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1
Algebra lineal
Capitulo 2 SISTEMAS LINEALES
Mara Cristina Meja
Prez
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2
CONTENIDO 1. DETERMINANTES ................................................................................ 3
1.1 MENOR Y COFACTOR ....................................................................................................................................................................... 4 1.1.1 MENOR ........................................................................................................................................................................................................................ 4
1.1.2 COFACTOR ................................................................................................................................................................................................................... 6
1.2 DETERMINATE DE UNA MATRIZ 3X3................................................................................................................................................ 7 1.2.1 Teorema de expansin de determinantes:.................................................................................................................................................................. 7
1.2.2 Teorema sobre una fila o columna de ceros ............................................................................................................................................................... 9
2. SISTEMAS LINEALES ....................................................................... 11 2.1 SISTEMA ES HOMOGNEO ............................................................................................................................................................. 12
2.2 Solucin por el mtodo de eliminacin de Gauss Jordan .............................................................................................................. 13
3. SUBESPACIOS LINEALES .................................................................. 15 3.1 ESPACIO VECTORIAL ....................................................................................................................................................................... 15
3.1.2 ejemplos de espacios vectoriales .............................................................................................................................................................................. 15
3.2 SUBESPACIO ................................................................................................................................................................................... 17 3.2.1 ejemplos de subespacios vectoriales ........................................................................................................................................................................ 18
4. DIMENSION Y BASE DE UN ESPACIO LINEAL .................................... 19 4.1 DEFINICIN DE DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA DE UN SUBESPACIO. ...................................................................................... 19
4.2 COMBINACIONES LINEALES. DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA DE VECTORES ............................................................................ 20
4.3 Sistema generador de un espacio vectorial ................................................................................................................................... 24
4.4 Envoltura lineal .............................................................................................................................................................................. 26
4.5 Base de un espacio vectorial .......................................................................................................................................................... 26
5. REFERENCIAS ................................................................................. 28
-
3
1. DETERMINANTES
Asociado a cada matriz cuadrada A hay un nmero llamado determinante de A. Determinante de A se puede escribir de dos formas:
A Determinante de A (no lo confundan con el signo del valor absoluto de un nmero real)
Det A Esta se utiliza a veces en lugar de A para evitar la confusin.
Una matriz es de primer orden cuando nicamente tiene un solo elemento y 11aA y definimos la determinante de A cmo 11aA . Ahora si la matriz A es una matriz cuadrada de segundo orden tendremos una matriz de 2 x 2 de modo que
2221
1211
aa
aaA es una matriz cuadrada de segundo orden.
Para hallar el determinante de esta matriz se realiza de la siguiente manera:
2221
1211
aa
aaA A ( a11 ) ( a22 ) - ( a21 ) ( a12 )
Ejemplo:
Encuentre A si 58383241314
23
A
EJERCICIO I
multiplicar multiplicar
RESTAR
multiplicar multiplicar
RESTAR
-
4
Hallar el determinante de las siguientes matrices:
1) 12
31
A
2) 35
13
A
3) 46
23B
4) qp
nmC
1.1 MENOR Y COFACTOR
1.1.1 MENOR
Para cada entrada aij de una matriz cuadrada A de orden 2nn , el menor Mij se define como el determinante de la matriz de orden n 1 obtenida al suprimir la fila i-sima y la columna j-sima de A. Asi, para
1
2
2 3
4
7 5 1
6 A =
-
5
Para hallar el menor M11: a) suprimimos la primera fila y la primera columna asi b) tomamos los nmeros que no quedan tapados (los nmeros rojos) c) Tercero hallamos el determinante Hallar los menores M12, M22 y M32
1
2
2 3
4
7 5 1
6 M11 =
1
2
2 3
4
7 5 1
6 M11 = 75
64
1
2
2 3
4
7 5 1
6 M11 = 23028657475
64
1
2
2 3
4
7 5 1
6 M12 = 8614617271
62
1
2
2 3
4
7 5 1
6 M22 = 437137171
31
1
2
2 3
4
7 5 1
6 M32 = 066326162
31
-
6
1.1.2 COFACTOR
El cofactor Aij de la entrada aij se define como el menor Mij multiplicado por ijjiij MA 1 El cofactor nos da como resultado es el signo del menor. Del ejemplo anterior obtuvimos los siguientes resultados de los menores
MENOR COFACTOR
M11 = -2 22121211 211 ijjiij MA
M12 = 8 88181811 321 ijjiij MA
M22 = 4 44141411 422 ijjiij MA
M32 = 0 0011 23 ijjiij MA En una matriz de tercer orden, el signo de los menores seria:
EJERCICIO II
Hallar el menor y cofactor de cada elemento de la matriz dada.
1) 20
13A 2)
01
53
B
3) 41
23
C 4)
423
210
412
D
-
7
5)
031
242
523
D
1.2 DETERMINATE DE UNA MATRIZ 3X3
Definicin: el determinante de A de una matriz cuadrada de tercer orden se define as:
131312121111
333231
232221
131211
AaAaAa
aaa
aaa
aaa
A
En esta definicin se establece un patrn de multiplicar cada elemento de la fila 1 por su cofactor, luego se suman todos los resultados para hallar A . A
ste proceso se le conoce como expandir A por primera fila, pero podemos expandir A por cualquier fila o columna.
1.2.1 TEOREMA DE EXPANSIN DE DETERMINANTES:
El determinante de una matriz A de orden 2nn puede evaluarse multiplicando cada entrada en cualquier fila o (columna) por su cofactor y sumando los productos resultantes. Ejemplo:
Hallar el determinante de A
321
542
356
A
-
8
Primero hallamos los cofactores de la primera fila
Cofactor de 11A 616166211
Cofactor de 12A 515155321
Cofactor de 13A 313133431
Luego hallamos los menores de la primera fila
32
54 M
321
542
356
11A
31
52 M
321
542
356
12A
21
42 M
321
542
356
13A
Ahora lo colocamos como la definicin
131312121111
333231
232221
131211
AaAaAa
aaa
aaa
aaa
A
21
423
31
525
32
546
321
542
356
A
-
9
Ahora operamos
412231532525346
7755132
03115226
1.2.2 TEOREMA SOBRE UNA FILA O COLUMNA DE CEROS
Si todo elemento de una fila ( o columna ) de una matriz cuadrada A es cero, entonces .0A
Ejemplo: Calcule el determinante de
523
405
301
A
2215420045
312
53
310
53
450A
523
405
301
A
Ejemplo 2: Calcule el determinante de:
6251
0032
4010
3001
A
Desarrollamos A
Observa cuidadosamente la matriz A y veras que la segunda columna tiene varias entradas a cero. Por lo que hallaremos el determinante por la segunda columna.
Observa cuidadosamente la matriz A y veras que la tercera columna tiene varias entradas a cero. Por lo que hallaremos el determinante por la tercera columna.
-
10
43
43332313
4343333323231313
2
2000
A
AAAA
AaAaAaAaA
6251
0032
4010
3001
A
032
410
301
22 43A
32
103
02
400
03
411122
34
43A
12626122301212
EJERCICIOS
Hallar el determinante de la matriz dada.
1)
136
524
213
A 2)
043
310
201
A 3)
324
613
152
A
Ahora desarrollamos el determinante por la primera fila de A43 as
-
11
4)
543
010
053
A 5)
214
401
372
A 6)
032
011
123
A
7)
112
043
152
A 8)
602
723
145
A 9)
214
401
372
A
2. SISTEMAS LINEALES Un sistema de ecuaciones lineales de mXn es un conjunto de ecuaciones lineales (recuerda la ecuacin de la lnea recta) sobre un cuerpo o un anillo conmutativo, de la forma
Donde Al trmino b se le llama independiente Cada amn y cada bi son nmeros reales y las xi son incgnitas que en otras ocasiones las hemos llamado, x, y, z.
El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables (xi) que satisfacen todas las ecuaciones
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2.1 SISTEMA ES HOMOGNEO
Si todas las b del sistema de ecuaciones lineales presentado anteriormente, fueran cero como se representa
Entonces se dice que es un sistema homogneo
En general, al resolver un sistema de ecuaciones lineales encontramos como solucin una de estas tres posibilidades: una solucin nica, ninguna solucin o un nmero infinito de soluciones. Pero en un sistema de ecuaciones lineales homogneo hay dos posibilidades: cero como solucin (llamada solucin trivial) o un nmero infinito de soluciones adicional a cero como solucin (llamada solucin no trivial). Algunos ejemplos de sistemas homogneos pueden ser
Teorema: Un sistema de ecuaciones lineales homogneo tiene un nmero infinito de soluciones si n > m.
-
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2.2 Solucin por el mtodo de eliminacin de Gauss Jordan
Los sistemas homogneos SIEMPRE tienen solucin ya que X1= x2= x3= = xn= 0 Es siempre una solucin del sistema, sta solucin es llamada la solucin trivial, o solucin cero, as un sistema homogneo de ecuaciones lineales tiene solucin nica o tiene una infinidad de soluciones no triviales. Ejemplo 1: Sistema homogneo que solo tiene la solucin cero
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones
Solucin.
Luego, x = y = z = 0, el sistema tiene solucin nica, la solucin trivial. Ejemplo 2: Sistema homogneo con un nmero infinito de soluciones
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones
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Solucin.
De donde:
Hacemos z = t , y la solucin se expresa como:
En ste caso el sistema tiene una infinidad de soluciones
-
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3. SUBESPACIOS LINEALES Antes de hablar de subespacios lineales debemos hablar de espacios vectoriales
3.1 ESPACIO VECTORIAL
Definicin: Un espacio vectorial real V es un conjunto de objetos, denominados vectores, junto con dos operaciones llamadas adicin y multiplicacin por un escalar que satisfacen los diez axiomas que se enuncian a continuacin
1. si x V y y V, entonces x + y V (cerradura de la adicin) 2. si x, y y z son elementos cualesquiera de V, entonces (x + y) 3. existe un vector 0 V tal que para todo x V, x +0 = 0 + x =x (al 0 se le llama vector cero o identidad
aditiva) 4. si x V, existe un vector x en V tal que x + (- x)=0 (-x recibe el nombre de inverso aditivo de x) 5. si x y y estn en V, entonces x + y = y + x (ley de conmutatividad de la adicin vectorial) 6. si x V, y es un escalar entonces x V(cerradura ante la multiplicacin por un escalar) 7. si x y y estn en V y es un escalar entonces (x + y) = x + y (primera ley de distribucin) 8. si x V y y son escalares, entonces ( + )x= x +x (segunda ley de distribucin) 9. si x V y y son escalares, entonces (x)= ()x (ley de la asociatividad de la multiplicacin por un
escalar) 10. para todo vector x V, 1x =x (al escalar 1 se le llama identidad multiplicativa)
3.1.2 EJEMPLOS DE ESPACIOS VECTORIALES
1) , la recta numrica, con las operaciones habituales de adicin y multiplicacin.
2) Sea N el conjunto de los nmeros naturales.
Entonces n={v=(x1, x2, . . . , xn)|xi N}, con la adicin y multiplicacin por escalares definidas por:
(x1, x2,, xn )+(y1,y2,,yn ) = (x1+y1, x2+y2,, xn+yn )
-
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( x1, x2,, xn ) = ( x1 , x2 ,, xn )
3) El conjunto de las funciones reales continuas definidas sobre un intervalo ,que denotamos por a bo
,. Es decir,
a b
o
,={f|f es continua en [a,b]}.
Las operaciones son:
(f+g)(x)=f(x)+g(x)
( f)(x)= f(x)
f ,ga b
o
,,x [a,b] , .
Este es uno de los espacios de funciones ms importante en Anlisis Matemtico.
4) mxn mxn = { A : A es una matriz real de orden mxn}. Las operaciones son:
A+B=C,a ij+bij=ci j ,
B= A,bi j= aij ,
A,B,C mxn,( i , j ) 1,m]x[1,n], .
5) El espacio de las sucesiones reales
l2 = {v = (x1, x2, .. , xn, ...): xnn
2
1
< }, con las operaciones:
i) (x1, x2,...,xn,...)+(y1, y2,...,yn,...) = (x1 + y1 , x2 +y2,...,x + yn,...)
ii) 1 , x2 , ..., xn, 1 2 n, ...)
1,x2,...,xn,..),(y1,y2,...,ym,..) 2
La verificacin que todas las propiedades para la adicin y multiplicacin por escalares se cumplen es bastante simple en todos los casos, excepto quizs en el ejemplo 5. Veremos este caso como ejercicio. En realidad, la nica dificultad consiste en demostrar que la suma de dos sucesiones en l2 es tambin una
sucesin en l2. En efecto, si (x1,x2, .., xn, ...) e (y1 , y2 , ... ,yn) estn en l2 , entonces
n
1
|xn|2 < ,
n
1
|yn|2 <
Para la sucesin suma :
n
1
|xn + yn|2 x yn n
n
2
1
-
17
=n
1
|xn|2 + 2
n
1
|xn| |yn| +n
1
|yn|2
Pero: (|xn|-|yn|)2>0, luego:
| xn |2-2|xn||yn|+|yn|
2 >0
|xn|2+|yn|
2 >2|xn||yn|
as: n
1
|xn + yn|2
n
1
|xn|2 + (
n
1
|xn|2 +
n
1
|yn|2 ) +
n
1
|yn|2
= 2 n
1
|xn|2 + 2
n
1
|yn|2 <
6) El espacio de las sucesiones reales convergentes c={v=(x1,x2,...): xxlim nn
}, con las operaciones:
i) (x1, x2,.....)+(y1, y2,.....) = (x1 + y1 , x2 +y2,.....)
ii) 1 , x2 , ..., xn, 1 2 , .....)
1,x2,.....), (y1,y2,.....)
7) El espacio de las sucesiones reales convergentes a cero c0={v=(x1,x2, ...): 0xlim nn
}, con las operaciones del ejemplo 6.
8) El conjunto de todas las sucesiones numricas acotadas m={v=(x1,x2, ...): xi , para algn x }, con las operaciones del ejemplo 6.
9) El conjunto ={v=(x1,x2, ...)}, de todas las sucesiones, con las operaciones del ejemplo 6.
3.2 SUBESPACIO
Dado un espacio vectorial , diremos que un subconjunto EH es un subespacio vectorial si ese conjunto tiene estructura de espacio vectorial.
-
18
Existe una caracterizacin que nos facilita comprobar si un subconjunto de un espacio vectorial es o no subespacio vectorial: Dado espacio
vectorial y dado EH , diremos que es un subespacio vectorial de , si y solamente si, se cumple:
escalares, para todo par de vectores
y se verifica:
3.2.1 EJEMPLOS DE SUBESPACIOS VECTORIALES
1) Sea V un espacio vectorial (e.v.) y sea vV, fijo, v0 . El conjunto
U = {v : } es un subespacio (unidimensional) de V. Por cierto, U es subespacio propio si la dimensin de V es mayor que 1.
La verificacin de que U es subespacio es rpida. En primer lugar U, luego si u ,wU, , , entonces:
u + w =(1v )+ (2v )
=(1+2) v U
2) El espacio a b
o es un subespacio (de dimensin infinita), del espacio de todas las funciones reales (es decir funciones reales continuas y
discontinuas).
3) U={v n:x1=0} es un subespacio propio de n, sin embargo,
U ={v n:x1 = x2+1} no lo es (Por qu?).
4) Sea U = {u a b
o : u es un polinomio de grado n} es un subespacio propio de a b
o
, y de dimensin finita.
5) l2 es un subespacio propio de c0.
6) c0 es un subespacio propio de c.
-
19
7) c es un subespacio propio de m.
8) m es un subespacio propio de .
4. DIMENSION Y BASE DE UN ESPACIO LINEAL
4.1 DEFINICIN DE DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA DE UN SUBESPACIO.
Hemos visto la definicin de espacio vectorial, vamos ahora a concretar algunas propiedades que tiene la operacin externa.
Propiedades de la operacin
Sea (E,+,) un espacio vectorial. Entonces, se verifica: 1.
2.
3.
4.
5.
-
20
6.
Simplificacin de escalares:
7.
Simplificacin de vectores:
De la estructura de espacio vectorial sabemos que si sumamos dos vectores el resultado va a ser un vector. Tambin sabemos que si multiplicamos un escalar por un vector, el resultado ser un vector. Uniendo estos resultados, llegamos a las siguientes definiciones:
4.2 COMBINACIONES LINEALES. DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA DE
VECTORES
Decimos que un vector es combinacin lineal de los vectores
Si existen unos escalares
De forma que
Por ejemplo, el vector (1,3,6) es combinacin lineal de los vectores )}7,5,3(),2,1,1(),2,1,0{( , pues existen los escalares 21 , 11 01 ,
verificndose
Diremos que los vectores
-
21
Son linealmente independientes si la igualdad
Es nicamente cierta cuando los escalares
Son todos iguales a cero. Entonces se dice que forman un sistema libre. En caso contrario se dir que los vectores son linealmente dependientes, o que forman un sistema ligado.
Por ejemplo, en
(Con las operaciones usuales + y ), se tiene que los vectores(1,0) y (0,1) son linealmente independientes, ya que si buscamos los escalares ,
tales que
Haciendo operaciones, llegamos a que tiene que ser
.
Como sabemos, dos vectores son iguales si lo son componente a componente, lo que implica, automticamente, que y
-
22
Luego, segn la definicin, son linealmente independientes.
Sin embargo, tambin en
Los vectores (1,3) y (2,6) no son linealmente independientes, pues al buscar los escalares ,
tales que
Haciendo operaciones, llegamos a que tiene que ser
.
Aplicando de nuevo que dos vectores son iguales si lo son componente a componente, obtenemos
Es decir, nos hemos trasladado al mundo de la resolucin de sistemas de ecuaciones. Ahora, con lo que sabemos sobre sistemas lineales, resolviendo se tiene que
y
-
23
.
Qu me dice esto sobre los vectores? Que son linealmente dependientes. Es claro que si decimos , entonces, automticamente ,
Lo que podra conducirnos a concluir (errneamente) que los vectores son linealmente independientes. Sin embargo, la definicin nos dice que
y
Han de ser nicos. Ahora, si hacemos , automticamente
y
tambin verifican la relacin
,
Lo que nos hace ver que no son nicos y, por tanto, los vectores no son linealmente independientes.
Lo importante de aqu es darse cuenta de que el concepto de dependencia e independencia lineal se ha trasladado al estudio de las soluciones de un cierto sistema de ecuaciones homogneo. La existencia de una nica solucin (que, por ser homogneo el sistema, ser la nula) me dice que los vectores son linealmente independientes, y la existencia de ms de una solucin, que los vectores son linealmente dependientes.
-
24
Mencionamos unas propiedades referentes a dependencia/independencia lineal de un conjunto de vectores, y despus introduciremos tres conceptos importantes: sistema generador de un espacio vectorial, envoltura lineal de un conjunto de vectores y base de un espacio vectorial.
1. Un conjunto de vectores es linealmente dependiente si y solamente si alguno de los vectores es combinacin lineal de los dems. 2. Si un conjunto de vectores es linealmente independiente cualquier subconjunto suyo tambin lo es.
Obviamente, si tenemos un conjunto de vectores tales que ninguno de ellos es combinacin de los dems, escogiendo slo unos cuantos, no podrn ser combinacin de los otros.
3. Si un conjunto de vectores es linealmente dependiente tambin lo es todo conjunto que lo contenga. Ya que un conjunto de vectores es linealmente dependiente si y slo si tiene algn vector que es combinacin lineal de los dems, si metemos este conjunto de vectores en otro ms grande, seguimos teniendo el vector que es combinacin lineal de otros, por tanto, el conjunto ms grande sigue siendo linealmente dependiente.
4.3 Sistema generador de un espacio vectorial
Decimos que un conjunto de vectores
es un sistema generador del espacio vectorial al cual pertenece si cualquier vector de dicho espacio se puede poner como combinacin lineal de ellos.
Por ejemplo, los vectores (1,0) y (0,1) forman un sistema generador de
(+, las operaciones usuales), ya que si cogemos cualquier
de igualar
-
25
se tiene enseguida que ha de ser y
Por ejemplo, si (x,y) = (1,3), tendremos y
.
No todos los conjuntos de vectores forman un sistema generador de un espacio vectorial. Por ejemplo, los vectores (3,-1,2) y (1,0,-1) no forman un sistema
generador de .
Si lo fueran,
tales que
Pero esto implica, escribindolo como un sistema, que:
Es decir, tenemos que
Por tanto, sustituyendo en la primera ecuacin,
-
26
Como debe verificarse cada ecuacin, sustituyendo y en la ltima tenemos que, para que
sea sistema generador de se ha de cumplir la relacin
Evidentemente, esto no es cierto para todos los vectores del espacio. Si tomamos, en particular, el (0,0,1), vemos que la coordenada no verifica la
relacin. Por tanto, el sistema dado no es un sistema generador de .
4.4 Envoltura lineal
Al conjunto de todos los vectores que son combinacin lineal de los vectores
Se le llama envoltura lineal de los vectores
Y se representa
.
4.5 Base de un espacio vectorial
Decimos que los vectores
Son base del espacio vectorial al cual pertenecen si cumplen dos condiciones:
-
27
Han de ser linealmente independientes.
Han de formar un sistema generador del espacio vectorial .
Todas las bases de un espacio vectorial tienen el mismo nmero de elementos, al que se le llama dimensin del espacio vectorial. La siguiente base del
espacio vectorial es la conocida como base cannica:
Hay que notar que un sistema generador de un espacio vectorial de dimensin debe tener al menos vectores, pero si tiene no tiene por qu ser un sistema generador.
Un ejemplo simple e inmediato lo vemos con el espacio
Siendo + y las operaciones usuales, y escogiendo los vectores
.
Estos dos vectores, al ser proporcionales, generaran nicamente una recta, pero no todo el plano.
-
28
5. REFERENCIAS PITA RUIZ, CLAUDIO DE J. Algebra lineal. Mc Graw -Hill. Interamericana de Mxico,1991.
GROSSMAN, STANLEY I. lgebra lineal con aplicaciones. 6 Ed.Mc Graw-Hill, Mxico. 1994.
KOLMAN BERNARD. lgebra lineal con aplicaciones. 8 Ed.Prentice -Hall, Mxico. 2006.
http://aprendeenlinea.udea.edu.co/lms/moodle/course/view.php?id=541 viernes 20 de enero 2012
http://cbi.azc.uam.mx/archivos/varios/ProblemarioW.pdf
www.sectormatematica.cl/media/NM3/DETERMINANTES.doc miercoles 25 de enero 2012