PROFESOR: JULIO BARRETO 1 MATERIA: MATEMÁTICA IV
UNIDAD II ECUACIONES DIFERENCIALES
ORIGEN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
Se dice que las ecuaciones diferenciales se originaron durante los siglos XVII y XVIII.
Más precisamente las ecuaciones diferenciales se originan en los principios del cálculo,
con Isaac Newton y Gottfried Wilheln Leibnitz en el siglo XVII. Newton clasificó las
ecuaciones de primer orden de acuerdo con las formas yfdx
dyxf
dx
dy , y
., yxfdx
dy En 1675 Leibnitz asentó en un papel la ecuación: .
2
1 2
yydy Y descubrió
el método de separación de variables, así como procedimientos para resolver las
ecuaciones homogéneas de primer orden y las ecuaciones lineales de primer orden. A
Newton y Leibnitz, siguieron la familia Bernoulli: Jacob, Johann y Daniel. Con ayuda
del cálculo formularon y resolvieron las ecuaciones diferenciales de muchos problemas
de mecánica. Entre ellos el de la braquistócroma que conduce a las ecuaciones no
lineales de primer orden .)(1 2 cyy
En aquel tiempo, pasar de la ecuación 2
1
322
3
ayb
ay a la forma diferencial y,
entonces, afirmar que las integrales en ambos lados de la ecuación debían ser iguales,
excepto por una constante, constituyó ciertamente un avance trascendental. Así por
ejemplo, mientras Johann sabía que
1
1
p
axddxax
pp no era para p = -1 no sabía que
xx
dxln . Sin embargo, pudo demostrar que la ecuación ,
ax
y
dx
dy que podemos
resolver escribiéndola como ,x
dx
y
dya y tiene la solución .c
x
y a
A principio del siglo XVIII Jacobo Riccati, matemático italiano, consideró ecuaciones
de la forma 0,, yyyf . Leonardo Euler, trabajó sobre el planteamiento de
problemas de la mecánica y su desarrollo de métodos de solución para estos problemas
matemáticos. También, mediante un cambio adecuado de variables, redujo ecuaciones
de segundo orden a ecuaciones de primer orden; Creó el concepto de factor integrante;
en 1739 dio un tratamiento general a las ecuaciones diferenciales lineales ordinarias
con coeficientes constantes; contribuyó al método de las soluciones en series de
potencias y dio un procedimiento numérico para resolver las ecuaciones diferenciales.
Posteriormente en el siglo XVIII, los grandes matemáticos franceses Joseph-Louis
Lagrange (1736-1813) y Pierre-Simon Laplace (1749-1827) hicieron importantes
aportaciones a la teoría de las ecuaciones diferenciales ordinarias y, además, dieron por
primera vez un tratamiento a las ecuaciones diferenciales parciales.
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ECUACIONES DIFERENCIALES
DEFINICIÓN: Una ecuación diferencial es una igualdad que contiene las derivadas de
una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes.
EJEMPLOS:
0
42
3
2
2
2
2
2
2
x
u
y
u
x
u
xydx
dy
dx
yd
eydx
dyx x
CLASIFICACIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES
Las ecuaciones diferenciales se clasifican según su tipo, orden y linealidad.
CLASIFICACIÓN DE ACUERDO AL TIPO:
i. LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS (EDO): Si una
ecuación diferencial sólo contiene derivadas ordinarias de una o más variables
dependientes con respecto a una sola variable independiente, entonces se dice que es
una ecuación diferencial ordinaria.
EJEMPLOS:
23 2 xxydx
dy
0)12()32( dyyxdxyx
ydx
dyx
dx
ydy 3
3
3
023 dx
dz
dx
dy
ii. LAS ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES (EDP): Toda ecuación
diferencial que contiene derivadas parciales de una o más variables dependientes
con respecto a dos o más variables independientes se denomina ecuación diferencial
parcial.
EJEMPLOS:
032
y
u
x
u
yx
u y xyz
zyx
u
y
u
x
ux
3
2
2
3
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OBSERVACIÓN: Más precisamente diremos que las ecuaciones diferenciales son:
ORDINARIAS: Cuando la función f depende de una sola variable.
PARCIALES: Cuando la función depende de varias variables.
CLASIFICACIÓN DE ACUERDO AL ORDEN:
DEFINICIÓN DEL ORDEN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL: El orden de
una ecuación diferencial le corresponde al de la derivada de mayor orden que aparece en
dicha ecuación.
i. Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden:
23 2 xxydx
dy
0)12()32( dyyxdxyx
03 xdx
dyy
ii. Ecuaciones Diferenciales Segundo Orden:
)(4´2´´3 xSenyyxy
032
y
u
x
u
yx
u
02´3´´ yyy
iii. Ecuaciones Diferenciales de Tercer Orden:
xyzzyx
u
y
u
x
ux
3
2
2
3
ydx
dyx
dx
ydy 3
3
3
1345´´2´´´ 22 xeyyy x
iv. Ecuaciones Diferenciales de Orden Superior:
253 34 xyyy
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CLASIFICACIÓN DE ACUERDO AL GRADO:
El grado de una ecuación diferencial ordinaria, que puede escribirse como un polinomio
en la variable dependiente y sus derivadas, y por tanto es la potencia a la cual esta
elevada su derivada de mayor orden.
Ejemplos:
.53
2
3
73
2
2
xdx
dyy
dx
dyy
dx
yd
Como es de Orden Dos, es una
Ecuación Diferencial de Tercer Grado.
.45
2
2
2
xydx
dy
dx
yd
Como es de Orden Dos, es una Ecuación Diferencial
de Primer Grado.
.03 2
34
4
ysendx
dyx
dx
yd
dx
yd No tiene grado a causa del término .ysen
¡Justifica¡
CLASIFICACIÓN DE ACUERDO A LA LINEALIDAD:
Se clasifican en Ecuaciones Diferenciales Lineales y No Lineales.
Las ecuaciones diferenciales lineales de orden n son todas aquellas que pueden
expresarse de la siguiente forma:
012
1
1 xfxyxaxyxaxyxaxxaxyxan
n
n
n
Si ,0xf la ecuación diferencial lineal es homogénea.
Si ,0xf la ecuación diferencial lineal es no homogénea.
Si nixai ,...,2,1,0),( son todos valores constantes, entonces la ecuación diferencial
lineal es de coeficientes constantes; caso contrario se dice que la ecuación diferencial lineal
es de coeficientes variables.
)()()()´()()´´()()´´´()(3
)()()()´()()´´()(2
)()()()´()(1
0123
012
01
xfxyxaxyxaxyxaxyxaorden
xfxyxaxyxaxyxaorden
xfxyxaxyxaorden
er
do
er
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En las ecuaciones lineales se observa las siguientes propiedades:
i. La variable dependiente y, y todas sus derivadas son de 1er
grado.
ii. Cada coeficiente depende solamente de la variable independiente x.
iii. Toda ecuación diferencial que no pueda expresarse en la forma (*) se llama
ecuación no lineal.
)ln(4´2´´´
)cos(2
)(
22
2
2
2
xyyy
xxyxdx
dy
dx
ydx
eyxsendx
dyx x
Ecuaciones Diferenciales No Lineales:
1
)(3
3
4
2
2
dx
dye
ysendx
dy
dx
yd
ydx
dy
edx
dyxy
xy
x
SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL ORDINARIA
DEFINICIÓN: Cualquier función definida en un intervalo I que posee al menos n
derivadas continuas en I, que al sustituirse en una ecuación diferencial ordinaria de
orden n reducen la ecuación a una identidad, es una solución de la ecuación en el
intervalo I.
SOLUCIÓN EXPLÍCITA: Se denomina solución explícita de
)´,...,,,( )1( n
n
n
yyyxfdx
yd en un intervalo I a toda función que al
sustituirse por y xy en la ecuación diferencial la satisface para
cualquier valor de x del intervalo I.
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Ejemplo: Sea 023 yyy donde .)( xex Al comprobar que la función
satisface la ecuación diferencial dada, puesto que: xex )( y .)( xex
Luego: 02323 xxx eeeyyy
Y se concluye que xex )( es solución explícita de la ecuación diferencial dada.
EJERCICIO: Dada la función )( 12 xx . Diga si es solución de la ecuación
diferencial ordinaria (EDO): 02
22
2
yxdx
yd
SOLUCIÓN IMPLÍCITA: La relación 0, yxG se denomina solución
implícita de la ecuación diferencial )´,...,,,( )1( n
n
n
yyyxfdx
yd en un
intervalo I, si es que la relación 0, yxG define una o más soluciones
explícitas de dicha ecuación diferencial en I.
EJEMPLO: Demostrar que 0 xyeyx es una solución implícita de la ecuación
diferencial: 011 xyxy ye
dx
dyxe
(*) En efecto: Derivando implícitamente:
xy
xyxyxyxy
xe
ye
dx
dyye
dx
dyxey
dx
dyxe
dx
dy
1
11)1(0)()1(
Sustituyendo en (*):
0111)1
1(*)1(
xyxyxy
xy
xyxy yeyeye
xe
yexe
0 xyeyx es solución implícita de (*)
EJERCICIO: La relación 0422 yx es una solución implícita de la ecuación
diferencial y
x
dx
dy
en el intervalo .22 x
REFERENCIA BIBLIOGRÁFICA
Porteles, A. (2000). Tópicos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. UPEL-
IPB.
Zill, D (2008). Ecuaciones diferenciales con aplicaciones. Grupo Editorial Ibero
América: México, D.F.