Tecnología Aeroespacial
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VEHICULOS ESPACIALES
Nociones de dinámica orbital
Dinámica orbital : aplicación de:
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+
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VEHICULOS ESPACIALES
Nociones de dinámica orbital
GM = 398601.2 km3/s2
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Movimientos de planetas y satélites : segunda ley de Newton + ley de gravitación universalLeyes del movimiento de Newton basadas en las tres leyes del movimiento de los planetas formuladas por Kepler
•1600: Kepler meets Tycho Brahe
•1601: Tycho Brahe Dies
Newton’s laws are analogous, for bodies with comparable masses.
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Problema de un cuerpo
( )
22
2
2
2ª
(1)
12 0 (2)
(2)
. (3):
ley Newton ley de gravitación
r rr
dr r rr dt
dela ecuaciónconservación del momentocinético
r h consth momentocinético por unidad demasa
μθ
θ θ θ
θ
+
− =−
+ = =
⇒⇒
= =
2
22 2
2 2
1 (4)
1
(5)
dr dr d h dr d dur h hdt d dt r d d r d
siendo u rdr dr d h d du d ur h h udt d dt r d d d
θθ θ θ θ
θθ θ θ θ
⎛ ⎞= = = =− =−⎜ ⎟⎝ ⎠
=
⎛ ⎞= = = − = −⎜ ⎟⎝ ⎠
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( )
2
2 2
02
0
3 5 1
(6)
cos (7)
Sustituyendola ecuación y enlad u ud hintegrando
u ch
c y constantes deintegración
μθ
μ θ θ
θ
+ =
= + −
La constante θ0 nula tomando un origen determinado para θc se puede expresar en función de la energía total del sistema E.
( )2 2 2 2
222
1 12 2
(8)2
E T U V r rr r
h du u ud
T energía cinéticaU energía potencialV módulo del vector velocidad
μ μθ
μθ
= + = − = + − =
⎡ ⎤⎛ ⎞= + −⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
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Introduciendo 7 en 8 2
2 2
2
2
2
21 (9)
1 (10)1 cos
1 2 (11)
Ehch
sustituyendoenla ecuación dela trayectoriahr
edonde
Ehe
μμ
μ θ
μ
= +
=+
= +
e : Excentricidad de la órbita
2 2
2 2
0 ( 2 )0 1 ( 2 0)
1 ( 0)1 ( 0)
Circunferencia e E hElipse e h EParábola e EHipérbola e E
μ
μ
= = −
< < − < <= => >
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Segunda ley de Kepler
2
2 2
0 0
1 1 (12)2 2
1 1lim lim . (13)2 2 2t t
A r r r
A dA hr r constt dt t
θ θ
θ θΔ → Δ →
Δ ≅ ⋅ Δ = Δ
Δ Δ= = = = =
Δ Δ
Periodo de la órbita P
( )2 2
2
2 (14)
(10)0
1 1 1 1 1 (15)2 2 1 1 1
p
a
p a
área dela elipse A abA abP
dA dt henla ecuaciónr r en
r r en
h ha r re e e
ππ
θ
θ π
μ μ
=
= =
= =
= =
⎛ ⎞= + = + =⎜ ⎟+ − −⎝ ⎠
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2
3 3
2 2
1 (16)(15) (14) (16)
2 . ( )4
b a eSustituyendo h de en yutilizando
a aP const tercera ley de KeplerP
μπμ π
= −
= ⇒ = =
Velocidad orbital
( )
( ) ( )
( )
2 22
22
1 (19)
(8)
1 1 12
1 1 (20)2 2
(8) (20)
2 1
a aa
a a
Velocidad enel apogeohV r er h
haciendo V V y r r enla ecuación
E e eh h
eh a
comparando y
Vr a
μθ
μ μ
μ μ
μ
= = = −
= =
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞= − − = −⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠
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Órbitas terrestres
( )
( ) ( )
0
0
0
0
0
2
0
0
( )
( )
1( )
1 202
C
C
C
e e
e
V
V VR h
V V elipses
V V elipses
V excentricidad e parábolaVelocidad parabólica o deescape
V VR h R h
V V hiperbólas
μ
μ μ
=
= =+
< →
> →
↑ ⇒ =
− = ⇒ =+ +
>
Cohetes de sondeo
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2 2 2 3 20 0 0.00986378 398601gr g R km sμ⊕ = = = =
( )2
3
0 7.9 /
200
: , ( 24 )
(18) 357834
c
g
h Vh V km s
satelites orbitasbajas circulares o deexcentricidad muy pequeñaaltura mínima operativa km
OrbitaGeostacionaria circular ecuatorial directa periodo de horas
Pde h R h km
Ó
μπ
↑ ⇒ ↓= =
⎛ ⎞+ = ⇒ =⎜ ⎟⎝ ⎠
2
2
2
2
pa
a p a
ap
a p p
rbitas Elípticasr
Vr r r
rVr r r
μ
μ
=+
=+
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Determinación de la órbita en un plano a partir de las condiciiones inicialesDatos r y V
21 (8)2
E T U Vrμ
= + = − E
(20)2
Eaμ
= − a
( )1 23
2
2
sin
1
Periodo
P a
h r V h rVexcentricidad
hea
π μ
φ
μ
=
= ∧ ⇒ =
= −
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MISIONES ESPACIALES
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MANIOBRASCambio de velocidad : acción propulsiva instantanea, cambio de velocidad sin cambio de posición
Velocidad Característica de la misiónMisión compuesta por n maniobras
( )( )
( )
( )
1 0 1
2 1 2
1
0
ln
ln
ln
ln
s
s
n s n n
s n
V I g m m
V I g m m
V I g m msumando
V I g m m
−
Δ =
Δ =
Δ =
Δ =
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Maniobras espaciales típicas
Interceptación
( )
0 0 0
3
30
3 20
2 DVr D r r
D
D rt
D rD
ν
μ μ
μω
πμ
φ π
Δ = −+
=
+=
+⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
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Transferencia de Hohmann
1
2
2
2
f
i f i i
i
f i f f
rV
r r r r
rVr r r r
μ μ
μ μ
Δ = −+
Δ = −+
( )
2 1 11 11
0
212
inicial
f
i
i f
vuelo
VV
rrr r
a
atiempo devuelo t Periodo a
λλ λ λ
λ λ
πμ
Δ ⎛ ⎞= − + −⎜ ⎟+ ⎝ ⎠
= < < ∞
+=
= =
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Planeta a(AU)
VPL(km/s)
TH(años)
ΔV1(km/s)
ΔV2(km/s)
ΔVH
= ΔV1
+ ΔV2
(km/s)
MERCURI O
0.387099 47.89 0.2888 −7.533 −9.612 −17.145
VENUS 0.723332 35.05 0.3999 −2.495 −2.707 −5.202
MARTE 1.523691 24.13 0.7087 2.945 2.649 5.594
JÚPITER 5.322803 13.05 2.7309 8.793 5.643 14.436
SATURNO 9.538843 9.64 6.0481 10.289 5.443 15.732
URANO 19.18228 6.80 16.028 11.280 4.660 15.940
NEPTUNO 30.05708 5.43 30.596 11.654 4.054 15.708
PLUTÓN 39.75000 4.73 45.985 11.817 3.678 15.495
∞ ∞ ∞ 12.337 --- 12.337
Órbita heliocéntrica: la transferencia de Hohmann
Transferencias desde la Tierra
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Misiones interplanetarias
( )2 20 02V V V V∞ = + Δ −
TIERRASOL
c 0017-00-INTERP
VENUS
MARTE
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Mision ΔV (km/s)
Superficie terrestre a OTB 7.6
OTB a OGE 4.2
Escape de la Tierra desde OTB 3.2
Escape desde la superficie de la Tierra 11.2
OTB a órbita lunar (7 días) 3.9
OTB a órbita de Marte* (0.7 años) 5.7
OTB a órbita de Marte (40 días) 85.0
Superficie terrestre a la de Marte y vuelta* 34
OTB a órbita de Venus y vuelta* (0.8 años) 16
OTB a órbita de Mercurio y vuelta* 31
OTB a órbita de Júpiter y vuelta* (5.46 años) 64
OTB a órbita de Saturno y vuelta (12.1 años) 110
OTB a órbita de Neptuno (29.9 años) 13.4
OTB a órbita de Neptuno (5 años) 70
OTB a órbita de Plutón* (45.5 años) --
Escape del Sistema Solar desde OTB 8.7
OTB a 1000 UA (50 años) 142
OTB a α-Centauro (50 años) 30.000
* Con transferencia elíptica de HohmannOTB Órbita terrestre baja de 270 kmOGE Órbita geoestacionaria, 42,227 km de
radio.UA Unidad Astronómica = 149.558.000 km
(distancia tierra-sol).
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