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Vectores
PrecálculoQuinta Edición
Prof. Juan Serrano, MA
PROF. JUAN_SERRANO
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Introducción
En aplicaciones de
matemáticas, ciertas cantidades se
determinan por completo por su
magnitud; por
ejemplo, longitud, masa, área, temper
atura y energía.
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Descripción geométrica de
vectores
Un vector en el plano es un segmento de recta con
una dirección asignada.
A.
.B
AB
Este vector se denota por:
El punto A es el punto
inicial y B es el punto
terminal.
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La longitud del segmento de recta AB se conoce como la magnitud o longitud del vector y se denota mediante:
Se usan letras en negritas para denotar vectores. Estos se escriben de la siguiente forma:
Se considera que dos vectores son iguales si tienen igual magnitud y la misma dirección.
AB
ABu
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Si el desplazamiento del vector AB va seguido
del desplazamiento BC, entonces el
desplazamiento resultante es AC.
Suma de vectores
A
C
BA B
B CA C
BCABACPROF. JUAN_SERRANO
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Si a es un número real y v es un vector, se define
un nuevo vector av como sigue: el vector av tiene
magnitud y tiene la misma dirección que v si
a>0 o la dirección opuesta si a<0.
Suma de vectores
v
u
v + u
va
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Forma de componentes de
un vector
),( 22 yxQ
1212 , yyxxv
Si un vector v se representa en el plano con
punto inicial y punto terminal ),( 11 yxP
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Ejemplo (1)
a) Encuentre la forma de componentes del
vector u con punto inicial (-2, 5) y punto
terminal (3, 7).
b) Si el vector se bosqueja con
punto inicial (2, 4), ¿cuál es el punto
terminal?
c) Bosqueje representaciones del vector
con puntos iniciales
(0, 0), (2,2), (-2, -1) y (1, 4).
7,3v
3,2w
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Solución (a)
2,5v
____________,____v
Ejemplo:
a) Los puntos son: (-2, 5) (3, 7).
3 (-2) 7 5
____________,____v 3 2 7 5
Por lo tanto el vector deseado es:
2,5vPROF. JUAN_SERRANO
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Encuentre la forma de componentes del
vector u. Usa la formula:
1. (3, 4), (6, -8)
2. (-3, -7), (-9, -10)
3. (6, 7), (2, 0)
4. (0,0), (7, 8)
5. (5, 0), (7, 0)
6. (9, 5), (10, 0)
7. (0, 9), (9, 0)
1212 , yyxxv
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Solución (b)
4) (2, es inicial punto ely 7,3v
7,3__________,yxv
4
2
y
x
2 4
3
7
= 5
= 11
El punto terminal es (5, 11)PROF. JUAN_SERRANO
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Halla el punto resultante y traza
cada vector en el plano.
1) v = <3, 5>, el punto inicial es (8, 0)
2) v = <0, 9>, punto terminal es (10, 2)
3) v = <9, 0>, punto terminal es (-10, 2)
4) v = <-9, -9>, punto inicial es (0, 0)
5) v = <-3, -5>, punto terminal es (-6, -5)
6) v = <7, -7>, punto inicial es (0, 0)
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3,2w ,(0, 0), (2,2), (-2, -1), (1, 4)
(4, 3), (8, 5) y (10, 5).
(-2, -1)
(1, 4).
(0, 0)
(4,3),
(8,5), (10,5),
(2,2),
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Resuelve según se hizo
clases
1) w = < 5, -6>, (3, 0), (4, 9), (4, 7), (10,2), (7, 8),(9, 0)
2) v = <5, 6>, Punto inicial (8, -9).
3) u = <7, 9>, Punto terminal (-5, -7)
4) Punto inicial (0, 0), Punto terminal (9,0). Halla el vector.
5) Punto terminal (9,7), Punto inicial (6,-7).
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Examen
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22 ABD
MAGNITUD DE UN VECTOR
22BAABD
: :1 vectordelmagnitudlaEncuentraEjemplo
3,2u
2 3
_____
________
ABD
ABD
61.3
4 9
13
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Ejercicios de práctica:
Halla la magnitud o longitud de cada
vector.
1) u = <2, -3>
2) w = <4, 3>
3) v = <10, 9>
4) u = <-7, 0>
5) v = <0, -9>
6) w = <-6, -8>
7) u =<3/5, 4/5>
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Halla la magnitud del vector
representado:
5,4El vector es
Utilizando la información dada, halla el vector representado y su magnitud.
5
42 2
v A B
Solución:
2 2____ ____
____ ____
5 4
25 16
___41
6.40
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Halla la magnitud de cada
vector:
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Dados C(8, -2) y D(4, 6), encuentra la
magnitud y dirección de CD.
2 2
2 1 2 1CD x x y y
2 2__ __ __ __CD
8 4 -2 6
2 24 8CD
80CD
CD
8.9
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Dibuja cada vector. Luego encuentra la
magnitud redondeada a la decima mas
cercana.
1) A(4, 2), B(7, 22)
2) A(0, -20), B(40, 0)
3) A(0, 6), B(-6, 0)
4) A(12, -4), B(19, 1)
5) A(1, 4)
6) A(-3, 4)
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Utilizando vectores, dibuja la siguiente figura:
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Operaciones algebraicas en
vectores
:, entonces,ba y v,baSi u 2211
2121 , bbaavu
bbaavu 2121 ,
Rc 11,cbcacu
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Operaciones con vectores
v u v y u, v, v, u a u , encuentr, y v , Si u 32322132
1,12,13,2vu
5,32,13,2vu
6,43,222u
6,32,133v
0,16,36,42,133,2232 vu
Solución: Por las definiciones de operaciones con vectores, se tiene:
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Propiedades de los vectores
uccu
un vector de Longitud
u0u
wv)(uw)(vu
uvvu
vectoresde Suma
00
00
1
)()()(
)(
)(
escalarun por r Multiplica
c
u
uu
cudducucd
udcuudc
cvcuvuc
Un vector de longitud 1 se llama vector unitario. Dos vectores
unitarios útiles son i y j, definidos por:PROF. JUAN_SERRANO
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EjerciciosEncuentra 2u, -3v, u + v, 3u – 4v
8,9 v,3,2 u 5)
1,-2- v,0,0 u 4)
2,0- v,0,-1 u 3)
2,-8 v,2,5- u 2)
3,1 v,2,7u 1)
PROF. JUAN_SERRANO
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Preguntas…???
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