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VECTORES EN EL PLANO
VECTORES EN EL PLANO
IES LOS PEDROCHES(Pozoblanco – Córdoba)IES LOS PEDROCHES(Pozoblanco – Córdoba)
Curso 2003-04Curso 2003-04
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Alg
eb
ra l
ineal Vectores en el
planoEl concepto de vector está motivado por la idea de desplazamiento en el espacio
P Q
Si una partícula se mueve de P a Q determina un segmento de recta dirigido
con punto inicial P y punto final Q
PQ
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Alg
eb
ra l
ineal Vectores en el
plano
R SP Q
S
R
La magnitud del vector es la longitud de ese desplazamiento y se denota por
PQ
Vectores de la misma magnitud
RSPQ
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Alg
eb
ra l
ineal Vectores en el
planoLa dirección del vector viene dada por el
punto inicial y el punto final. En este sentido
SRRS
Vectores de la misma
dirección
S
R Q
P
S
R
S
R
Vectores en direcciones
distintas
P
Q
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Alg
eb
ra l
ineal Vectores en el
planoVectores Equivalentes
Q
P
RSPQ
Tienen la misma magnitud y dirección
S
R
Definición Geométrica
Un vector es el conjunto de todos los segmentos dirigidos
equivalentes
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Alg
eb
ra l
ineal Vectores en el
plano
OEje x
Eje y
Representante del vector por el origen de coordenadas
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Alg
eb
ra l
ineal Vectores en el
plano
(a,b) son las coordenadas del vector u y también del punto P
u
a
b
A un vector u se le asocia el punto P(a,b) así:
P(a,b))b,a(OPu
Eje Y
OEje X
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Alg
eb
ra l
ineal Vectores en el
plano
u=(a,b)
Dado (a,b)2 se le asocia el vector u así:
u
a
bP(a,b)
Eje Y
OEje X
Definición algebraicaUn vector es un par ordenado de
números reales
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Alg
eb
ra l
ineal Vectores en el
planoPunto P
en el plano
(a,b)2
Vector u=OPdesde el origen hasta P
Esta correspondencia se llama:Sistema de coordenadas rectangulares
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Alg
eb
ra l
ineal Vectores en el
plano Magnitud o
módulo de un vector u
El vector nulo (0,0) no tiene
dirección
Dirección de u
Angulo positivo que forma con el eje X
22 bau ab
tag
u
a
b(a,b)
Eje Y
OEje X
Un vector de módulo uno se llama unitario
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Alg
eb
ra l
ineal Vectores en el
planoOperaciones con
vectores
Sean u=(x,y) y v=(a,b) vectores en el plano y un número real. Se define el vector:
suma u+v como
u+v= (x+a, y+b)
producto por un escalar u como
u=(x, y).
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Alg
eb
ra l
ineal Vectores en el
planoOperaciones con
vectores
Si u=(x,y), v=(a,b), pruebe gráficamente que
u+v=(x+a,y+b)
Eje Y
OEje X
u+ v u
v
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Alg
eb
ra l
ineal Vectores en el
planoOperaciones con
vectores
u+v=(x+a,y+b)
a
y
O
Eje Y
Eje X
u+ v u
v
a x
y
b b
b x
x
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Alg
eb
ra l
ineal Vectores en el
planoOperaciones con
vectores
Si u=(x,y), pruebe gráficamente que u=(x, y)
Eje Y
OEje X
u
u
>0
u <0
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Alg
eb
ra l
ineal Vectores en el
planoOperaciones con
vectores
u=(x, y)
u
u
O
Eje Y
Eje X x
y
Triángulos semejantes
y¿
x?
u
u
y
x
?
¿
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Alg
eb
ra l
ineal Vectores en el
planoLos vectores i=(1,0) y j=(0,1) son los vectores unitarios en la dirección de los
ejes coordenados
Todo vector (x,y)=x(1,0)+y(0,1), es decir, es combinación lineal de los
vectores i,j
Eje Y
O Eje X
u
x
y
i
j xi
yj
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Alg
eb
ra l
ineal Vectores en el
planoProducto escalar
Primero se define en los vectores canónicos i=(1,0), j=(0,1) como i.i=j.j=1
i.j=j.i=0
ybxav.u
j.ybji.yajj.xbii.xaiv.u
bjaiv
yjxiu
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Alg
eb
ra l
ineal Vectores en el
plano
Se define el producto interior o producto escalar de dos vectores u=(x,y) y v=(a,b) como:
u.v=ax+by
Se define el ángulo entre dos vectores u y v como el ángulo no negativo mas pequeño entre u y v.
Producto escalar
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Alg
eb
ra l
ineal Vectores en el
plano
Dos vectores son paralelos si el ángulo entre ellos es 0 o .
Dos vectores son ortogonales si forman un ángulo de /2
Producto escalar
Eje X
Eje Y
/2
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Alg
eb
ra l
ineal Vectores en el
planoPropiedades del producto escalar
Teorema: Sean u,v vectores en 2 y un número real, entonces:
u.0 = 0 u.v = v.u (propiedad conmutativa) (u).v = (u.v) = u.( v) u.(v+w) = u.v + u.w (propiedad distributiva)
2uu.u
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Alg
eb
ra l
ineal Vectores en el
plano
Interpretación geométrica:
Teorema:Sean u y v vectores no nulos y el ángulo entre ellos, entonces cosvuv.u
v
u
ucos
w= vv
v.u2