![Page 1: VECTORES EN EL ESPACIO 2º Bachillerato - Fiquimat](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022012412/616baee470fcd40e60600732/html5/thumbnails/1.jpg)
VECTORES
EN EL
ESPACIOESPACIO
2º Bachillerato
VECTORES FIJOS EN EL ESPACIO.
VECTORES FIJOS EN EL ESPACIO. VECTORES FIJOS EN EL ESPACIO.
![Page 2: VECTORES EN EL ESPACIO 2º Bachillerato - Fiquimat](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022012412/616baee470fcd40e60600732/html5/thumbnails/2.jpg)
VECTORES LIBRES EN EL ESPACIO. OPERACIONES CON VECTORES LIBRES.
OPERACIONES CON VECTORES LIBRES. OPERACIONES CON VECTORES LIBRES.
→u
→2u
→–3u
![Page 3: VECTORES EN EL ESPACIO 2º Bachillerato - Fiquimat](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022012412/616baee470fcd40e60600732/html5/thumbnails/3.jpg)
OPERACIONES CON VECTORES LIBRES. DEPENDENCIA LINEAL, BASES, COORDENADAS.
DEPENDENCIA LINEAL, BASES, COORDENADAS. DEPENDENCIA LINEAL, BASES, COORDENADAS.
![Page 4: VECTORES EN EL ESPACIO 2º Bachillerato - Fiquimat](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022012412/616baee470fcd40e60600732/html5/thumbnails/4.jpg)
DEPENDENCIA LINEAL, BASES, COORDENADAS.
Estudia si el vector se puede expresar como combinación lineal de
DEPENDENCIA LINEAL, BASES, COORDENADAS.
DEPENDENCIA LINEAL, BASES, COORDENADAS.
Se consideran los siguientes vectores:a) Probar que forman una base B’ de V3.b) Calcular las coordenadas del vector respecto de B’
u (1,1,0) , v (1,0,1) y w (0,1,1)= = =� � ���
p (2,3,1)=�
a) 1 1 0
1 0 1 2 0 Son linealmente independientes y forman una base.
0 1 1
= − ≠ →
0 1 1
b)a b 2
(2,3,1) a(1,1,0) b(1,0,1) c(0,1,1) (a b,a c,b c) a c 3
b c 1
+ =
= + + = + + + → + = + =
B'a 2,b 0 y c 1 p (2,0,1)= = = → =�
PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES.
![Page 5: VECTORES EN EL ESPACIO 2º Bachillerato - Fiquimat](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022012412/616baee470fcd40e60600732/html5/thumbnails/5.jpg)
PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES. PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES.
1) u v 0 u v si u 0 y v 0⋅ = → ⊥ ≠ ≠� �� � � � � �
�
�
(u , v) agudo u v 02) → ⋅ >
→ ⋅ <
� � � �
� � � �
Propiedades:
�u v u v cos(u , v)⋅ = ⋅ ⋅� � � � � �
�2)
(u , v) obstuso u v 0
→ ⋅ <� � � �
3) u v v u⋅ = ⋅� � � �
4) (u v) ( u) v u ( v)λ ⋅ = λ ⋅ = ⋅ λ� � � � � �
5) u (v w) u v u w⋅ + = ⋅ + ⋅� � � � � � �
PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES.
La base canónica de V3 es la base ortonormal { }B i, j, k=� � �
PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES.
Expresión analítica en una base ortonormal:
1 1 1 B
2 2 2 B
u(x , y , z )
v(x , y , z )
�
��i i i i cos(i , i ) 1⋅ = ⋅ ⋅ =
� � � � � � �i j i j cos( i , j) 0⋅ = ⋅ ⋅ =� � � � � �
{ }B i, j, k=� � �
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2u v x i y j z k x i y j z k x x i i x y i j x z i k⋅ = + + ⋅ + + = ⋅ + ⋅ + ⋅ +� � � � � � � � � � � �� �
� � � � � � � � � � � �
1 2 1 2 1 2u v x x y y z z⋅ = + +� �
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1
y x i i y y i j y z i k z x i i z y i j z z i k
x x 1 x y 0 x z 0 y x 0 y y 1 y z 0 z x 0 z y 0
z z 1 x x y y
+ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =
= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ +
+ ⋅ = +
� � � � � � � � � � � �
2 1 2z z+
![Page 6: VECTORES EN EL ESPACIO 2º Bachillerato - Fiquimat](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022012412/616baee470fcd40e60600732/html5/thumbnails/6.jpg)
PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES.
Respecto a una base ortonormal las coordenadas de tres vectores son:
a) Calcular b) Averiguar el valor de k para que
a)
u (2, 3,1)= −�
v (5, 4, 1)= −�
w (k,7,1)=�
u v⋅� �
u w⊥� �
( ) ( )u v 2, 3,1 5, 4, 1 2 5 3 4 1 1 3⋅ = − ⋅ − = ⋅ − ⋅ − ⋅ = −� �
a)
b)
( ) ( )u v 2, 3,1 5, 4, 1 2 5 3 4 1 1 3⋅ = − ⋅ − = ⋅ − ⋅ − ⋅ = −� �
( ) ( )u w 2, 3,1 k,7,1 2 k 3 7 1 1 2k 20⋅ = − ⋅ = ⋅ − ⋅ + ⋅ = −� �
u w u w 0 2k 20 0 k 10⊥ → ⋅ = → − = → =� � � �
PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES.
Módulo de un vector (en una base ortonormal):
� 2 2u u u u cos(u , u) u cos 0 u⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ =� � � � � � � �
u (x, y, z)=�
2 2 2 2 2 2 2u u u x y z u x y z= ⋅ = + + → = + +� � � �
2 2 2u x y z= + +�
PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES.
Ejemplo: Respecto a una base ortonormal las coordenadas de dos vectores son:
a) Calcular b) El módulo de cada vector.
u (2, 1,5)= −�
v (1,3, 2)=�
u v⋅� �
2 2 2u x y z= + +�
Módulo de un vector (en una base ortonormal):
b) El módulo de cada vector.c) Un vector unitario en la dirección de
a) ( ) ( )u v 2, 1,5 1,3,2 2 1 1 3 5 2 9⋅ = − ⋅ = ⋅ − ⋅ + ⋅ =� �
u�
b) ( )2 2 2u 2 1 5 30= + − + =� 2 2 2v 1 3 2 14= + + =
�
c)2 1 5
w , ,30 30 30
= −
�
PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES.
Ángulo de dos vectores (en una base ortonormal):
2 2 21 1 1u x y z= + +
�
�u v u v cos(u , v)⋅ = ⋅ ⋅� � � � � �
1 1 1 2 2 2u (x , y , z ) v (x , y , z )= =� �
2 2 22 2 2v x y z= + +
�1 2 1 2 1 2u v x x y y z z⋅ = + +
� �
�u v u v cos(u , v)⋅ = ⋅ ⋅� � � � � �
� 1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 21 1 1 2 2 2
x x y y z zcos(u , v)
x y z x y z
+ +=
+ + ⋅ + +
� �
� u vcos(u , v)
u v
⋅=
⋅
� �� �
� �
![Page 7: VECTORES EN EL ESPACIO 2º Bachillerato - Fiquimat](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022012412/616baee470fcd40e60600732/html5/thumbnails/7.jpg)
PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES.
Ejemplo: Respecto a una base ortonormal las coordenadas de dos vectores son:
a) Calcular b) El módulo de cada vector.c) El ángulo que forman los dos vectores.
a)
u (2, 3,0)= −�
v ( 1,0,0)= −�
u v⋅� �
( ) ( ) ( )u v 2, 3,0 1,0,0 2 1 3 0 0 0 2⋅ = − ⋅ − = ⋅ − − ⋅ + ⋅ = −� �
a) ( ) ( ) ( )u v 2, 3,0 1,0,0 2 1 3 0 0 0 2⋅ = − ⋅ − = ⋅ − − ⋅ + ⋅ = −
b) ( )2 2 2u 2 3 0 13= + − + =�
( )2 2 2v 1 0 0 1= − + + =
�
c) � �u v 2 2 2cos(u , v) (u , v) arccos 123º 41' 24,2 ''
u v 13 1 13 13
⋅ − − − = = = → = =
⋅ ⋅
� �� � � �
� �
PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES.
PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES.
Interpretación geométrica del producto vectorial.
����������
� �BB'
sen(u , v) BB' v sen(u , v)v
= ⇒ = ⋅
����������� � � � �
�
�u v u v sen(u , v) u BB' base altura× = ⋅ ⋅ = ⋅ = ×������ � � � � � �
PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES.
Propiedades del producto vectorial.
![Page 8: VECTORES EN EL ESPACIO 2º Bachillerato - Fiquimat](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022012412/616baee470fcd40e60600732/html5/thumbnails/8.jpg)
PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES.
Expresión analítica del producto vectorial en una base ortonormal.
PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES.
Ejemplo:
( )
× = − − − −
� � 3 0 0 1 1 3, , 9, 3, 13
1 3 3 4 4 1u v =
PRODUCTO MIXTO DE TRES VECTORES.
Interpretación geométrica del producto mixto.
[ ] ( ) �u , v, w u v w u v w cos(u , v w)= ⋅ × = ⋅ × ⋅ ×� � � � � � � � � � � �
[ ] ( ) �u , v, w u v w u v w cos(u , v w)= ⋅ × = ⋅ × ⋅ ×� � � � � � � � � � � �
[ ] ( ) �( )u , v, w v w u cos(u , v w)
Área de la base altura Volumen
= × ⋅ ⋅ × =
= × =
� � � � � � � � �
PRODUCTO MIXTO DE TRES VECTORES.
Expresión analítica del producto mixto.
![Page 9: VECTORES EN EL ESPACIO 2º Bachillerato - Fiquimat](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022012412/616baee470fcd40e60600732/html5/thumbnails/9.jpg)
PRODUCTO MIXTO DE TRES VECTORES.
Propiedades del producto mixto.
[ ] [ ]1. u , w, v u , v, w= −� � � � � �
[ ]2. u , v, w 0 si, y solo si, u , v, w son linelamente dependientes.=� � � � � �
[ ] [ ]3. a u ,b v,c w abc u, v, w=� � � � � �
[ ] [ ] [ ]4. u u ', v, w u, v, w u ', v, w+ = +� � � � � � � � � �
PRODUCTO MIXTO DE TRES VECTORES.
Ejemplo:Respecto de una base ortonormal, tres vectores se expresan como:
a) Hallab) Halla el volumen del tetraedro formado por los tres vectores.
( ) ( ) ( )u 2,3,4 , v 0,2,1 y w 3,2,1= = =� � �
[ ]u, v, w .� � �
[ ]
2 3 4
a) u, v, w 0 2 1 4 9 24 4 15
3 2 1
= = + − − = −� � �
[ ] 3tetraedro
1 1 15b) V u, v, w 15 2 '5 u
6 6 6= = − = =
� � �