Download - Variables Aleatorias
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DR. JORGE ACUA
GENERACION DE NUMEROS ALEATORIOS Y VARIABLES ALEATORIAS
La simulacin de eventos se basa en la ocurrencia aleatoria de los mismos, por ello los nmeros aleatorios y las variables aleatorias son de especial importancia en la aplicacin de esta herramienta
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DR. JORGE ACUA
VARIABLES ALEATORIAS
PIDE UN NUMERO ALEATORIO
PROCESO
TIEMPO
GENERADOR
DE
VARIABLES
ALEATORIAS
GENERADOR
DE NUMEROS
ALEATORIOS
PIDE TIEMPO DA DISTRIBUCION Y PARAMETROS
ENTREGA TIEMPO GENERADO
ENTREGA NUMERO GENERADO
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DR. JORGE ACUA
VARIABLES ALEATORIAS
PROCESO
TIEMPO=?
GENERADOR
DE
VARIABLES
ALEATORIAS
GENERADOR
DE
NUMEROS
ALEATORIOS
NORMAL CON MEDIA=4.3 Y DESVIACION=0.4 PIDE UN
NUMERO ALEATORIO
TIEMPO=4.324
ENTREGA 0.34555
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DR. JORGE ACUA
GENERADOR DE NUMEROS
ALEATORIOS
Los nmeros aleatorios son los que dan un comportamiento real al modelo.
Es un proceso matemtico-estadstico Existen varios algoritmos: Mtodo del cuadrado medio Mtodo congruencial lineal Mtodo congruencial multiplicativo
Todos los mtodos se basan en una semilla En la generacin se debe poner especial cuidado al
perodo, que es el nmero de nmeros que se pueden generar hasta que se repita la serie.
El nmero aleatorio es un valor entre 0 y 1 y se distribuyen uniformemente.
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DR. JORGE ACUA
METODO DEL CUADRADO
MEDIO
Es uno de los primeros mtodos. Consiste en:
1. Escoger una semilla arbitraria
2. Elevar la semilla al cuadrado
3. Escoger los dgitos medios del cuadrado como nmero aleatorio
4. Elevar esos dgitos al cuadrado
5. Repetir 3 y 4 hasta generar los nmeros deseados sin que se repita la cadena o serie.
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DR. JORGE ACUA
METODO DEL CUADRADO
MEDIO EJEMPLO: Generar 4 nmeros aleatorios con la semilla
5497. Ri : nmero aleatorio generado
1. Semilla= X0= 5497
2. X02
= 54972 = 30217009
3. X1 = 2170 R1 = 0.217
4. X12 = 21702 = 04708900
3. X2 = 7089 R2 = 0.7089
4. X22 = 70892 = 50253921
3. X3 = 2539 R3 = 0.2539
4. X32 = 25392 = 06446521
3. X4 = 4465 R4 = 0.4465
Estos son los
cuatro nmeros
aleatorios
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DR. JORGE ACUA
En Simulacin se debe siempre muestrear de una distribucin de probabilidad que representa la ocurrencia de los eventos.
Estas distribuciones pueden ser tericas o empricas y ambas pueden ser continuas o discretas.
Las distribuciones empricas estn representadas por distribuciones de frecuencias.
En el caso de distribuciones tericas existen varios mtodos para generar las variables.
GENERACION DE
VARIABLES ALEATORIAS
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DR. JORGE ACUA
Tcnicas para generar variables aleatorias provenientes de una distribucin terica: Transformada inversa (usada para generar variables
aleatorias distribuidas segn Exponencial, Weibull y Triangular)
Funcin acumulada (usada para generar variables aleatorias de distribuciones empricas)
Transformacin directa (usada para generar variables normalmente distribuidas)
Mtodo de convolucin (usado para generar variables aleatorias distribuidas segn ERLANG, POISSON y GAMMA)
GENERACION DE
VARIABLES ALEATORIAS
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DR. JORGE ACUA
PROCEDIMIENTO
1. Encontrar la funcin acumulada de la distribucin respectiva.
2. Igualar esa funcin a R (nmero aleatorio uniformemente distribuido) sea F(x)=R
3. Resolver la anterior ecuacin para x.
4. Establecer la funcin generadora
EJEMPLO
Encontrar la funcin generadora de la exponencial.
1. F(x) = 1 - e - x 2. 1 - e - x = R
3. x = (-1/ ) ln(1-R) 4. xi = (-1/ ) ln(1-Ri)
METODO DE LA
TRANSFORMADA INVERSA
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EJEMPLO DE GENERADOR DE VARIABLES EXPONENCIALES
PROCESO
TIEMPO=?
xi = (-1/ )*
ln(1-Ri)
GENERADOR
DE NUMEROS
ALEATORIOS
EXPONENCIAL MEDIA=4.5 MINS
PIDE UN NUMERO ALEATORIO
TIEMPO=1.91 MINS
ENTREGA 0.34555
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OTRAS FUNCIONES GENERADORAS
Distribucin uniforme xi = a +( b - a ) * Ri
Distribucin Weibull xi = * [ -ln (1 - Ri )]
1/
Distribucin triangular R1 = ALEATORIO 1
R2 = ALEATORIO 2
SI (R1 < (B - A) / (C - A)) ENTONCES
Triangular = A + (B - A) * R2 SINO
Triangular = C - (C - B) * R2
METODO DE LA
TRANSFORMADA INVERSA
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DISTRIBUCION NORMAL PROCEDIMIENTO A.
PROCEDIMIENTO B.
1. Generar R1 y R2 Vi=2Ri-1 para i=1,2
W=V12+V2
2
2. Si W>1 volver al Paso 1. Sino:
Z1=V1*y Z2=V2*y
X1=Z1* +
X2=Z2* +
*612
1i
iRX
w
wy
)ln(2
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EJEMPLO DE PROCEDIMIENTO
A. Generar dos variables aleatorias para un tiempo de
proceso cuya media es 5 y su desviacin estndar es 0.3.
X1=S1* + = 0.2*0.3+5= 5.24
X2=S2* + = -0.6*0.3+5= 4.82
6.064.56
2.062.66
12
1
2
12
1
1
i
i
i
i
RS
RS
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EJEMPLO DE
PROCEDIMIENTO B. Generar dos variables aleatorias para un tiempo de proceso cuya
media es 5 y su desviacin estndar es 0.3. 1. R1=0.6 y R2 =0.3 V1=2(0.6) -1= 0.2 V2=2(0.3) -1=- 0.4 W=0.22+(-0.4)2=0.2
2. W
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EJEMPLO 2 DE
PROCEDIMIENTO B. Generar 30 valores para un tiempo de proceso que se distribuye
normalmente con media es 2.35 minutos y desviacin estndar es 0.23 minutos.
# R1 R2 V1 V2 W y Z1 Z2 X1 X2
1 0.760177467 0.04974372 0.52035493 -0.90051257 1.08169214 (No sirve pues W>1)
2 0.50190155 0.54633272 0.0038031 0.09266543 0.00860135 33.2541048 0.12646867 3.08150595 2.38 3.06
3 0.107204119 0.32589551 -0.78559176 -0.34820899 0.73840392 0.9063139 -0.71199273 -0.31558665 2.19 2.28
4 0.744025954 0.20457119 0.48805191 -0.59085763 0.5873074 1.34624008 0.65703504 -0.79543622 2.50 2.17
5 0.888466886 0.30798921 0.77693377 -0.38402158 0.75109866 0.87300188 0.67826464 -0.33525156 2.51 2.27
6 0.600042775 0.51130059 0.20008555 0.02260119 0.04054504 12.5742851 2.51593273 0.28419381 2.93 2.42
7 0.123304795 0.68341085 -0.75339041 0.3668217 0.70215527 1.00358691 -0.75609275 0.36813746 2.18 2.43
8 0.656965005 0.07457283 0.31393001 -0.85085435 0.82250517 0.68930038 0.21639208 -0.58649423 2.40 2.22
9 0.551837621 0.00516526 0.10367524 -0.98966949 0.99019425 0.14107958 0.01462646 -0.13962216 2.35 2.32
10 0.958738503 0.5849138 0.91747701 0.16982761 0.87060547 0.56420017 0.51764068 0.09581677 2.47 2.37
11 0.666282809 0.21796188 0.33256562 -0.56407625 0.4287819 1.98741681 0.6609465 -1.12105462 2.50 2.09
12 0.819078493 0.20853019 0.63815699 -0.58293962 0.74706294 0.88355688 0.563848 -0.51506031 2.48 2.23
13 0.293377603 0.30383294 -0.41324479 -0.39233413 0.32469733 2.63223846 -1.08775884 -1.03271698 2.10 2.11
14 0.088355424 0.32108534 -0.82328915 -0.35782931 0.80584684 0.73194157 -0.60259955 -0.26191015 2.21 2.29
15 0.097035419 0.77361042 -0.80592916 0.54722084 0.94897247 0.33224026 -0.26776211 0.1818088 2.29 2.39
16 0.109395645 0.40379788 -0.78120871 -0.19240423 0.64730644 1.15923757 -0.90560649 -0.22304222 2.14 2.30
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En este caso se trabaja con la frecuencia relativa acumulada y el punto medio que representa a la variable aleatoria.
EJEMPLO: Para una distribucin de probabilidad variable continua
Li Ls Xk nk fk Fk
5.05 14.95 10.0 4 0.1250 0.1250
14.95 24.85 19.9 6 0.1875 0.3125
24.85 34.75 29.8 12 0.3750 0.6875
34.75 44.65 39.7 8 0.2500 0.9375
44.65 54.55 49.6 2 0.0625 1
DISTRIBUCIONES EMPIRICAS
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Xk Fk R(# aleatorio)
10.0 0.1250 0.0000 0.1250
19.9 0.3125 0.1251 0.3125
29.8 0.6875 0.3126 0.6875
39.7 0.9375 0.6876 0.9375
49.6 1 0.9376 0.9999
As, si por ejemplo, si se tiene un nmero aleatorio generado que da el valor de 0.5078, entonces el valor de la variable aleatoria es el correspondiente a Xk o sea 29.8.
DISTRIBUCIONES
EMPIRICAS
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EJEMPLO DE GENERACION DE
VARIABLES ALEATORIAS
A: Determine un intervalo de confianza del
95% para el tiempo de proceso de 40
partes cuya funcin densidad de
probabilidad es:
B. Muestre los efectos en la media, desviacin
e intervalo que tiene el incremento en el
tamao de la muestra.
0)4(
32)(
3xpara
xxf
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FUNCION ACUMULADA
F(x)
SOLUCION:
A.
016
168
)4(
16
)4(
16
2
3232)(
4
)4(
32)()(
0)4(
32)(
2
2
2
0
2
3
0
3
0
3
Rxx
Rx
xuduuxF
dxdu
xu
dxx
dxxfxF
xparax
xf
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DR. JORGE ACUA
GENERACION
DE LA
VARIABLE
ALEATORIA x
x2+8x+(16-16/R)
# Aleatorio (16-16/R) x1 x2 x
1 0,51 -15,11 1,58 -9,58 1,58
2 0,86 -2,54 0,31 -8,31 0,31
3 0,96 -0,73 0,09 -8,09 0,09
4 0,88 -2,09 0,25 -8,25 0,25
5 0,38 -25,96 2,48 -10,48 2,48
6 0,33 -32,55 2,97 -10,97 2,97
7 0,46 -18,58 1,88 -9,88 1,88
8 0,75 -5,25 0,61 -8,61 0,61
9 0,23 -52,36 4,27 -12,27 4,27
10 0,81 -3,66 0,43 -8,43 0,43
11 0,88 -2,12 0,26 -8,26 0,26
12 0,28 -41,49 3,58 -11,58 3,58
13 0,32 -34,39 3,10 -11,10 3,10
14 0,75 -5,47 0,63 -8,63 0,63
15 0,76 -5,05 0,59 -8,59 0,59
17 0,43 -21,29 2,11 -10,11 2,11
18 0,43 -21,33 2,11 -10,11 2,11
19 0,55 -13,09 1,39 -9,39 1,39
20 0,18 -72,89 5,43 -13,43 5,43
21 0,81 -3,81 0,45 -8,45 0,45
22 0,17 -77,77 5,68 -13,68 5,68
23 0,96 -0,67 0,08 -8,08 0,08
24 0,35 -30,23 2,80 -10,80 2,80
25 0,34 -31,42 2,89 -10,89 2,89
26 0,87 -2,39 0,29 -8,29 0,29
27 0,99 -0,16 0,02 -8,02 0,02
28 0,25 -48,55 4,03 -12,03 4,03
29 0,52 -14,57 1,53 -9,53 1,53
30 0,92 -1,30 0,16 -8,16 0,16
31 0,65 -8,73 0,97 -8,97 0,97
32 0,76 -4,99 0,58 -8,58 0,58
33 0,31 -35,61 3,18 -11,18 3,18
34 0,62 -9,63 1,06 -9,06 1,06
35 0,94 -1,02 0,13 -8,13 0,13
36 0,77 -4,87 0,57 -8,57 0,57
37 0,89 -1,98 0,24 -8,24 0,24
38 0,55 -13,24 1,41 -9,41 1,41
39 0,38 -26,42 2,51 -10,51 2,51
40 0,39 -25,54 2,44 -10,44 2,44
PROMEDIO 1,67
DESVIACION 1,534
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DR. JORGE ACUA
RESPUESTA A LA PARTE
A.
El intervalo de confianza del 95% para el tiempo
de proceso de 40 partes es:
95.0}058.2282.1{
058.240
534.1*96,167.1
'
282.140
534.1*96,167.1
'
95.0}{
025.0
025.0
P
nzxLs
nzxLi
LsLiP
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DR. JORGE ACUA
RESPUESTA A LA PARTE
B. n t Z xbarra sigma LIC LSC
10 2,262 1,49 1,41 0,43 2,55
30 2,045 1,79 1,67 1,16 2,43
50 1,96 1,71 1,44 1,31 2,11
100 1,96 1,90 1,89 1,53 2,27
200 1,96 2,01 2,07 1,72 2,30
300 1,96 2,11 2,34 1,84 2,37
400 1,96 2,06 2,29 1,83 2,28
500 1,96 2,09 2,30 1,88 2,29
600 1,96 2,07 2,27 1,89 2,26
700 1,96 2,01 2,19 1,84 2,17
800 1,96 1,95 2,14 1,80 2,10
900 1,96 1,93 2,11 1,79 2,06
1000 1,96 1,92 2,08 1,79 2,05
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DR. JORGE ACUA
GRAFICOS DE
ESTABILIDAD
DE LOS PROMEDIOS GRAFICO DE PROMEDIOS
1,40
1,50
1,60
1,70
1,80
1,90
2,00
2,10
2,20
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
TAMAO DE MUESTRA
PR
OM
ED
IO
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DR. JORGE ACUA
GRAFICOS DE
ESTABILIDAD
DE LAS DESVIACIONES ESTANDAR GRAFICO DE DESVIACIONES ESTANDAR
1,40
1,60
1,80
2,00
2,20
2,40
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
TAMAO DE MUESTRA
DE
SV
IAC
ION
ES
TA
ND
AR
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DR. JORGE ACUA
GRAFICOS DE
ESTABILIDAD
DE LOS INTERVALOS DE CONFIANZA GRAFICO DE INTERVALOS DE CONFIANZA
0,300,550,801,051,301,551,802,052,302,55
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
TAMAO DE LA MUESTRA
LIM
ITE
S D
E C
ON
FIA
NZ
A