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UNIVERSIDAD NACIONAL DE PIURAFacultad de Ciencias
Escuela Profesional de Matemática
1
«ENFOQUE MATEMATICO PARA LAS MEDIDAS DE RIESGO VaR Y CVaR»
TESIS QUE PRESENTAN:
Br. LUIS VALENTIN PURIZACA ROSILLOBr. LUIS JHOAN ALDANA PURIZACA
ASESOR:
Mg. JOSE VALENTIN PURIZACA MARTINEZ
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PRESENTACIÓN
En el presente trabajo de investigación utilizaremos las herramientas matemáticas que nos permitan dar un enfoque matemático a las medidas de riesgo VaR y CVaR para luego aplicarlas en un caso real y concreto para su respectivo análisis.
Medida de Riesgo• VaR• CVaR
Axiomas de Coherencia
Métodos Estimación• Paramétrico• No Paramétrico
IGBVL
Teoría de Riesgo Aplicación
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OBJETIVOS
I. Objetivo General
Elaborar un enfoque matemático para las medidas de riesgo VaR y CvaR para luego aplicarlas al IGBVL
II. Objetivos Específicos
Definir los conceptos básicos de Teoría de la Medida y Probabilidad.
Estudiar los principales temas de estadística relacionados con las medidas de riesgo (VaR y CVaR).
Construir las ideas principales en el calculo de las medidas de riesgo financiero ( VaR y CVaR).
Analizar las medidas alternativas que cumplen con un conjunto de condiciones mínimas tal que pueden ser llamadas medidas coherente de riesgo.
Definir las medidas de riesgo: VaR y CVaR así como su aplicación al IGBVL para cada caso.
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4
HIPOTESIS
Las medidas de riesgo VaR y CVaR se les puede dar un enfoque matemático así como aplicar al IGBVL bajo las condiciones de invarianza por translación, subaditividad, positivamente homogénea, monotonocidad.
Pérdidas
Fre
cue
nci
a
99.57%
VaR ES
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TEORÍA DE RIESGO
I. Medida de Riesgo
P)F,,(LM 0
(X)X
RM:
Representemos los riesgos financieros por el conjunto de variables aleatorias, asumiremos que M es un cono convexo. Una medida de riesgo es un mapeo de M en R.
0(X) 0(X) SiRequerimiento
de capitalNo
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6
MEDIDA DE RIESGO COHERENTE
MEDIDA DE
RIESGO COHERENTE
INVARIANCIA POR
TRANSLACIÓNSUBADITIVIDAD
POSITIVAMENTE HOMOGENEA
MONOTONICIDAD
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7
AXIOMAS DE COHERENCIA
I. Invariancia por translación
quetenemosRmtodoyMX mXmX
II. Subaditividad YXYXquetenemosMYX ,
III. Monotonicidad YXYXMYX ,/,
IV. Positivamente Homogénea
XXquetenemostodoyMX 0
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8
Value-at-Risk (VaR)
Dado un intervalo de confianza ).1,0( El VaR de nuestro portafolio
a un determinado nivel de confianza es dado por el menor número l tal
que la probabilidad que las pérdidas L excedan l no es mayor que )1(
LFRlínf
lLPRlínfVaR
:
1:
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9
Expected Shortfall
Para una pérdida L con |)(| LE y función de distribución
LF elExpected Shortfall con un nivel de confianza
)1,0( es definido
1
11
duFqES Lu
donde )()( uFFq LLu es la función quantil de .LF El expected
shortfall es por lo tanto relacionado al VaR
1
11
duLVaRES
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VaR vs ES
Value-at-Risk Expected Shortfall
• Fácil interpretación e implementación
• No es una medida de riesgo coherente: Falla en la
subaditividad
• Medida de riesgo coherente: Permite una adecuada asignación de capital
• Difícil interpretación.
Ventajas
Desventajas
Pérdidas
Fre
cue
nci
a
99.57%
VaR
ES
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APLICACIÓN: Métodos de Estimación
Modelos No Paramétricos Modelos Paramétricos
• Los modelos más generales son los modelos no paramétricos los cuales basan sus posibles escenarios de distribución de rendimientos en función de la data histórica.
•Los modelos paramétricos son la forma más simple de calcular ambas medidas de riesgo: VaR y ES. Estos modelos asumen de antemano una distribución de rendimientos conocida que en la mayoría de casos suele ser una distribución normal.
Definición
• No se realiza ningún supuesto
• Condicionado a la historia.
• Fácil implementación
• Supuestos no testeados
Ventajas
Desventajas
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APLICACIÓN: Caso IGBVL
Utilizamos el IGBVL ya que resume el comportamiento bursátil del mercado peruano es decir refleja la tendencia promedio de los rendimientos alcanzados de las acciones más significativas de la negociación bursátil.
El periodo de análisis: Enero 2000 hasta diciembre 2012 con frecuencia diaria
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13
APLICACIÓN: Caso IGBVL
Trabajaremos con los retornos aritméticos.
Se pueden apreciar periodos de alta volatilidad debido a la alta fluctuación de las condiciones de mercado.
Se trabajará con el software estadístico R 2.13.1.
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APLICACIÓN: Caso IGBVL
Análisis estadístico gráfico: Histogramas y qqplots.
Gran concentración alrededor de un valor, quantiles no coinciden con los de una distribución normal.
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APLICACIÓN: Var y ES al 99%
APLICACIÓN: Var 95% y VaR 99%
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APLICACIÓN: ES 95% y ES 99%
APLICACIÓN: ES 95% y VaR 99%
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CONCLUSIONES
La importancia de los axiomas de coherencia para poder establecer una adecuada medida de riesgo así como el avance matemático en el campo de las finanzas especialmente en riesgos.
El VaR como medida de riesgo tiende a subestimar el riesgo ante la presencia de eventos extremos o de colas anchas sin embargo tiene una aceptación en la industria debido a su fácil interpretación e implementación.
El CVaR como alternativa para medir el riesgo de un portafolio es una medida adecuada ya que cumple con los axiomas de coherencia de manera principal el de subaditividad.
Se demostró de manera practica a través de la aplicación con el IGBVL que el CVaR es un medida de riesgo mas conservadora que el VaR, dado que el CVaR solo considera las perdidas en la cola.
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ANEXOS
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INVARIANCIA POR TRANSLACIÓN
quetenemosRmtodoyMX
mXmX
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SUBADITIVIDAD
YXYXquetenemosMYX ,
Riesgo puede ser reducido por diversificación (principio en economía y finanzas)
Si no se cumple, las instituciones tendrían incentivos a separarse legalmente en varias subsidiarias.
Si se cumple se puede realizar una correcta asignación de capital.
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MONOTONICIDAD
YXYXMYX ,/,
Posiciones o portafolios más riesgosos requieren más capital o tienen más pérdidas.
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POSITIVAMENTE HOMOGENEA
XXquetenemostodoyMX 0
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23
RETORNOS
Sea el retorno del portafolio definido por tt rrr 1 donde
son los valores del portafolio en el tiempo t y t+1.tt rr ,1
1
t
tg r
rLnR
1
1
t
tta r
rrR ag RLnR 1
Tasa de Retorno
Geométrica
Tasa de Retorno
Aritmética
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FUNCION DE DISTRIBUCIÓN
Sea un espacio probabilístico, un espacio medible y
una variable aleatoria. La distribución de X se define por la función: . es una función de probabilidad definida en que cumple
ADR
PF ,, ,E
EX :1 XPPX
XP ,E
11 PEXPEPX
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En el caso particular de que ,es decir cuando X es un vector aleatorio denotaremos:
Para el caso d=1 tenemos la distribución de la variable aleatoria X denotada por es una función definida sobre .
Si entonces:La función de distribución de X, es la función definida sobre R
ADR
dd RRE ,,
dX RXPXPBP ,][][ 1
XP R
][
]1,0[:
XPBP
RP
X
X
x, xXPxXPPX ,.XF
][,
]1,0[:
xXPxxFx
RP
X
X
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α- teal mean
Definición: Sea ; se define por:
Ahora Expect Shortfall se puede definir:
Sea
ADR
][XE meantail
xXPxXEXTMx xX
}{11
xXESES
)...(0][,1
0][,11
}{1][
][}{
}{
}{ IxXPsi
xXPsi
xXxXP
xXPxX
xX
xX
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Podemos verificar que:
En efecto demostraremos (2) para el caso
ADR
)2...(1,01 }{
xX
xX
xXP
xFq
xFxF
xF
xXP
xXPxXxX
1
11 }{
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La segunda igualdad se define por: luego la pertenencia se da por:
La expresión (1) también cumple:
En efecto tenemos:
ADR
xFxFxXPx ,
XFXFqXF
xXE
qE
xX
xX
}{1
}{
1
1
qq xX
q
qxX xXP
xFqEE
11 }{
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Por linealidad de esperanza tenemos:
Debido a la definición de tenemos que el segundo término de la ecuación (3) es igual a 0, por lo nos quedaría
En el caso de que la función indicadora de la ecuación (3)se hace ambos términos, entonces tenemos:
ADR
)3...(11
qq xXq
qxX xXP
xFqEE
qxX1 qxX
qxXPE qxX q1
qxX
q
q
q
q
xFEq
xFEq
xXP
xFqE
11
1
1
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Pues . Tenemos que el valor esperado es q .
ADR
qqqq xXPxXPExXPxFE
![Page 31: var y cvar](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061413/5584b77ed8b42a8f768b4ba3/html5/thumbnails/31.jpg)
Subaditividad del ES
Dada dos variables aleatorias X y Y con se cumple para cualquier .
Demostración:
Definamos , por (1) tenemos
ADR
XEyXE
YESXESYXES 1,0
YXZ
0
1111
1111
111
yx
YyEx
YXE
YXZE
ZESYESXES
yYzZxXzZ
yYzZxXzZ
zZzZzZ
![Page 32: var y cvar](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061413/5584b77ed8b42a8f768b4ba3/html5/thumbnails/32.jpg)
En la desigualdad empleamos lo siguiente:
Lo cual es como consecuencia de la propiedad 1
ADR
)4...(
,011
,011
xXsi
xXsi
xXzZ
xXzZ