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MATEMÁTICA II
Profesor: Rafael Valdez
™§Funciones Elementales™§1_Explique por qué la grafica de la ecuación x2+ y2=1 no es la grafica de una función. 2_Demuestre que los siguientes triángulos con vértices A, B Y C es un triángulo rectángulo y encuentre área de cada uno.
a) A (−3,4 ) , B (2,−1 ) ,C (9,6 )b) A (7,2 ) , B (−4,0 ) , C ( 4,6 )
3_En cada uno de los ejercicios encuentre una ecuación del círculo que satisfaga las condiciones dadas.
a) Centro C (3 ,−2 ) , radio 4b) Centro C (−5,2 ) , radio5c) Centro enel origen , pasa por P (−3,5 )d) Centro C (−4,2 ) , tangente al eje xe) Extremos de un diametro A (4 ,−3 ) y B (−2,7 )f) Tangente aambos ejes , centro enel primer cuadrante , radio 2
4_Encuentre el centro y el radio del círculo con la ecuación dada.a) x2+ y2+4 x−6 y+4=0b) x2+ y2+6x=0c) 2 x2+2 y2−x+ y−3=0d) 9 x2+9 y2−6 x+12 y−31=0
™§ Operación de hallar los limites ™§Comparación de las magnitudes infinitesimales
a) lim ¿n → ∞n+1
n¿
b) lim ¿n→ ∞(n+1 )2
2 n2 ¿
c) lim ¿n→ ∞(n+1 )3−( n−1 )3
(n+1 )2+(n−1 )2¿
d) lim ¿n→ ∞n3−100 n2+1100 n2+15 n
¿
e) lim ¿n→ ∞1000 n3+3 n2
0,001 n2−100 n3+1¿
f) lim ¿n→ ∞(n+1 )4−(n−1 )4
(n+1 )4+ (n−1 ) 4 ¿
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g) lim ¿n→ ∞(2n+1)4−(n−1)4
(2n+1)4+(n−1)4 ¿
h) lim ¿n→ ∞
3√n3+2 n−1n+2 ¿
i) lim ¿n→ ∞
3√n2+nn+1 ¿
j) lim ¿n→ ∞(√n2+1+n)2
3√n6+1¿
k) lim ¿n→ ∞√n3−2n2+1+ 3√n4+1
4√n6+6 n5+2− 5√n7+3 n3+1¿
l) lim ¿n→ ∞
4√n5+2− 3√n2+15√n4+2−√n3+1
¿
m) lim ¿n→ ∞n !
(n+1 ) !−n!¿
n) lim ¿n → ∞(n+2 ) !+(n+1 )!
(n+3 )!¿
o) lim ¿n→ ∞(n+2 ) !+( n+1 )!(n+2 ) !− (n+1 )!
¿
p) lim ¿n → ∞
1+ 12+ 1
4+…+ 1
2n
1+ 13+ 1
9+…+ 1
3n
¿
q) lim ¿n → ∞1n2 (1+2+3+…+n ) ¿
r) lim ¿n→ ∞(1+2+3+…+nn+2
−n2 )¿
s) lim ¿n → ∞(1−2+3−4+…−2 nn2+1 )¿
t) lim ¿n→ ∞( 11.2
+ 12.3
+… 1(n−1 )n )¿
u) lim ¿n→ ∞2n−12n+1
¿
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v) lim ¿n→ ∞2
1n−1
21n +1
¿
w) limx →0
x2−23 x2−5 x+1
x) limx →2 ( 1
2−x− 3
8−x3 )y) lim
x →1
x2−2 x+1x3−x
Función de argumento continúo. Hallar los límites en cada caso
a) lim ¿x → 2x2+5x2−3
¿
b) lim ¿x → 0( x3−3x+1x−4
+1)¿c) lim ¿x → 1
x1−x
¿
d) lim ¿x → √3x2−3
x 4+ x2+1¿
e) lim ¿x → 1x2−2 x+1
x3−x¿
f) lim ¿x →−2x3+3 x2+2 x
x2−x+6¿
g) lim ¿x → 1( x−1 ) √2−x
x2−1¿
h) lim ¿x → 1
2
8 x3−16x2−5 x+1
¿
i) lim ¿x → 1x3+ x−2
x3−x2−x+1¿
j) lim ¿x → 1( 11−x
− 31−x3 )¿
k) lim ¿x → 2[ 1x ( x−2 )2
−1
x2−3 x+2 ]¿
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l) lim ¿x → 1[ x+2x2−5 x+4
+x−4
3 ( x2−3 x+2 ) ]¿m) lim ¿x → 1
xm−1xn−1
(m y n sonn+nú meros enteros)¿
n) lim ¿x → ∞x3+x
x4−3 x2+1¿
o) lim ¿x → ∞x4−5 x
x2−3 x+1¿
p) lim ¿x → ∞x2−1
2 x2+1¿
q) lim ¿x → ∞1+x−3 x3
1+x2+3 x3 ¿
r) lim ¿x → ∞( x3
x2+1−x)¿
s) lim ¿x → ∞( x3
2 x2−1− x2
2 x+1 )¿t) lim ¿x → ∞[ 3 x2
2 x+1−
(2 x−1 ) (3x2+x+2 )4 x2 ]¿
u) lim ¿x → ∞( x+1 )10+ (x−2 )10 . …+( x+100 )10
x10+1010 ¿
v) lim ¿x →+∞√x2+1+√ x4√ x3+x−x
¿
w) lim ¿x → ∞√x2+1− 3√ x2+14√ x4+1− 5√ x4+1
¿
x) lim ¿x → ∞
5√ x7+3+ 4√2 x3−16√x8+x7+1−1
¿
y) lim ¿x → ∞
3√ x4+3− 5√x3+43√x7+1
¿
z) lim ¿x → 0√1+x2−1
x¿
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aa) lim ¿x → 0√1+x−1
x2 ¿
bb) lim ¿x → 0√x2+1−1√ x2+16−4
¿
cc) lim ¿x → 5√x−1−2
x−5¿
dd) lim ¿x → 1x2−√x√x−1
¿ r
ee) lim ¿h →0√x+h−√x
h¿
ff) lim ¿x → 0
3√1+x2−1x2 ¿
gg) lim ¿x → 0
3√1+x−3√1−xx
¿
hh) lim ¿x → a√ x−b−√a−b
x2−a2 (a>b ) ¿
ii) lim ¿x → 1
n√ x−1m√x−1
(n ym sonnú meros enteros )¿
jj) lim ¿x → 0
3√1+x2− 4√1−2xx+x2 ¿
kk) lim ¿x → 1
3√7+ x3−√3+ x2
x−1 ¿
ll)¿ De qu é manera var í an las ra í ces de laecuaci ó ncuadradaa x2+bx+c=0 cuando b y cconservan sus valores cosntantes?mm) lim ¿x → ∞ ¿¿nn) lim ¿x → ∞ (√x2+1−√x2−1)¿oo) lim ¿x → ±∞ (√ x2+1−x )¿pp) lim ¿x → ±∞ x (√x2+1−x )¿qq) lim ¿x → ±∞ (√ ( x+a ) ( x+b )−x )¿rr) lim ¿x → ±∞(√x2−2 x−1−√ x2−7 x+3)¿ss) lim ¿x → ∞ ¿¿
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tt) lim ¿x → ∞ x32 ( 3√ x3+1−√x3−1)¿
uu) lim ¿x → ±∞ x (√x2 √x4+1−x√2 )¿vv) lim ¿x → ±∞
ax
ax+1( a>0 ) ¿
ww) lim ¿x → ±∞ax−a−x
ax+a− x (a>0)¿
™§Limites Trigonométricos§™
a) lim ¿x → ∞senx
x¿
b) lim ¿x → ∞arctgx
x¿
c) lim ¿x → ∞x+senxx+cosx
¿
d)lim ¿x → 1
arcsenx
tang πx2
¿
e) lim ¿h→0sen (a+3 h )−3 sen (a+2h )+3 sen (a+h )−sena
h3 ¿
f) lim ¿x → π
2tang2 x ¿¿
g) lim ¿x → 01−cos (1−cosx )
x4 ¿
h) lim ¿n→ ∞(cos x2
.cos x4
…cos x2n )¿
i) lim ¿x → ∞(cos√ x+1−cos √x )¿
j) lim ¿x → ∞ x (arctg x+1x+2
−π2 )¿
k) lim ¿x → ∞ x (arctag x+1x+2
−arctag xx+2 )¿
l) lim ¿x → 0sen3 x
x¿
m) lim ¿x → 0tang kx
x¿
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n) lim ¿x → 0senαxsenβx
¿
o) lim ¿x → 0tang2 xsen5 x
¿
p) lim ¿α →0sen ( αn )(senα )m
(m yn sonnumerosenteros positivos)¿
q) lim ¿x → 02arcsenx
3 x¿
r) lim ¿x → 02x−arcsenx2 x+arctgx
¿
s) lim ¿x → 01−cosx
x2 ¿
t) lim ¿x → 01−csn3 xxen2 x
¿
u) lim ¿α →0tangα
3√(1−cosα )2¿
v) lim ¿x → 01+senx−cosx1−senx−cosx
¿
w) lim ¿α →0tangα−senα
α3 ¿
x) lim ¿α →0(1−cosα)2
tang3 α−sen3 α¿
y) lim ¿x → 0( 1senx
− 1tangx )¿
z) lim ¿x → π
2
cosx3√(1−senx )2
¿
aa) lim ¿x → πsen3 xsen 2 x
¿
bb) lim ¿x → π
2( π
2−x) tangx ¿
cc)lim ¿α → π
senα
1−α2
π2
¿
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dd) lim ¿x → 1 (1−z ) tang π 2
2¿
ee) lim ¿y → a(sen y−a2
. tang πy2a )¿
ff) lim ¿x → π
4
cosx−senxcos2 x
¿
gg) lim ¿x → π
6
sen (x−π6 )
√32
−cosx¿
hh) lim ¿x → π
1−sen x2
cos x2(cos x
4−sen x
4)¿
ii) lim ¿x → π
2(2x tangx− π
cosx )¿jj) lim ¿x → 0
cos (a+ x )−cos (a−x )x
¿
kk) lim ¿x → 0cosαx−sen2 β
x2 ¿
ll)lim ¿h→ 0 sen (α +2h )−2 sen8 a+h¿+senα
h2
mm) lim ¿h→0tang (a+2h )−2 tang (a+h )+senα
h2 ¿
nn) lim ¿x → 0√2−√1+cosx
sen2 x¿
oo) lim ¿x → 0√1+senx−√1−senx
tangx¿
pp)lim ¿x → 0
√1+x senx−√cos2 x
tang2 x2
¿
qq) lim ¿x → 01−cosx √cos2 x
x2 ¿
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rr) lim ¿x → 0
3√1−arcta3 x−3√1−arcsen3 xx2 ¿
ss) lim ¿x →−1√π−√arcosenx
√x+1¿
tt) lim ¿x → 0arcsenx−arctagx
x3 ¿
uu) lim ¿x →+∞(1+ 1xn )
x
(n>0 )¿
vv) lim ¿x → 0 ( cosx )1
senx ¿
ww) lim ¿x → 0lncosx
x2 ¿
xx) lim ¿x → 0( senxx )
senxx−senx ¿
yy) lim ¿x → 0 ( cosx+senx )1x ¿
zz) lim ¿x → 0(cosx+αsenbx)1x ¿
§™Limites por Definición§™
∀ ε>0∃ δ>0 /|f (x)|<ε siempre que0<|x−a|<δ o bien ∀ ε>0∃ δ>0 /si 0<|x−a|<δ , entoces|f ( x )−L|<εUse cualquiera de las definiciones para demostrar los siguientes limites:
a) limx →2
(5x−3 )=7
b) limx→−3
(2x+1 )=−5
c) limx→−6
(√10−9 x )=8
d) limx→ 4
(8x−15 )=17
e) limx →6 (9− x
6 )=8
f) limx →5 ( x
4+2)=13
4
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g) limx →3
5=5
h) limx →5
3 x−1x−3
=7
i) limx→ π
x=π
j) limx →3
|x−3|x−3
k) limx→−2
x+2|x+2|
l) limx→−5
1x+5
m) limx →1
1( x−1 )2
n)™§ Otros casos de Limites ™§
a) limx→ ∞ ( x
1+x )x
b) limx→ ∞ (1+ 1
x )x+1
x
c) limx→ ∞ ( x+1
x−2 )2 x−1
d) limx→ ±∞ ( 2x+1
x−1 )x
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™§ Función derivada §™a) Hallar el incremento de la función y=x3 en el punto x1=2, poniendo el incremento
∆ x de la variable independiente igual a: 1¿2;2 ¿1;3¿0.54 ¿0.1.
b) Hallar la razón ∆ y∆ x para las siguientes funciones :
1) y=2x3−x2+1 para x=1 ;∆ x=0.1 ;
2) y=1x
para x=2 ;∆ x=0.01 :
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3)y=√x para x=4 ;∆ x=0.4. Mostar que cuando ∆ x →0, el límite de la referida
razón en el primer caso es igual a 4, en el segundo, −14 , en el tercer,
14
.
c) Dada la función y=x2 , hallar los valores aproximados de la derivada en el punto x=3, poniendo sucesivamente ∆ x igual a: 1) 0.5 ; 2) 0.1 ; 3) 0.01 ; 4) 0.001.
d) f ( x )=x2 .Hallar f ´ (5 ); f ´ (−2 ); f ´ (−32 )
e)f ( x )=x3 . Hallar f ´ (1 ); f ´ (0 ); f ´ (−√2 ) ; f ´ ( 13 ) .
f) f ( x )=x2 . ¿En que punto f ( x )=f ´ ( x ) ? Partiendo de la definición de derivada, hallar las derivadas de las siguientes funciones:
1) y=x3−3 x2+4
2) y= 15 x−3
3) y=√3 x+2
4) y= 1√ x
5) y=sen x
Hallar las derivadas de las funciones:1) y=x4+3 x2−6
2) y= x5
a+b− x2
a−b
3) y=2ax3− x2
b+c
4) y=√3 x+ 3√x+ 1x
5) y= xm
+ mx+ x2
n2 +n2
x2
6) y=( x2−3 x+3 ) ( x2+2 x−1 )7) y=( x3−3 x+2 ) ( x4+x2−1 )
8) y= (√x+1 )( 1√ x
−1)
17) y=(√ t3+1 ) t18) y=(7 x2−4
x+6)
6
19) y=( x+1x−1 )
2
20) y= ( s+4 )2
s+3
21) y= t3
(1−t )3
22) y= 1+√x1+√2 x
23) y=1− 3√2 x1+ 3√2 x
24) y=√1− x2
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9) y=( 2√x
−√3)(4 x 3√ x+3√ x2
3 x )10) y=( 3√x+2 x )(1+
3√x2+3 x )11) y= x+1
x−1
12) y= xx2+1
13) z= x2+13 ( x2+1 )
+(x¿¿2−1)(1−x)¿
14) y=1−x2
√π
15) y= ax+bx2
am+bm2
16) y= 35−t
+ t 2
5
25) y=(1−2 x12 )4
26) y= 1√a2− x2
27) y= 3√ 11+x2
28) y= 1√1−x4−x3
29) y= x2
√ x2+a2
30) y= 13√2x−1
+ 54√( x2+2 )3
™§ Funciones Trigonométricas§™1) y=senx+cosx
2) y= x1−cosx
3) y= tagxx
4) y=φsenφ+cosφ
5) y= senαα
+ αsenα
6) y=cos2 x
7) y= senβ1+cosβ
8) y= xsenx+cosx
9) y= 14
tag4 x
10) y=cosx−13
cos3 x
13) y=sec2 x+cosec2 x14) y=sen3 x
15) y=acos x3
16) y=3 sen (3 x+5 )
17) y=tag x+12
18) y=√tag x2
19) y=sen√1+x2
20) y=ctag 3√1+x2
21) y=( 1+sen2 x )4
22) y=√1+tag(x+ 1x )
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11) y=3 sen2 x−sen3 x
12) y=13
tag3 x−tagx+x23) y=cos2 1−√x
1+√x24) y=sen2 (cos3 x )
™§ Funciones Trigonométricas inversas§™a) y=xarcsenx
b) y=arcsenxarccosx
c) y= (arcsenx )2
d) y=xarcsenx+√ x−12
e) y= 1arcsenx
f) y=x sen x arctag x
g) y=arccosxx
h) y=√x . arctagx .i) y= (arccosx+arcsenx )n
j) y=arcsenx
k) y= x1+x2−arctagx
l) y=arcsenx√1−x2
m) y= x2
arctagx.
n) y=arcsen (x−1 )
o) y=arccos 2x−1√3
p) y=arctag x2
q) y=arcsen x2
r) y=arcsen (senx ) .
s) y=arctag2 1x
t) y=√1−¿¿
u) y=arcsen√ 1−x1+x
v) y=12
4√arcsen√ x2+2 x
w) y=arcsen senαsenx1−cosαsenx
x) y=arctag (x−√1+x2 )
™§ Funciones Logarítmicas ™§a) y=x2 log3 xb) y=ln2 xc) y=xlgxd) y=√lnx
e) y= x−1log2 x
f) y=xsen xln x
g) y= 1lnx
k) y=xn lnxl) y=√1+ ln2 xm) y=ln (1−2x )n) y=ln ( x2−4 x )o) y=lnsenxp) y= log3 ( x2−1 )q) y=ln tagxr) y=ln arccos2 xs) y=ln4 senx
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h) y= lnxxn
i) y=1−lnx1+lnx
j) y= lnx1+x2
t) y=arctag [ ln (ax+b ) ]u) y= (1+ ln senx )n
v) y=ln arctag√1+ x2
™§ Funciones Exponenciales ™§a) y=2x
b) y=10x
c) y= 13x
d) y= x4x
e) y=x .10x
f) y=x ex
g) y= xex
h) y= x3+2x
ex
i) y=ex cosx
j) y= ex
senx
k) y= cosxe x
l) y=2x
lnx
m) y=x3−3x
n) y=√1+e x
o) y=( x2−2 x+3 ) ex
p) y= 1+e x
1−ex
q) y=1−10x
1+10x
r) y= ex
1+x2
s) y=x ex (cosx+senx )t) y=e−x
u) y=102 x−3
v) y=e√ x+1
w) y=sen (2x )x) y=3senx
y) y=α sen3 x
z) y=earcsen 2 x
aa) y=23 x
bb) y=e√ lnx
cc) y=sen (ex2
+3 x−2)dd) y=101−sen4 3x
ee) y=e√ ln ( ax2+bx+c )
ff) y=ln sen 3√arctag e3 x
gg) y=ae−b2 x2
hh) y=x2 e−x2
a2
ii) y=A e−k2 x sen (ωx+α )jj) y=ax xa
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™§ Derivación Logarítmica ™§ a) y=x x2
b) y=x x x
c) y=( senxcosx )d) y= ( ln x )2
e) y= (x+1 )2 / x
f) y=x3 ex2
sen2 x
g) y= ( x−2 )2 3√x−2( x−5 )3
h) y=x lnx
i) y=√xsenx √1−ex
j) y=√ 1−arcsenx1+arcsenx
k) y=x1x
l) y=( x1+ x )
x
m) y=2 x√x
n) y= x4 ( x+3 )2❑√3 x−2( x2−4 )3
Integral indefinidaLa integral se puede definir como un antiderivada, o primitiva de una función F(x) tal que su derivada sea f(x).Por tanto si F´(x)=f(x) dx, entonces F(x)=∫f(x) dxEjemplo: Sea la función F(x)= 2x4- x3 + 2x – 6, siendo la derivada de F(x), la funciónF´(x)=8x3 – 3x2 +2. Por tanto la integral de F`(x) en la función F(x).
Propiedades de la integral indefinidaDistributividad de la integral respecto de la suma y la diferencia∫[f(x)+g(x)] dx = ∫f(x) dx + ∫g(x) dx∫[f(x)-g(x)] dx = ∫f(x) dx - ∫g(x) dxHomogeneidad de la integral respecto de un factor constante∫k.f(x) dx = k.∫f(x) dx
Integrales de funciones inmediatas
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∫ tag x dx= ln|sec x|+c
∫cotag x dx=ln|sen x|+c
∫sec x . tag x dx=sec x +c
∫sec x dx=ln|sec x+ tag x|+c
∫cosec x dx=ln|cosec x−cotag x|+c
∫ dxa2+x2 =
1a tag−1 x
a +c
∫ dx√a2+x2
=ln|x+√x2+a2|+c
∫ dx√a2−x2
=sen−1 xa
+c
∫ dxx2−a2 =
12a ln|
x−ax+a |+c
∫ dx√x2−a2
= ln|x+√ x2−a2|+c
∫ dx=x+c
∫ k dx=k . x+c k∈R
∫ xndx=xn+1
n+1 +c
∫ ex dx=ex+c
∫dxx =Ln |x|+c
∫m√ xn dx=∫ xnm dx= x
nm +1
nm +1
+c
∫ ax dx=ax
lna+c
∫sen x dx=−cos x+c
∫cos x dx=sen x+c
∫sec2 x dx=tagx +c
∫cosec2 x dx=−cotag x +c
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1.- Resolver las siguientes integrales, realizando operaciones algebraicas para reducirlas a integrales inmediatas.
1 .∫ 3√ x dx 2 .∫ dxx3
3 .∫7x dx
4 .∫ xdx√ x
5 .∫ax ex dx 6 .∫3√x+2x2−5x+33x2
dx
7 .∫ (3x2−2)2 dx 8 .∫(√ x+2−x ) .( 3√x−x2−1)dx 9 .∫(2-√x )2
x √xdx
10 .∫ x 4√x−3√x2
√xdx 11 .∫ dt
√3-3t 12 .∫ds
2s2+8
13 .∫(2x2−√ x )2
x √x3dx 14 .∫ 1+cos2 x
1+cos 2x dx 15 .∫cos 2x
cos2 x . sen2 xdx
16 .∫(2x3−2sen2 x ) dx 17.∫3 dxsen2 x . cos2 x
18.∫dxcos 2x+sen2 x
19 .∫dxsen x . cos x
20.∫secx+cosecx1+ tagx
dx 21 .∫sen x+cotg xtag x+cosec x
dx
22 .∫2tagx1+ tag2 x
dx 23.∫(ex+2x )2dx 24 .∫ (ex+2 )3
e xdx
Ejercicios propuestos de cálculo diferencial - Matemática II UNEFA-APURE
∫ tag x dx= ln|sec x|+c
∫cotag x dx=ln|sen x|+c
∫sec x . tag x dx=sec x +c
∫sec x dx=ln|sec x+ tag x|+c
∫cosec x dx=ln|cosec x−cotag x|+c
∫ dxa2+x2 =
1a tag−1 x
a +c
∫ dx√a2+x2
=ln|x+√x2+a2|+c
∫ dx√a2−x2
=sen−1 xa
+c
∫ dxx2−a2 =
12a ln|
x−ax+a |+c
∫ dx√x2−a2
= ln|x+√ x2−a2|+c
∫ dx=x+c
∫ k dx=k . x+c k∈R
∫ xndx=xn+1
n+1 +c
∫ ex dx=ex+c
∫dxx =Ln |x|+c
∫m√ xn dx=∫ xnm dx= x
nm +1
nm +1
+c
∫ ax dx=ax
lna+c
∫sen x dx=−cos x+c
∫cos x dx=sen x+c
∫sec2 x dx=tagx +c
∫cosec2 x dx=−cotag x +c
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MATEMÁTICA II
Profesor: Rafael Valdez
2.- Resolver las siguientes integrales usando el teorema de invarianza de la fórmula de integración. Integración por cambio de variables o por sustitución.
1 .∫dx(3x+4 )4 2 .∫ x3
5√3x4−6dx 3 .∫ x2 4√( x3+4 )3 dx
4 .∫ x2 dx√2x3+5
5 .∫ (2x+3) dx3√( x2+3x−4 )2
6 .∫ x . sen 3x2 dx
7 .∫ senxcos2 x
dx 8 .∫ 5 sen (3x+4 ) dx 9 .∫3√ ln xx
dx
10 .∫cos3 x . sen2x dx 11 .∫e x cosex dx 12 .∫ ( x-2) dxx2−4x+3
13 .∫ esenx cosx dx 14 .∫ (x ex2+cos3x )dx 15 .∫(a3x-1+5x2 e−x3
)dx
16 .∫ x dx√x4 +1
17 .∫ x3 dx√1−x8 18 .∫2x
√1−4x dx
19 .∫dxx . ln x
20 .∫sen 2x1+cos2 x
dx 21 .∫ex
ex +2 dx
22 .∫dxsen2 3x
21 .∫ sen2 x . cosx dx 24 .∫dxcos2 x √ tagx−1
3.- Integración de funciones racionales, por división de polinomios
1 .∫ x2x+3
dx 2 .∫ x3+32x−1
dx 3 .∫ 2x+3x-1
dx
4 .∫ x2+1x2−1
dx 5 .∫(1+x2)2
x2−1 dx 6 .∫ x4
x2+1 dx
7 .∫ x2+3x+2x+2
dx 8.∫ x3
1-x dx 9 .∫ (2-3x )3
1−x dx
4.- Integración de funciones racionales, por completación de cuadrados
Ejercicios propuestos de cálculo diferencial - Matemática II UNEFA-APURE
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MATEMÁTICA II
Profesor: Rafael Valdez
1 .∫dxx2+3 x−10
2 .∫ dx4x2+4 x+5
3 .∫dxx2−7 x+10
4 .∫dxx2+2 x+3
5 .∫ dxx-x2−5
2
6 .∫dx2-3x2
7 .∫ dx(x-1 )2+4
8 .∫dx4x2−9
9 .∫ dx
√1- (2x+3 )2
10 .∫ dx√4x−3-x2
11 .∫ dx√8+6x-9x2
12.∫dx√2-6x-9x2
5.- Integración de funciones racionales, por separación en fracciones parciales o método de descomposición del integrando
1 .∫dxx2+4x+3
2 .∫ dx4x2+4x+5
3 .∫dxx2−7x+10
4 .∫dxx2+3x−10
5 .∫dxx-x2−5
2
6 .∫ dx4-9x2
7 .∫ dxx ( x+1)
8 .∫ dx( x+1)(2x-3 )
9 .∫dx(a-x )( b-x )
10 .∫ x dx( x+1 )(2x+1 )
11 .∫ x dx2x2−3x−2
12 .∫dx6x3−7x2−3x
13 .∫2x2+41x−91( x−1)( x+3)( x−4 )
dx 14 .∫ x5+x4−8x3−4x
dx 15 .∫ x3−14x3−x
dx
16 .∫32 x dx(2x-1 )(4x2−16x+15)
17 . ∫ ( x2 −3x+2) dxx ( x2+2x+1)
18 .∫ x2 dxx3+5x2+8x+4
19 .∫ x3−6x2+11x−5( x−4 )4 dx 20 .∫dx
x4−x2 21 .∫ 3x2+1( x2−1)2 dx
22 .∫(x+2x−1 )
2 dxx
23 .∫ x3−6x2+9x+7( x−2)3( x−5 )
dx 24 .∫ x5 dx( x−1)2( x2−1)
6.- Integración de funciones racionales, por cambio de variable y completación de cuadrados
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1 .∫ x−2x2−2x+2
dx 2 .∫(8x-11 )
√5+2x-x2 dx 3 .∫( x-3 ) dx
√3-2x-x2
4 .∫2x+5√9x2+6x+2
dx 5 .∫3-4x2x2−3x+1
dx 6.∫x dx√3x2−11x+2
7 .∫ x3+4x−2x2+2x−1
dx 8 .∫ 4-3x5x2+6x+18
dx 9 .∫2-5x√4x2+9x+1
dx
7.-Integrales trigonométricas aplicando las distintas relaciones entre funciones trigonométricas
1 .∫cos2x dx 2 .∫sen2 x dx 3 .∫dx1-cosx
4 .∫dx1+senx
5 .∫ 1-cosx1+cosx
dx 6 .∫1+senx1-senx
dx
7 .∫ cos 2x1+senx cosx
dx 8 .∫ sen3 xcosx
dx 9 .∫cos2x cos 3x dx
10 .∫cosx sen 3x dx 11 .∫sen 2x sen 5x dx 12 .∫dxcos x
13 .∫1-senxcosx
dx 14 .∫ tg4 xdx 15 .∫( tag2 x+ tag4 x ) dx
16 .∫ sen5 x dx 17 .∫cosxsen3 x
dx 18 .∫ sen3 x3√cos4 x
dx
8.- Integración por partes: Fórmula ∫ u . dv = u . v - ∫ v . du
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1 .∫ x cos x dx 2.∫ x sen 2x dx 4 .∫ x e -x dx4 .∫ x 3x dx 5 .∫ x4 lnx dx 6 .∫ ln x dx7 .∫ x actag x dx 8 .∫ arccosx dx 9 .∫arcsen x dx
10 .∫ log xx3 dx 11 .∫ x arctagx
√1+x2dx 12 .∫arcsen √x
√1−x dx
13 .∫ x2 e-x dx 14 .∫ x3senx dx 15 .∫ ln3 xx2 dx
16 .∫ ex senx dx 17 .∫sec3 x dx 18 .∫ ln2 x√x5
dx
19 .∫arctag √ x dx 20.∫ x2 ln( x+1) dx 21 .∫ x2ax dx22 .∫sen lnx dx 23 .∫ cos lnx dx 24 .∫ x2ex senx dx9.- Integración por sustitución o cambio trigonométrico (analogía trigonométrica)Recuerde las expresiones de referencia: cos2 θ = 1 - sen2 θ; sec2 θ = tag2 θ + 1; tag2 θ = sec2 θ – 1Inversos multiplicativos:Sen θ . Cosec θ = 1; Cos θ . Sec θ = 1; Tag θ . Cotag θ = 1Razones trigonométricas, en un triangulo rectángulo:
sen θ=coH
; cos θ=caH
; tag θ=coca
; Cosec θ= Hco
; sec θ= Hca
; Cotag θ=caco donde
“co, ca y H” se refiere al cateto opuesto, cateto adyacente e hipotenusa respectiva de un triangulo rectángulo.
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1 .∫ x2
√4−x2dx 2 .∫8x
x2+9 dx 3 .∫( x-3 ) dx
√3-2x-x2
4 .∫2x+5√9x2+6x+2
dx 5 .∫3-4x2x2−3x+1
dx 6 .∫ x dx√3x2−11x+2
7 .∫ x3+4x−2x2+2x−1
dx 8 .∫ dx5x2+6x+18
9 .∫5 dx√4x2+9x+1
10 .∫ √a2−x2
x2 dx 11 .∫ x2 √4−x2 dx 12 .∫dxx2√1+ x2
13 .∫ √x2−a2
xdx 14 .∫ dx
√(a2+x2)2 15 .∫dx
√4x2−25
16 .∫ x3 dx√9x2+49
17 .∫ dxx √25x2+16
18 .∫3x-5√1-x2
dx
10.- Integrales de funciones hiperbólicas. Recordemos:
senh x= ex−e− x
2; cosh x= ex+e−x
2; tagh x =senh x
cosh x= ex−e− x
e x+e− x
Expresiones inverso multiplicativo: senh x . cosech x = 1; cosh x . sech x = 1; tagh x . cotgh x = 1.Identidades hiperbólicas:
cosh2 x – senh2 x = 1 cosech2 x = 1 - cotgh2 x
1 .∫cosh x dx 2 .∫senh x dx 3 .∫dxcosh2 x
4 .∫ ex
cosh x+senh x dx 5 .∫ tagh2 xdx 6 .∫dx
senh x
7 .∫ senh2 x cosh3 x dx 8 .∫ dxcosh x senh x
9 .∫cotgh2 x dx
10 .∫ √ tagh x dx 11 .∫cosh3 x dx 12 .∫ senh3 x dx
Integral DefinidaPropiedades del la integral definidaSi f es una función integrable en [a, b] y k un número real cualquiera, entonces k.f es integrable en [a, b]
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∫ a
bk . f (x ) dx= k ∫ a
bf ( x ) dx
Si f y g son funciones integrable en [a, b], entonces f ± g es integrable en [a, b]
∫ a
b[ f ( x )±g( x ) ] dx=∫ a
bf ( x ) dx±∫ a
bg (x ) dx
Si f es una función continua e integrable en [a, b], entonces
∫ a
bf ( x ) dx=−∫ b
af (x ) dx
Teorema del valor medio para integrales definidasSi f es una función continua e integrable en [a, b], entonces existe un número real z en el intervalo abierto (a, b) tal que
∫ a
bf ( x ) dx= f ( z )( b- a ) ⇒ f ( z )= 1
b-a ∫ a
bf ( x ) dx
Teorema fundamental del cálculoSi f es una función continua e integrable en [a, b],Parte I. Si se define G como
G( x )=∫ 0
x f ( t ) dt
Para todo x en [a, b], entonces G es una antiderivada de f en [a, b].Parte II. Si F es una antiderivada de f, entonces
∫ a
bf ( x ) dx= F(b ) - F (a)
Resolver las siguientes integrales definidas
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1 .∫ 1
4(3x2+2x+6 ) dx 2 .∫ -2
3(8z5−2z3+zz−2 ) dz 3.∫ 1
4 √16x5 dx
4 .∫ 0
3t ( 3√t−√t ) dt 5 .∫ 4
9 t−3√ t
dt 6.∫ -1
3/2w (w2+2)2 dw
7 .∫ 4
1 x2−1x+2
dx 8 .∫ 1
3 2x3−4x2+5√x−22x2 dx 9 .∫ -3
-1( r-1
r)2(1−r ) dr
10 .∫ 2
2ex 2
dx 11.∫−2
6|2x−4| dx 12 .∫ -1
4|3x-2| dx
13 .∫ 2
3 x−2(x2−4 x+3 )3 dx 14 .∫ -1
3(2x2−3 )5 dx 15 .∫ 1
2 (√u+3 )4
√u du
16 .∫ 0
4 x√x2+9
dx 17 .∫ -1
1 2 x2
( x3−2 )2 dx 18.∫ 2
4 dx√x (√ x+1 )
19 .∫ 0
14x 3-x2
dx 20 .∫ 2
0 (2x +1)2
2x dx 21 .∫ 0
2 3x
√3x+4 dx
22 .∫ 1
10 dxx log x
23.∫ 1
2 10x+10−x
10x−10−x dx 24 .∫ 1
2 x2 +1x3 +3x
dx
25 .∫ 1
4 dx√x e√x 26 .∫ 1
4 dxx2+16
27 .∫ 0
1 e x
1+e x dx
28 .∫ 0
√2 /2 x dx√1-x4
29 .∫ 2/√3
2 dxx √ x2−1
30.∫ 0
π /2 sen xcos2 x+1
dx
31 .∫ 0
π /2 cos x1+sen2 x
dx 32.∫ 0
π /4sec2 x (1+ tag x)2 dx 33.∫ 0
π /2sen 3x cos 2x dx
34 .∫ 0
π /4sen3 x dx 35.∫ 0
1tag2( π x
4) dx 36 .∫ 2
4 6x−11(x−1)2 dx
37 .∫ 0
1 x+16x2+2x−8
dx 38.∫ 1/2
3/2 37-11x( x+1)( x-2)(x-3 )
dx 39 .∫ 3
5x2 √4x2−16 dx
40 .∫ 1/2
1 dxx √2+3x2
41.∫ 0
2 x2
(3x+4 )10 dx 42.∫ 1
2 dx( x2 +4x+5 )2
Aplicaciones de la integral definidaÁrea: Sea f una función continua en un intervalo cerrado [a, b] y suponga que f(x) >0, para todo x en [a, b]. Entonces el área bajo el gráfico de f entre a y b es:
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A=∫ a
bf ( x ) dx
Si g(x) es una función continua y no negativa en el intervalo cerrado [a, b] y f(x) > g(x) para todo x en [a, b], entonces el área A de la región acotada por las graficas de f y g en el intervalo [a, b] es:
A=∫ a
b[ f ( x ) -g ( x )] dx
Algunas veces resulta más sencillo calcular el área respecto del eje y que calcularle respecto del eje x. Para esos casos el área A entre las funciones f(y) y g(y) para todo y en [c, d] y f(y) > g(y) es:
A=∫ c
d[ f ( y ) -g ( y )] dy
En cada una de las situaciones, dibuja la región acotada por el gráfico de las ecuaciones dada y calcule el área de la región.
1 . y=1x2
; y= -x2 ; x=1; x=2 . 2 . y=√x ; y=- x; x=1; x=4 .
3 . y2=−x; x-y=4; y=-1; y=2 . 4 . x= y2 ; y-x=2; y=-2; y=3
5 . y=x2+1 ; y=4 6 . y=4-x2 ; y=-4 7 . y=4x; y=x2
28 . y=x3−1 ; y=x2−1 9 . y=1-x2 ; y=2x-1 10 . x+ y=3; y+x2=3
11. y2=2x+1: x-y-1=0 12. y= x2 ; y=√x 13. y2+8x=16; y2 - 24 x =48 14 . y=x2 ; y=x3 /3 15. x2+ y2=8; y=x2 /2 16 . y2=6x; x2+ y2=1617 . y2=4+x; y 2+x=2 18 . x= y2 ; x-y-2=0 19. y=x; y=3x; x+ y=420 . x-y+1=0; 2x+ y+2=0; 2x+ y+2=0 21 . y=x3−x; y=0
22 . y=11+x2 ; y=x2
2 23 . y= ln x
4; y=x ln x 24 . y=tag x; y=2
3 cos x
25 y=x3−x2−6x; y=0 26 . x=4y-y3 ; x=0 27 . x=3√ y2 ; x= y2
28 . y=x √4-x2 ; y=0 29 . y= x √x2−9 ; y=0; x=5 30 . y=x (x-1 )2 ; y=0Cálculo de volumen de sólido de revoluciónMétodo de las arandelas o discos (rebanado)Sea f una función continua en [a, b]. El volumen del sólido de revolución generado al girar alrededor del eje x la región acotada por la gráfica de f, x=a, x=b y por el eje x, está dado por:
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V=∫ a
bπ [ f ( x ) ]2 dx
Cuando el sólido es rebanado por el eje y, su volumen viene dado por.
V=∫ c
dπ [ g ( y ) ]2 dy
En cada uno del los ejercicios propuestos a continuación dibuje la región R acotada por las gráficos de las ecuaciones dadas y calcule el volumen del sólido que genera le región R al girar alrededor del eje indicado.1 . y = 1/x; x=1; x=3; y=0; Eje x 2 . y=√x ; y=0; x=4; Eje x3 . y= x; 2y=x ; y=3 Eje y 4 . y= 2x; y= 4x2 ; Eje y5 . y=x2 ; y=2; Eje y 6 . y=1 / x; x=0; y=1; y=3; Eje y 7 . y=x2−4 x ; y=0; Eje x 8 . y=x3 ; x=-2; y=0; Eje x; La recta y=39 . y= x2 ; y=4-x2 ; Eje x 10 . x= y3 ; x2+ y=0 ; Eje x11. x= y2 ; y-x+2=0; Eje y 12. x+ y=1; y=x+1; x=2; Eje y13 . y=x2 ; y=4; La recta y=4; La recta y=5 14 . y=√x ; y=0; x=4 La recta x=4 ; La recta x=6
Integrales impropiasIntegrales con limites de integración al infinito: Si f en una función continua en [a, +∞), entonces por definición
∫a
+∞
f ( x ) dx =Limt→+∞
∫a
t
f ( x ) dx
La integral de f es convergente, si y solamente si; el limite planteado existe. De manera de análoga hacemos referencia a las funciones f continuas en el intervalo (-∞, a] y en el intervalo (-∞, + ∞)
∫−∞
a
f ( x ) dx =Limt→−∞
∫t
a
f ( x ) dx
∫−∞
+∞
f ( x ) dx =Limt→−∞
∫t
a
f ( x ) dx +Limt→+∞
∫a
t
f ( x ) dx
Integrales con extremos indeterminados: Si f en una función continua en [a, b), o f es una función continua en (a, b], entonces por definición
∫a
b
f ( x ) dx =Limε→0
∫a
b−ε
f ( x ) dx
∫a
b
f ( x ) dx =Limε→0
∫a+ε
b
f ( x ) dx
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Profesor: Rafael Valdez
La integral de f es convergente, si y solamente si; el limite planteado existe.
Integrales con un punto c en el intervalo de definición [a, b], tal que f es indeterminada, entonces por definición:
∫a
b
f ( x ) dx =Limε→0
∫a
c−ε
f ( x ) dx + Limε→0
∫c+ε
b
f (x ) dx
De manera análoga a los casos anteriores, f es convergente, si y solamente si; los limites planteados existen.
Estudiar la convergencia de las siguientes integrales, en caso de ser convergente calcule su valor.
1.∫1
∞ dxx4 2 .∫
1
∞ dx√ x
3 .∫0
∞
e-ax dx a ¿ 0 ¿4.∫0
∞ x1+ x2 dx 5 .∫
−∞
215-2x
dx 6 .∫−∞
+∞ xx2+9
dx ¿7.∫0
∞
e-2x dx 8 .∫−∞
∞
x e-x 2dx 9 .∫
−∞
∞
cos2 x dx ¿10.∫−∞
0 1x2−3x+2
dx 11.∫4
∞ x+18x2 +x−12
dx 12.∫√2
∞ dxx √ x2−1
¿¿
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13 .∫0
∞
e-x sen x dx 14 .∫1
∞ √ x(1+x2 )2 dx 15.∫
0
∞ x3+1x4 dx
16 .∫1
∞ ln ( x2+1 )x
dx 17.∫0
∞ xarctgx√1+ x4
dx 18.∫−∞
∞ dx( x2+1)2
19 .∫0
2 dxx2−4x+3
20.∫1
2 x dx√x-1
21.∫0
1
x ln x dx
22 .∫0
1/edxx ln2 x
23.∫-1
1dx(x-2 )√1-x2
24 .∫-1
1x-13√x5
dx
25 .∫0
2 √x√1-x4
dx 26 .∫-1
1 dxe√ x−1
27 .∫1
3 xx2−2
dx
28 .∫1
3x√x2−2
dx 29.∫0
1dxx √x-1
30.∫0
π/2ln sen x√ x
dx
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