Manejo algebraico
U N I DAD 3
Introducción
El álgebra es una parte de las matemáticas siempre presente en los cursos de matemát icas
financieras. En esta unidad se presentan los principios fundamentales del álgebra, como la
reducción de términos semejantes, las operaciones entre expresiones algebraicas, los productos
notables y los diferentes casos de factorización.
También se muestra la solución de ecuaciones lineales y cuadráticas, lo cual es importante
porque se uti lizan para modelar problemas financieros y administrat ivos, por ejemplo, cálculo
de interés y presupuestos.
Se resolverán asi mismo desigualdades, lineales y cuadráticas, que también sirven para
el modelado de fenómenos y la solución de problemas f inancieros.
Competencia
Al f inalizar la unidad, el alumno podrá:
• Resolver problemas de la empresa en el ámbito financiero y administrativo tomando
decisiones basadas en la aplicación de las herramientas aritméticas y algebraicas
Contenido
3.1. Operaciones algebraicas básicas.
3.1.1. Polinomios.
3.1.2. Reducción de términos semejantes.
3.1.3. Eliminación de los signos de agrupación.
3.1.4. Suma y resta de polinomios.
3.1.5. Multiplicación y división de polinomios.
3.1.5.1. Multiplicación.
3.1.5.2. D ivisión.
3.2. Productos notables.
3.2.1. Producto de binomios conjugados.
3.2.2. Cuadrado de un binomio.
3.3. Simplif icación de expresiones algebraicas (factorización).
3.3.1. Factorización.
3.3.2. Factor común.
3.3.3. D iferencia de cuadrados.
3.3.4. Trinomio cuadrado perfecto.
3.4. Ecuaciones de una variable (lineales y cuadrát icas).
3.4.1. Ecuaciones l ineales de una variable.
3.4.2. Ecuaciones caudráticas de una variable.
3.4.2.1. Resolución de ecuaciones cuadráticas por factorización.
3.4.2.2. Resolución de ecuaciones cuadráticas por fórmula general.
3.5. Desigualdades lineales y cuadrát icas de una variable.
3.5.1. Desigualdades lineales de una variable.
3.5.2. Desigualdades cuadráticas de una variable.
3.6. Valores absolutos.
3.7. Solución de problemas de la empresa a través del manejo algebraico: inversiones,
determinaciónde precios y uti lidad.
3.1. Operaciones algebraicas básicas
Ref lexión : ara poder entender el comportamiento de muchos fenómenos en el área
económica-administrativa es necesario conocer los principios fundamentales del álgebra, por
que es una herramienta que nos permite representar de forma general el comportamiento
matemát ico de cualquier fenómeno.
Además se aplicarán algunas técnicas que faci litan el desarrol lo estas operaciones,
como son la reducción de términos semejantes y la eliminación de signos de agrupación, sin
perder de vista las propiedades de los exponentes y radicales.
3.1.1. Polinomios
Antes de iniciar el estudio de los polinomios se requiere def inir algunos elementos básicos del
álgebra:
VariableEs un valor que cambia de acuerdo con las condiciones de la situación a la que se ref iere; se
representa con cualquier letra del abecedario.
CoeficienteEs un valor conocido y constante, el cual puede ser entero, fraccionario o decimal; posit ivo o
negativo, y sirve como factor.
ExponenteEs un valor constante o variable que indica la potencia a la cual se eleva una variable o toda
una expresión algebraica.
Expresión algebraicaEs una representación matemát ica la cual incluye coef icientes y var iables elevadas a
cier to exponente.
Se consideran expresiones algebraicas fraccionarias las que contienen variables como
parte del denominador, mientras que los polinomios son aquellas expresiones donde las
variables no forma parte del denominador.
Termino algebraico
- 21 7 3
coeficienteparte literal
x y zUn término algebraico está constituido por dos partes: el coeficiente y
la parte literal, la cual incluye todas las variables junto con sus
exponentes.
Los polinomios son expresiones algebraicas que pueden estar formadas por uno o más
términos algebraicos , separados mediante signos de suma (+ ) o resta (–).
Polinomio: 3 22 5 11x x x
Términos algebraicos: 32x ; 2x ; 5x y 11
3 2
Expresión algebraica
2 5 11 x x x
Cuatro términos algebraicos
Los polinomios se clasifican de acuerdo con la cantidad
de términos que los conforman. Así, aquellos
polinomios que constan de un solo término se
denominan monomios; los formados por dos término,
binomios; por tres término, trinomios, y de cuatro términos en adelante se llaman polinomios.
25xy Monomio (un término)
313
2x y Binomio (dos términos)
2 3 3 1 2
5sx y xy Trinomio (tres términos)
Los polinomios también pueden clasificarse de acuerdo con su grado.
Grado de un polinomioEl grado de un polinomio se determina por el mayor grado de los términos que lo
conforman, mientras que el grado de cada término es la suma de los exponentes de las
var iables que lo const ituyen. Si el pol inomio t iene una sola variable, su grado corresponde
al mayor exponente de la variable en cuest ión.
Ejemplo 1
Determina el grado de los siguientes polinomios.
a) 7 x2y2 + 13 x2 y 15
2 + 2 = cuarto grado 2 + 1 = tercer grado grado cero
Por lo tanto se trata de un polinomio de cuarto grado.
b) 9x6 + 21x4 5x2
sexto grado cuarto grado segundo grado.
Por lo tanto se trata de un polinomio de sexto grado.
En un polinomio de varias variables es posible referirse a su grado solo respecto a una
de las variables; éste será el mayor exponente de dicha variable.
Ejemplo 2
D etermina el grado del pol inomio 7 2 39 12 7x y xy con respecto a cada una de sus
var iables.
a) Respecto a x :
9x7y2 + 12xy3 7
sépt imo grado primer grado grado cero
Polinomio de 7mo. grado respecto a x
b) Respecto a y :
9x7y2 + 12xy3 7
segundo grado tercer grado grado cero
Polinomio de tercer grado respecto a y
Para faci litar las operaciones con polinomios se sugiere ordenarlos. Un polinomio está
ordenado cuando se escriben los términos de manera ascendente o descendente con respecto a
los exponentes de una misma variable.
Ejemplo 3
Ordena el siguiente polinomio con respecto a x: 3 2 2 4 321 3 10 5 14 x y x x y x y
a) Polinomio ordenado de forma descendente respecto aPolinomio ordenado de forma descendente respecto a x:
4 3 3 2 214 3 5 10 21x y x y x y x
b) Polinomio ordenado de forma ascendente respecto a x:
2 2 3 4 321 10 5 3 14 x x y x y x y
3.1.2. Reducción de términos semejantes
Se l laman términos semejantes aquellos que t ienen las mismas variables elevadas a los
mismos exponentes.
De esta manera, las expresiones:
2 6( 5 )x y w ,
6 22
5y wx ,
6 2(3.87 )wy x
Son términos semejantes, ya que, aunque en dist into orden, todas tienen las mismas
variables con sus respectivos exponentes.
La reducción de términos semejantes consiste en sumar algebraicamente sus coef icientes
dejando la misma parte l iteral.
Ejemplo 4
Reduce los términos semejantes de las siguientes expresiones:
a) 3 2 3 2 3 3 27 2 5 4 9 2 5 x a x a ax a x ax
Primero vamos a ident if icar los términos semejantes y acomodarlos en forma
de columna:
3 3 22
3 3 2
+ 7 5 42
+ 2 9 5
x a axa x
x a ax
Se suman solamente los coef icientes de cada columna:
7 + 2 = 9, –2, 5 + 9 = 14; 4 – 5 = –1
Por lo tanto:
3 3 22
3 3 2
3 2 3 2
7 5 42
2 9 5
9 2 14 1
x a axa x
x a ax
x a x a ax
Respuesta :
3 2 3 2 3 3 2 3 2 3 27 2 5 4 9 2 5 9 2 14x a x a ax a x ax x a x a ax
Observa que el término 2( 1 )ax se escribió como 2( )ax porque el coef iciente 1
nunca se escribe cuando acompaña a una variable.
b) 3 2 2 3 2 27 8 4 5 6 4x a x b x b x a x b x b
A diferencia del ejemplo anterior, en el cual la reducción se hace en forma vert ical,
en este ejemplo se hará en forma horizontal.
Primero ordenemos los términos semejantes:
3 2 3 2 2 25 7 6 8 4 4x a x a x b x b x x b b
Ahora reduzcamos los términos semejantes:
3 2 3 2 2 2
3 2 2
5 7 6 8 4 412 56 13
x a x a x b x b x x b bx bx a x b
Respuesta :
3 2 2 3 2 2 3 2 27 8 4 5 6 4 6 13 12 5x a x b x b x a x b x b x a x b x b
Actividad 1
Reduce los términos semejantes de las siguientes expresiones:
a) 3 14 8 6 11a a a a a
b) 7 11 2 11x x x x x
c) 5 4 3 10 11 2m m m m m m
d) 7 4 43 5 3
b b b
e) 2 25 7 8x x x x x
3.1.3. Eliminación de signos de agrupación
L os paréntesis ( ), corchetes [ ] y l laves { } son signos de agrupación, en tanto se ut i l izan para
agrupar términos algebraicos que van a ser afectados por el coef iciente inmediato anterior
a tales signos. Para el iminar el signo de agrupación se mult ipl ica el coef iciente o signo
inmediato anter ior por cada uno de los coef icientes de los términos algebraicos agrupados,
al hacerlo se deben aplicar las leyes de los signos referentes a la mult iplicación.
Es necesario considerar que para el iminar los signos de agrupación se suprimirán
primero los más internos hasta terminar con el más externo.
A cont inuación ejemplif icamos lo expresado:
7x – (–9x2 + 2y – 6)
a) Para el iminar el paréntesis se mult ipl ica el signo negat ivo por el signo de cada
término aplicando las leyes de los signos:
2 27 ( 9 2 6) 7 9 2 6x x y x x y
b) 2 3( 3)( 7 2 )x y z
En este caso, lo que afecta a los términos contenidos en el signo de agrupación
es –3, por lo tanto, cada uno de los coef icientes de los términos deberá ser
mult ipl icado por este factor:
2 3 2 3( 3 )( 7 2 ) 21 6 3x y z x y z
Ejemplo 5
El imina los signos de agrupación y reduce los términos semejantes de las siguientes
expresiones.
a) 3 2 2 2 2 2 3 3 2 33 (5 4 4 )a b a b a b ab a b a b
Primero aplicamos las leyes de los signos para eliminar el paréntesis:
3 2 2 2 2 2 3 3 2 33 (5 4 4 )a b a b a b ab a b a b
3 2 2 2 2 2 3 3 2 33 5 4 4a b a b a b ab a b a b
Reduciendo términos semejantes tenemos:
3 2 2 2 2 2 3 3 2 3 2 2 3 33 5 4 4 8 4 4a b a b a b ab a b a b a b ab a b
Finalmente:
3 2 2 2 2 2 3 3 2 33 (5 4 4 )a b a b a b ab a b a b 2 2 3 38 4 4a b ab a b
Respuesta : La solución es, 2 2 3 38 4 4a b ab a b
b) 23 2 5 4 10 2 9
5 9 3 3xy y xy xy y
Se aplican las leyes de los signos para eliminar el corchete:
23 2 5 4 10 2 9
5 9 3 3xy y xy xy y
23 2 5 4 10 2 9
5 9 3 3xy y xy xy y
Reduciendo términos semejantes tenemos:
2 23 2 5 4 34 14
10 2 9 2 15 9 3 3 15 9
xy y xy xy y xy xy y
Respuesta : La solución es:
234 14
2 115 9
xy xy y
c) 3 2 3 3 3 3(3 2 3 ) (5 5 ) (2 3 )xy x x y y y x xy xy x
Primero eliminamos los signos de agrupación aplicando las leyes de los signos: 3 2 3 3 3 33 2 3 5 5 2 3 xy x x y y y x xy xy x
Ahora se reducen los términos semejantes:
2 34
3
3
3 5 2
0
3 3 3
3
2
2
3x x xx
x y
x y
xy xy xy
xy
y- + -
-
+ - +
+
+ ++
+
5
6
3
3
y
y
Respuesta : La solución es 4x3 – 3x2y + 6y3
Observa que el término (0 )xy no fue incluido en la solución f inal debido a que
0 0xy
d) 3 2 3 2 3 2(2 ) 4 7 3 2 2 8x x x x x x x x x
Observemos que esta expresión está formada por dos partes: la primera está
entre corchetes y la segunda entre llaves.
3 2 3 2 3 2(2 ) 4 7 3 2 2 8
primera parte segunda parte
x x x x x x x x x
Se eliminan los signos de agrupación, comenzando por los más internos de cada
parte. En la primera se elimina el paréntesis multiplicando el signo (–) por los
términos contenidos en él. De esta manera la primera parte queda así:
3 22x x x
La segunda parte cont iene dos signos de agrupación internos, cada uno de el los
se elimina aplicando las leyes de los signos. En el primer corchete se multiplica el
signo (+ ) que le antecede (si no aparece se da por entendido que el signo es + ) por
los términos contenidos en él:
3 2 3 24 4 x x x x x x
El número 7, que no t iene signo de agrupación, se queda igual.
Para el segundo corchete se mult ipl ica el signo (–) que le antecede por los términos
contenidos en él:
3 2 3 23 2 2 8 3 2 2 8x x x x x x
Por lo tanto, la segunda parte queda:
3 2 3 24 7 3 2 2 8x x x x x x
Una vez eliminados los signos de agrupación internos, la expresión inicial queda
de la siguiente manera: 3 2 3 2 3 22 4 7 3 2 2 8x x x x x x x x x
De esta expresión los signos de agrupación que quedan se el iminan de manera
similar y se obtiene: 3 2 3 2 3 22 4 7 3 2 2 8x x x x x x x x x
Se reducen los términos semejantes y se obtiene:
x x xx
x x xx
x x xx
3 3 3
3
2 2 23 2 4 24
222
+ --
- + ++
+ - --
+ --
7 81
Respuesta : El resultado final es 3 24 2 1x x x
Actividad 2
Elimina los signos de agrupación y reduce los términos semejantes:
a) (7 8 2 ) ( 5 2 3 )x y xy x y xy
b) 2 2 2( 6 2 ) 2 (3 5 )x x x x x x
c) 6 ( 5 3 2 ) (2 3 )m m n m n m n
d) ( 3 5 2 3 ) 2a b c a b c c
3.1.4. Suma y resta de polinomios
Ahora que contamos con los conocimientos básicos sobre expresiones algebraicas podemos
realizar la suma y resta de polinomios.
Para sumar dos polinomios se escribe uno a cont inuación del otro, respetando sus
signos, y f inalmente se reducen los términos semejantes.
Por ejemplo: Suma los polinomios:
2 25 10 7x xy a y 2 2 23 6 11 3x x y y xy
Primero escribimos un polinomio a continuación del otro, respetando sus signos: 2 25 10 7x xy a 2 2 23 6 11 3x x y y xy
Ahora reducimos los términos semejantes:2 2 2 22 13 7 6 11x xy a x y y
Por lo tanto: 2 2 2 2 2 2 2 2 2(5 10 7 ) ( 3 6 11 3 ) 2 13 7 6 11x xy a x x y y xy x xy a x y y
Para restar dos polinomios cada uno de ellos es colocado dentro de un signo de
agrupación uno a cont inuación del otro, pero el polinomio que “ resta” debe estar afectado por
el signo ( – ), después se el iminan los signos de agrupación tomando en consideración las leyes
de los signos y se reducen los términos semejantes.
Por ejemplo:
Restar 3 25 7x x
menos 3 26 9 8 1x x y
Cada uno de los polinomios es colocado dentro de signos de agrupación y el signo
menos afecta al segundo polinomio:
3 2 3 2(5 7 ) (6 9 8 1)x x y x x y
Eliminamos los signos de agrupación:
3 2 3 2(5 7 ) (6 9 8 1)x x y x x y 3 2 3 25 7 6 9 8 1x x y x x y
Reducimos términos semejantes:
3 2 3 2 3 25 7 6 9 8 1 10 1x x y x x y x x y
Respuesta : 3 2 3 2(5 7 ) (6 9 8 1)x x y x x y 3 210 1x x y
Ejemplo 6
Suma los siguientes polinomios.
a) 2 3 210 8 5; 6 9 5 2x x x x x
Colocamos los polinomios uno a continuación del otro respetando sus signos:
2 3 210 8 5 6 9 5 2x x x x x
Ahora reducimos los términos semejantes:
2 3 2 3 210 8 5 6 9 5 2 6 13 3x x x x x x x x
Respuesta : 2 3 2 3 2(10 8 5) (6 9 5 2) 6 13 3x x x x x x x x
b) 3 2 3 2 24 9 ; 7 2 3a b ab a b ab b
Colocamos los polinomios uno a continuación del otro respetando sus signos:
3 2 3 2 24 9 7 2 3a b ab a b ab b
Ahora reducimos los términos semejantes:
3 2 3 2 2 3 2 24 9 7 2 3 3 7 3a b ab a b ab b a b ab b
Respuesta : 3 2 3 2 2 3 2 2(4 9 ) ( 7 2 3 ) 3 7 3a b ab a b ab b a b ab b
Ejemplo 7
Encuentra la resta del primer polinomio menos el segundo.
a) 7 4 5; 8 4 2x y x y
Cada uno de los polinomios es colocado dentro de signos de agrupación y el signo
menos afecta al segundo polinomio:
(7 4 5) (8 4 2)x y x y
Eliminamos los signos de agrupación:
(7 4 5) (8 4 2) 7 4 5 8 4 2x y x y x y x y
Ahora reducimos los términos semejantes:
7 4 5 8 4 2 8 3x y x y x y
Respuesta : (7 4 5) (8 4 2) 8 3x y x y x y
b) 3 3 3 35 4 7 ; 3 9 5x y z x y z
Cada uno de los polinomios es colocado dentro de signos de agrupación y el signo
menos afecta al segundo polinomio:
3 3 3 3(5 4 7 ) ( 3 9 5 )x y z x y z
Eliminamos los signos de agrupación:
3 3 3 3 3 3 3 3(5 4 7 ) ( 3 9 5 ) 5 4 7 3 9 5x y z x y z x y z x y z
Ahora reducimos los términos semejantes:
3 3 3 3 3 35 4 7 3 9 5 8 13 12x y z x y z x y z
Respuesta : 3 3 3 3(5 4 7 ) ( 3 9 5 )x y z x y z 3 38 13 12x y z
Actividad 3
Realiza las operaciones indicadas.
1. En los siguientes ejercicios suma los polinomios dados.
a) 3 3 29 12 5; 7 9 5 21x x x x x
b) 3 2 3 2 27 9 ; 7 2 3ab a b ab a b a
c) 2 3 2 2 3 2 27 9 2 ; 7 2 3a b a b a ab a b a
2. En los siguientes ejercicios resta el segundo polinomio al primero.
a) 2 3 2 34 5 5; 8 4 2x y x y y
b) 2 27 3 7; 3 9 3x y x y
c) 3 3 3 3 3 39 4 7 ; 13 9 3x y y x x x y y x x
d) 2 2 2 35 2 4x y y y ; 2 2 33 10x y y
3.1.5. Multiplicación y división de polinomios
Para realizar estas dos operaciones es necesario recordar y aplicar las leyes de los exponentes
y los radicales , como se hizo en las unidades uno y dos, así que ten a la mano las tablas que
resumen esas propiedades.
3.1.5.1. Multiplicación
El producto de dos monomios o más se realiza multiplicando sus coeficientes y posteriormente las
variables aplicando la ley de los exponentes.
Ejemplo 8
Multiplica los siguientes monomios.
a) ( )( )x y xy
b) 5 2 5 2 7m m m m
c) 2 2 2(3 )( 6 ) (3)( 6)( ) 18x y x y x y
d) 7 7 11
22 7 2 2 2 2( )( ) ( )m m m m m m
e) 3 4 3 4 3 4 77 (5 ) (7)(5) 35 35x x x x x x
f ) 5 3 5 3 5 3 88 (6 ) ( 8)(6) 48 48a a a a a a
g) 3 2 5 4 3 5 2 4 9 67 1 7 1 7( ) ( )( )
8 3 8 3 24a b a ab a a a b b a b
El producto de dos polinomios se obtiene multiplicando cada uno de los términos del primer
polinomio por todos los términos del segundo; en caso de obtener en el producto términos
semejantes se deben reducir a su mínima expresión.
Ejemplo 9
Realiza las siguientes multiplicaciones.
a) 4 3 4 3 4 3 5 3 4 3(8 )(2 7) (8 )(2 ) (8 )( 7) 16 56m n m m n m m n m n m n
b) 3 3 3 4 2 3( )(3 4) ( )(3 ) ( )( 4) 3 3 4 4x x x x x x x x x x x x
c)
2 3 2 2 2 2 2 2 3 2 2 23 3 6 2 2 4a x a xy a xz x yb y b yz b2 2 2 2 2(3 2 )( 2 )a x b y x y z
En tanto no hay términos semejantes que reducir, el resultado se deja así.
Actividad 4
Realiza las siguientes multiplicaciones.
a) 2 4 3 2(4 )( 8 )a b a b
b) 3 6 3 5( )( )( )m n n m n
c)
4 4 3 2 3 41( 2 )
4m n p m n p
d) 2 3 4 1 21 2 13 3 2
abc a b c a b
e)
4 35( )x x
3.1.5.2. División
El tema de división entre polinomios lo abordaremos a través de unos ejemplos:
Ejemplo 10
Realiza la división:
5 2 3
3
20
4
x y z
xy z
Es una división entre monomios; para obtener su resultado primero se dividen
los coef icientes:
20
54
Para dividir las literales se aplica la propiedad de los exponentes, en la que se
indica que al exponente del numerador se le resta el exponente del denominador,
por lo tanto:
5 2 3 25 35 1 2 3 3 1
3 3
x y z yx zx y z
xy z x y z
Se hacen las operaciones indicadas con los exponentes:
5 2 34 1 2
3
x y zx y z
xy z
Respuesta : El resultado de la división es:
5 2 3 4 24 1 2
3
20 55
4x y z x z
x y zxy z y
Para realizar las divisiones entre polinomios se ut i liza un procedimiento muy similar
al empleando en aritmét ica, sólo que en lugar de números se uti l izan polinomios, por lo
demás se trabaja de la misma manera. A continuación presentamos un ejemplo de este t ipo
de método.
Ejemplo 11
Realiza la división:
38 2 102 2
x xx
Antes de efectuar la división se requiere que los términos de ambos polinomios
estén ordenados en forma descendente en sus exponentes con respecto a la
misma l iteral.
Se escribe la división en esta forma:
32 2 2 8 10x x x
Nótese que entre 2x3 y 8x se reserva el lugar del término de x2 que no aparece en
el polinomio, debido a que en el momento en que se efectúe la división aparecerá
un término con x2.
Empecemos el procedimiento: se divide el primer término del dividendo entre
el primer término del divisor 3
222x
xx
; este resultado es el primer término del
cociente y se escribe:
2
3
2 2 2 8 10
xx x x
El primer término del cociente se multiplica por el divisor:
2 3 2(2 2) 2 2 x x x x
Este resultado se resta al dividendo:
2
3
3 2
2 2 2 8 10
(2 2 )
xx x x
x x
Se elimina el signo de agrupación multiplicando por el signo menos – y se escribe:
2
3
3 2
2 2 2 8 10
2 2
xx x x
x x
Se reducen los términos semejantes y bajando los siguientes términos del dividendo
se obtiene el primer residuo:
2
3
3 2
2
2 2 2 8 10
2 2
2 8 10
xx x x
x x
x x
El primer término del primer residuo se divide entre el primer término del divisor:
222x
xx
Este resultado es el segundo término del cociente y se escribe:
2
3
3 2
2
2 2 2 8 10
2 2
2 8 10
x xx x x
x x
x x
El segundo término del cociente se multiplica por el divisor:
2(2 2) 2 2x x x x
Este resultado se le resta al residuo:
2
3
3 2
2
2
2 2 2 8 10
2 2
2 8 10
(2 2 )
x xx x x
x x
x x
x x
Se elimina el signo de agrupación multiplicando el signo menos:
2
3
3 2
2
2
2 2 2 8 10
2 2
2 8 10
2 2
x xx x x
x x
x x
x x
Se reducen los términos semejantes:
2
3
3 2
2
2
2 2 2 8 10
2 2
2 8 10
2 2
10 10
x xx x x
x x
x x
x x
x
Se divide el primer término del residuo entre el primer término del divisor:
105
2xx
Este resultado es el tercer término del cociente y se escribe:
2
3
3 2
2
2
5 2 2 2 8 10
2 2
2 8 10
2 2
10 10
x xx x x
x x
x x
x x
x
El tercer término del cociente se multiplica por el divisor:
5(2 2) 10 10x x
Este resultado se resta al residuo:
2
3
3 2
2
2
5 2 2 2 8 10
2 2
2 8 10
2 2
10 10
(10 10)
x xx x x
x x
x x
x x
x
x
Se elimina el signo de agrupación multiplicando el (–) menos:
2
3
3 2
2
2
5 2 2 2 8 10
2 2
2 8 10
2 2
10 10
10 10
x xx x x
x x
x x
x x
x
x
Se reducen los términos semejantes y se obtiene:
2
3
3 2
2
2
5 2 2 2 8 10
2 2
2 8 10
2 2
10 10
10 10
0
x xx x x
x x
x x
x x
x
x
Respuesta : El cociente es 2 5 x x y el residuo es cero.
Actividad 5
Realiza las siguientes divisiones.
a) 3 2 5
3 2 5
77
a b ca b c
b) 5 2
4 3
x y z
x y
c) 2
3
45a bab
d) 4 1 3
2 2
1428
a b ca bc
e) 23 5 2 2
3 2 3 2 3 2
3 2u v u v u vu v u v u v
f ) 248 8 86 2
x xx
g) 3 210 26 17 3
5 3x x x
x
3.2. Productos notables
Se llaman productos notables a ciertos productos que cumplen reglas f ijas y por lo tanto el
resultado puede ser escrito por simple inspección, es decir, sin efectuar la mult iplicación.
En esta sección nos ocuparemos de aquellos productos notables cuya aparición y
aplicación es más frecuente: el binomio al cuadrado y el producto de binomios conjugados.
.2.1. Producto de binomios conjugados
Entenderemos por binomios conjugados aquellos binomios que tienen los mismos términos y
sólo dif ieren en un signo. Este producto da como resultado la diferencia de los cuadrados de
los términos.
El producto de binomios conjugados es:
2 2( )( )x y x y x y
Ejemplo 12
Realiza los productos indicados.
a) (3 5)(3 5)a a
En este caso podemos considerar:
3 y 5x a y
Por lo tanto tendremos:
2 2(3 5)(3 5) (3 ) (5)a a a
Respuesta : 2(3 5)(3 5) 9 25a a x
b) 2 2(9 7 )(9 7 )a b a b
En este caso podemos considerar:
29 y 7x a y b
Por lo tanto tendremos:
2 2 2 2 2(9 7 )(9 7 ) (9 ) (7 )a b a b a b
Respuesta : 2 2 4 2(9 7 )(9 7 ) 81 49a b a b a b
c) 2 21 15 5
4 4m n p m n p
En este caso podemos considerar:
21 y 5
4x m n y p
Por lo tanto tendremos:
2
2 2 2 21 1 15 5 (5 )
4 4 4m n p m n p m n p
Respuesta :
2 2 4 2 21 1 15 5 25
4 4 16m n p m n p m n p
d) Realiza el producto
3 2 3 22 25 5a b a b
c c
En este caso podemos considerar:
3 2 25 b y x a y
c
Por lo tanto tendremos:
2
3 2 3 2 3 2 22 2 25 5 (5 )a b a b a b
c c c
Respuesta :
3 2 3 2 6 4
2
2 2 45 5 25a b a b a b
c c c
Actividad 6
Realiza los productos indicados.
a) ( 2 )( 2 )x y x y
b) 2 2( )( )xy z w xy z w
c) 3 31 14 4
2 2x x =
d)
2 3 2 31 1 1 13 5 3 5
m n p m n p=
e) ( 2)( 2)x x
f ) 2 2( 4 )( 4 )ab z abc ab z abc
3.2.2. Cuadrado de un binomio
El cuadrado de un binomio es el producto de éste por sí mismo, matemáticamente se expresa
de la siguiente manera.
El cuadrado de un binomio Es:
2 2 2( ) ( )( ) 2 x y x y x y x xy y
2 2 2( ) ( )( ) 2 x y x y x y x xy y
Es usual que estos binomios se resuelvan ut ilizando los siguientes pasos:
El cuadrado del primer término
Más (menos) el doble producto del primer término por el segundo
Más el cuadrado del segundo término
En los siguientes ejemplos se muestra su aplicación.
Ejemplo 13
Desarrolla los siguientes binomios.
a) 2 2(3 4 )a a
En este caso podemos considerar:
23 y 4x a y a
Por lo tanto tendremos:
2 2 2 2 2 2(3 4 ) (3 ) 2(3 )(4 ) (4 )a a a a a a
Respuesta : 2 2 4 3 2(3 4 ) 9 24 16a a a a a
b) 3 2(5 3 )a b
En este caso podemos considerar:
35 y 3x a y b
Por lo tanto tendremos:
3 2 3 2 3 2(5 3 ) (5 ) 2(5 )(3 ) (3 )a b a a b b
Respuesta : 3 2 6 3 2(5 3 ) 25 30 9a b a a b b
c) 2
2 33 22 5
a b
En este caso podemos considerar:
2 33 2 y
2 5x a y b
Por lo tanto tendremos:
2 2 2
2 3 2 2 3 33 2 3 3 2 22
2 5 2 2 5 5a b a a b b
Respuesta :
2
2 3 4 2 3 6 4 2 3 63 2 9 12 4 9 6 42 5 4 10 25 4 5 25
a b a a b b a a b b
Actividad 7
Desarrol la los siguientes binomios.
a) 2(5 2)a
b) 2(2 3 )x y
c) 2
2 31 12 3
x y
d)
2
2 21 15 7
m n
3.3. Simplificación de expresiones algebraicas (fac torización)
En la sección anterior se revisaron algunos métodos que permiten realizar mult iplicaciones. En
esta sección se estudiará el proceso inverso de la mult iplicación, denominada factorización, ya
que consiste en encontrar los factores que dan lugar a la expresión original. Los procedimientos
de factorización que se desarrollarán en esta unidad son: factor común, diferencia de cuadrados
y t rinomio cuadrado perfecto.
3.3.1. Factorización
Factorización es el proceso que consiste en descomponer una expresión algebraica en factores,
que al multiplicarse dan como resultado la expresión algebraica inicial.
Por ejemplo, descomponer en factores al número 24, podría llevarnos a:
(8) (3) = 24
(6) (4) = 24
(12) (2) = 24
Entre otros resultados. Por lo tanto, la descomposición factorial no es única.
Cabe mencionar que el máximo común divisor (mcd) nos será út il para encontrar los
factores de un polinomio. El mcd se define como la expresión algebraica de mayor grado que
divide exactamente a un polinomio. La manera de obtenerlo es:
1. Se determina el número mayor que divida exactamente a todos los coeficientes
del polinomio.
2. Se identif ican las literales comunes de menor exponente que dividan exactamente
a las literales del polinomio.
Ejemplo 14
Encuentra el máximo común divisor de los siguientes polinomios.
a) 3 3 2 26 14 10xy x y x y
Primero encontramos el mcd de los coef icientes; en este caso es 2, porque es el
número más grande que divide exactamente a todos los coeficientes
6 14 103; 7; 5
2 2 2
Ahora no fijamos en las literales comunes de menor exponente, en este caso son x, y.
Respuesta : El mcd del pol inomio, 3 3 2 26 14 10xy x y x y es 2xy
b) 5 7 4 4 2 2 3 3 44 16 32a b c a b c a b c
Primero encontramos el mcd de los coeficientes; en este caso es 4, porque divide
exactamente a 4, 16 y 32.
Ahora no f ijamos en las l iterales comunes de menor exponente, en este caso
son 3 2 2a b c
Respuesta : El mcd del pol inomio:
5 7 4 4 2 2 3 3 44 16 32a b c a b c a b c es 3 2 24a b c
Actividad 8
Encuentra el mcd de los siguientes polinomios.
a) rs + 4st
b) 36 8 14a a
c) 2 2 23 9x y x y
d) 2 210 15x y xy
e) 2 3 3 3 28 12p qr p q r
3.3.2. Factor común
Una de las formas más simples de factorizar es ident if icar aquellos factores que son comunes
a cada uno de los términos que conforman a la expresión algebraica. Estos se denominan
factor común (primer factor).
Por ejemplo:
( )ax bx cx x a b c
El factor común es el mcd.
Para obtener el segundo factor es necesario dividir la expresión algebraica que se
quiere descomponer entre el primer factor.
En los siguientes ejemplos se muestra la manera de encontrar la factorización de un
polinomio por factor común.
Ejemplo 15
Factoriza los siguientes polinomios.
a) 2 4 3 5 4 36 9 3a b a b a b
El máximo común divisor es el factor común, en este caso es: 2 33a b
D ividiendo el pol inomio original entre este factor tenemos:
2 4 3 5 4 3
2 3
6 9 3
3
a b a b a b
a b2 22 3b ab a
Respuesta : La factorización es:
2 4 3 5 4 36 9 3a b a b a b 2 3 2 23 (2 3 )a b b ab a
b) 5 3 4 4 3 2 25 37m n p m np m n
El máximo común divisor es el factor común, en este caso es: 2m n
D ividiendo el pol inomio original entre este factor tenemos:
5 3 4 4 3 2 2
2
5 37
m n p m np m n
m n3 2 4 2 35 37m n p m p n
Respuesta : La factorización es:
5 3 4 4 3 2 25 37m n p m np m n 2 3 2 4 2 3(5 37 )m n m n p m p n
Actividad 9
Factoriza los siguientes polinomios.
a) 3 2x x x
b) 4 212 15 6a a a
c) 2 3 2 318 6 42m n mn m n
d) 5 2 2 3 53 12 12x y x y xy
e) 5 4 3 3 3 3 4 4 235 14 28 m n p m n p m n p
3.3.3. Diferencia de cuadrados
Diferencia de cuadrados Es una expresión de la forma 2 2a b
Esta expresión se factoriza de la siguiente forma:
a2 – b2 = (a + b) (a – b)
Una manera de factorizar la di ferencia de cuadrados es ut i lizando el siguiente
procedimiento:
1. Se calcula la raíz cuadrada de cada término.
2. Con estas raíces cuadradas se forman dos binomios conjugados.
3. Estos binomios conjugados se escriben como producto y forman la factorización.
Apliquemos este procedimiento en los siguientes ejemplos.
Ejemplo 16
Factoriza los siguientes polinomios.
a) 2 216 25z g
Primero se determina la raíz cuadrada de cada término:
216 4 z z y 225 5g g
Ahora uti lizamos estas raíces para hacer el producto de binomios conjugados:
(4 5 )(4 5 )z g z g
Respuesta : La factorización es: 2 216 25 (4 5 )(4 5 )z g z g z g
b) 22
36 4
yx
Primero se determina la raíz cuadrada de cada término:
2
36 6x x
y
2
4 2y y
Ahora uti lizamos estas raíces para hacer el producto de binomios conjugados:
6 2 6 2y yx x
Respuesta : La factorización es:
22
36 4 6 2 6 2
y y yx x x
c) 6 4 2 8( ) 4x y y
Primero se determina la raíz cuadrada de cada término:
6 4 2 6 4( ) ( )x y x y y 8 44 2y y
Ahora uti lizamos estas raíces para hacer el producto de binomios conjugados:
6 4 4 6 4 4(( ) 2 )(( ) 2 )x y y x y y
Se eliminan los signos de agrupación internos de cada término:
6 4 4 6 4 4( 2 )( 2 )x y y x y y
Se reducen los términos semejantes:
6 4 6 4( )( 3 )x y x y
Respuesta : La factorzación es:
6 4 2 8 6 4 6 4( ) 4 ( )( 3 )x y y x y x y
Actividad 10
Factoriza las siguientes diferencias de cuadrados.
a) 2 24 9x y
b) 216 m
c) 2 425 49x y
d) 2 4 664 m n p
e) 2 4 61 9m n p
3.3.4. Trinomio cuadrado perfecto
El trinomio cuadrado perfecto Es un t rinomio en el cual dos de sus términos son cuadrados perfectos (tienen raíz cuadrada
exacta) y el tercer término es el doble producto de las raíces cuadradas de los otros dos.
La factorización de un trinomio cuadrado perfecto se puede visualizar como la
operación inversa de elevar al cuadrado un binomio de la forma:
( )a b o ( )a b .
Por lo tanto:
2 2 22 ( )a ab b a b
2 2 22 ( )a ab b a b
Para factorizar un trinomio cuadrado perfecto se puede seguir los siguientes pasos.
1. Se ordena el trinomio respecto a una variable.
2. Se obtiene la raíz cuadrada de los términos cuadrados perfectos.
3. Se verif ica que el doble producto de estas raíces sea el segundo término del
trinomio y de ser así.
4. La factorización se escribe como un binomio elevado al cuadrado cuyos términos
son las raíces cuadradas; el signo del binomio es el signo del segundo término del
trinomio que se está factorizando.
Veamos los siguientes ejemplos.
Ejemplo 17
Factoriza los siguientes polinomios.
a) 2 6 9x x
Primero se obtiene la raíz cuadrada del primer y tercer términos:
2x x y 9 3
Ahora se verif ica que el doble producto de estas dos raíces sea el segundo término
del t rinomio:
2( )(3) 6x x
Se escribe un binomio con las dos raíces; el signo del binomio es el signo del
segundo término del t rinomio:
( 3)x
Se eleva al cuadrado este binomio:
2( 3)x
Respuesta : La factorización es:
2 26 9 ( 3)x x x
b) 2 24 12 9 x xy y
Primero se calcula la raíz cuadrada del primer y tercer término:
24 2x x y 29 3y y
Ahora se verif ica que el doble producto de estas dos raíces sea el segundo término
del t rinomio:
2(2 )(3 ) 12x y xy
Se escribe un binomio con las dos raíces; el signo del binomio es el signo del
segundo término del t rinomio:
(2 3 )x y
Se eleva al cuadrado este binomio:
2(2 3 )x y
Respuesta : La factorización es:
2 2 24 12 9 = (2 3 )x xy y x y
c) 216 56 49
9 18 36x
x
Primero se calcula la raíz cuadrada del primer y tercer término:
216 49 3x
x
y
49 736 6
Ahora se verif ica que el doble producto de estas dos raíces sea el segundo término
del t rinomio:
4 7 562
3 6 18x
x
Se escribe un binomio con las dos raíces; el signo del binomio es el signo del
segundo término del t rinomio:
4 73 6x
Se eleva al cuadrado este binomio:
24 73 6x
Respuesta : La factorización es:
2216 56 49 4 79 18 36 3 6x x
x
Actividad 11
Factoriza los siguientes trinomios cuadrados perfectos.
a) 2 18 81x x
b) 2 14 49x x
c) 2 24 8a ab b
d) 2 26 9m mn n
e) 2 216 40 25a ab b
3.4. Ecuaciones de una variable (lineales y cuadrát icas)
En muchos de los problemas que hemos planteado y resuelto en las secciones anteriores se incluía, de
manera implícita, el concepto de ecuación. En esta sección aprenderemos las técnicas necesarias para
encontrar los valores numéricos que resuelven tanto las ecuaciones lineales como las cuadráticas.
3.4.1. Ecuaciones lineales de una variable
Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas en las que intervienen variables y
cantidades conocidas. Las expresiones de cada lado de la igualdad se llaman miembros de la ecuación.
5 6 7 10primer miembro segundo miembro
x x
Normalmente las ecuaciones ref lejan, de forma algebraica, las condiciones
que deben sat isfacerse para resolver un problema. Por este mot ivo, resulta importante
encontrar los valores numéricos que al ser sust ituidos en lugar de las variables, hacen cierta
la igualdad. A este proceso se le l lama resolver la ecuación .
Para resolver una ecuación es necesario despejar la variable, es decir, dejar sola a la
variable de un lado de la ecuación, para lograrlo revisaremos las siguientes dos propiedades.
Propiedad de la suma
Si a, b y c son números reales y a b entonces
a c b c Ejemplo: Si 3 22 5
x
Entonces: 3 3 2 32 2 5 2
x
Por lo tanto: 19 9
110 10
x
a c b c Ejemplo: Si 5 32 4
x
Entonces: 5 5 3 52 2 4 2
x
Por lo tanto: 74
x
Observa que si tenemos un término sumando en un lado de la ecuación:
a b c
Podemos aplicar la propiedad de la suma con el valor ( )b y tendremos:
a b b c b
O bien:
a c b
Parece que el término ( )b “pasó” al otro lado de la ecuación pero, con signo diferente.
En resumen:
Si a b c entonces a c b
Del mismo modo:
Si a b c entonces a c b
Propiedad de la multiplicación
Si a,b y c son números reales y a= b entonces
( )( ) ( )( )a c b c Ejemplo: Si 1 14 5
x
Entonces 1 1
(4) (4)4 5
x
Por lo tanto 45
x
Si además 0c entonces:
1 1a b
c c
Ejemplo: Si 5 8x
Entonces 1 1
5 85 5
x
Por lo tanto 8 3
15 5
x
Observa que si tenemos un término distinto de cero multiplicando en un lado de la ecuación:
ab c
Podemos aplicar la propiedad de la multiplicación con el valor 1b
y tendremos:
1 1ab c
b b
O bien:c
ab
El término (b) “pasó” al otro lado de la ecuación, pero dividiendo.
En resumen:
Si ab c entonces c
ab
Del mismo modo:
Si a
cb
entonces a bc
Antes de continuar debemos remarcar que la propiedad de la multiplicación nos permite
“pasar” términos de un lado de la ecuación a otro, pero cuando el coeficiente tiene signo negativo (–)
nos permite decidir si deseamos que el signo “pase” junto con el coeficiente o no. Por ejemplo:
Considera la ecuación:
9 3x
Podemos aplicar la propiedad de la multiplicación de las siguientes maneras:
a) “ Pasamos” el coeficiente 9 dividiendo al otro lado de la ecuación:
1 13
9 3x
Por lo tanto:
13
x
b) “ Pasamos” el coeficiente –9 dividiendo al otro lado de la ecuación:
1 13
9 3x
Por lo tanto:
13
x
Ambas respuestas son correctas e iguales, pero normalmente se desea que la variable
tenga signo positivo, por lo tanto la respuesta del inciso (b) será la más apropiada.
Ahora veamos cómo uti lizar estas propiedades en los siguientes ejemplos.
Ejemplo 18
Uti liza la propiedad de la suma para resolver las siguientes ecuaciones.
a) 7 6x
Primero sumamos el valor en ambos lados de la ecuación:
7 7 6 7x
Ahora simplif icamos términos semejantes:
13x
Respuesta : El valor numérico que resuelve la ecuación
7 6x es 13x
b) 2
33
y
Primero restamos el valor 23
en ambos lados de la ecuación:
2 2 2
33 3 3
y
Ahora simplif icamos términos semejantes: 7 1
23 3
y
Respuesta : El valor numérico que resuelve la ecuación 2
33
y es 1
23
y
c) 3.2 7.3m
Primero “pasamos” el término (3.2) al otro lado de la ecuación:
7.3 3.2m
Observa que “pasó” con el signo contrario.
Ahora simplif icamos términos semejantes:
4.1m
Respuesta : El valor numérico que resuelve la ecuación
3.2 7.3m es 4.1m
d) 2 53 3
a
Primero “pasamos” el término 2
–3
al otro lado de la ecuación:
5 23 3
a
Observa que “pasó” con el signo contrario.
Ahora simplif icamos términos semejantes:
3
13
a
Respuesta : El valor numérico que resuelve la ecuación:
2 53 3
a es 1a
e) 5 – x = 7
Primero “pasamos” el término (5) al otro lado de la ecuación:
7 5x
Ahora simplif icamos términos semejantes:
2x
Como normalmente se desea que la variable quede con signo positivo podemos
“pasar” cada término al otro lado de la igualdad cambiando de signo:
2 x
Respuesta : El valor numérico que resuelve la ecuación:
5 7x es 2x
Ejemplo 19
Utiliza la propiedad de la multiplicación para resolver las siguientes ecuaciones.
a) 3 25 7
y
Primero multiplicamos ambos lados de la ecuación por el valor 53
5 3 5 23 5 3 7
y
Realizamos las multiplicaciones indicadas:
1021
y
Respuesta : El valor numérico que resuelve la ecuación
3 25 7
y es 1021
y
b) 102x
Primero multiplicamos ambos lados de la ecuación por el valor (2):
(2) (2)( 10)
2x
Realizamos las multiplicaciones indicadas:
20x
Respuesta : El valor numérico que resuelve la ecuación
102x
es 20x
c) 2
35
m
Primero “pasamos” el valor ( 3 ) dividiendo al otro lado de la ecuación:
1 23 5
m
Realizamos las multiplicaciones indicadas:
2
15m
Respuesta : El valor numérico que resuelve la ecuación:
23
5m
es
215
m
d) 1 75 9
m
Primero “pasamos” el valor (5) multiplicando al otro lado de la ecuación:
7(5)
9m
Realizamos las multiplicaciones indicadas:
35 83
9 9m
Respuesta : El valor numérico que resuelve la ecuación:
1 75 9
m es
83
9m
e) 2 13 2
x
Primero “pasamos” el valor (2) dividiendo y el valor (3) multiplicando al otro
lado de la ecuación:
3 12 2
x
Realizamos las multiplicaciones indicadas:
34
x
Respuesta : El valor numérico que resuelve la ecuación:
2 13 2
x es
34
x
Ahora veamos, en los siguientes ejemplos, la forma en que se resuelven ecuaciones que tienen
variables en ambos miembros.
Ejemplo 20
Resuelve las siguientes ecuaciones lineales.
a) 2 3 4x x
Primero pasamos todos los términos que cont ienen a la variable de un lado de la
ecuación y los otros al otro lado:
4 3 2x x
Observa que los términos 4x y 2 cambiaron de signo.
Ahora simplif icamos los términos semejantes:
5 5x
Por último pasamos el valor 5 dividiendo al otro lado de la ecuación:
1
( 5) 15
x
Respuesta : El valor numérico que resuelve la ecuación lineal:
2 3 4x x es 1x
b) 3
2 15
xx
Primero pasamos el valor (5) mult iplicando al otro lado de la ecuación:
3 (5)(2 1)x x
Realizamos la mult iplicación:
3 10 5x x
Ahora pasamos todos los términos que contienen a la variable de un lado de la
ecuación y los otros al otro lado:
10 5 3x x
Simplif icamos los términos semejantes:
9 2x
Pasamos el valor (–9) dividiendo al otro lado de la ecuación:
2 29 9
x
Observa que “el número se llevó el signo negat ivo”.
Respuesta : El valor numérico que resuelve la ecuación lineal:
32 1
5x
x es 2
9x
c) 3(2 1) 2 4(2 3 )x x
Primero eliminamos los signos de agrupación:
6 3 2 8 12x x
Ahora pasamos todos los términos que contienen a la variable de un lado de la
ecuación y los otros al otro lado: 6 12 8 3 2x x
Simplif icamos los términos semejantes: 6 3x
Pasamos el valor (6) dividiendo al otro lado de la ecuación:
1 13
6 2x
Respuesta : El valor numérico que resuelve la ecuación lineal
3(2 1) 2 4(2 3 )x x es 12
x
d) 1 1
5 32 4
x x
Primero pasamos todos los términos que cont ienen a la variable de un lado de la
ecuación y los otros al otro lado:
1 13 5
2 4x x
Simplif icamos los términos semejantes:
12
4x
Pasamos el valor (4) multiplicando al otro lado de la ecuación:
(4)( 2) 8x
Respuesta : El valor numérico que resuelve la ecuación lineal:
1 15 3
2 4x x
es
8x
Actividad 12
Uti liza las propiedades de la suma y el producto para resolver las siguientes ecuaciones.
a) 3 5x
b) 3 6x
c) 2 4 2x
d) 1
5 2 32
x x
e) 11 7 12 13x x
f ) 3
4 3x x
g) 2( 3) 4 3( 2)x x
3.4.2. Ecuaciones cuadráticas de una variable
Una ecuación cuadrática o de segundo grado es una ecuación en donde la variable tiene como
mayor exponente el valor 2. En esta sección revisaremos dos métodos que nos permitirán
resolver este tipo de ecuaciones.
3.4.2.1. Resolución de ecuaciones cuadráticas por f actorización
Primero aprenderemos a resolver las ecuaciones cuadrát icas mediante la aplicación de las técnicas
de factorización que ya hemos visto. Para lograrlo debemos seguir los siguientes pasos:
1. Pasamos todos los términos a un lado de la ecuación.
2. Simplif icamos los términos semejantes, con lo cual obtendremos un polinomio
igualado a cero.
3. Factorizamos el polinomio.
4. Uti lizamos la propiedad del cero en la multiplicación, es decir:
5. ( )( ) 0a b , si y sólo si, 0a o 0b
Veamos en los siguientes ejemplos la forma en que debemos seguir y aplicar los cuatro
pasos anteriores.
Ejemplo 21
Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas.
a) 22 3x x
Primero pasamos todos los términos a un lado de la ecuación:
22 3 0x x
En este caso no es necesario simpli f icar términos semejantes; nos queda un
polinomio igualado a cero.
Ahora factorizamos el pol inomio:
(2 3) 0x x
En este caso se hizo una factorización por término común.
Por último uti lizamos la propiedad del cero en la multiplicación, es decir,
(2 3) 0x x , si y sólo si, 0x o (2 3) 0x x
(2 3) 0x x , si y sólo si, 0x o 32
x
Observa que en el paso anterior se resolvió la ecuación lineal (2 3) 0x
Respuesta : Los valores numéricos que resuelven la ecuación cuadrática 22 3x x son:
0x
y 3
2x
b) 29 2 27x
Primero pasamos todos los términos a un lado de la ecuación:
29 2 27 0x
Simplif icamos los términos semejantes para que nos quede un polinomio igualado
a cero: 29 25 0x
Ahora factorizamos el pol inomio:
(3 5)(3 5) 0x x
En este caso se hizo una factorización por binomios conjugados.
Por último ut ilizamos la propiedad del cero en la multiplicación, es decir:
(3 5)(3 5) 0x x , si y sólo si, (3 5) 0x o (3 5) 0x
O bien:
(3 5)(3 5) 0x x , si y sólo si, 53
x o 53
x
Observa que en el paso anterior se resolvieron las ecuaciones lineales
(3 5) 0x y (3 5) 0x
Respuesta : Los valores numéricos que resuelven la ecuación cuadrática:
29 2 27x son 53
x y 53
x
c) 2 22 9 3 28x x x x
Primero pasamos todos los términos a un lado de la ecuación:
2 22 9 3 28 0x x x x
Simplif icamos los términos semejantes para que nos quede un polinomio
igualado a cero:
2 10 25 0x x
Ahora factorizamos el pol inomio:
2( 5) 0x
O bien:
( 5)( –5) 0x x
En este caso se hizo una factorización de un trinomio cuadrado perfecto.
Por último uti lizamos la propiedad del cero en la multiplicación, es decir:
( 5)( –5) 0x x , si y sólo si, ( 5) 0x o ( 5) 0x
O bien:
x – 5 = 0, si y sólo si, 5x
Observa que en este caso al resolver las dos ecuaciones l ineales obtuvimos el
mismo valor numérico.
Respuesta : El valor numérico que resuelve la ecuación cuadrát ica:
2 22 9 3 28x x x x es 5x
d) 2 210 2 3 14 1x x x x
Primero pasamos todos los términos a un lado de la ecuación:
2 210 2 3 14 1 0x x x x
Simplif icamos los términos semejantes para que nos quede un polinomio
igualado a cero:
29 12 4 0x x
Ahora factorizamos el pol inomio:
2(3 2) 0x
O bien:
(3 2)(3 2) 0x x
En este caso se hizo una factorización de un trinomio cuadrado perfecto.
Por último uti lizamos la propiedad del cero en la multiplicación, es decir:
(3 2)(3 2) 0x x , si y sólo si, (3 2) 0x o (3 2) 0x
O bien:
(3 2)(3 2) 0x x , si y sólo si, 23
x
Respuesta : El valor numérico que resuelve la ecuación cuadrát ica:
2 210 – 2 3 –14 –1x x x x es
23
x
3.4.2.2. Resolución de ecuaciones cuadráticas por f órmula general
En la práctica, cuando debemos resolver una ecuación de segundo grado, la mayoría de las
veces resulta complicado determinar el método de factorización que conviene utilizar, además
podemos cometer errores que nos lleven a resultados erróneos. En estos casos podemos aplicar la
solución general de la ecuación de segundo grado , que se expresa de la siguiente manera:
Las soluciones de una ecuación de segundo grado: 2 0ax bx c
son: 2 4
2b b ac
xa
y
2– 42
b b acx
a
Lo cual se abrevia como: 2 4
2b b ac
xa
conocida como fórmula general.
Observa: Antes de renovar una ecuación cuadrát ica considera las
siguientes observaciones:
El coef iciente del término cuadrático (a) debe ser diferente de cero
para poder realizar la división.
(b2 –4ac) es l lamado el discriminante , y no debe ser negat ivo para
poder obtener la raíz cuadrada.
Si el discriminante es negativo signif ica que la ecuación original no
tiene como solución números reales.
Para resolver las ecuaciones cuadráticas mediante la aplicación de la fórmula general debemos
seguir los siguientes pasos:
1. Pasamos todos los términos a un lado de la ecuación y los ordenamos.
2. Simplif icamos los términos semejantes, con lo cual obtendremos un polinomio
igualado a cero.
3. Aplicamos la fórmula general.
Veamos en los siguientes ejemplos la forma en que debemos seguir y aplicar los
pasos anteriores.
Ejemplo 22
Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas.
a) 23 3 4 5x x x
Primero pasamos todos los términos a un lado de la ecuación:
23 3 4 5 0x x x
Simplif icamos los términos semejantes y ordenamos para que nos quede un
polinomio igualado a cero:
23 5 2 0x x
Ahora aplicamos la fórmula general a la ecuación cuadrática anterior.
En este caso:
3;a 5b ; 2c
Por lo tanto:
22 ( 5) ( 5) 4(3)(2)42 2(3)
b b acx
a
y
22 ( 5) ( 5) 4(3)(2)42 2(3)
b b acx
a
O también:
5 25 246
x y 5 25 24
6x
Finalmente:
61
6x
y
4 26 3
x
Respuesta : Los valores numéricos que resuelven la ecuación cuadrática
23 3 4 5x x x son 1x y 23
x
b) 2 23 5 2 4y y y y
Primero pasamos todos los términos a un lado de la ecuación:
2 23 5 2 4 0y y y y
Simplif icamos los términos semejantes y ordenamos para que nos quede un
polinomio igualado a cero:
22 3 1 0y y
Ahora aplicamos la fórmula general a la ecuación cuadrática anterior.
En este caso:
2;a 3b ; 1c .
Por lo tanto:
22 ( 3) ( 3) 4(2)(1)42 2(2)
b b acx
a
Entonces:
3 9 8
4x
y 3 9 8
4x
Finalmente:
4
14
x y 2 14 2
x
Respuesta : Los valores numéricos que resuelven la ecuación cuadrática:
2 23 5 2 4y y y y son 1x y 12
x
c) 2 2 5 2 9z z z
Primero pasamos todos los términos a un lado de la ecuación:
2 2 5 2 9 0z z z
Simplif icamos los términos semejantes y ordenamos para que nos quede un
polinomio igualado a cero: 2 4 0z
Ahora aplicamos la fórmula general a la ecuación cuadrática anterior.
En este caso:
1;a 0b ; 4c
Por lo tanto:
22 (0) (0) 4(1)( 4)42 2(1)
b b acx
a
De donde:
162
x
Finalmente: 4
22
x y 4
22
x
Respuesta : Los valores numéricos que resuelven la ecuación cuadrática:
2 2 5 2 9z z z son 2x y 2x
d) 2 22 3 2 3 3x x x x
Primero pasamos todos los términos a un lado de la ecuación:
2 22 3 2 3 3 0x x x x
Simplif icamos los términos semejantes y ordenamos para que nos quede un
polinomio igualado a cero:
2 4 5 0x x
Ahora aplicamos la fórmula general a la ecuación cuadrática anterior:
En este caso:
1;a 4;b 5c
Por lo tanto:
22 ( 4) ( 4) 4(–1)(5)42 2(–1)
b b acx
a
De donde:
4 16 202
x
Finalmente:
105
2x
y
2
12
x
Respuesta : Los valores numéricos que resuelven la ecuación cuadrática:
2 22 3 2 3 3x x x x son 5x y 1x
e) 2 25 13 12 3x x x x
Primero pasamos todos los términos a un lado de la ecuación:
2 25 13 12 3 0x x x x
Simplif icamos los términos semejantes y los ordenamos para que nos quede un
polinomio igualado a cero:
24 12 9 0x x
Ahora aplicamos la fórmula general a la ecuación cuadrática anterior.
En este caso: 4;a 12;b
Por lo tanto:
22 (12) (12) 4(4)(9)42 2(4)
b b acx
a
O bien:
128
x
Finalmente:
32
x
Respuesta : El valor numérico que resuelve la ecuación cuadrát ica 2 25 13 12 3x x x x es
32
x
Actividad 13
Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas.
1. En los siguientes incisos uti liza algún método de factorización.
a) 2 23 3 2 2 2x x x x
b) 2 24 5 12 3 5 3x x x x
c) 2 25 14 3 2 6x x x x
2. En los siguientes incisos ut iliza la fórmula general.
a) 2 24 2 5 12 2x x x x
b) 2 230 20 10 2 25 8x x x x
c) 2 24 2 3 3 2 1x x x x
3.5. Desigualdades lineales y cuadráticas de una va riable
Una desigualdad es una expresión que involucra los símbolos mayor que (>), menor que (< ), mayor
o igual que ( ) y menor o igual que ( ) . La creación de estos símbolos nació de la necesidad de
comparar cantidades para saber si una es más grande que la otra. Se ve más claro cuando dibujamos
una recta numérica y en ella observamos que los números que están a la derecha de la recta serán
mayores que los ubicados a la izquierda, sin importar si son negativos, positivos o inclusive el cero.
–5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5
10 5 (– 10 es menor que – 5)
14 4 (14 es mayor que 4)
5 7 (5 es mayor a –7)
En esta sección estudiaremos la forma en que podemos resolver expresiones
algebraicas relacionadas mediante los signos de desigualdad ( , , , ) .
La solución de una desigualdad es un conjunto de números reales que sat isfacen
la desigualdad, así la desigualdad x > 5 t iene como solución a todos los números reales
mayores que 5; algunos de estos números son: 6, 7, 24/3, 23/3, 5.23, 8.997, etcétera.
Para poder describir a todos estos números se uti lizan los intervalos. Un intervalo es un
conjunto de números reales que satisfacen una desigualdad. Estos intervalos pueden describirse
como conjuntos, mediante la notación de intervalo y pueden representarse en la recta numérica.
Dados a, b números reales tales que a < b, existen distintos tipos de intervalos
def inidos por estos números l lamados extremos del intervalo:
Intervalo abiertoDenotado por (a, b) es el conjunto de todos los números reales situados entre a y b sin tomar
en cuenta a ninguno de los dos.
Es decir:
a b
Intervalo cerradoDenotado por , es el conjunto de todos los números reales situados entre a y b
incluyéndolos:
a b
Semiabiertos o semicerradosSe definen de la manera siguiente:
a b
semiabierto por la derecha
a b
semiabierto por la izquierda
Nota: Observa que en el caso de los intervalos abiertos, los extremos
no están incluidos, mientras que en el caso de los intervalos cerrados los
extremos sí lo están.
Existen otros intervalos llamados infinitos que describen conjuntos de números que
sólo están def inidos por un extremo.
a
a
b
b
3.5.1. Desigualdades lineales de una variable
Al igual que en el caso de las ecuaciones l ineales, para resolver una desigualdad lineal deberemos
uti lizar las propiedades de la suma y de la mult iplicación, así como las propiedades de orden de
los números reales. Como las propiedades de la suma y la multiplicación ya fueron revisadas en
la sección anterior, sólo nos concentraremos en las propiedades de orden.
Propiedades de orden
Sean a,b y c números reales
a b y 0c entonces ac bc
Ejemplo: Si 4 5x y 1
04
Entonces: 1 1
4 54 4
x
Por lo tanto: 54
x
a b y 0c entonces ac bc
Ejemplo: Si 1
37
x y 7 0
Entonces:
1( 7) ( 7)3
7x
Por lo tanto: 21x
En la siguiente tabla se resumen las propiedades de la suma, de la mult ipl icación y de
orden aplicadas a desigualdades lineales.
Sean a,b y c números reales
Si a b c entonces a c b
Ejemplo: Si 3 2x
Entonces: 2 3x
Por lo tanto: 5x
Si a b c entonces a c b
Ejemplo: Si 5 7x
Entonces: 7 5x
Por lo tanto: 2x
Si ( )( )a b c y 0b entonces ca
b
Ejemplo: Si 5 3x
Entonces: 3
5x
Por lo tanto: 35
x
Si ( )( )a b c y 0b entonces ca
b
Ejemplo: Si 2 9x
Entonces: 92
x
Por lo tanto: 92
x
Si ac
b y 0b entonces a bc
Ejemplo: Si 94x
Entonces: (4)(9)x
Por lo tanto: 36x
Si a
cb
y 0b entonces a bc
Ejemplo: Si 65x
Entonces: x> (–5)(6)
Por lo tanto: 30x
Veamos en los siguientes ejemplos la forma en que debemos aplicar estas propiedades
para resolver las desigualdades lineales.
Ejemplo 23
Resuelve las siguientes desigualdades lineales.
a) 3 8 2x
Primero pasamos todos los términos que cont ienen a la variable de un lado de
la desigualdad y los otros al otro lado:
3 2 8x
Observa que se cambió el signo del valor numérico (–8)
Simplif icamos los términos semejantes:
3 6x
Pasamos el valor (3) dividiendo al otro lado de la ecuación:
62
3x
Respuesta : Los valores numéricos que resuelve la desigualdad lineal 3 8 2x
son 2x , es decir, la solución de la desigualdad es el intervalo (2, )
b) 7 2 10 5x x
Primero pasamos todos los términos que cont ienen a la variable de un lado de la
desigualdad y los otros al otro lado:
7 10 5 2x x
Simplif icamos los términos semejantes:
3 7x
Pasamos el valor (–3) dividiendo al otro lado de la ecuación:
7 1
23 3
x
Observa que se cambió la “dirección” de la desigualdad porque 3 0
Respuesta : Los valores numéricos que resuelve la desigualdad l ineal
7 2 10 5x x son 1
23
x
c) 2 3 6 2x x
Primero pasamos todos los términos que cont ienen a la variable de un lado de la
desigualdad y los otros al otro lado:
2 6 2 3x x
Simplif icamos los términos semejantes:
4 5x
Pasamos el valor (–4) dividiendo al otro lado de la ecuación:
5 1
14 4
x
Observa que se cambió la “dirección” de la desigualdad porque, 4 0
Respuesta : Los valores numéricos que resuelve la desigualdad l ineal
2 3 6 2x x son 1
14
x
d) 4 2 18x
Tendremos que resolver las desigualdades:
4 2x y 2 18x
Despejamos la variable de cada una de las desigualdades:
42
x
y
182
x
Finalmente:
2 x y 9x
Respuesta : Los valores numéricos que resuelven la desigualdad lineal 4 2 18x
son los mayores que 2 y menores que 9 ( 2 9x ), es decir, el intervalo (2, 9)
e) 7 2 4 2 10x x x
Tendremos que resolver las desigualdades:
7 2 4 2x x y 4 2 10x x
Pasamos todos los términos que contienen a la variable de un lado de la desigualdad
y los otros al otro lado:
2 4 2 7x x y 4 10 2x x
Simplif icamos los términos semejantes:
6 5x y 3 8x
Despejamos a la variable de cada una de las desigualdades:
5 56 6
x
y
8 22
3 3x
Respuesta : Los valores numéricos que resuelven la desigualdad lineal
7 2 4 2 10x x z son los mayores o iguales que 56
pero menores o iguales
que 2
23
, es decir el intervalo 5 2
,26 3
f) 1
4 2 22
x x x
Tendremos que resolver las desigualdades:
–4 2 2x x y 1
22
x x
Pasamos todos los términos que contienen a la variable de un lado de la desigualdad
y los otros al otro lado:
2 2 4x x
y 1
22
x x
Simplif icamos los términos semejantes:
3 6x
y 3
22
x
Despejamos a la variable de cada una de las desigualdades:
6
23
x
y 2 4
( 2)3 3
x
O bien:
2x y 11
3x
Respuesta : Los valores numéricos que resuelven la desigualdad l ineal,
14 2 2
2x x x
son menores que 2 pero mayores o iguales que 1
13
, es decir, el intervalo:
11 ,2
3
Actividad 14
Resuelve las siguientes desigualdades l ineales.
a) 5 3 2z
b) 6 2 3 5x
c) 7 4 2 9x x
d) 15 8 3 25t
e) 12 4 1 9 6 7w w w
3.5.2. Desigualdades cuadráticas de una variable
Para resolver las desigualdades cuadráticas vamos a seguir los siguientes pasos:
1. Cambiamos el signo de desigualdad por el de igualdad.
2. Resolvemos la ecuación cuadrát ica que resulta del paso 1.
3. Analizamos los resultados obtenidos en el paso 2 para determinar los valores
numéricos que resuelven la desigualdad inicial.
Veamos, en los siguientes ejemplos, cómo aplicar estos pasos para resolver
desigualdades cuadrát icas.
Ejemplo 24
Resuelve las siguientes desigualdades cuadráticas.
a) 2 8 7x x
Primero cambiamos el signo ( ) por el de igualdad ( ) y resolvemos la ecuación
cuadrática resultante:
2 8 7x x
O bien:
2 8 7 0x x
En este caso recurrimos a la aplicación de la fórmula general, con:
1; 8 y 7a b c
Por lo tanto:
22 ( 8) ( 8) 4(1)(7)42 2(1)
b b acx
a
O bien:
8 64 28 8 62 2
x
Finalmente:
14
72
x y 21
2x
Por lo tanto, los valores que resuelven la ecuación cuadrática 2 8 7x x son
7x y 1x . Estos valores dividen a la recta numérica en tres intervalos:
x < 1 1 1 < x < 7 7 7 < x
Todos los valores de cada uno de estos intervalos o satisfacen la desigualdad
original o no la satisfacen. Así qué para determinar qué valores resuelven la
desigualdad 2 8 7x x elegimos un punto de cada uno de estos intervalos y lo
sustituimos en la desigualdad.
Tomemos un valor menor que 1( x < 1 ) por ejemplo 0, al sust it uirlo en la
desigualdad 2 8 7x x tenemos 2(0) 8(0) 0
Ahora elegimos un valor entre 1 y 7 ( 1< x < 7 ) Por ejemplo 2, al sustituirlo en
la desigualdad tenemos: 2(2) 8(2) 12
Como 12 < 7 ningún valor entre 1 y 7 (1 7)x satisface la desigualdad.
Finalmente tomemos un valor mayor que 7 (7 )x por ejemplo 10, al sustituirlo
en la desigualdad tenemos: 2(10) 8(10) 20 . Como 20 > 7 todos los valores
mayores que 7 (7 )x satisfacen la desigualdad.
Respuesta : Los valores que resuelven la desigualdad 2 8 7x x son los
menores que 1 y los mayores que 7, es decir ( ,1) (7, )
b) 2 23 12 25 2 14w w w
Primero cambiamos el signo ( ) por el de igualdad ( ) y resolvemos la ecuación
cuadrática resultante:
2 23 12 25 2 14w w w
O bien: 2 12 11 0w w
En este caso recurrimos a la aplicación de la fórmula general, con:
1; 12 y 11a b c
Por lo tanto:
22 (12) (12) 4(1)(11)42 2(1)
b b acw
a
O bien:
12 144 44 12 102 2
w
Finalmente:
21
2w
y
22
112
w
Por lo tanto los valores que resuelven la ecuación cuadrática:
2 23 12 25 2 14w w w son 1w y 11w
Estos valores dividen a la recta en tres intervalos:
w w w
Todos los valores de cada uno de estos intervalos o satisfacen la desigualdad
original o no la satisfacen. Así que para determinar qué valores resuelven la
desigualdad 2 23 12 25 2 14w w w elegimos un punto de cada uno de estos
intervalos y lo sustituimos en la desigualdad.
Tomemos un valor menor que –11 (w por ejemplo –12, al sustituirlo en la
desigualdad tenemos:
23( 12) 12( 12) 25 y 22( 12) 14
O bien: 313 y 160
Entonces:
23(–12) 12(–12) 25 22(–12) 14
Por lo tanto, todos los valores menores que –11 satisfacen la desigualdad.
Ahora elegimos un valor entre:
–11 y –1 ( 11 1)w
Por ejemplo (–2), al sustituirlo en la desigualdad tenemos:
23(–2) 12(–2) 25 y 22(–2) 14
O bien:
13 y 22
Entonces:
23(–2) 12(–2) 25 22(–2) 14
Por lo tanto ningún valor entre –11 y –1 satisface la desigualdad.
Finalmente tomemos un valor mayor que:
–1 (–1 w)
Por ejemplo el cero, al sustituirlo en la desigualdad tenemos:
23(0) 12(0) 25 y 22( 0) 14
O bien: 25 y 14
Entonces:
23(0) 12(0) 25 22( 0) 14
Por lo tanto todos los valores mayores que –1 satisfacen la desigualdad.
Respuesta : Los valores que resuelven la desigualdad:
2 23 12 25 2 14w w w
Son los menores o iguales que (–11) y los mayores o iguales que (–1)
Es decir, ( , 11] [ 1, )
c) 2 25 5 12 2 4z z z
Primero cambiamos el signo ( ) por el de igualdad ( ) y resolvemos la ecuación
cuadrática resultante:
2 25 5 12 2 4z z z
O bien:
23 5 8 0z z
En este caso recurrimos a la aplicación de la fórmula general, con:
3; 5 y 8a b c
Por lo tanto:
22 (5) (5) 4(3)( 8)42 2(3)
b b acz
a
O bien:
5 25 96 5 116 6
z
Finalmente:
1z
y
16 22
6 3z
Por lo tanto, los valores que resuelven la ecuación cuadrát ica:
2 25 5 12 2 4z z z son
1z
y 22
3z
.
Estos valores dividen a la recta en tres intervalos:
w <2
23
22
3 2
23
< z < 1 1
z > 1
Todos los valores de cada uno de estos intervalos o satisfacen la desigualdad original
o no la sat isfacen. Así que para determinar qué valores resuelven la desigualdad
2 25 5 12 2 4z z z elegimos un valor de cada uno de estos intervalos y lo
sustituimos en la desigualdad.
Tomemos un punto menor que:
22
3
22
3z
Por ejemplo el 4 , al sustituirlo en la desigualdad tenemos:
25( 4) 5(–4) 12 y 22( 4) 4
O bien:
48 y 28
Entonces:
25( 4) 5( 4) 12 > 22( 4) 4
Por lo tanto, ningún valor menor que 2
23
satisface la desigualdad.
Ahora elegimos un valor entre
22
3
y 1
22 1
3z
Por ejemplo –1, al sust ituirlo en la desigualdad tenemos:
25( 1) 5( 1) 12 y 22( 1) 4
O bien:
–12 y –2
Entonces:
25( 1) 5( 1) 12 < 22( 1) 4
Por lo tanto todos los valores entre:
22
3 y 1
22 1
3z satisfacen la desigualdad.
Finalmente tomemos un valor mayor que 1 ( 1 < z ) por ejemplo 2, al sustituirlo
en la desigualdad tenemos:
25(2) 5(2) 12 y 22(2) 4
O bien:
18 y 4
Entonces:
25(2) 5(2) 12 > 22(2) 4
Por lo tanto, los valores mayores que 1 no satisfacen la desigualdad.
Respuesta : Los valores que resuelven la desigualdad:
2 25 5 12 2 4z z z son mayores que 2
23
y menores que 1 es decir:
1
22 1
3z
Actividad 15
Resuelve las siguientes desigualdades cuadráticas.
a) 2 23 2 4 2 6x x x x
b) 2 25 3 4 10 21y y y y
c) 2 22 3 4w w w w
d) 2 29 5 1 3 8 4z z z z
e) 2 22 2 6 10x x x x
3.6. Valores absolutos
El valor absoluto de un número real es su distancia con respecto al cero. Puesto que un número
real puede ser posit ivo, negativo o cero tenemos:
si 0
si 0
si 0
a a
a a a
a a
Nota: La letra a representa un número que puede ser positivo, negativo o cero.
Por lo tanto, –a no es necesariamente un número negativo y podremos
decidirlo hasta que sepamos qué número representa a, por ejemplo:
a) Si 23
a , entonces 23
a
b) Si 45
a , entonces 45
a
c) Si 0a , entonces 0a
Veamos algunas de las propiedades del valor absoluto en la siguiente tabla:
a a Ejemplo: 5 5
2 2a aEjemplo:
2 23 35 5
2a a Ejemplo: 216 ( 16)
ab a bEjemplo:
3 3( 5) 5
7 7
aab b
Ejemplo:
558 8
Ahora combinemos las propiedades del valor absoluto con lo que hemos aprendido
sobre ecuaciones y desigualdades.
Ejemplo 25
Resuelve la siguiente ecuación 7x
Puesto que en la ecuación aparece un valor absoluto, consideramos tres casos:
Si 0x , entonces 0x como 0 7 , entonces no se sat isface la igualdad.
Si 0x , entonces x x , donde 7x
Si 0x , entonces x x , donde 7x por lo tanto 7x
Con lo cual tenemos que 7x y 7x satisfacen la igualdad.
Respuesta : Los valores que satisfacen la ecuación 7x son 7x . Generalizando
este resultado se tiene que: ,x a entonces son soluciones de la ecuación:
x = a y –x= a
Esto también es valido para la expresión:
,x a entonces x < a y –x < a )
a) Resuelve la siguiente ecuación 3 2 7x x
Primero analicemos el término de la derecha:
Si 2 7 0x , entonces no hay solución dado que el valor absoluto es mayor o
igual a cero.
Si 2 7 0x , entonces 72
x y por lo tanto 7
,2
x
Ahora, ut ilizando una de las propiedades del valor absoluto tenemos:
3 2 7x x y ( 3) 2 7x x
Entonces:
3 2 7x x y 3 2 7x x
Ahora resolvemos ambas ecuaciones y tenemos:
3 7 2x x y 7 3 2x x
10 x y 4 3x
De donde:
10 x y 43
x
Pero 4 7
,3 2
Por lo tanto 43
x no puede ser solución de la ecuación inicial, de donde la única
solución es 10x
Respuesta : El valor que satisface la ecuación:
3 2 7x x es 10x
b) Resuelve la siguiente desigualdad:
7 3 4x
Uti lizando una de las propiedades del valor absoluto tenemos:
7 3 4x y (7 3) 4x
Entonces: 7 3 4x y 7 3 4x
Ahora resolvemos ambas desigualdades y tenemos:
7 4 3x y 7 4 3x
4 3 71
7 7x
y
4 3 17 7
x
Por lo tanto, todos los valores:1
17
x satisfacen la desigualdad inicial.
Respuesta : Los valores que satisfacen la desigualdad:
7 3 4x son 1
,17
x
c) Resuelve la siguiente desigualdad 2 3 4x x
Primero analicemos el término de la derecha:
Si 4 0x , entonces no hay solución.
Si 4 0x
Entonces:
4x
Y por lo tanto:
( 4, )x
Ahora uti lizando una de las propiedades del valor absoluto tenemos:
2 3 4x x y (2 3) 4x x
Entonces:
2 3 4x x y 2 3 4x x
Ahora resolvemos ambas desigualdades y tenemos:
2 4 3x x y 2 4 3x x
7x y 3 1x
7x
y
1 13 3
x
Así, para que x sea solución debe cumplir:
4 x y 1
73
x
Por lo tanto, todos los valores1
73
x satisfacen la desigualdad inicial.
Respuesta : Los valores que satisfacen la desigualdad:
2 3 4x x son 1,7
3x
Ejemplo 26
El costo de fabricación de un tubo metálico es de $4.25 y su precio al público es de
$4.90. Se t iene un pedido de 2 000 tubos y como sólo se cuenta con 1 500, el dueño de
la fábrica decide comprar los faltantes a otra fábrica que se los vende a $4.50. Al recibirlos
se percata de que no todos t ienen el mismo tamaño. Al revisar las especif icaciones del
pedido observa que los tubos deben medir 12 m, sin embargo, se acepta una diferencia
de 15 cm, ¿cuáles son las medidas aceptables de los tubos y cuál será la ganancia si se
entrega el pedido de 2 000 tubos?
Lo primero que debemos hacer es igualar las unidades métricas.
15 cm = 0.15 m
Ahora consideremos x = tamaño de los tubos. Entonces tenemos:
12 0.15x
Por las propiedades del valor absoluto:
12 0.15x y (12 ) 0.15x
12 0.15x y 12 0.15x
12 0.15 x y 0.15 12x
11.85 x y 12.15x
Por lo tanto:
11.85,12.15x
Es decir, el tamaño de los tubos debe estar entre 11.85m y 12.15m, inclusive.
Para determinar la ganancia hacemos las siguientes cuentas:
Primero las ganancias obtenidas de los 1 500 tubos que ya tiene:
(1 500)(4.9 4.25) (1 500)(0.65) 975
Las ganancias obtenidas de los tubos que compró
(500)(4.9 4.5) (500)(0.4) 200
Por lo que obtuvo $1,175 de ganancia total.
Respuesta: Los tubos pueden medir entre 11.85 y 12.15 metros y la ganancia
que obtendrá será de $1,175.
Ejemplo 27
El valor absoluto de la suma de dos números enteros consecutivos es menor o igual a 5.
Encuentra los números.
Consideremos x al número menor.
Por lo tanto el otro número será = 1x
Que el valor absoluto de la suma de estos números sea menor o igual que 5 se
escribe como: ( 1) 5x x
O bien 2 1 5x
Entonces, por propiedades del valor absoluto:
2 1 5x y 2 1 5x
2 5 1x y 5 1 2x
2 4x y 6 2x
42
x
y
62
x
2x y 3 x
Por lo tanto:
3,2x
Respuesta: Los números son –3 y –2; –2y –1; –1 y 0; 0 y 1; 1 y 2; 2 y 3
Ejemplo 28
Ana va a realizar una venta de garage y le encarga a su hermano que ponga precio a un sillón.
Ana cree que aunque el valor real del sillón es mayor, un precio de $1 500 estaría bien, con la
opción de que si el cliente quiere bajar el precio, se haga con la condición de que la diferencia
entre la venta y el precio marcado no sea mayor a $150. ¿En cuánto podría vender el sillón?
Consideremos x al precio de la venta f inal.
Que la diferencia sea menor a $150 se escribe como:
1 500 150x
Entonces por propiedades del valor absoluto:
1 500 150x y 1 500 150x
1 500 150 x y 150 1 500x
1 350 x y 1 650x
Por lo tanto:
1 350,1 650x
Respuesta: El valor de la venta final debe estar entre $1 350 y $1 650.
Ejemplo 29
Encuentra todos los números enteros cuya distancia al 7 sea menor o igual a 3.
Consideremos x = al número cuya distancia al 7 es menor o igual a 3.
Entonces:
7 3x
Luego, por las propiedades del valor absoluto:
7 3x y 7 3x
7 3 x y 3 7x
4 x y 10x
Por lo tanto:
4,10x
Respuesta: Los números cuya distancia al 7 es menor o igual a 3 son:
4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
Actividad 16
a) Resuelve la siguiente ecuación:
8 5 4x x
b) Resuelve la siguiente desigualdad:
2 4 10x
c) El dueño de una fábrica debe entregar a uno de sus compradores 1 800 varil las,
cuyo costo de fabricación es de $8.37 cada una. Cada varilla será vendida en $9.46.
Como sólo t iene material para 1 250 piezas, decide comprar las restantes a otra
fábrica, que se las vende a $9.12 cada una. Al recibir las vari llas, observa que no
todas tienen el mismo tamaño. Deben medir 13 m de largo, sin embargo, si la
diferencia no excede de 8 cm, las puede aceptar. ¿Qué medida pueden tener las
vari llas? ¿Cuál será la ganancia si entrega las 1 800 varillas?
d) El valor absoluto de la suma de dos números enteros consecutivos es menor o
igual a 7. Encuentra los números.
e) Una mesa en liquidación no t iene et iqueta; el comprador pregunta al vendedor
por el precio y éste consulta con la gerente, quien le dice: “Aunque creo que su
valor es mayor, considero que un precio justo sería $2 000. Ponle el precio que
consideres y l lega a un acuerdo de tal manera que la diferencia entre el precio en
el que lo vendas y el que yo te sugiero no sea mayor a $197”. ¿En cuánto debe
vender la mesa?
f) Encuentra todos los números enteros cuya distancia al 8 sea menor o igual a 2.
3.7. Solución de problemas de la empresa a través d el manejo algebraico: inversiones, determinación de precios y utilidad
Una de las razones por las cuales se establece una empresa es para obtener una uti lidad
mediante la producción y venta de art ículos o servicios. Para determinar el precio de venta de
un producto, se añade al costo de producción un importe adecuado que sirva para cubrir todos
los gastos y conseguir una util idad. Esta cantidad adicional se conoce como margen de uti lidad
bruta. Los gastos de la empresa se designan como gastos indirectos. Cualquier importe que
resulte después de cubrir los gastos indirectos de la empresa es la uti lidad neta. Estas relaciones
se pueden representar mediante las siguientes ecuaciones:
Margen de ut ilidad bruta = gastos indirectos + uti lidad neta
Costo + Margen de ut ilidad bruta = precio de venta
O bien:
C M S
Donde:
C = Costos
M = Margen de ut ilidad bruta
S = Precio de venta
En los siguientes ejemplos aplicaremos los conceptos algebraicos que hemos aprendido
para poder determinar los precios y la uti lidad de diferentes negocios.
Ejemplo 30
Un minorista desea vender un aparato en $200. Si su margen de utilidad bruta normal es del
32% del precio de venta, ¿cuánto puede pagar por el aparato si desea obtener ese margen de
utilidad bruta?
Como va a vender el aparato en $200 signif ica que S = 200
Si el margen de utilidad bruta es del 32% del precio de ventas tendremos:
M = 32% de S
Es decir:
(0.32)(200)M
Si t ratamos de determinar cuánto puede pagar, signif ica que desconocemos el
costo C.
Recordamos la ecuación:
C M S
Con lo cual tenemos:
(0.32)(200) (C 200
Despejando el valor de C:
200 (0.32)(200) 200 64 136C
Por lo tanto:
C = 136
Respuesta: El costo máximo que debe pagar por el aparato es de $136.
Ejemplo 31
Un diseñador desea producir un traje para venderlo en $2 100. Si normalmente añade 40% del
costo para cubrir todos los gastos y la utilidad neta, ¿cuánto es lo más que puede gastar en la
confección del el traje?
En este caso tenemos que el precio de venta será:
2 100S
Como añade 40% del costo para cubrir todos los gastos, tenemos que la ut ilidad
neta es:
M = 40% del costo
Nuevamente empleamos la ecuación C M S
Con lo cual tenemos:
(0.40) 2 100C C
Resolvemos la ecuación:
(1.40) 2 100C
21001 500
1.40C
Por lo tanto:
1 500C
Respuesta: Lo máximo que puede gastar en la confección del traje son $1 500.
Ejemplo 32
Un vendedor compró un nuevo producto en $1 200. ¿A qué precio debe vender el producto
nuevo si desea añadir un margen de utilidad bruta de 20% sobre el precio de venta para cubrir
los gastos indirectos y la utilidad neta?
Como el vendedor desea que la utilidad bruta sea de 20% sobre el precio de venta tenemos:
(0.20)M S
Nuevamente empleamos la ecuación:
C M S
Tenemos:
1 200 (0.20)S S
1 200 (0.20)S S
1 200 (0.80)S
1 2001 500
0.80S
Por lo tanto:
1 500S
Respuesta: El vendedor debe vender el producto nuevo en $1 500.
Ejemplo 33
El dueño de una recaudería compró 120 kg de papas a $6 el kilo; aunque probablemente
el 5% se echará a perder y tendrá que tirarse. Si requiere un margen de utilidad bruta del
30% del costo para la totalidad del embarque, ¿a qué precio debe dar el kilo de papas?
Primero vamos a determinar el costo total.
Costo total:
= (120)($6) $720
Sabemos que
(0.30)720M
Ahora para determinar el precio de venta total apliquemos la ecuación:
C M S
720 (0.30)(720) S
Por lo tanto:
1 555.2S 0
Es decir, que el precio total de venta debe ser de $1 555.20, el cual se obt iene de
la venta de las papas que no se dañen.
Ahora, si consideramos que 5% de las papas puede llegar a dañarse, entonces, en
kg se dañarán: (0.05)(120) 6 ki los de papas.
Por lo tanto, la cantidad que se espera vender es de: 120 6 114 kilos
El precio por ki lo se obtiene:
precio total de venta
Precio por kilo cantidad de kilosa vender
1 555.20Precio por kilo 13.642
114
Respuesta: El dueño de la recaudería debe dar a $14.00 el ki lo de papas para
obtener el margen de uti l idad bruta requerido, sin importar que 5% del producto
se eche a perder y no se venda.
Nota: Al f ijar precios al menudeo, siempre se redondea al siguiente dígito
más alto, inclusive si el tercer decimal es inferior a 5.
Ejemplo 34
Claudia quiere tener algo de dinero y decide cuidar niños por las tardes. Su tarifa es de $60 más
$20 por cada hora que los cuida. Si quiere tener un ingreso de $200 diarios, ¿cuántas horas
deberá trabajar cuidando niños?
Sea x número de horas que deberá trabajar; y = ingreso
Como se quiere un ingreso de $200, entonces 200y
El ingreso está dado por la expresión 20 60x y , por tanto: 60 20 200x
20 200 60x
14020
x
7x
Respuesta: Deberá trabajar 7 horas diarias para tener $200 de ingreso.
Ejemplo 35
El empleado de una empresa que renta coches recibe de sueldo $650 diarios más $20 por cada
auto que promocione para su renta. Si requiere ingresos por $1 000 diarios, ¿cuántos autos
deberá promocionar?
x número de autos promocionados por el vendedor; I ngreso = 1 000
Si el ingreso del vendedor está dado por 650 + 20x = I, entonces:
650 20 1000x
34020
x
17x
Respuesta : Debe promocionar 17 autos para tener un ingreso de $1 000 diarios.
Ejemplo 36
El precio de una bomba de agua está dado por la expresión 110p q , donde q representa el
número de bombas vendidas y p el precio de venta. ¿Qué cantidad de bombas se deben vender
si se sabe que los ingresos están dados por la función I pq y se quiere que el ingreso sea
superior a $29 736?
Tenemos:
I pq y 110p q
Entonces:
2( 110) 110I q q q q
Como se requiere un ingreso superior a 29 736.
29 736I
Entonces:
2 110 29736q q
O bien:
2 110 29736 0q q
Para resolver la desigualdad, primero resolvemos la ecuación cuadrática:
2 110 29 736 0q q
Por lo tanto:
2110 110 (4)(29 736)
2q
O bien:
110 3622
q
Finalmente:
236q y 126q
Ahora tomamos un valor en cada uno de los intervalos generados por las
soluciones 236q y q = 126 para determinar si se satisface la desigualdad 2 110 29 736q q
Primero se toma un punto menor que 236 , por ejemplo 300
2( 300) 110( 300) y 29 736
O bien:
57 000 y 29 763
Por lo tanto:
2( 300) 110( 300) > 29 736
Ahora se toma un punto entre 236 y 126, por ejemplo 0
2(0) 110(0) y 29 736
O bien:
0 y 29 736
Por lo tanto:
2(0) 110(0) < 29 736
Finalmente, tomamos un punto mayor que 126, por ejemplo 300:
2(300) 110(300) y 29 736
O bien: 123 000 y 29 736
Por lo tanto:
(300)2 + 110 (300) > 29 736
Por lo tanto, los valores que satisfacen la desigualdad:
2 110 29 736q q
son los menores que 236 y los mayores que 126 ( , 236) (126, )
Respuesta : Como no podemos hablar de ventas negativas se concluye que deben
venderse más de 126 bombas de agua para obtener un ingreso superior a $ 29 736.
Actividad 17
Plantea y resuelve los siguientes ejercicios:
a) Un vendedor compró un radio en $800. Desea añadir un margen de ut il idad
bruta de 40% sobre el precio de compra para cubrir los gastos indirectos y la
uti lidad neta. ¿A qué precio debe vender el radio?
b) Un minorista desea vender un aparato en $400. Su margen de utilidad bruta
normal es de 50% del precio de venta. ¿Cuánto puede pagar por el aparato si desea
obtener su margen de uti lidad bruta normal?
c) Una empresa produjo 500 calefactores a un costo de $200 cada uno. Esperan venderlos
con un margen de utilidad bruta de 40% sobre el costo. Sin embargo, los calefactores
son un artículo que se vende por temporada y desean tomar en cuenta una venta
especial de 10% de los calefactores a $100 cada uno. ¿Cuál sería el precio original con
el f in de que la compañía obtuviera 40% sobre el costo de la venta total?
d) Vas a dejar tu automóvil en un estacionamiento que tiene una tari fa de $10 más
$5 por cada hora que el automóvil permanezca en él. Si sólo dispones de $45 para
el estacionamiento, determina cuántas horas lo puedes dejar ahí.
e) En una papelería el precio de un lápiz adhesivo está dado por la expresión
10p q , donde q es el número de lápices y p es el precio de cada uno. Si se
sabe que los ingresos están dados por la función I pq , ¿cuántos lápices se
necesitan vender para tener un ingreso de $13 200?
Desarrollo de ejercicios seleccionados.
Actividad 3
Resolver:2 2 2 3 2 2 3(5 2 4 ) ( 3 10)x y y y x y y
Se escribe el minuendo y sustraendo en orden, con respecto a la misma variable
(que en este caso es y), identif icando los términos semejantes y se acomodan en
forma de columna:
2 2 2 3
2 2 3
5 2 4
3 10
x y y y
x y y
Se mult ipl ica el sustraendo por el signo menos para indicar la resta:
2 2 2 3
2 2 3
5 2 4
( 3 10)
x y y y
x y y
Se elimina el paréntesis y se suman algebraicamente los coef icientes:
2 2 2 3
2 2 3
2 2 2 3
5 2 4
3 10
8 2 5 10
x y y y
x y y
x y xy y
Respuesta : La solución es:
2 2 38 2 5 10x y xy y
Actividad 5
Resuelve:23 5 2 2
3 2 3 2 3 2
3 2u v u v u vu v u v u v
Se realiza cada una de las operaciones:
33 3 1 2 1
3 2
3 33 3
u vu v v
u v v
5 25 3 2 2 2
3 2
22 2
u vu v u
u v
2 22 3 2 2 1
3 2
1u vu v u
u v u
Respuesta : La solución final es:
23 5 2 22
3 2 3 2 3 2
3 2 3 12
u v u v u vu
u v u v u v v u
Actividad 6
Resuelve:
2 2( 4 )( 4 )ab z abc ab z abc
Se ident if ican los términos:
2x ab z y 4y abc.
Se aplica el producto de binomios conjugados para obtener:
2 2 2 2 2( 4 )( 4 ) ( ) (4 )ab z abc ab z abc ab z abc
Se aplican las propiedades de los exponentes para obtener:
2 2 2 2 4 2 2 2 2( ) (4 ) 16ab z abc a b z a b c
Respuesta : La solución final es:
2 2 2 4 2 2 2 2( 4 )( 4 ) 16ab z abc ab z abc a b z a b c
Autoevaluación
Realiza las siguientes operaciones:
1. 2 2 2 2(5 7 4 ) ( 3 10 )xy x y z x y xy z
a) 2 2 54 10 4 10xy x y z z
b) 2 2 56 4 4 10xy x y z z
c) 2 24 10 6xy x y z
2. 3 2 74 8
3 3a b a b
a) 1 643
a b
b) 5 832
9a b
c) 3 2 743
a ba b
3. 2( )xy xy
a) 3 3 2 22xy x y x y
b) 3 3 2 22xy x y x y
c) 3 3 2 22xy x y x y
Factoriza las siguientes expresiones:
4. 4 29 49r t
a) 2 2(3 7 )(3 7 )r t r t
b) 2 2(3 7 )(3 7 )r t r t
c) 2 2(3 7 )(3 7 )r t r t
5. 4 212 36w w
a) 2 2( 6)w
b) 2 2( 6)w
c) 2( 6)w
6. Un comerciante vendió la mitad de sus sandías a $15, tres octavas partes las vendió a
$10 y el resto las remató a $6, si obtuvo ingresos por $192, determina el número de
sandías que vendió.
a) Vendió 16 sandías.
b) Vendió 8 sandías
c) Vendió 24 sandías
7. Un sastre, vende sus trajes a un precio de 1 350p q por unidad. Si por concepto
de trajes se deben ingresar más de $12 500 al mes, ¿cuántos trajes se debe vender?
a) Deben vender 8 trajes o más.
b) Deben vender 10 trajes o más.
c) Deben vender 14 trajes o más.
8. Un minorista desea vender un radio en $1 200. Su margen de utilidad bruta normal es
del 40% sobre del precio de venta. ¿Cuánto puede pagar por el radio si desea obtener su
margen de ut ilidad bruta normal?
a) Puede pagar hasta $720.
b) Puede pagar hasta $480.
c) Puede pagar hasta $300.
Respuestas a los ejerciciosActividad 1
a) 42a
b) 32x
c) m
d) 6715
b
e) 24 6x x
Actividad 2
a) 12 10x y xy
b) 28 9x x
c) –12m –2n
d) 4 5a b
Actividad 3
1. a) 3 22 9 17 16x x x
b) 3 2 214 11 3ab a b a
c) 2 3 3 2 27 7 11a b ab a b a
2. a) 2 34 9 2 5x y y
b) 210 12 10x y
c) 3 3 322 5 10x y y x
d) 2 2 2 38 2 –5 10x y y y
Actividad 4
a) 5 632a b
b ) 8 10m n
c) 6 1 712
m n p
d) 219
b c
e) 235 x
Actividad 5
a) 1
b ) xzy
c)2
45
ab
d) 2 5
2
12
a cb
e) 23 1– 2u
v u
f ) 8 4x
g) 22 4 1x x
Actividad 6
a) 2 24x y
b) 2 2 4 2x y z w
c) 6116
4x
d) 4 2 61 19 25
m n p
e) 4x
f ) 2 4 2 2 2 2–16a b z a b c
Actividad 7
a) 225 20 4a a
b) 2 24 12 9x xy y
c) 4 2 3 61 1 1
4 3 9x x y y
d) 4 2 2 41 2 125 35 49
m m n n
Actividad 8
a) s
b) 2
c) 23x y
d) 5xy
e) 2 2–4 p qr
Actividad 9
a) 2( 1)x x x
b) 33 (4 5 2 )a a a
c) 2 26 ( 3 7 )mn mn n m
d) 2 4 33 ( 4 4 )xy x xy y
e) 3 3 2 27 (5 2 4 )m n p m np p mn
Actividad 10
a) (2 3 )(2 3 )x y x y
b) (4 )(4 )m m
c) 2 2(5 7)(5 7)xy xy
d) 2 3 2 3( 8 )( 8 )mn p mn p
e) 2 3 2 3(1 3 )(1 3 )mn p mn p
Actividad 11
a) 2( 9)x
b) 2( 7)x
c) 2(2 )a b
d) 2( 3 )m n
e) 2(4 5 )a b
Actividad 12
a) 2x
b) 2x
c) 3x
d) 1
53
x
e) 1
92
x
f ) 9x
g) 4x
Actividad 13
1. a) 0; 2x x
b) 3; 3x x
c) 32
x
2. a) 7
1;3
x x
b) 3 6
;4 7
x x
c) 2x
Actividad 14
a) 1z
b) 9
12
x
c) –1 x
d) 17 73 3
t
e) 2 15 7
w
Actividad 15
a) ( 2) (1, )
b) 9 2y
c) ( , 2) ( 2, )
d) 1 5
, ,3 2
e) 4 3x
Actividad 16
a) 3x
b) ( 3, 7)x
c) Las varillas pueden medir entre 12.92 y 13.08 metros y la ganancia total es de $1 549.50
d) Los números son –4 y –3; –3 y –2; –2 y –1; –1 y 0; 0 y 1; 1 y 2; 2 y 3; 3 y 4.
e) El precio de la venta f inal puede estar entre $1 803 y $2 197.
f ) Los número cuya distancia al 8 es menor igual a 2 son 6, 7, 8, 9, 10
Actividad 17
a) Debe vender el nuevo radio a $1 120.
b) El costo máximo que debe pagar por el aparato es de $200.
c) El precio original debe ser de $300.
d) Lo puedes dejar 7 horas.
e) Se necesitan vender 120 lápices.
Respuestas a la autoevaluación
1. c)
2. b)
3. b)
4. c)
5. a)
6. a)
7. b)
8. a)