Universidad Simón Bolívar
Departamento de Procesos y Sistemas
Guía de Ejercicios de Sistemas de Control Avanzados
PS-4313
Prof. Alexander Hoyo http://prof.usb.ve/ahoyo
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ÍNDICE
Pág. Transformada de Laplace 3 Transformada Inversa de Laplace y Resolución de Ecuaciones
Diferenciales 5 Funciones de Transferencia 6 Simplificación de Diagramas en Bloques 7 Modelaje Matemático de Sistemas Mecánicos 9 Modelaje Matemático de Sistemas Eléctricos 11 Modelaje Matemático de Sistemas de Nivel de Líquido 14 Análisis de la Respuesta Transitoria de Sistemas 16 Análisis del Error en Estado Estacionario 20
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TRANSFORMADA DE LAPLACE 1. Para cada función temporal, determine por tabla la Transforma de Laplace
correspondiente:
a. [ ] )()cos()(sen)( 21
21
21 tutetetf tt ⋅−−= −−
b. [ ] )()(3
85
25
925
310 tueettf tt ⋅++−= −−
c. [ ] )()(sen)( tuwttf ⋅+= ϕ
d. [ ] )()12cos(1)(4.0 tutetf t ⋅−= −
e. [ ] )()4(sen)( 3 tuttf ⋅+= π
f. [ ] )(1)(2 tuettf at ⋅−= −
g. [ ] )()( tuBeAetf btat ⋅+= −−
h. [ ] )()2(sen2)()(3 tuteettf tt ⋅++= −−δ
i. [ ] )(124)(2 tutttf ⋅−+=
j. )2cosh()( ttf =
2. Determine la Transforma de Laplace de las siguientes funciones aplicando la
definición de la Transformada:
LLLL12 [ ] ∫∞
−=0
)()( dttfetf st
a.
≥
<=
02
00)(
2tt
ttf
b.
≥
<=
0)2cos(3
00)(
tt
ttf Utilizar ( )ϕϕϕ jj ee −+=
2
1cos
c.
≥
<=
0
00)(
21 tt
ttf
d.
≤≤
<=
211
10)(
t
ttf
e.
>
≤≤
<
=
20
20
00
)(
t
tt
t
tf
f.
>
≤≤
<
=−
2
20
00
)(
te
tk
t
tft
constante→k
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3. Determine la Transforma de Laplace de la función aplicando el teorema de diferenciación compleja:
LLLL12 [ ] )()(2
22
sFds
dtft =
≥
<=
0)cos(
00)(
2twtt
ttf
4. Hallar la Transformada de Laplace de la siguiente función:
≥
<=
−0
00)(
2tet
ttf
at
5. Obtener la Transformada de Laplace de la función que se muestra en la siguiente figura (rampa trasladada):
6. Obtenga la Transformada de Laplace de la función )(tf que se muestra en la figura:
1 2
1
)(tf
)(segt 0
1 2
1
)(tf
)(segt 0
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TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE Y RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES 1. Determine la función del tiempo )(tf correspondiente a cada función )(sF
a. )10(
)5(10)(
+
+=
ss
ssF
b. )4(
2010)(
2 +
+=
ss
ssF
c. 256
25)(
2 ++=
sssF
d. 2
)4(
55)(
+
+=
ss
ssF
e. )1(
1)(
2 +
−=
ss
ssF
f. )3)(2(
)1(5)(
++
+=
ss
ssF
g. )5)(1(
6)(
++=
sssF
h. )2(
1)(
−=
sssF
i. )1(
1)(
2 −=
sssF
j. 4
32)(
2 −
+=
s
ssF
k. 23
795)(
2
23
++
+++=
ss
ssssF
l. )4(
1)(
2 +=
sssF
m. )1(
1)(
22 +=
sssF
n. 2)1(
1)(
2 ++=
ssF
2. Resuelva cada una de las ecuaciones diferenciales:
a. 3)0`(;0)0(:.
0)(2)(')(''
==
=−+
yyInicialesCond
tytyty
b. 3)0`(;0)0(:.
)(3)('4)(''
==
=+
xxInicialesCond
txtxtx
c. 7)0`(;1)0(:.
0)(3)('2)(''
==
=−+
yyInicialesCond
tytyty
d. 2)0`()0(:.
)(8)('4)(''
==
−=+
xxInicialesCond
txtxtx
e. 8)0`(;1)0(:.
)(8)('2)(''
==
=+
yyInicialesCond
tytyty
f. 0)0`(;2)0(:.
)(2)(8)('4)(''
==
=++
xxInicialesCond
ttxtxtx δ
g. 4)0`(;0)0(:.
0)(3)('2)(''
==
=−+
xxInicialesCond
txtxtx
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h. 0)0`()0(:.
)()()(''2
==
=+
xxInicialesCond
ttxtx δ
i. [ ]
3)0`(;0)0(:.
)(6)('3)(''
==
+−=
xxInicialesCond
txtxtx
FUNCIONES DE TRANSFERENCIA 1. Obtener la función de transferencia del sistema definido por las siguientes
ecuaciones:
B
thty
tytxtAh
)()(
)()()('
=
−=
Asumir A y B como constantes )(th salida del sistema, 0)0( =h
)(tx entrada del sistema
2. Repetir el ejercicio anterior tomando como salida del sistema a )(ty
3. Obtener la función de transferencia del sistema definido por la siguiente ecuación
diferencial, )(ty es la salida y )(tx es la entrada, asumir todas las condiciones
iniciales en cero (a, b y c son constantes):
[ ] [ ])()()()(')('' tytxctxtybtay −+−−=
4. Determine la función de transferencia )(
)(
sV
sV
i
o del sistema definido por las ecuaciones
(L, R y C son constantes, asumir todas las condiciones iniciales en cero):
∫
∫
=
=++
)()(1
)()(1
)()(
tvdttiC
tvdttiC
tRidt
tdiL
o
i
5. Determine la función de transferencia )(
)(
1
2
sX
sX del sistema definido por las siguientes
ecuaciones, asumiendo todas las condiciones iniciales en cero (m, k1, k2 y b son constantes):
[ ]
[ ] )(')()(
0)()()()(''
2211
122111
tbxtxtxk
txktxtxktmx
=−
=+−+
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SIMPLIFICACIÓN DE DIAGRAMAS EN BLOQUES
1. Obtener la función de transferencia total )(
)(
sR
sCde los sistemas representados por los
siguientes diagramas de bloques:
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MODELAJE MATEMÁTICO DE SISTEMAS MECÁNICOS
1. Obtener la función de transferencia )(
)(sR
sX del siguiente sistema (Asumir las
condiciones iniciales en cero):
2. Obtener las funciones de transferencia )(
)(1
sRsX
, )(
)(2
sRsX
de los siguientes
sistemas (Asumir las condiciones iniciales en cero)::
3. Determinar la respuesta )(tx del siguiente sistema mecánico, sabiendo que:
[ ][ ][ ]
[ ]Nttr
msNb
mNk
Kgm
)(10)(
/8
6
2
δ⋅=
−=
−=
=
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4. Dado el siguiente sistema mecánico traslacional:
Donde: m masa [1 Kg] k ctte. Resorte [20 N-m] b coef. de fricción viscosa del amortiguador [9 N-seg/m] Obtener la función de transferencia
)(
)(
sP
sX asumiendo todas las condiciones
iniciales en cero. Determine la función del tiempo correspondiente de )(tx si la entrada es
ttp 10)( =
5. Dado el siguiente sistema, obtener las funciones de transferencia )(
)(1
sRsY
,
)()(
1
sRsY
asumiendo las condiciones iniciales en cero.
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MODELAJE MATEMÁTICO DE SISTEMAS ELÉCTRICOS 1. Obtener la ecuación diferencial de cada uno de los sistemas eléctricos mostrados y
hallar la magnitud especificada en el circuito en función de R, L, C y V:
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2. Hallar la función de transferencia )(
)(
sV
sV
i
o en cada uno de los circuitos:
3. Dada el siguiente circuito eléctrico, hallar las funciones de transferencia )(
)(sV
sI
g
,
)()(
sVsV
g
L y )(
)(sV
sV
g
R . Hallar la expresión de la corriente )(ti si )(5)( tutvg = .
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4. Para el sistema de control de armadura del servomotor de corriente directa (DC) mostrado en la siguiente figura:
Donde:
Ra=Resistencia de Armadura [36 Ω] La=Inductancia de Armadura [1 H]
ia=Corriente de Armadura [A] if= Corriente de campo [A]
ea=Tensión de Armadura [V] eb=Fuerza Contra-electromotriz [V]
θ=Desplazamiento Angular [rad] T=Par desarrollado por motor [N-m]
J=Inercia [1 Kg-m2]
b=Coeficiente de Fricción [9 N-m/rad/seg] K Constante [13]
Kb Constante de Fuerza C-E [2]
Y sabiendo que la función de transferencia que relaciona al desplazamiento angular
)(tθ y la tensión de armadura )(tea
es:
))(()(
)(2
baaaaa KKbRsJRbLJsLs
K
sE
s
++++=
Θ
Obtener la expresión matemática de )(tθ si )(10)( tutea
= .
5. Hallar la función de transferencia )(
)(
sV
sV
i
o en el siguiente circuito eléctrico:
6. Hallar la función de transferencia )(
)(
1
2
sV
sV en función de R1, R2, L y C en el siguiente
circuito eléctrico:
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MODELAJE MATEMÁTICO DE SISTEMAS DE NIVEL
1. Obtener las funciones de transferencia )(
)(sQ
sQ
i
o y )(
)(sQ
sH
i
del siguiente
sistema, asumiendo que el flujo es laminar.
2. Dado el siguiente sistema determinar la función de transferencia )(
)(sQ
sQ
i
o .
3. En el siguiente sistema, los tanques poseen la misma capacitancia, determine la
función de transferencia )(
)(sQ
sQ
i
o .
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4. Determine las funciones de transferencia )(
)(sQ
sQ
i
o , )(
)(2
sQsH
i
, )(
)(1
sQsQ
i
y
)()(
1
sQsH
i
del sistema:
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ANÁLISIS DE LA RESPUESTA TRANSITORIA DE SISTEMAS
1. Dado el siguiente sistema realimentado, determine el tiempo de estabilización st
para el valor de K indicado. Cuanto varía el st
cuando 25=K .
15.0
2)(
+=
ssG
1)( =sH
2. Dado los sistemas de segundo orden, especificar el tipo de amortiguamiento,
determinar los valores de nw
, ζ y obtener la respuesta temporal del sistema.
a)
b)
c)
d)
3. En el sistema mostrado, determine los valores de K y b de modo que el sistema
tenga una relación de amortiguamiento 7.0=ζ y un frecuencia natural no
amortiguada segrad
nw 4= .
4. Determine el valor de b en el sistema de modo que la relación de amortiguamiento
sea 0.5. Luego obtenga el tiempo de crecimiento, tiempo de pico, % de
sobreimpulso máximo y tiempo de estabilización.
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5. Hallar el valor de K para que el sistema en lazo cerrado presente un
amortiguamiento crítico. Hallar el rango de valores de K para que el sistema este
sub-amortiguado y para que este sobre-amortiguado.
6. Hallar la función de transferencia de lazo cerrado del siguiente sistema.
• Si 5.02
=K , hallar el valor de 1
K para que el sistema este críticamente
amortiguado.
• Si 12
=K y 21
=K , especifique que tipo de amortiguamiento posee el sistema,
cual es el valor de la relación de amortiguamiento ζ en este caso.
• Para los casos anteriores determine la expresión matemática de la respuesta
temporal del sistema )(tc si se le aplica al sistema una entrada de posición.
7. Dado el siguiente sistema determine la expresión de la respuesta temporal del
sistema a una entrada escalón unitario. Especificar el tipo de amortiguamiento y
determinar nw
, ζ .
8. Hallar la función de transferencia de lazo cerrado y determine la respuesta temporal
del sistema a una entrada escalón unitario. Determinar nw
, ζ .
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9. Determine los valores de ζ y n
w de modo que el sistema mostrado responda a una
entrada escalón unitario con aproximadamente 5% de sobreimpulso máximo y un
tiempo de estabilización de 2 segundo.
10. Dadas las gráficas de la respuesta temporal de sistemas a un escalón unitario,
estimar los valores de pt , r
t , pM% y s
t en cada caso.
Escala de tiempo en segundos
a.
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b.
c.
11. Dado el siguiente sistema, hallar el valor de K para que el sistema responda con un
sobreimpulso máximo de 10%.
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ANÁLISIS DEL ERROR EN ESTADO ESTACIONARIO DE SISTEMAS 1. Dado el sistema realimentado, calcular el valor de la ganancia del controlador
proporcional para obtener un error en estado estacionario de 5%.
12
1)(
+=
ssG
2. Considere un sistema con realimentación unitaria y función de transferencia de lazo
abierto:
)()(
BJss
KsG
+=
a. Determinar el tipo de sistema. b. Hallar la función de transferencia en lazo cerrado. c. Si se aplica en la entrada R(s) una rampa unitaria, hallar la expresión en el
dominio de Laplace del error E(s). d. Hallar la constante de error estático de velocidad Kv y el ess.
3. Considere el sistema con realimentación unitaria y cuya función de transferencia de
lazo cerrado es:
bass
bKs
sR
sC
++
+=
2)(
)(
a. Determine la función de transferencia de lazo abierto G(s). b. Determine el error en estado estacionario para una rampa unitaria. c. ¿Qué le pasa al ess si K=a?
4. Dado el sistema, si la función de transferencia )(sG es la especificada y la función
de transferencia del controlador (Control PID – Proporcional Integral Derivativo) es:
++= sT
sTKsG d
i
pc
11)( con 4=pK , 5=
iT y 2=
dT .
)10)(1(
1)(
++=
ssssG
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a. Determine el tipo de sistema. b. Hallar el error en estado estacionario si se aplica una entrada de aceleración. c. Determine el error en estado estacionario si se anula la acción integral en el
controlador ( )∞→i
T . 5. Hallar el error en estado estacionario en el siguiente sistema si la función de
transferencia )(sG es la especificada.
12
1)(
2 ++=
sssG
a. Para una entrada de posición. b. Para una entrada de velocidad. c. Para una entrada de aceleración.
6. Hallar el error en estado estacionario en el sistema, para cada controlador )(sG
c si
la función de transferencia )(sG es la especificada, 2
1)(
ssR = .
absssG
++=
2
1)(
a. )1()( sTKsGdc
+= Control PD Proporcional Derivativo
b.
+=
sTKsG
i
c
11)(
Control PI Proporcional Integral
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7. Considere un sistema con realimentación unitaria como el mostrado:
23
10)(
+=
ssG
Parte a)
23)(
+=
s
KsG
Parte b)
a. Si se aplica una entrada de posición, determine el error en estado estacionario
y el tiempo de estabilización. b. Cuanto debe ser K para que el sistema tenga un error en estado estacionario
del 1%. En estas condiciones, cual es el tiempo de estabilización del sistema.
8. Dado el siguiente sistema, determine el valor de K para que el error en estado
estacionario ante una entrada escalón unitario sea del 2% y determine el valor del
tiempo de estabilización del sistema.
9. Dado el siguiente sistema determine, el error en estado estacionario y las constantes
de error estático de posición, velocidad y aceleración.