INSTITUTO DE ENSEÑANZA SECUNDARIA “LÓPEZ NEYRA” DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
(CÓRDOBA) Profesor: Fco. Javier del Rey Pulido
Geometría MATEMÁTICAS II (2º Bachillerato) HOJA-1
VECTORES EN EL ESPACIO (I)
VEC
TOR
CONCEPTO Desarrollo
Definición
Es un segmento orientado cuyo punto de partida se llama origen del vector y cuyo punto final de llama extremo del vector.
Se simboliza BA
, donde A es el origen y B el extremo del vector.
Elementos de un
vector
Un vector tiene tres
elementos:
Mó
du
lo Es la distancia que separa el origen y el extremo del
vector.
Se simboliza BA
Dir
ecc
ión
Es la recta sobre la que están el extremo y el origen, así como todas las rectas paralelas a ella.
Sen
tid
o
Cada dirección tiene dos sentidos opuestos, de A a B y de B a A.
OP
ERA
CIO
NES
CO
N
VEC
TOR
ES
Producto de un número
por un vector
Dado un número K y un vector v
, se define el producto de dicho número
por el vector como otro nuevo vector que tiene:
Módulo vK
Dirección, la misma que el vector v
Sentido, el mismo que v
o su opuesto, según sea el signo de K
Suma y resta
de vectores
Para sumar dos vectores, se sigue la regla del paralelogramo.
Para restar dos vectores, sumamos al primero el opuesto del segundo.
VEC
TOR
UN
ITA
RIO
Definición Llamamos vector unitario a aquel vector que tiene de módulo 1.
Como hacer que un vector sea unitario
Dado un vector v
, para calcular otro vector unitario que vaya en la dirección de v
basta con dividir
dicho vector por su módulo v
vu
EXP
RES
IÓN
AN
ALÍ
TIC
A
DE
UN
VEC
TOR
Combinación lineal
de vectores
Dados varios vectores cyb,a
y varios números y, , llamamos combinación lineal de ellos a la
expresión cba
Dependencia e
independencia lineal
Se dice que varios vectores son: Linealmente dependientes si alguno de ellos se puede poner como
combinación lineal de los demás. Linealmente independientes si no ocurre lo anterior.
Ejemplos: - Dos vectores alineados son l.d. - Dos vectores no alineados son l.i. - Tres vectores coplanarios (están en el
mismo plano) son l.d.
- Tres vectores no coplanarios son l.i.
Base En el espacio de tres dimensiones, una base c,b,a
es un conjunto de
tres vectores linealmente independientes con los que se puede expresar cualquier otro vector como combinación lineal de ellos.
Principales tipos
de bases
Dos tipos:
Ortogonal Los vectores de la base son perpendiculares. )vu(
Ortonormal Los vectores de la base son perpendiculares y unitarios. )1vu,vu(
Coordenadas de un vector en
una base
Dada una base k,j,i
, cualquier vector v
se puede expresar de la
forma kzjyixv
, donde )z,y,x( son las coordenadas del
vector en dicha base (esto es en R3).
En R2
(a)
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Geometría MATEMÁTICAS II (2º Bachillerato) HOJA-2
VECTORES EN EL ESPACIO (II)
PR
OD
UC
TO E
SCA
LAR
CONCEPTO En general En una base ORTONORMAL
Producto escalar de dos vectores
)u,u,u(u 321
y )v,v,v(v 321
)v,u(cosvuvu
332211 vuvuvuvu
Módulo de un vector uuu
2
3
2
2
2
1 uuuu
Ángulo entre dos vectores vu
vu)v,u(cos
2
3
2
2
2
1
2
3
2
2
2
1
332211
vvvuuu
vuvuvu)v,u(cos
Segmento proyección u
vuvproyu
Vector proyección uu
vuvypro
2u
Criterio de perpendicularidad
vu
0vu
0vuvuvu 332211
Dado un vector ),,(v
, otro vector perpendicular a él es )0,,(v
.
PR
OD
UC
TO V
ECTO
RIA
L
Producto vectorial de dos vectores
)u,u,u(u 321
y )v,v,v(v 321
)v,u(senvuvu
Dirección y sentido:
dado por la regla de la mano derecha
321
321
vvv
uuu
kji
vu
Propiedades importantes:
1) uvvu
2) 0uu
Área del paralelogramo
vuA ramologparale
Área de un triángulo
vu2
1Atriángulo
PR
OD
UC
TO M
IXTO
Producto mixto de tres vectores
)u,u,u(u 321
, )v,v,v(v 321
y
)w,w,w(w 321
)wv(uw,v,u
321
321
321
www
vvv
uuu
w,v,u
Volumen del paralelepípedo
w,v,uV pedoparalelepí
Volumen del tetraedro
w,v,u6
1Vtetraedro
(b)
(c)
(d)
(e, f, g, h)
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Geometría MATEMÁTICAS II (2º Bachillerato) HOJA-3
PUNTOS, RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO (I)
VA
RIO
S C
ON
CEP
TOS
CONCEPTO
Vector conocidos su origen A y su extremo B
)a,a,a(A 321 y )b,b,b(B 321 )ab,ab,ab(OrigenExtremoBA 332211
Punto medio de un segmento AB )a,a,a(A 321 y )b,b,b(B 321
2
ba,
2
ba,
2
baM 332211
Punto simétrico A´ de un punto A, respecto a otro punto B
)a,a,a(A 321 , ),,(A y )b,b,b(B 321 3
32
21
1 b2
ayb
2
a,b
2
a
ECU
AC
ION
ES D
E LA
REC
TA
Sea )p,p,p(P 321 un punto de la
recta y )v,v,v(v 321
el vector en la
dirección de dicha recta.
Sea )z,y,x(X un punto genérico de
la recta. Las ecuaciones de la recta son:
Ecuación vectorial vPOXO
Ecuaciones paramétricas
(Desarrollando la expresión vectorial)
33
22
11
vpz
vpy
vpx
Ecuación continua
(Eliminando el parámetro) 3
3
2
2
1
1
v
pz
v
py
v
px
Ecuación implícita
(Desarrollando dos de las igualdades anteriores queda la ecuación de la recta dada por la intersección de dos planos)
0DzCyBxA
0DzCyBxA
ECU
AC
ION
ES D
EL P
LAN
O
Sea )p,p,p(P 321 un punto del
plano.
Sean )u,u,u(u 321
y )v,v,v(v 321
dos vectores del plano.
Sea )z,y,x(X un punto genérico
del plano. Las ecuaciones del plano son:
Ecuación vectorial vuPOXO
Ecuaciones paramétricas
(Desarrollando la expresión vectorial)
333
222
111
vupz
vupy
vupx
Ecuación implícita o
Ecuación general
(Para que la ecuación paramétrica tenga solución, el determinante de la matriz ampliada debe ser cero. Al desarrollar el determinante queda la segunda expresión)
0DzCyBxA0
vupz
vupy
vupx
333
222
111
Un vector perpendicular o vector normal al plano anterior tiene por coordenadas:
)C,B,A(nv
(i, j)
(k, l) (i, j)
(m)
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Geometría MATEMÁTICAS II (2º Bachillerato) HOJA-4
PUNTOS, RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO (II)
PO
SIC
IÓN
REL
ATI
VA
DE
DO
S R
ECTA
S
Elementos que tenemos Casos que se dan
Sean dos rectas r y r´ de las que conocemos un punto y un vector director de cada una de ellas:
33
22
11
vpz
vpy
vpx
r
33
22
11
vpz
vpy
vpx
r
Estudiemos que ocurre con los vectores
PPyv,v
Pueden darse los siguientes casos:
1
v//v
Calculo un punto P de r y dicho punto también pertenece a r´, entonces las rectas son coincidentes.
2 Calculo un punto P de r y dicho punto no pertenece a r´, entonces las rectas son paralelas.
3
v//esnov
Calculo PPyv,v , si los tres vectores
están en el mismo plano –son linealmente dependientes- (coplanarios), las rectas se cortan.
4
Calculo PPyv,v , si los tres vectores
no están en el mismo plano –son linealmente independientes- (no coplanarios), las rectas se cruzan.
NOTA.- El mismo estudio lo podemos hacer expresando cada recta como dos planos. En este caso tendremos un sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas.
PO
SIC
IÓN
REL
ATI
VA
DE
REC
TA Y
PLA
NO
Sean yr
una recta y un plano de
ecuaciones:
33
22
11
vpz
vpy
vpx
r
0DCzByAx:
Vamos a estudiar qué casos se pueden
plantear entre el vector v
en la dirección
de la recta, el vector n
perpendicular al
plano y el punto P de la recta :
1
0nv
Si el punto P de la recta pertenece también al plano, la recta está contenida en el plano.
2 Si el punto P de la recta no pertenece al plano, la recta es paralela al plano.
3 0nv
En este caso la recta es secante al plano.
PO
SIC
IÓN
REL
ATI
VA
DE
DO
S P
LAN
OS
Sean dos planos y de ecuaciones:
0DzCyBxA:
0DCzByAx:
Estudiamos el sistema formados por las dos ecuaciones, siendo las matrices asociadas:
CBA
CBAC
DCBA
DCBAA
Pueden darse los siguientes casos:
1 r(C)=r(A)=2
n=3
Sistema compatible indeterminado, tiene infinitas soluciones y 1 grado de libertad, los planos se cortan en una recta, son secantes.
2 r(C)=1 r(A)=2
Sistema incompatible, no tiene solución, los planos son paralelos.
3 r(C)=r(A)=1
n=3
Sistema compatible indeterminado, tiene infinitas soluciones y 2 grado de libertad, los planos son coincidentes.
(n)
(ñ)
(o, p, q)
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Geometría MATEMÁTICAS II (2º Bachillerato) HOJA-5
PROBLEMAS MÉTRICOS
MED
IDA
S D
E Á
NG
ULO
S
Ángulo entre dos rectas r y s, es el ángulo menor que forman dichas rectas. Coincide con el formado por sus vectores directores.
sr
sr
dd
ddcos
Ángulo entre dos planos π1 y π2, coincide con que el ángulo que forman los vectores normales de dichos planos.
21
21
nn
nncos
Ángulos entre una recta r y un plano π, coincide con el complementario, (90-α), del que forman el vector director de la recta y el vector normal del plano, es decir (α).
nd
nd)90(cos
r
r
MED
IDA
S D
E D
ISTA
NC
IAS
Distancia entre dos puntos P y Q, coincide con el módulo del vector que une dichos puntos.
212
212
212 )zz()yy()xx(PQ)Q,P(d
Distancia entre punto P y recta r, es la distancia más corta que separa el punto de la recta (la perpendicular).
rR,d
dRP
)Q,P(d)r,P(d
r
r
(R es cualquier punto de la recta, no tiene que ser el Q, que es el perpendicular)
Distancia entre un punto P y un plano π, es la distancia más corta que separa el punto del plano (la perpendicular). Sea el plano Ax+By+Cz+D=0 y el punto P(xo,yo,zo).
222
ooo
CBA
DzCyBxA),P(d
Distancia entre una recta r y un plano π. Tres casos: • 1) Si las rectas se cortan o 2) la recta está
contenida en el plano, la distancia es cero. • 3) En caso contrario deben ser paralelos, en
este caso la distancia es la misma que la de un punto cualquiera de la recta al plano.
rP),,P(d),r(d
Distancia entre dos planos π1 y π2. Tres casos: • 1) Si se cortan o 2) coinciden, la distancia es
cero. • 3) En caso contrario deben ser paralelos, en
este caso la distancia es la misma que la de un punto de uno de los planos al otro plano.
1221 P),,P(d),(d
Distancia entre dos rectas r y s. Tres casos: • 1) Si son paralelas. Es la distancia de un punto
cualquiera de la primera recta a la segunda. • 2) Si se cruzan. (aplicar fórmula). • 3) Si se cortan. La distancia es cero.
sQ
rP,
dd
PQ,d,d
)s,r(d:cruzanSe
rP),s,P(d)s,r(d:Paralelas
sr
sr
ÁR
EA Y
VO
LÚM
ENES
Área del paralelogramo determinado por los
vectores BA
y CA
.
ACABA ramologparale
Área de un triángulo de vértices A, B y C.
ACAB2
1Atriángulo
Volumen del paralelepípedo determinado por
los vectores BA
, CA
y
DA
.
AD,AC,ABV pedoparalelepí
Volumen del tetraedro de vértices A, B, C y D.
AD,AC,AB6
1Vtetraedro
(r)
(s, t)
(u)
(v, x)
(y, z)
INSTITUTO DE ENSEÑANZA SECUNDARIA “LÓPEZ NEYRA” DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
(CÓRDOBA) Profesor: Fco. Javier del Rey Pulido
Geometría MATEMÁTICAS II (2º Bachillerato) HOJA-6
EJERCICIOS propuestos para clase
VECTORES EN EL ESPACIO (I)
(a) Pág. 128 el 1 y 2.
VECTORES EN EL ESPACIO (II)
(b) Pág. 131 el 1. (c) Pág. 132 y 133 el 1, 2 y 3 (resueltos). (d) Pág. 136 el 1, 2 y 3. (e) Pág. 137 el 1 y 2. (f) Pág. 138 y 139 el 1, 2, 4. (g) Pág. 141 el 15, 16 y 18. (h) Pág. 142 el 21, 32, 33, 36 y 37.
PUNTOS, RECTAS, PLANOS EN EL ESPACIO (I)
(i) Pág. 146 el 1 (resuelto). (j) Pág. 148 el 2 y 3 (resueltos) y el 3. (k) Pág. 150 el 1 (resuelto). (l) Pág. 151 el 2, 3, 4 (resueltos). (m) Pág. 155 el 1, 2 (resueltos), 1 y 2.
PUNTOS, RECTAS, PLANOS EN EL ESPACIO (II)
(n) Pág. 153 el 1, 2 y 3 (resueltos). (ñ) Pág. 157 el 2 y 3 (resueltos) y 1. (o) Pág. 157 el 1 (resuelto). (p) Pág. 160 a 164 el 1, 2, 3, 5, 6 y 9 (resueltos). (p) Pág. 165 el 1 (resuelto) / Pág. 168 el 47.
PROBLEMAS MÉTRICOS
(r) Pág. 177 el 3 (resuelto), 1 y 2. (s) Pág. 179 el 1 (resuelto) y 1. (t) Pág. 180 el 1 (resuelto). (u) Pág. 181 el 4 y 5. (v) Pág. 182 el 1 (resuelto). (x) Pág. 183 el 6-a. (y) Pág. 184 el 1 (resuelto) y 1. (z) Pág. 188 a 192 el 1, 2, 3, 4, 6, 8 y 9 (resueltos).