendo determinar el instante

exacto en el que el tanque quedó vacío. Otro error humano que se pudo producir,

la toma del tiempo exacto en los momentos queridos. También, la suposición

fallida de alguna de las depreciaciones mencionadas en el ítem anterior.

Con la comparación de todos los datos recolectados, se halló el porcentaje de

error que se presentó en los dos momentos queridos. Un 16,14% en los tiempos

cuando el líquido del tanque estaba a mitad de su altura inicial. Un valor

bastante significativo para lo hallado. Y un 7,66% en el tiempo de drenado total

del tanque. Un valor razonable durante un experimento.

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS:

Bird, R.B., Stewart, W.E. y Lightfoot, E.N. Transport Phenomena. John Wiley

& Sons. New.

Graciela Morantes, Ecuaciones Diferenciales Notas de Clase.

http://www.ing.uc.edu.ve/~jpaez/MA3B06/contenidos/

contenido_ma3b06_tema3_5.pdf

http://www.toledocursos.com/MECFLU2/DrenadoTanqueArticulo.pdf