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경영학을 위한 수학Final Exam
2015/12/12(토) 13:00-15:00
• 풀이과정을 모두 명시하시오. 단, 6번은 T, F만 표시하시오.
• 정리를 사용할 경우 명시하시오.
1. (각 6점) 다음 적분을 구하시오.
(a)
∫ 1
−1(x+ 1)4dx−
∫ 1
−1(x− 1)4dx
(b)
∫32x+1dx
(c)
∫1
x2 + xdx
(d)
∫ 2
0
x√2x2 + 1
dx
(e)
∫ π2
0
sin 2x
1 + cos2 xdx
2. (15점) 다음 무한급수를 정적분을 이용하여 나타내고 그 값을 구하시오.
limn→∞
(1
n+ 1+
1
n+ 2+ · · ·+ 1
2n
)3. (각 10점) f(x) = 2x+ sinx에 대하여
(a) f의 역함수 g = f−1가 존재함을 보이시오.
(b)
∫ 2π
0g(x) dx를 구하시오.
4. 5000톤의 물이 들어 있는 저수지에 현재 0.4% 농도의 오염물질이 들어있다고 한다. 이 저수지에 오염물질 농도가 0.1%인 50톤의 물이 매일 흘러 들어가고 같은양의 물이 흘러 나온다고 한다. 오염물질은 항상 균일하게 퍼져있다고 가정하고지금부터 t일 후 저수지에 들어있는 오염물질의 양을 y(t)라 할 때 다음 질문에답하시오.
(a) (10 점) y(t)가 만족하는 미분방정식과 초기조건을 구하시오.
(b) (10 점) y(t)를 구하시오.
(c) (5 점) 오염물질의 농도가 0.2% 이하가 되는 것은 며칠 후인지 구하시오.
5. 확률변수 Z의 확률밀도함수가 f(z) = 1√2πe−
z2
2 이면 표준정규분포를 따른다고
한다. 이때 Z의 평균과 분산은 각각 0, 1이다.
(a) (10점) Y = |Z|의 확률밀도함수를 구하시오.
(b) (15점) Y의 평균과 분산을 구하시오.
2
6. (20점) n×n 행렬 A,B에 대하여 다음 명제가 맞으면 T, 틀리면 F로 표시하시오.(풀이과정은 생략. 맞으면 4점, 틀리면 0점, 무응답 2점)
(a) A2 = O이면 A = O이다.
(b) (AB)t = AtBt
(c) AB가 가역이면 A,B 모두 가역이다.
(d) det(AAt) = 1이면 det(A) = 1이다.
(e) A가 어떤 선형계의 첨가행렬이고 가역이면 이 선형계의 해는 존재하지 않는다.
7. (25점)아래와 같이 주어진 선형계에 대하여 다음 물음에 답하시오.x+ 2y + 3z + 4w = 32x+ 4y + 7z + 11w = 43x+ 6y + 10z + 14w = 10
(a) (5점) 주어진 선형계의 첨가행렬을 구하시오.
(b) (10점) (a)에서 구한 첨가행렬의 기약행사다리꼴을 구하시오.
(c) (10점) 주어진 선형계의 일반해를 구하시오.
8. (각 10점) 2 × 2 행렬 A =
(a bc d
)에 대하여 서로 다른 두 특성치 r1, r2가
존재한다.
(a) v1,v2가 특성치 r1, r2에 대한 특성벡터일 때 P =(v1 v2
)는 가역임을
보이시오.
(b) 대각행렬 D =
(r1 00 r2
)에 대하여 P−1AP = D임을 보이시오.
9. (20점)자동차보험시장을 A, B, C세개의회사가점유하고있다.조사를시작한첫해에 점유율은 A사가 50%, B사가 30%, C사가 20%를 차지하고 있다. 보험은1년간 유지되며 다음과 같은 경향을 나타낸다.
• 같은 보험사를 유지할 확률은 모두 0.5이다.
• A 다음에 B, B 다음에 C, C 다음에 A 보험에 들 확률은 각각 0.3, 0.5, 0.5이다.
(a) (5점) 추이행렬을 구하시오.
(b) (5점) 1년 후 A, B, C의 점유율을 구하시오.
(c) (10점) 시간이 많이 흐른 후 A, B, C 사의 점유율은 어떤 값으로 가까워지는지 기약분수로 나타내시오.