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UNIDAD 4
OPERACIONES CON POLINOMIOS
EJERCICIOS RESUELTOS
Objetivo general.
Al terminar esta Unidad resolvers ejercicios y problemas en los que
apliques las operaciones de suma, resta, multiplicacin y divisin de
polinomios.
Objetivo 1. Diferenciars monomios, binomios, trinomios y polinomios en general.
Ejercicios resueltos:
a.) Identifica con una P si la expresin es un polinomio
y con una X si no lo es: 5 661.) x yz
( )
( X )
2.) -x y ( )
( P )
23.) 5 6x x ( )
( P )
2
34.) 4x ya
( )
( X )
-
3 4
1
25.) a b cx
( )
( P )
b.) Identifica con una M si la expresin es un monomio, con una B si es un binomio y
con una T si es un trinomio:
1.) 7 - 9a b ( )
( B )
32.) -71a ( )
( M )
2 2 23 13.) -5 2
a b a b a b ( )
( T )
2 34.) x y a ( )
( M )
Objetivo 2. Identificars y determinars el grado de un monomio y el de un
polinomio.
Ejercicios resueltos:
Determina el grado de los polinomios:
1.) 3x y
La variable x est elevada a la tercera potencia, y la variable y a la primera. El
grado del monomio es 4.
2.) 3 27
12c p m
La suma de los exponentes de c, p y m es 3 + 2 + 1.
El grado del monomio es 6.
-
3.) 4 3P x x x x
El trmino de grado ms alto es el primero, que es de grado 4.
El polinomio es de grado 4.
4.) 5P x
En el polinomio solamente aparece una constante, diferente de cero.
El grado es 0.
5.) 4 3 2 4 54 6 4x x x y xy
Los trminos que aparecen en el polinomio son, respectivamente, de grados 4, 3,
6 y 6.
El polinomio es de grado 6.
Objetivo 3. Reducirs trminos semejantes en un polinomio.
Ejercicios resueltos:
Reduce los trminos semejantes:
1.) 2x x
2x x = 3x
2.) 1 12 2
a a
1 12 2
a a = a.
3.) 3 2 2 3 2 23 4 3 2x x y xy x yx y x
Agrupando los trminos se obtiene
3 3 2 2 2 23 2 4 3x x x y x y xy xy 3 2 23 4x x y xy
-
4.) 2 2 2 37 3 2m n m n nm m Reacomodando las variables en los trminos, queda
2 2 2 37 3 2m n m n m n m y agrupando
3 2 2 27 3 2m m n m n nm 3 25 2m m n
5.) 2 22 4 7 12xy xy Quitando parntesis y reagrupando queda
2 22 4 7 12xy xy
2 22 7 4 12xy xy 25 8xy
Objetivo 4. Determinars cundo dos polinomios son iguales.
Ejercicios resueltos:
Identifica, si lo hay, cul polinomio de la columna izquierda es igual al de la columna
derecha:
2 2 4 5
2 2 3 2 2 2 3
5 4 2 3 7 4 4 3 4
3 2 2 2 2
3 7 3 4 4 4 4 5 2
1.) 3 6 2 6 7
2.) 9 5 4
3.) 6 2 7 3 6 3
4.) 4 5 6 3
5.) 6 6 12 7 6 2
x xy x y y x
x y xy xyz x y xy yx
x y x y x y x y x y
xy xy x y yx x
x y x y x y y x yx
3
4
1
3
Objetivo 5. Recordars el procedimiento general para sumar y restar polinomios.
Ejercicios resueltos:
-
a) Sumas:
1.) Suma los monomios: 2 2 22 , 5 , 8 , 3 ,xy xy xy xy z .
Solucin: 2 2 22 5 8 3xy xy xy xy z
Se reducen los trminos semejantes:
2 22 8 5 3xy xy z
El resultado final es: 2 210 8xy xy z .
2.) Suma los monomios:
2 2 2 23 32 2 1 1, , , , ,5 4 3 2 10 3x xy y xy x y .
Solucin:
2 2 2 23 32 2 1 15 4 3 2 10 3x xy y xy x y Se reducen los trminos semejantes:
2 23 32 1 2 15 10 4 2 3 3x xy y El resultado es:
2 21 1 110 4 3x xy y .
3.) Suma los polinomios: 2 2 2 2 2 23 5 , 3 5 , 8 2x y xy xy x y xy x y .
Solucin:
2 2 2 2 2 23 5 3 5 8 2x y xy xy x y xy x y Se eliminan parntesis::
2 2 2 2 2 23 5 3 5 8 2x y xy xy x y xy x y
El resultado se obtiene al reducir los trminos semejantes: 2 24 6x y xy .
4.) Suma los polinomios: 2 23 4 , 2 3 2x y xy y x y xy y .
Solucin:
-
22
3 42 3 2
x y xy yx y xy y
24 2 4 2x y xy y
5.) Suma los polinomios: 2 2 2 24 6 3, 5 2 1, 2 4 12, 4 2x x x x x x x x .
Solucin: 2
2
2
2
4 6 32 5 12 4 12
2 4
x xx xx xx x
23 6x x
b) Restas:
1.) Resta: 4xy , de 2xy .
Solucin:
2 ( 4 )xy xy
Es decir:
2 4xy xy
Se reducen trminos semejantes y se obtiene:
2xy , que es el resultado final.
2.) Resta: 2 2 2 24 , de 3x y x y .
Solucin:
2 2 2 23 4x y x y Es decir:
2 2 2 23 4x y x y
Se reducen trminos semejantes y se obtiene: 2 27x y , que es el resultado final.
-
3.) Resta: 2 22 4 4, de 3 4 3x x x x .
Solucin:
2 23 4 3 2 4 4x x x x Es decir:
2 23 4 3 2 4 4x x x x
Se reducen trminos semejantes y se obtiene: 2 7x , que es el resultado final.
4.) Resta: 2 2 2 22 3 4, de 4 5x y y x y xy .
Solucin: 2 2
2 2
4 52 3 4
x y xyx y y
2 2 24 3 1x y xy y
5.) Resta: 2 26 3 4, de 9 3y y y y .
Solucin: 2
2
9 36 3 4
y yy y
215 6 4y y
Objetivo 6. Recordars la multiplicacin de monomios.
Ejercicios resueltos:
Multiplica los monomios que se dan:
1.) 5 4 23 2a b a b
5 4 23 2a b a b 5 2 4 16 2 1a b 7 56a b
-
2.) 2 3 22xy z x yz
2 3 22xy z x yz 1 3 2 1 1 22x y z 4 3 32x y z
3.) 4 32 4x x
4 32 4x x 4 38x 78x
Objetivo 7. Recordars la regla para la multiplicacin de polinomios por un
monomio.
Ejercicios resueltos:
Efecta los productos indicados:
2 3 21.) 3 por 6 5x x x
2 3 23 6 5x x x 2 3 2 23 6 3 5x x x x 5 418 15x x
22.) por 3 2x x yz
23 2x x yz 23 2x x x yz 2 23 2x xyz
2 4 3 2 3 2 23.) 6 2 por 2a b c a b c ab c
2 4 3 2 3 2 26 2 2a b c a b c ab c 2 4 3 2 2 2 3 2 26 2 2 2a b c ab c a b c ab c 3 6 5 3 5 312 4a b c a b c
Objetivo 8. Recordars el procedimiento general para la multiplicacin de
polinomios por polinomios.
Ejercicios resueltos:
Efecta las multiplicaciones indicadas:
-
21.) 4 por 3 2x x
24 3 2x x 2 24 3 2 3 2x x x
2 24 3 4 2 3 2x x x x 2 312 8 3 2x x x
3 22 8 3 12x x x
22.) 2 por 4 9 2x x x 24 9 2
2x x
x
28 18 4x x 3 24 9 2x x x
3 24 20 4x x x
2 23.) 5 3 por 5 3xy xy xy xy 2
2
5 35 3
xy xyxy xy
2 3 2 215 9x y x y 2 4 2 325 15x y x y
2 4 2 225 9x y x y
Objetivo 9. Recordars la divisin entre monomios.
Ejercicios resueltos:
Efecta las divisiones indicadas: 3 2 21.) 22 entre 4x y z xyz
-
3 2
2
224x y zxyz
3 2
2
224
x y zx y z
2112
x yz
5 7 3 22.) 12 entre 3a b ab c
5 7
3 2
123
a bab c
5 7
3 2
12 13
a ba b c
4 4
2
4a bc
3 2 3 2 2 23.) 18 entre 3p r t p r t
3 2 3
2 2 2
183
p r tp r t
3 2 3
2 2 2
183
p r tp r t
6 pt
Objetivo 10. Recordars la regla para la divisin de un polinomio entre un
monomio.
Ejercicios resueltos:
Efecta las divisiones indicadas: 21.) entrea ab a
2a aba 2a ab
a a a b
2 3 2 4 22.) 3 5 entre 3x y a x x
2 3 2 4
2
3 53
x y a xx
2 3 2 4
2 2
3 53 3x y a x
x x
3 2 25
3y a x
-
2 1 1 23.) 5 6 entrem m m m mx x x x x 2 1 1
2
5 6m m m mm
x x x xx
2 1 12 2 2 2
5 6m m m mm m m m
x x x xx x x x
4 2 35 6x x x x
Objetivo 11. Recordars el procedimiento general para la divisin de
polinomios entre polinomios.
Ejercicios resueltos:
1.) Divide: 2 2 3a a , entre 3a .
a 1 23 2 3a a a
2 3a a
3a
3a
0
2.) Divide: 5 212 5f x x x x , entre 2 2 5g x x x .
3x 22x x
2 5 4 3 22 5 0 0 12 5x x x x x x x
5 4 32 5x x x
4 3 22 5 12x x x 4 3 22 4 10x x x
3 22 5x x x
3 22 5x x x
0
-
3.) Divide: 3x xp a a a , entre 1q a a .
2xa 1xa xa
3 2 11 0 0x x x xa a a a a
3 2x xa a
2xa 2 1x xa a
1x xa a 1x xa a
0
4.) Divide: 2 21 5 16 36 6
a ab b , entre 1 13 2
a b
12
a 13
b
2 21 1 1 5 13 2 6 36 6
a b a ab b
21 16 4
a ab
21 19 6
ab b
21 19 6
ab b
0
Objetivo 12. Aplicars las operaciones con polinomios en la resolucin de
ejercicios algebraicos.
-
Ejercicios resueltos:
Obtn el resultado de las operaciones indicadas:
2 22 31.) 3 2 3a b ab ab b a ab
ab
2 22 3a b abab
2 3a b
y
3 2 3ab b a ab 2 2 2 26 9 2 6a b a b ab ab
2 2
2 2 2 2
Por tanto:
2 3 3 2 3
2 3 6 9 2 6
a b ab ab b a abab
a b a b a b ab ab
3 3 2 2 2 2
2 2 2 3 2 3
12 18 4 1218 27 6 18
a b a b a b a ba b a b ab ab
3 3 2 2 2 2 2 3 2 312 18 4 30 27 6 18a b a b a b a b a b ab ab
2 2 2 2 2 22 3 2 2 3 2 3 2
2.) 3 2 2 4
4 4 2 6 42
a b a ab a b b b ab
a b a a b ab ab ab a b ba b
2 2 2 2 2 22 3 2 2 3 2 3 2
Solucin:
3 2 2 4
4 4 2 6 42
a b a ab a b b b ab
a b a a b ab ab ab a b ba b
2 2 2 2 2 23 3 2 2 2 2 3 2
2 4 3 2
4 2 6 4 42
a a b a b ab ab b b
a a b a b a b ab ab ab ba b
-
Como:
2a 2a b 3ab 22ab 2b 3 3 2 2 2 2 3 22 4 2 6 4 4a b a a b a b a b ab ab ab b
3 22a a b
3 2 2 2 2 3 23 4 2 6 4 4a b a b a b ab ab ab b 3 2 22a b a b
2 2 2 2 3 23 2 2 6 4 4a b a b ab ab ab b 2 23 6a b ab
2 2 3 22 2 4 4a b ab ab b 2 2 32 4a b ab
22 4ab b 22 4ab b
0
2 2 2 2 2 2
3 3 2 2 2 2 3 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2
Entonces:
2 4 3 2
4 2 6 4 42
2 4 3 2
3 2 2
a a b a b ab ab b b
a a b a b a b ab ab ab ba b
a a b a b ab ab b b
a a b ab ab b
2 2 2 2 23 5 .a b a b ab ab b
3 2
2 3 2 2
3.)
5 5 22 3 1 2 3 2 4 32
x x xx x x x x x xx
-
2 3 2
Solucin:Como:
2 3 1 2 3 2x x x x x
2 3 22 3 1 2 3 2x x x x x 3 3x
y:
2x 3x -1
3 22 5 5 2x x x x
3 22x x
23 5 2x x 23 6x x
2x
2x
0
3 22
2 2
entonces:5 5 2 4 3
23 -1 4 3
x x x x xx
x x x x
2 23 -1 4 3x x x x
4x
3 22 3 2 2
3
yqueda:
5 5 22 3 1 2 3 2 4 32
3 4
x x xx x x x x x xx
x x
4 34 3 12x x x
-
22 3 1 24.)
1xy x y x z x y xy zy
x y z
Solucin:
2 31
xy x yx z
2 3xy x y
2 3xyz xz yz 2 22 3x y x yx
2 22 3 2 3 3x y x xyz xz yz yx x y
2
2 2
2
Por lo que:
2 3 1 2
2 3 2 3 3
2
xy x y x z x y xy zy
x y x xyz xz yz yx x y
x y xy zy
2 2 22 3 2 3 3 2x y x xyz xz yz yx x y x y xy zy
23 2 2 3 3 2x xyz xy xz x y yz
y como:
3x 2yz 5y
21 3 2 2 3 3 2x y z x xyz xy xz x y yz
23 3 3 3x xy xz x
2 5 2xyz xy y yz 2 22 2 2 2xyz y z yz yz
2 25 2 4 2xy y z y yz yz 25 5 5 5xy y yz y
2 2 22 6 9 2 5y z y yz yz y
-
2
2 2 2
queda:
2 3 1 212 6 9 2 53 2 5
1
xy x y x z x y xy zyx y z
y z y yz yz yx yz yx y z
Objetivo 13. Aplicars las operaciones con polinomios en la resolucin de problemas
de casos reales.
Ejercicios resueltos:
1.) En una comisin del Congreso los diputados del PRD son la mitad que los del
PRI. Los del PRI con los del PAN suman 8 y los del PT son la mitad que los del
PAN Cuntos diputados forman la comisin?
Solucin:
La informacin del enunciado establece que el nmero de los diputados de los
diferentes partidos es:
1PRD PRI2
PRI PAN 8 PRI 8 PAN
1PT PAN2
Al sumar a los diputados de todos los partidos y sustituir las igualdades anteriores
queda
1 1PRD PRI PAN PT PRI 8 PAN PAN PAN2 2
1 18 PAN 8 PAN PAN+ PAN2 2
1 14 PAN 8-PAN PAN PAN2 2
8 4 12 La comisin tiene 12 miembros.
-
2.) Una persona camina a un ritmo de 2 kilmetros por hora al subir una cuesta y al de 4
kilmetros por hora al bajarla. Cul es la velocidad media para el recorrido total?
Solucin:
Sea L la longitud de la cuesta. El tiempo que tarda en subirla es L/2; mientras que el
tiempo que tarda en bajarla es L/4; entonces el tiempo total ser:
T42LL
4
3L
Como el recorrido total es de 2L , la velocidad media es:
2
mLV
T
2
34
LL
8 2.6663
km/h
3.) El depsito del anticongelante de un autobs contiene 8 litros de una mezcla de 60% de
agua y 40% de anticongelante puro. Sin embargo, las bajas temperaturas invernales
requieren que la mezcla contenga 60% de anticongelante. Qu cantidad de la mezcla
actual deber desecharse y reemplazarse por anticongelante puro para que se obtenga la
cantidad requerida?
Solucin:
La cantidad de anticongelante puro en la mezcla actual es el 40% de 8 litros:
0.4 8 3.2 litros;
La cantidad que debe tener la nueva composicin es:
0.6 8 4.8 litros.
Cuando se desechan x litros de la mezcla actual se debe aadir una cantidad igual de x
litros de anticongelante para mantener el volumen total, pero con el desecho se pierden
0.4x litros del mismo anticongelante.
Entonces, para obtener una mezcla con el 60% de anticongelante se tiene la expresin:
-
3.2 0.4 4.8x x o bien
1 0.4 4.8 3.2x
0.6 1.6x
x 666.26.06.1 litros
4.) Un padre al morir dej establecido que el hijo mayor recibira $100,000 ms la quinta
parte del resto. El siguiente recibira $200,000 ms la quinta parte del nuevo resto. Y en
la misma forma cada hijo ira recibiendo $100,000 ms que el anterior y la quinta parte
del resto. Con esta forma de repartir la herencia, el padre se asegur que todos
recibieran la misma cantidad. Cuntos herederos haba y qu cantidad recibi cada
uno?
Solucin:
Sea H el importe total de la herencia. El primer hijo recibi
5000,100000,100 H
El segundo hijo recibi $200,000 ms la quinta parte de lo que quedaba despus de que
el primero recibi su parte y de los 200,000 que le correspondan a l:
000,200
500,100000,100
51000,200 HH
Como cada hijo debe recibir la misma cantidad, se igualan los dos polinomios para
obtener el valor de H:
5000,100000,100 H
000,200
500,100000,100
51000,200 HH
Despus de hacer las operaciones queda
000,40000,425
000,205
000,200000,205
000,100 HHH
-
y, al despejar
000,20000,100000,40000,4000,20000,20025
H
000,600,1000,6425
HH
Entonces, dado que la herencia era de $1,600,000 y cada hijo recibi la misma cantidad,
eran 4 hijos y cada uno recibi $400,000.
5.) La edad de Juan es el doble de la que tena Pedro cuando Juan tena la que
ahora tiene Pedro. En total suman 49 aos. Cules son sus edades?
Solucin:
Sea x la edad actual de Juan. Dado que la suma de las edades de ambos es 49, la edad
actual de Pedro ser 49 x .
La expresin algebraica sobre la comparacin de las edades: la edad actual de Juan es
el doble de la que Pedro tena cuando Juan tena la que tiene ahora Pedro se obtiene
como sigue:
Pedro es menor que Juan y la diferencia de edades entre ellos es
49x x .
En aquel momento, la edad de Juan era la edad actual de Pedro: 49 x ; al restar a
sta la diferencia de edades entre ambos, se obtiene la edad que tena Pedro cuando
Juan tena 49 x y, como la edad actual de Juan es el doble de sta entonces:
2 49 49x x x x
2 49 49x x x x
2 49 2 49x x x
2 98 3x x
-
196 6x x
7 196x
28x
Y la edad de Pedro es: 49 28 21
6.) Encuentra tres nmeros enteros consecutivos tales que cuando se forman las 6
fracciones posibles tomados de dos en dos, la suma de ellas es un nmero entero.
Solucin:
Sean 1x , x y 1x los tres nmeros enteros consecutivos que se buscan. Las 6 fracciones que se pueden formar con ellos, tomados de dos en dos son:
1 1 1 1, , , , ,1 1 1 1
x x x x x xx x x x x x
Y la suma de las seis fracciones ser:
1 1 1 11 1 1 1
x x x x x xx x x x x x
2 2 2 2 2 2( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)( 1)
( 1)( 1)x x x x x x x x x x x x
x x x
)1)(1(1221 232323232323
xxx
xxxxxxxxxxxxxxxx
)1(6
2
3
xxx
162
2
xx
Ahora bien, 2x y 2 1x son nmeros primos entre s porque difieren en una unidad,
por lo tanto esta fraccin ser un nmero entero slo si 2 1x divide a 6, lo que ocurre
para 2x , por lo tanto, los tres nmeros buscados son: 1 1x ; 2x ; 1 3x .