UNIVERSIDAD INTERAMERICANA DE PUERTO RICO
RECINTO DE GUAYAMA
PROF. FEDERICO A. MEJIA PARDO
RAZONAMIENTO CUANTITATIVO: GEMA 1000
PROYECTO TITULO V COOPERATIVO
MODULO: RAZONES Y PROPORCIONES
BOTONES DE ACCION
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OBJETIVOS
• 1. Expresar la razón de dos cantidades como un cociente en los términos mas simples.
• 2. Expresar la razón de dos cantidades con las mismas unidades.
• 3. Expresar la razón de dos cantidades con diferentes unidades.
• 4. Resolver problemas sobre razones.
OBJETIVOS
• 5. Encontrar los extremos y los medios en una proporción.
• 6. Determinar cuándo un par de razones forman una proporción.
• 7. Aplicar la propiedad fundamental para resolver una proporción.
• 8. Resolver problemas sobre proporciones.
PRE-PRUEBA
• 1. Exprese la razón de 16 metros a 64 metros en los términos más simples.
• 2. Exprese la razón de 6 pulgadas a 3 pies en los términos más simples.
• 3. Juan conduce su carro 75 millas y usa 3 galones de gasolina. Exprese lo anterior como una razón.
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PRE-PRUEBA
• 4. Supongamos que 420 galones de agua fluyen por una tubería en 15 minutos. Exprese la razón de galones a minutos en los términos más simples.
• 5.Encuentre los extremos y los medios en la siguiente proporción:
240
48
60
12
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PRE-PRUEBA
• 6. Determine si el par de razones forman una proporción:
• 7. Resuelva la proporción:
• 8. Un pedazo de cable de 90 ft cuesta $60. ¿Cuánto cuesta 300 ft del mismo cable?
64
83
x
16
9,
15
8
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PRE-PRUEBA
• 9. Juan recorre 120 millas con 3 galones de gasolina. ¿Cuántos galones necesitará Juan para recorrer 720 millas?
• 10 . Una propiedad cuyo valor es de $48,000 paga $800 de impuesto. ¿Cuánto paga de impuesto otra propiedad cuyo valor es de $120,000?
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PRE-PRUEBA
• 11. Un estudiante contestó 60 preguntas correctas de un total de 80. ¿Qué por ciento de preguntas contestó correctamente?
• 12. Pedro compró un carro por $14,000. Si Pedro pagó $2,100 de pronto, ¿qué por ciento pagó Pedro de pronto?
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CONTENIDO
• RAZONES• ACTIVIDAD I• PROPORCIONES• TERMINOS DE LA PROPORCION• PROPIEDAD FUNDAMENTAL• ACTIVIDAD II• PROBLEMAS VERBALES• ACTIVIDAD III
RAZONES
• El concepto de razón se utiliza para comparar dos cantidades a y b.
• La razón de la cantidad a a la cantidad b es el cociente de a sobre b, el cual puede ser escrito de dos formas diferentes:
también
ba :b
a
RAZONES• Ejemplo 1: exprese la razón de 18 a 27 en los
términos más simples.
• Solución: primero escribimos la razón en forma de cociente y luego lo simplificamos:
3
2
27
1827:18
RAZONES
• Ejemplo 2: exprese la razón de 5 pies a 25 pies en los términos más simples.
• Solución: primero escribimos la razón en forma de cociente y luego lo simplificamos:
• Otra forma de la respuesta es 1:7
7
1
35
5
pies
pies
RAZONES
Si las cantidades a ser comparadas incluyen unidades, en lo posible deben ser expresadas en la misma forma.
Ejemplo 3: exprese la razón de 2 pies a 30 pulgadas en los términos más simples.
Solución: primero efectuamos la conversión de pies a pulgadas y luego escribimos la razón como un cociente y lo simplificamos:
• Como 1 pie = 12 pulgadas, entonces 2 pies = 24 pulgadas
RAZONES
• Ejemplo 3 (Continuación)
• Podemos observar cómo se cancelan las mismas unidades(pulgadas) en la respuesta final.
• Otra forma de la respuesta es 4:5
5
4
lg30
lg24
lg30
2
adaspu
adaspu
adaspu
pies
RAZONES
Ejemplo 4: exprese la razón de 50 cm (centímetros) a 2 m (metros) en los términos más simples.
Solución: primero efectuamos la conversión de metros (m) a centímetros (cm) y luego expresamos la razón como un cociente y lo simplificamos:
Como 1 m = 100 cm, entonces 2 m = 200 cm
RAZONES
Ejemplo 4 (Continuación)
Podemos observar cómo se cancelan las mismas unidades (cm) en la respuesta final
Otra forma de la respuesta es 1:4
4
1
200
50
2
50
cm
cm
m
cm
RAZONES
Ejemplo 5: Juan conduce su carro 150 millas y usa 6 galones de gasolina. Exprese la razón de millas a galones en los términos más simples.
Solución: podemos observar que las unidades de millas y galones no son compatibles, y por lo tanto no se pueden simplificar.
Por otro lado, expresamos la razón como un cociente y lo simplificamos:
RAZONES
Ejemplo 5 (Continuación)
Podemos observar que el carro de Juan rinde 25 millas por galón.
Otra forma de la respuesta es 25 millas :1 galón
galon
millas
galones
millas
1
25
6
150
RAZONES
• Ejemplo 6: Supongamos que 160 galones de agua fluyen por una tubería en 5 minutos. Exprese la razón de galones a minutos en los términos más simples.
• Solución: podemos observar que las unidades de galones y minutos no son compatibles, y por lo tanto, estas unidades no se pueden simplificar.
Por otro lado, expresamos la razón como un cociente y lo simplificamos:
RAZONES
Ejemplo 6 (Continuación)
• Podemos observar que por la tubería fluyen 32 galones por minuto. Otra forma de la respuesta es
32 galones : 1 minuto
uto
galones
utos
galones
min1
32
min5
160
ACTIVIDAD I
• 1. Exprese la razón de 20 a 28 en los terminos más simples.
• 2.Exprese la razón de 9 metros a 36 metros en los términos más simples.
• 3. Exprese la razón de 15 pulgadas a 3 pies en los términos más simples.
ACTIVIDAD I
• 4. Exprese la razón de 40 centímetros a 3 metros en los términos más simples.
• 5. Juan conduce su carro 240 millas y usa 8 galones de gasolina. Exprese la razón de millas a galones en los términos más simples.
• 6. Supongamos que 220 galones de aceite fluyen por una tubería en 20 minutos. Exprese la razón de galones a minutos en los términos más simples.
PROPORCIONES
Decimos que una proporción es la igualdad de dos
razones. Por ejemplo, son proporciones:
4
3
12
9
d
c
b
a
24
20
6
5
TERMINOS DE LA PROPORCION
En la proporción:
• a es el primer término, b es el segundo término, • c es el tercer término, d es el cuarto término.• a y d se llaman los extremos de la proporción.• b y c se llaman los medios de la proporción.
d
c
b
a
TERMINOS DE LA PROPORCION
• Ejemplo 1: en la proporción:
• 14 es el primer término, 28 es el segundo término,• 1 es el tercer término, 2 es el cuarto término.• 14 y 2 son los extremos de la proporción.• 1 y 28 son los medios de la proporción.
2
1
28
14
TERMINOS DE LA PROPORCION
• En el ejemplo anterior, podemos observar que si
entonces
• Por lo que podemos concluir que los extremos de la primera proporción ( 14 y 2 ) son los medios de la segunda proporción ( 2 y 14 ) y viceversa.
28
14
2
1
2
1
28
14
PROPIEDAD FUNDAMENTAL
• En toda proporción, el producto de extremos es igual al producto de medios.
• En la proporción:
• Tenemos que:
d
c
b
a
bcad
PROPIEDAD FUNDAMENTAL• Ejemplo 2: en la proporción:
• Por la propiedad fundamental tenemos que:
35
15
7
3
157353 xx
PROPIEDAD FUNDAMENTAL• Podemos aplicar la propiedad fundamental para
determinar si un par de razones forman una proporción.
• Ejemplo 3: determine si el par de razones forman una proporción:
• Forman una proporción ya que:
15
10,3
2
103152 xx
PROPIEDAD FUNDAMENTAL
• Ejemplo 4: determine si el par de razones forman una proporción:
• No forman una proporción, ya que:
3
2,6
9
2639 xx
PROPIEDAD FUNDAMENTAL
• También podemos aplicar la propiedad fundamental para resolver una proporción, es decir, encontrar el término desconocido de la proporción (encontrar x).
• Ejemplo 5: resuelva la proporción:
12
8
3
x
PROPIEDAD FUNDAMENTAL• Solución: aplicamos la propiedad fundamental de las proporciones y
resolvemos la ecuación resultante:
• Solución:
•
8.312 x
2412 x
12
24
12
12
x
2x
PROPIEDAD FUNDAMENTAL
• Ejemplo 6: resuelva la proporcción:
• Aplicamos la propiedad fundamental de las proporciones y resolvemos la ecuación resultante:
Solución:
x
5
3
10
1510 x10
15
10
10
x 5.1x
ACTIVIDAD II
• 1. Determine si el par de razones forman una proporción:
• 2. Determine si el par de razones forman una proporción:
• 3. Encuentre los extremos y los medios en la siguiente proporción:
43
74,
41
83
9
25,
45
125
12
27
4
9
ACTIVIDAD II
• 4. Resuelva la proporción:
• 5. Resuelva la proporción:
9
7
18
x
64
83
x
PROBLEMAS VERBALES
• Ejemplo 1: Un pedazo de cable de 180 ft cuesta $63. ¿Cuánto cuesta 450 ft del mismo cable?
• Solución: organizamos la información como una proporción donde x representa la cantidad desconocida. Luego resolvemos la proporción.
PROBLEMAS VERBALES
• Ejemplo 1 (Continuación)
• Al resolver la proporción obtenemos x = $157.50• Un pedazo de cable de 450 ft cuesta $157.50
xft
ft 63$
450
180
PROBLEMAS VERBALES
• Ejemplo 2: Una propiedad cuyo valor es de $32,000 paga $600 de impuesto. ¿Cuánto paga de impuesto otra propiedad cuyo valor es de $96,000?
• Solución: organizamos la información como una proporción donde x representa la cantidad desconocida. Luego resolvemos la proporción.
PROBLEMAS VERBALES
• Ejemplo 2 (Continuación)
• Al resolver la proporción obtenemos x = $1,800• La propiedad cuyo valor es de $96,000 paga
$1,800 de impuesto.
x
600$
000,96$
000,32$
PROBLEMAS VERBALES
• Ejemplo 3: Juan recorre 150 millas con 5 galones de gasolina. ¿Cuántos galones necesitará Juan para recorrer 750 millas?
• Solución: organizamos la información como una proporción donde x representa la cantidad desconocida. Luego resolvemos la proporción.
PROBLEMAS VERBALES
Ejemplo 3 (Continuación)
• Al resolver la proporción obtenemos x = 25 galones• Juan necesitará 25 galones para recorrer 750 millas
x
galones
millas
millas 5
750
150
PROBLEMAS VERBALES
• Ejemplo 4: Un estudiante contestó 27 preguntas correctas de un total de 30. ¿Qué por ciento de preguntas contestó correctamente?
• Solución: organizamos la información como una
proporción donde representa el por ciento
de preguntas que el estudiante contestó correctamente.
100
x
PROBLEMAS VERBALES
Ejemplo 4 (Continuación)
• Al resolver la proporción obtenemos x = 90• El estudiante contestó correctamente el 90% de las
preguntas
10030
27 x
PROBLEMAS VERBALES
Ejemplo 5: Pedro compró un carro por $12,000. Si Pedro pagó $1,800 de pronto, ¿qué por ciento pagó Pedro de pronto?
• Solución: organizamos la información como una
proporción donde representa el por ciento
que Pedro pagó de pronto.100
x
PROBLEMAS VERBALES
• Ejemplo 5 (Continuación)
• Al resolver la proporción obtenemos x = 15• Pedro pagó el 15% de pronto.
100000,12$
800,1$ x
ACTIVIDAD III
• 1.Un pedazo de cable de 120 metros cuesta $45. ¿Cuánto cuesta 360 metros del mismo cable?
• 2.Un carro cuyo valor es de $18,000 paga $1,600 de impuesto. ¿Cuánto paga de impuesto otro carro cuyo valor es de $40,000?
ACTIVIDAD III
• 3. María recorre 140 kilómetros con 8 galones de gasolina. ¿Cuántos galones necesitará María para recorrer 700 kilómetros?
• 4. Un equipo ganó 12 juegos de pelota de un total de 20. ¿Qué por ciento de juegos ganó el equipo?
• 5. Carlos compró una computadora por $1,200. Si Carlos pagó $300 de pronto, ¿qué por ciento pagó Carlos de pronto?
POST-PRUEBA
• 1. Exprese la razón de 16 metros a 64 metros en los términos más simples.
• 2. Exprese la razón de 6 pulgadas a 3 pies en los términos más simples.
• 3. Juan conduce su carro 75 millas y usa 3 galones de gasolina. Exprese lo anterior como una razón.
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POST-PRUEBA
• 4. Supongamos que 420 galones de agua fluyen por una tubería en 15 minutos. Exprese la razón de galones a minutos en los términos más simples.
• 5.Encuentre los extremos y los medios en la siguiente proporción:
240
48
60
12
VER RESPUESTAS
POST-PRUEBA
• 6. Determine si el par de razones forman una proporción:
• 7. Resuelva la proporción:
• 8. Un pedazo de cable de 90 ft cuesta $60. ¿Cuánto cuesta 300 ft del mismo cable?
16
9,
15
8
64
83
x
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POST-PRUEBA
• 9. Juan recorre 120 millas con 3 galones de gasolina. ¿Cuántos galones necesitará Juan para recorrer 720 millas?
• 10 . Una propiedad cuyo valor es de $48,000 paga $800 de impuesto. ¿Cuánto paga de impuesto otra propiedad cuyo valor es de $120,000?
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POST-PRUEBA
• 11. Un estudiante contestó 60 preguntas correctas de un total de 80. ¿Qué por ciento de preguntas contestó correctamente?
• 12. Pedro compró un carro por $14,000. Si Pedro pagó $2,100 de pronto, ¿qué por ciento pagó Pedro de pronto?
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POST-PRUEBA:RESPUESTAS
• 1. Exprese la razón de 16 metros a 64 metros en los términos más simples. Resp: 1:4
• 2. Exprese la razón de 6 pulgadas a 3 pies en los términos más simples. Resp: 1:6
• 3. Juan conduce su carro 75 millas y usa 3 galones de gasolina. Exprese lo anterior como una razón. Resp: 25 millas : 1 galón
POST-PRUEBA:RESPUESTAS
• 4. Supongamos que 420 galones de agua fluyen por una tubería en 15 minutos. Exprese la razón de galones a minutos en los términos más simples.
Resp: 28 galones : 1 minuto
• 5.Encuentre los extremos y los medios en la siguiente proporción:
• Resp: extremos: 12 y 240 medios: 60 y 48 240
48
60
12
POST-PRUEBA:RESPUESTAS
• 6. Determine si el par de razones forman una proporción: Resp: NO
• 7. Resuelva la proporción: Resp: x = 24
• 8. Un pedazo de cable de 90 ft cuesta $60. ¿Cuánto cuesta 300 ft del mismo cable?
Resp: $200
16
9,
15
8
64
83
x
POST-PRUEBA:RESPUESTAS
• 9. Juan recorre 120 millas con 3 galones de gasolina. ¿Cuántos galones necesitará Juan para recorrer 720 millas?
Resp: 18 galones
• 10 . Una propiedad cuyo valor es de $48,000 paga $800 de impuesto. ¿Cuánto paga de impuesto otra propiedad cuyo valor es de $120,000?
Resp: $2,000
POST-PRUEBA:RESPUESTAS
• 11. Un estudiante contestó 60 preguntas correctas de un total de 80. ¿Qué por ciento de preguntas contestó correctamente?
Resp: 75%
• 12. Pedro compró un carro por $14,000. Si Pedro pagó $2,100 de pronto, ¿qué por ciento pagó Pedro de pronto?
Resp: 15%
PRE-PRUEBA:RESPUESTAS
• 1. Exprese la razón de 16 metros a 64 metros en los términos más simples. Resp: 1:4
• 2. Exprese la razón de 6 pulgadas a 3 pies en los términos más simples. Resp: 1:6
• 3. Juan conduce su carro 75 millas y usa 3 galones de gasolina. Exprese lo anterior como una razón. Resp: 25 millas:1galon
PRE-PRUEBA:RESPUESTAS
• 4. Supongamos que 420 galones de agua fluyen por una tubería en 15 minutos. Exprese la razón de galones a minutos en los términos más simples.
Resp: 28 galones: 1 minuto
• 5.Encuentre los extremos y los medios en la siguiente proporción
Resp: extremos: 12 y 240 medios: 60 y 48
240
48
60
12
PRE-PRUEBA:RESPUESTAS
6. Determine si el par de razones forman una proporción: Resp: NO
• 7. Resuelva la proporción: Resp: x = 24
• 8. Un pedazo de cable de 90 ft cuesta $60. ¿Cuánto cuesta 300 ft del mismo cable?
Resp: $200
16
9,
15
8
64
83
x
PRE-PRUEBA:RESPUESTAS
• 9. Juan recorre 120 millas con 3 galones de gasolina. ¿Cuántos galones necesitará Juan para recorrer 720 millas?
Resp: 18 galones
• 10 . Una propiedad cuyo valor es de $48,000 paga $800 de impuesto. ¿Cuánto paga de impuesto otra propiedad cuyo valor es de $120,000?
Resp: $2,000
PRE-PRUEBA:RESPUESTAS
• 11. Un estudiante contestó 60 preguntas correctas de un total de 80. ¿Qué por ciento de preguntas contestó correctamente?
Resp: 75%
• 12. Pedro compró un carro por $14,000. Si Pedro pagó $2,100 de pronto, ¿qué por ciento pagó Pedro de pronto?
Resp: 15%