Download - V. Corrientes eléctricas
® Gabriel Cano Gómez, 2010/11 Dpto. Física Aplicada III (U. Sevilla)
Campos ElectromagnéticosIngeniero de Telecomunicación
V. Corrientes eléctricas
8. Corrientes no estacionarias
Campos Electromagnéticos (I. Telecomunicación) V. Corrientes eléctricas
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1. Introducción2. Magnitudes para la corriente eléctrica3. Leyes de la corriente eléctrica4. Conductores lineales: medios óhmicos5. Generadores6. Coeficientes de conductancia7. Circuito equivalente8. Corrientes no estacionarias
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V. Corrientes eléctricas
Corrientes de conducción no estacionariasRelajación de la carga
Sistema de corrientes variables: circuito equivalenteLeyes de Kirchoff
Corrientes de polarización Generalización de la ecuación de continuidad
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Ecuaciones de la corriente y el campocorriente de conducción no estacionaria, J(r;t)intensidad de corriente variable:
campo eléctrico E(r;t) variable en el tiempono es estrictamente irrotacionalderiva de potencial variable:
ecuación para D(r;t) (complementaria)
Corrientes de conducción no estacionarias (I)
Local ( P3) Integral
Principio de conservación
(casi) Irrotacionalidad
lib( ; )tt
J r libdQddt
J S( ; )t E r 0 0d
E r
Ley de Gauss lib( ; ) ( ; )t tD r r lib ( )d Q t
D S
lib(r;t)
J(r;t)
E(r;t) D(r;t)
SI(t)
P
dS
; ) ( ; )t V t E(r r
( ) ; ) dS
I t t J (r S
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Corrientes de conducción no estacionarias (II)
lib2 1 P
Pt
n J J
2 1 P n E E 0
2 1 lib( ; )P
P t
n D D
como conductor: J=J(E)como dieléctrico: D=D(E)
E1(P;t)
J1(P;t)
lib(r;t)
J2(P;t)
E2(P;t)
P
D2(P;t)
D1(P;t)
n
Condiciones de salto y continuidadsuperficie con densidad de carga libre, lib(r;t)
del principio de conservación de la carga… discontinuidad compo-nente normal de J(r;t)
del campo eléctrico (casi)irrotacional…continuidad componente tangencial de E(r;t)
de la Ley de Gauss…discontinuidad compo-nente normal de D(r;t)
Relaciones constitutivasdescriben comportamiento de la materia en presencia del campo eléctrico
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Corrientes de conducción no estacionarias (III)
' '
lib(r;t)
P
J(r;t)
E(r;t)
D(r;t)
lib(r;t)
t
lib(P;t)
0(P) e/t
/1
/10(P)
libσt
J E σJ E
lib ( ; )ε t D E r εD E
liblib ( ; )σ ε t
t
r
lib 0σ( ε)( ; ) ( ) ;tt e r r
lib; ) ; )t t t
n J (r J(r
0 lib( ) ( ;0) r r
n
J'(r;t)
Medio lineal homogéneo es un medio óhmico…
… y dieléctrico lineal:
Relajación de la cargaecuación de la carga en :
la solución decae exponencialmentea partir del valor inicial de carga
la carga se acumula en las superficies de discontinuidad:
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i(t)
i i
ii
Si
dQd
dtdQ I ddt
J S J SI1(t)
Ij(t)
Ii(t) Il(t)
IN(t)
I0(t)
C1Cj
Ci
C0)=0
C0
Sistema de corrientes variables y circuito equivalente (I)
Primera Ley de Kirchoffprincipio de conservación de la carga en torno a cada i del sistema de corrientes…
en cada nodo del circuito equivalente…
C0
IiN
Iij
Ii1
Iii
CN
Cl
+
Vl
J=E;
Gjj
+
Vi
+
Vj
CNClCi
C1 Cj
C0
ri
rj
+
VN
Gij
Gii
GlN
G11
GNN
GjN
Ij
Iii
Iij
Jext=0
Ii
+V1(t)
+Vj(t)
+Vi(t)
+VN(t)
·J(r;t)=0
Cij
Cii
10,1, ...,0;N
i ij ijji NI I i
; i jii ijii ij V VdV di C i Cdt dt
j(t)
Qi(t)
i
Si
dS
dS
dS
dS
dS
iii
iij
+Vl(t)
+( ) ( ) ( )dt t tdt
I V VG C
C(), G();(r),(r)E0
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0d
E rj
ii j
dV ddt
V J r
( ) ( )j jijk ij i i Lk
I rt I R I r V t
Gjj
C1
Cj
Ci
C0)=0
C0
Segunda Ley de Kirchoffcampo eléctrico casi irrotacional:en una cerrada del sistema…
en cada malla del circuito equivalente…
C0
Iij
CN
G(Ci);(r)Jext=0
Cl
Rij
Sistema de corrientes variables y circuito equivalente (II)
+V1(t)
+Vj(t)
+Vi(t)
+VN(t)
I1(t)Ij(t)
Ii(t) Il(t)
IN(t)
I0(t)
+Vl(t)
+
Vl
+
Vj
CNClCi
C1 Cj
C0
ri
jrj
+
VN
Rij
GlN
G11
GNN
GjN
j(t)
i(t)+
Vi
CijL
Iij
( )L ij ijV t L dI dt
J=E;E0
B(r;t)
Ij
Ii
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Corrientes de polarizaciónPolarización variable en dieléctricomedio dieléctrico ideal : sin cargas “libres” ni corrientes de conducción
campo de polarización P(r,t) variable en t:Densidad de corriente de polarización:
Energía de polarización potencia “exterior” aportada para polarizar para medios lineales…
lib pol
lib pol
e
e
0
0
extpol pol
pol
Wd
dtP
J E
21
e td
P
pol
pol
se polariza
se despolariza
0; si
0; si
P
P
pol ,t
PJ
pol pol
pol pol
tal que t
t
n
J
J
lib pol J J J0
P
n P
¿ ?
Pext(r)=0 ; Jext(r)=0
P(r';t)
n
P'
pol (t)
pol(t)
pol(r';t)
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Generalización de la ecuación de continuidadMedio material genéricomedio material con cargas eléctricas “libres”
y de polarización, variables en t
corrientes de conducción y de polarización se define una densidad de corriente total…
Ecuación de continuidad relaciona la corriente total con la variación en
el tiempo de toda la carga eléctrica:
lib pol lib pol( ; ) ( )e et t
r
pol ( ; )tt
PJ r
con t J J P
con ( ; )t n q J r vcon pol( ; ) ( ; ) ( ; )t t t r r rJ J J
lib polt t
con t
n Pn nJ J
lib polt t
e t
e t
Pext (r)=0; Jext(r)=0
n
P'
e (t)
e(t)
e(r';t)
J(r';t)
v+
v
P(r';t)
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Régimen estacionario forzado por diferencia de potencial cte., V0
corriente y campos constantes:
carga libre en el sistema:
Circuito equivalente caracterización del medio óhmico :
leyes de Kirchoff:
( ) zJ rJ u 2
1
d
d
I
V
J S
E r
S
C
C
( ) ( ) zzJ rJ u
Ejercicio 5.14 (I)
10
00; 0
z z aV
( ) ( ) ( ) r r rJ E
0J
latlat ext ) ] 0 (rn J J lat
0n
( ) ( )z r
E DJa
11 libdQ S C
J S
lib 0 ;
1
lib 0J C
0JS Q
;V I a S R 1Q V S a C
0 ;I I 0V RI 0Q C
+ V0
V
C1:z=0
C2:z=a
V
R
C
nlat
dSSIJ(r)
Q1
V0
I0
I
I0
C2C1
Jext=0Z
IC =0Q0 Q0
2Q
Q2
00
VV J a
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lib(t)
Q1(t)
Q2(t)
V(t)
t
0
( ; );( ; ) ( ; )
tal que ( ); 0z z a
tt z t
VV V
V V t V
rr
Régimen no estacionario en t0, corriente en (sin generador):
corriente y campos variables en t:
solución (similar a caso estacionario)
relajación de la carga
en el conductor C1:
( ) ( ) ( ); ; ;( ); zt t tz tJ r r rJ u E D
Ejercicio 5.14 (II)
11
( ; ) ( ; )t t r rJ E
; 0t (r )J
11
libext ; )]t
t
(rn J JC
C
lib 0( )( ; ) 0,tt e t
rr
( ; )J z t
( ; )J z t
+ V0
C1:z=0
C2:z=a
n=uz
dSS
Jext=0; Dext=0
Z
t0
lib d d 0dQdt
J S J S SJ(r;t)
1 1lib ext ; )]t (rn D DC C
1
liblib ( ; )σ
ε tt
rC
1
lib 0
te
C
0 e/t
0=V0/a
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Régimen no estacionario campos en (para t0):
magnitudes eléctricas:
Circuito equivalentemodelo del medio : idéntico al estacionario leyes de Kirchoff:primera ley:
segunda ley:
Ejercicio 5.14 (III)
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+ V0
V
C1:z=0
C2:z=a
n=uz
dSS I(t)
Jext=0; Dext=0
Z
t0
V(t)
Q1(t)
J(r;t)Q2(t)0( ) ( ) ( ); ; ;z
tt t t
V ea
r r rJ u E D
V(t)
R I(t)
C2
iC (t)Q(t) Q(t)
C1
V0
t0
C
( ) ( ) 0;CI t i t ( )CdVdt
i t C
1( ) ( ) ( )V t RI t Q t C
0( ) dt
tI S a V e
J SS
2
10( ) d
tV t V e
E rC
C
1
1 lib 0( ) dt
Q t S S a V e C
( )tV R
( )tCV
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En régimen estacionariopotencia disipada en medio efecto Joule en conductor óhmico
energía almacenada en medio :comportamiento dieléctrico
potencia suministrada por el generador
balance energético en : potencia neta nula energía constante
dis · dP
J E
Ejercicio 5.14: balance energético (I)
gen fem ggendt
W P I
V
IJ, E, D
I0
0 0V I
2R I
12
· deU D E
gen dis 0 edUtd
P P
220
0; cte.2 2SVCV Ua
0 0V I
V
R
C
V0
I0
I
C2C1
IC =0Q0 Q0
Wgen
Q
Q
UeQdt
C1:z=0
C2:z=a Z
+ V0
Wgen
Ue
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V(t)
R I(t)
C2
Q1(t) Q1(t)
C1
CiC (t)
t0
V0
V(t)
En régimen no estacionariopotencia disipada en región efecto Joule en medio óhmico
energía almacenada en región :comportamiento dieléctrico
el generador no suministra energía
balance energético en : potencia disipada variación de Ue
energía disipada en el proceso:
dis ( ) · dtP
J E
Ejercicio 5.14: balance energético (II)
gen fem ggend 0W t P I
I(t)
12
( ) · de tU D E
Q
Q
Ue(t)Q
dt
C1:z=0
C2:z=a Z
+ V0 t0
J(t),E(t),D(t)2 20
2( )
tRI t V eS
a
2 20
2
2 2( )
tSC V t V ea
Ue(t)
2gen dis 0
2( ) 00
et dUSP P t V ea dt
disdis 0( ) dP tW t
2
00 2 USV a